Locus Related Problem Questions in Hindi

(C) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं जहाँ $x = x' + h$ और $y = y' + k$ है। दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 4(x' + h) + 6(y' + k) - 7 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$x'^2 + 2hx' + h^2 + y'^2 + 2ky' + k^2 - 4x' - 4h + 6y' + 6k - 7 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x'^2 + y'^2 + x'(2h - 4) + y'(2k + 6) + (h^2 + k^2 - 4h + 6k - 7) = 0$
रैखिक पदों को समाप्त करने के लिए,$x'$ और $y'$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$
$2k + 6 = 0 \Rightarrow k = -3$
अतः,बिंदु $(h, k)$ का मान $(2, -3)$ है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
दिया गया है कि $P$ की $(a, 0)$ से दूरी $y$-अक्ष से उसकी दूरी के बराबर है।
$P(h, k)$ की $(a, 0)$ से दूरी $\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2}$ है।
$P(h, k)$ की $y$-अक्ष से दूरी $|h|$ है।
दूरियों को बराबर करने पर: $\sqrt{(h-a)^2 + k^2} = |h|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(h-a)^2 + k^2 = h^2$.
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2$.
$k^2 - 2ah + a^2 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ का समीकरण $y^2 - 2ax + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम प्राचल $\theta$ का विलोपन करते हैं।
दिए गए समीकरण हैं:
$x = a(1 - \cos \theta )$ $\Rightarrow x - a = -a \cos \theta$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{a - x}{a}$ .....$(i)$
$y = a \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{y}{a}$ .....$(ii)$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$(\frac{y}{a})^2 + (\frac{a - x}{a})^2 = 1$
$\frac{y^2}{a^2} + \frac{a^2 - 2ax + x^2}{a^2} = 1$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$
यह $(a, 0)$ केंद्र और $a$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(D) माना बिंदु $S$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया संबंध $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((x + 1)^2 + (y - 0)^2) + ((x - 2)^2 + (y - 0)^2) = 2((x - 1)^2 + (y - 0)^2)$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
यह $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $PA^2 + PB^2 = AB^2$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$,इसलिए $AB^2 = 16$ है।
$PA^2 = (x - 2)^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$ है।
$PB^2 = (x + 2)^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2$ है।
योग करने पर: $(x^2 - 4x + 4 + y^2) + (x^2 + 4x + 4 + y^2) = 16$ है।
$2x^2 + 2y^2 + 8 = 16$ है।
$2x^2 + 2y^2 = 8$ है।
$x^2 + y^2 = 4$,अर्थात $x^2 + y^2 - 4 = 0$ है।

(B) माना गतिमान बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$x$-अक्ष से दूरी,मूल बिंदु से दूरी की आधी है:
$|y| = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$y^2 = \frac{1}{4} (x^2 + y^2)$
$4y^2 = x^2 + y^2$
$x^2 - 3y^2 = 0$
अतः,बिंदुपथ का अभीष्ट समीकरण $x^2 - 3y^2 = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$P(x, y)$ की $(-1, 0)$ से दूरी,$P(x, y)$ की $(0, 2)$ से दूरी की $3$ गुनी है।
$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 0)^2} = 3 \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + 1)^2 + y^2 = 9(x^2 + (y - 2)^2)$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9(x^2 + y^2 - 4y + 4)$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 36y + 36$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$8x^2 + 8y^2 - 2x - 36y + 35 = 0$
यह समीकरण $Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0$ के रूप में है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) माना बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
बिंदु $(x, y)$ की $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$x$-अक्ष से दूरी $y$-अक्ष से दूरी की दोगुनी है:
$|y| = 2|x|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = 4x^2$ प्राप्त होता है,जो दो रेखाओं $y = 2x$ और $y = -2x$ को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से,समीकरण $y = 2x$ बिंदु पथ को दर्शाता है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है $PA = kPB$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $PA^2 = k^2 PB^2$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - ak)^2 + y^2 = k^2 \left[ (x - \frac{a}{k})^2 + y^2 \right]$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2akx + a^2k^2 + y^2 = k^2 \left[ x^2 - 2x(\frac{a}{k}) + \frac{a^2}{k^2} + y^2 \right]$.
$x^2 - 2akx + a^2k^2 + y^2 = k^2x^2 - 2akx + a^2 + k^2y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2(1 - k^2) + y^2(1 - k^2) = a^2 - a^2k^2$.
$(1 - k^2)(x^2 + y^2) = a^2(1 - k^2)$.
अतः,$x^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,समीकरण $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ है।

(A) माना बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ की $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
$(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$(0, 0)$ से दूरी $x$-अक्ष से दूरी की तीन गुनी है:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3|y|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 = 9y^2$
$x^2 + y^2 - 9y^2 = 0$
$x^2 - 8y^2 = 0$

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P(x, y)$ और $(-g, -f)$ के बीच की दूरी $a$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - (-g))^2 + (y - (-f))^2} = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + g)^2 + (y + f)^2 = a^2$
वर्गों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2gx + g^2 + y^2 + 2fy + f^2 = a^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - a^2 = 0$
यह दिया गया है कि $k = g^2 + f^2 - a^2$,इसलिए समीकरण में $k$ का मान रखने पर:
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$.

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दी गई शर्त $2PA = 3PB$ है,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $4PA^2 = 9PB^2$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $A(0, 0)$ और $B(4, -3)$ के मान रखने पर:
$4(h^2 + k^2) = 9((h - 4)^2 + (k + 3)^2)$
$4h^2 + 4k^2 = 9(h^2 - 8h + 16 + k^2 + 6k + 9)$
$4h^2 + 4k^2 = 9h^2 - 72h + 144 + 9k^2 + 54k + 81$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$5h^2 + 5k^2 - 72h + 54k + 225 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु $P$ का बिंदुपथ है:
$5x^2 + 5y^2 - 72x + 54y + 225 = 0$.

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $P$ की $A(1, -2)$ से दूरी,$P$ की $B(-3, 5)$ से दूरी की दोगुनी है।
अतः,$PA = 2PB \Rightarrow PA^2 = 4PB^2$.
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4[(x + 3)^2 + (y - 5)^2]$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4[x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25]$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4[x^2 + y^2 + 6x - 10y + 34]$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 + 24x - 40y + 136$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x^2 + 3y^2 + 26x - 44y + 131 = 0$.

(B) माना कि गतिमान बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु की दूरी हमेशा $4$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 4^2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 16$ है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। चूँकि $\angle APB = 90^\circ$ है,इसलिए $AP$ और $BP$ की प्रवणताएँ (slopes) परस्पर लंबवत हैं।
$AP$ की प्रवणता = $\frac{y - 0}{x - (-a)} = \frac{y}{x + a}$
$BP$ की प्रवणता = $\frac{y - 0}{x - a} = \frac{y}{x - a}$
चूँकि प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है:
$\left(\frac{y}{x + a}\right) \times \left(\frac{y}{x - a}\right) = -1$
$\frac{y^2}{x^2 - a^2} = -1$
$y^2 = -(x^2 - a^2)$
$y^2 = -x^2 + a^2$
$x^2 + y^2 = a^2$

(B) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(-a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(a, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है $PA^2 + PB^2 = k$.
$(x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k$.
$(x^2 + 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k$.
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = k$.
$x^2 + y^2 = \frac{k - 2a^2}{2}$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(B) माना $(h, k)$ त्रिभुज का केंद्रक है। केंद्रक के निर्देशांक शीर्षों के औसत द्वारा प्राप्त होते हैं:
$h = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3}$ और $k = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3h - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$ और $3k - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$
$(9h^2 - 6h + 1) + (9k^2 - 12k + 4) = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha)$
$9h^2 + 9k^2 - 6h - 12k + 5 = 2$
$9h^2 + 9k^2 - 6h - 12k + 3 = 0$
$3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(h^2 + k^2) - 2h - 4k + 1 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
रेखा $x = 2$ से बिंदु $P$ की दूरी $|x - 2|$ है।
दिया गया है कि दूरियों का योग $4$ है,अतः $\sqrt{x^2 + y^2} + |x - 2| = 4$.
$\sqrt{x^2 + y^2} = 6 - x$ लेने पर।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = (6 - x)^2$.
$x^2 + y^2 = 36 + x^2 - 12x$.
$y^2 + 12x = 36$.

(B) माना कि गतिशील बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4 \times (x\text{-अक्ष से दूरी}) = (\text{मूल बिंदु से दूरी})^2$ है।
मान रखने पर,हमें $4|y| = (\sqrt{x^2 + y^2})^2$ प्राप्त होता है।
यह $4|y| = x^2 + y^2$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 4|y| = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $P(x, y)$ से $(3, -2)$ की दूरी का वर्ग,$P(x, y)$ से रेखा $5x - 12y - 13 = 0$ की दूरी के बराबर है।
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{|5x - 12y - 13|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = \frac{|5x - 12y - 13|}{13}$
$13(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13) = |5x - 12y - 13|$
$13x^2 + 13y^2 - 78x + 52y + 169 = \pm(5x - 12y - 13)$
स्थिति $1$: $13x^2 + 13y^2 - 78x + 52y + 169 = 5x - 12y - 13$
$13x^2 + 13y^2 - 83x + 64y + 182 = 0$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समीकरण $13x^2 + 13y^2 - 83x + 64y + 182 = 0$ विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$P$ की $(4, 0)$ से दूरी,रेखा $x - 16 = 0$ से उसकी दूरी की आधी है।
अतः,$\sqrt{(h - 4)^2 + (k - 0)^2} = \frac{1}{2} |h - 16|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h - 4)^2 + k^2 = \frac{1}{4} (h - 16)^2$.
$4(h^2 - 8h + 16 + k^2) = h^2 - 32h + 256$.
$4h^2 - 32h + 64 + 4k^2 = h^2 - 32h + 256$.
$3h^2 + 4k^2 = 192$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $3x^2 + 4y^2 = 192$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ उस रेखाखंड को विभाजित करता है जो $(1, 0)$ और $(2\cos \theta, 2\sin \theta)$ को $2 : 3$ के अनुपात में जोड़ता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{2(2\cos \theta) + 3(1)}{2 + 3} = \frac{4\cos \theta + 3}{5}$
$k = \frac{2(2\sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4\sin \theta}{5}$
इनसे हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{5h - 3}{4}$ और $\sin \theta = \frac{5k}{4}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{5h - 3}{4}\right)^2 + \left(\frac{5k}{4}\right)^2 = 1$
$(5h - 3)^2 + (5k)^2 = 16$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(5x - 3)^2 + (5y)^2 = 16$ है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) दी गई रेखाएँ:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = b$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta - y \cos \theta)^2 = a^2 + b^2$
$x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = a^2 + b^2$
$x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a^2 + b^2$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2a$ है,जिसका अर्थ है $g^2 - c = a^2$ $(i)$।
वृत्त द्वारा $y$-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2 - c} = 2b$ है,जिसका अर्थ है $f^2 - c = b^2$ $(ii)$।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,हमें $g^2 - f^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
$(-g, -f)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमारे पास $g = -x$ और $f = -y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $(-x)^2 - (-y)^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = a^2 - b^2$ हो जाता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h|$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x - y = 0$ को भी स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{|h - k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = |h|$।
यह $|h - k| = |h|\sqrt{2}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h - k)^2 = 2h^2$,जो $h^2 - 2hk + k^2 = 2h^2$ या $h^2 + 2hk - k^2 = 0$ देता है।
किसी भी $k \neq 0$ के लिए,$h$ में यह द्विघात समीकरण $h$ के लिए वास्तविक मान प्रदान करता है।
चूंकि $k$ के लिए अनंत मान संभव हैं,इसलिए ऐसे अनंत वृत्त हैं।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$x$-अक्ष $(y=0)$ पर वृत्त द्वारा काटी गई जीवा की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2a$ है,जिसका अर्थ है $g^2 - c = a^2$,या $c = g^2 - a^2$ $(i)$।
वृत्त $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, b)$ से गुजरता है,इसलिए $0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) + c = 0$,जो $b^2 + 2fb + c = 0$ $(ii)$ देता है।
$(i)$ से $c = g^2 - a^2$ का मान $(ii)$ में रखने पर,हमें $b^2 + 2fb + g^2 - a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g^2 + 2fb = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
बिंदु पथ ज्ञात करने के लिए $(g, f)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + 2by = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ है,जो सरल होकर $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky = 0$ हो जाता है।
वृत्त $y$-अक्ष पर $2l$ लंबाई की जीवा काटता है (जहाँ $x = 0$)।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $y^2 - 2ky + h^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{k^2 - h^2} = 2l$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $k^2 - h^2 = l^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 - x^2 = l^2$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) माना दो निश्चित समतलीय बिंदु $A(0, 0)$ और $B(a, 0)$ हैं।
गतिमान बिंदु $P$ को $(x, y)$ मानिए।
दी गई शर्त के अनुसार,दूरियों का अनुपात अचर $\lambda$ है:
$\frac{PA}{PB} = \lambda \implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} = \lambda$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + y^2 = \lambda^2 ((x-a)^2 + y^2)$
$x^2 + y^2 = \lambda^2 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$
$(1 - \lambda^2)x^2 + (1 - \lambda^2)y^2 + 2a\lambda^2 x - a^2\lambda^2 = 0$
चूंकि $\lambda \ne 1$,हम $(1 - \lambda^2)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x^2 + y^2 + \frac{2a\lambda^2}{1 - \lambda^2}x - \frac{a^2\lambda^2}{1 - \lambda^2} = 0$
यह वृत्त का सामान्य समीकरण है। अतः,बिंदुपथ एक वृत्त है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 13 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^2 + 4x) + (y^2 + 6y) = -13$ प्राप्त होता है।
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -13 + 4 + 9$.
$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$.
यह $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के रूप में है,जहाँ $r^2 = 0$ है।
चूँकि त्रिज्या $0$ है,इसलिए यह समीकरण $(-2, -3)$ पर एक बिंदु वृत्त को दर्शाता है।

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,केंद्र $(h, k)$ की दोनों अक्षों से दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$|h| = |k| = r$।
इसका अर्थ है $h = k$ या $h = -k$।
इसलिए,केंद्र $(x, y)$ का बिंदु पथ $x = y$ या $x = -y$ है।
इन दोनों को संयोजित करने पर,हमें $(x - y)(x + y) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं।
मान लीजिए गतिमान बिंदु $P(x, y)$ है।
$P$ से शीर्षों तक की दूरियों के वर्गों का योग एक स्थिरांक $K$ है:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = K$
पदों का विस्तार करने पर:
$3x^2 - 2x(x_1 + x_2 + x_3) + 3y^2 - 2y(y_1 + y_2 + y_3) + (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) = K$
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 2x\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right) + y^2 - 2y\left(\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) = \text{स्थिरांक}$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ है,जो त्रिभुज का केंद्रक है।

(C) किसी वृत्त पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदु पथ को निर्देशक वृत्त (Director Circle) कहा जाता है।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए,निर्देशक वृत्त $x^2 + y^2 = 2a^2$ द्वारा दिया जाता है।
यह मूल वृत्त के साथ एक संकेंद्रित वृत्त है,जिसकी त्रिज्या $\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। माना $h > 0$,तो $r = h$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ है। इसका केंद्र $C_1(3, 3)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = 2$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $CC_1 = R_1 + r$ होगी।
$\sqrt{(h - 3)^2 + (k - 3)^2} = 2 + h$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - 3)^2 + (k - 3)^2 = (2 + h)^2$
$h^2 - 6h + 9 + k^2 - 6k + 9 = 4 + 4h + h^2$
$k^2 - 10h - 6k + 14 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2 - 10x - 6y + 14 = 0$ है।

(B) माना ${r_2 = 2}$ त्रिज्या वाले वृत्त का केंद्र ${(h, k)}$ है जो दिए गए वृत्त के बाहर लुढ़कता है।
दिया गया वृत्त ${x^2} + {y^2} + 3x - 6y - 9 = 0$ है।
इसका केंद्र ${C_1 = \left( -\frac{3}{2}, 3 \right)}$ और त्रिज्या ${r_1 = \frac{9}{2}}$ है।
चूंकि वृत्त बाहर की ओर लुढ़कता है,केंद्रों के बीच की दूरी ${r_1 + r_2 = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}}$ होगी।
अतः,बिंदु पथ: ${\left( h + \frac{3}{2} \right)^2 + (k - 3)^2 = \left( \frac{13}{2} \right)^2}$ है।
विस्तार करने पर: ${h^2 + k^2 + 3h - 6k - 31 = 0}$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु पथ ${x^2 + y^2 + 3x - 6y - 31 = 0}$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = |h|$ होगी।
चूंकि वृत्त बिंदु $(2, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से $(2, 0)$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$(h - 2)^2 + (k - 0)^2 = h^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$h^2 - 4h + 4 + k^2 = h^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$k^2 = 4h - 4$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $y^2 = 4x - 4$ है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $O(x, y)$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = |x|$ है।
केंद्र $O(x, y)$ से $X$-अक्ष पर स्थित जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
माना जीवा $AB$ की लंबाई $2a$ है। जीवा का मध्य बिंदु $M(x, 0)$ है।
केंद्र $O(x, y)$ से मध्य बिंदु $M(x, 0)$ की दूरी $|y|$ है।
केंद्र,जीवा के मध्य बिंदु और जीवा के एक अंतिम बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण त्रिज्या $r = |x|$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$r^2 = |y|^2 + a^2$ है।
$r = x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = y^2 + a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = a^2$ हो जाता है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(a, 0)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r = \sqrt{(h - a)^2 + k^2}$ है।
वृत्त रेखा $x + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h + 1|$ है।
दोनों का वर्ग करने पर,$(h - a)^2 + k^2 = (h + 1)^2$.
विस्तार करने पर,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$.
सरल करने पर,$k^2 = 2h(1 + a) + 1 - a^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $y^2 = 2x(1 + a) + (1 - a^2)$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय है।

(B) रेखा $lx + my - 1 = 0$ के वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त यह है कि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु से रेखा की दूरी का सूत्र लागू करने पर: $\frac{|l(0) + m(0) - 1|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2}$ प्राप्त होता है।
$(l, m)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \frac{1}{a^2}$ है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(C) किसी दिए गए वृत्त का निदेशक वृत्त उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जहाँ वृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए,निदेशक वृत्त की त्रिज्या $r\sqrt{2}$ होती है।
दिए गए वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के लिए,त्रिज्या $r = a$ है।
अतः,निदेशक वृत्त की त्रिज्या $a\sqrt{2}$ होगी।
इसलिए,निदेशक वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} = (a\sqrt{2})^2$ अर्थात ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ है।

(C) माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ पर एक बिंदु है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = 4$ है।
यह स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $A(\frac{4}{x_1}, 0)$ और $B(0, \frac{4}{y_1})$ पर मिलती है।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है।
तब $h = \frac{2}{x_1}$ और $k = \frac{2}{y_1}$,जिसका अर्थ है $x_1 = \frac{2}{h}$ और $y_1 = \frac{2}{k}$।
चूँकि $(x_1, y_1)$ $x^2 + y^2 = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(\frac{2}{h})^2 + (\frac{2}{k})^2 = 4$।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 1$ है।

(B) रेखा $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ के वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ को स्पर्श करने की शर्त यह है कि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
रेखा का समीकरण $\frac{1}{\alpha}x + \frac{1}{\beta}y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|\frac{1}{\alpha}(0) + \frac{1}{\beta}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2}} = a$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2} = a^2$ प्राप्त होता है।
यह $(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2 = \frac{1}{a^2}$ में सरल हो जाता है।
माना $X = \frac{1}{\alpha}$ और $Y = \frac{1}{\beta}$ है। समीकरण $X^2 + Y^2 = (\frac{1}{a})^2$ बन जाता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(D) माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:3$ है:
$\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3}}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3}{x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5} = \frac{4}{9}$
वज्र गुणन करने पर:
$9(x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3) = 4(x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5)$
$9x_1^2 + 9y_1^2 + 36x_1 + 27 = 4x_1^2 + 4y_1^2 - 24x_1 + 20$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$5x_1^2 + 5y_1^2 + 60x_1 + 7 = 0$
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $5x^2 + 5y^2 + 60x + 7 = 0$ है।

(C) दिया गया वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ है,जिसका विस्तार $x^2 + y^2 - 2x = 0$ है।
माना $(h, k)$ एक जीवा का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = xh + yk - (x + h)$ और $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ है।
अतः,जीवा का समीकरण $xh + yk - (x + h) = h^2 + k^2 - 2h$ है।
चूँकि जीवा मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0(h) + 0(k) - (0 + h) = h^2 + k^2 - 2h$
$-h = h^2 + k^2 - 2h$
$h^2 + k^2 - h = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 - 2x - 6y - 10 = 0$ है।
अतः,$hx + ky - (x + h) - 3(y + k) - 10 = h^2 + k^2 - 2h - 6k - 10$.
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$-h - 3k - 10 = h^2 + k^2 - 2h - 6k - 10$.
समीकरण को सरल करने पर:
$h^2 + k^2 - h - 3k = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ है। केंद्र $C(1, 1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
माना $M(h, k)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है। $\triangle CAM$ में,$\angle ACM = 60^\circ$ और $CA = 2$ है।
$\cos(60^\circ) = \frac{CM}{CA}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{CM}{2}$ $\Rightarrow CM = 1$.
$CM^2 = (h-1)^2 + (k-1)^2 = 1^2$.
$h^2 - 2h + 1 + k^2 - 2k + 1 = 1$.
$h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ है।

(D) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली रेखा $y = mx$ है।
माना $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ का केंद्र $C(a, 0)$ है।
चूंकि रेखा $AB$ वृत्त की जीवा है,इसलिए केंद्र $C(a, 0)$ से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को उसके मध्य बिंदु $M(h, k)$ पर समद्विभाजित करता है।
अतः,रेखा $CM$,रेखा $AB$ पर लंब है।
$AB$ की ढाल $m = \frac{k}{h}$ है।
$CM$ की ढाल $\frac{k - 0}{h - a} = \frac{k}{h - a}$ है।
चूंकि $CM \perp AB$,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{k}{h}\right) \times \left(\frac{k}{h - a}\right) = -1$
$k^2 = -h(h - a)$
$k^2 = -h^2 + ah$
$h^2 + k^2 - ah = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - ax = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$,जो $2g + 4f + c + 5 = 0$ देता है।
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ की शर्त के अनुसार,$2g(0) + 2f(0) = c - 4$,अर्थात $c = 4$।
$c = 4$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2g + 4f + 4 + 5 = 0$,जो $2g + 4f + 9 = 0$ देता है।
केंद्र $(-g, -f)$ के बिंदु पथ के लिए $g = -x$ और $f = -y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(-x) + 4(-y) + 9 = 0$,अर्थात $2x + 4y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 = p^2$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ से $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = p^2$।
चूंकि वृत्त $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ में सरल हो जाता है।