Locus Related Problem Questions in Hindi

(C) माना $PQ$ का मध्य-बिंदु $S(h, k)$ है।
चूंकि $P$ $x$-अक्ष पर और $Q$ $y$-अक्ष पर स्थित है,माना $P = (a, 0)$ और $Q = (0, b)\text{।}$
मध्य-बिंदु $S(h, k)$ के लिए $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2},$ अतः $a = 2h$ और $b = 2k\text{।}$
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जो $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ हो जाता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ की स्पर्श रेखा है,मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2}} = 1\text{।}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}} = 1,$
जो सरल होकर $\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$ हो जाता है।
$4h^2k^2$ से गुणा करने पर,$k^2 + h^2 = 4h^2k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 4x^2y^2$ या $x^2 + y^2 - 4x^2y^2 = 0$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h| = h$ है (प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण $h > 0$)।
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + 1 = h + 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h^2 + k^2 = (h + 1)^2$
$h^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$
$k^2 = 2h + 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2x + 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = \sqrt{2x + 1}$ जहाँ $x \ge 0$।

(N/A) माना समकोण त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 3)$,$B(-4, 1)$ और $C(x, y)$ हैं,जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $C$,$AB$ व्यास वाले वृत्त पर स्थित है,इसलिए $C$ का बिंदु पथ $(x - 1)(x + 4) + (y - 3)(y - 1) = 0$ है।
इस वृत्त पर बिंदु $C$ के चयन के आधार पर ऐसे अनंत त्रिभुज संभव हैं।
माना भुजा $AC$ की ढाल $m$ है। तब भुजा $BC$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ होगी (क्योंकि $AC \perp BC$ है)।
$(1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण $y - 3 = m(x - 1)$ है।
$(-4, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{m}(x + 4)$ है।
$m$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए,ये दो रेखाएं दिए गए कर्ण वाले समकोण त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाती हैं।

(B) मान लीजिए $AB$ लंबाई $12 \, cm$ की छड़ है। मान लीजिए $A$,$x-$अक्ष पर है और $B$,$y-$अक्ष पर है। मान लीजिए $P(x, y)$ छड़ पर एक बिंदु है ताकि $AP = 3 \, cm$ हो। तब $PB = AB - AP = 12 - 3 = 9 \, cm$ होगा।
मान लीजिए $\angle OAB = \theta$ है। तब $\triangle PRA$ में (जहाँ $PR \perp OA$),हमारे पास $\cos \theta = \frac{AR}{AP} = \frac{x}{3}$ है,इसलिए $x = 3 \cos \theta$ है।
$\triangle PQB$ में (जहाँ $PQ \perp OB$),हमारे पास $\sin \theta = \frac{QB}{PB} = \frac{y}{9}$ है,इसलिए $y = 9 \sin \theta$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $\left(\frac{x}{3}\right)^{2} + \left(\frac{y}{9}\right)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ के बिंदुपथ का समीकरण $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(5, 0)$ से दूरी,$(-5, 0)$ से दूरी की तीन गुनी है:
$\sqrt{(x-5)^{2} + y^{2}} = 3\sqrt{(x+5)^{2} + y^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-5)^{2} + y^{2} = 9((x+5)^{2} + y^{2})$
$x^{2} - 10x + 25 + y^{2} = 9(x^{2} + 10x + 25 + y^{2})$
$8x^{2} + 8y^{2} + 100x + 200 = 0$
$8$ से भाग देने पर:
$x^{2} + y^{2} + 12.5x + 25 = 0$
वृत्त के मानक समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 6.25$,$f = 0$,और $c = 25$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(6.25)^{2} - 25} = \sqrt{39.0625 - 25} = \sqrt{14.0625}$।
अतः,$r^{2} = 14.0625$।
इसलिए,$4r^{2} = 4 \times 14.0625 = 56.25$।

(B) माना वृत्त पर स्थित बिंदु $(\cos \theta, \sin \theta)$ है।
माना $(3, 2)$ और $(\cos \theta, \sin \theta)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $P(h, k)$ है।
अतः,$h = \frac{\cos \theta + 3}{2}$ और $k = \frac{\sin \theta + 2}{2}$ है।
इससे $\cos \theta = 2h - 3$ और $\sin \theta = 2k - 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए $(2h - 3)^{2} + (2k - 2)^{2} = 1$ होगा।
$4$ से भाग देने पर,$(h - \frac{3}{2})^{2} + (k - 1)^{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यह $r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
$(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ से दूरियों के वर्गों का योग:
$(x^2 + y^2) + ((x-1)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2) + ((x-1)^2 + (y-1)^2) = 18$
पदों का विस्तार करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4 = 18$
$4$ से भाग देने पर:
$x^2 + y^2 - x - y - 3.5 = 0$
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
यहाँ,$g = -0.5, f = -0.5, c = -3.5$ है।
$r = \sqrt{0.25 + 0.25 + 3.5} = \sqrt{4} = 2$ है।
व्यास $d = 2r = 4$ है।
अतः,$d^2 = 16$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष $(x=0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h|$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x+y=0$ को भी स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$r = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,$|h| = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^{2} = \frac{(h+k)^{2}}{2}$.
$2h^{2} = h^{2} + k^{2} + 2hk$.
$h^{2} - k^{2} = 2hk$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $x^{2}-y^{2}=2xy$ है।

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $r = \beta$ होगा।
चूँकि यह वृत्त $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ (केंद्र $(0, 1)$,त्रिज्या $1$) को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{(\alpha - 0)^{2} + (\beta - 1)^{2}} = \beta + 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^{2} + (\beta - 1)^{2} = (\beta + 1)^{2}$
$\alpha^{2} + \beta^{2} - 2\beta + 1 = \beta^{2} + 2\beta + 1$
$\alpha^{2} = 4\beta$
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $L$ परवलय $x^{2} = 4y$ है।
$x^{2} = 4y$ और $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
$A = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{4y} \, dy = 2 \int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 4 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$.

(B) माना $P = (x, y)$ है। बिंदुओं $(1, 2)$ और $(-2, 1)$ से दूरियों के वर्गों का योग $14$ है:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (x+2)^2 + (y-1)^2 = 14$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y + 10 = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y - 4 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 3y - 2 = 0$
$x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखें:
$x^2 + x - 2 = 0$ $\Rightarrow (x+2)(x-1) = 0$ $\Rightarrow x = -2, 1$. अतः $A = (-2, 0)$ और $B = (1, 0)$।
$y$-अंतःखंड के लिए,$x = 0$ रखें:
$y^2 - 3y - 2 = 0$। द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$। अतः $C = (0, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ और $D = (0, \frac{3-\sqrt{17}}{2})$।
चतुर्भुज $ACBD$ के विकर्ण अक्षों पर स्थित हैं। क्षैतिज विकर्ण की लंबाई $AB = |1 - (-2)| = 3$ है।
ऊर्ध्वाधर विकर्ण की लंबाई $CD = |\frac{3+\sqrt{17}}{2} - \frac{3-\sqrt{17}}{2}| = \sqrt{17}$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ होगा।

(A) दिया गया है $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$. अवकलज $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^{2} - 1}{x}$ है।
चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान और $(a, 4)$ में वर्धमान है,$f'(x) = 0$ रखने पर $4x^{2} = 1$,अतः $x = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $x > 0$)। इस प्रकार,$a = \frac{1}{2}$ है।
परवलय $y^{2} = 4(\frac{1}{2})x = 2x$ है।
$y^{2} = 4ax$ पर बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^{2}$ है।
बिंदु $(8a, 8a-1)$ से गुजरने पर,$t(8a-1) = 8a + at^{2} \Rightarrow at^{2} - t(8a-1) + 8a = 0$ प्राप्त होता है।
$a = 1/2$ रखने पर,$\frac{1}{2}t^{2} - 3t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 6t + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
हल $t = 2, 4$ हैं। $t=4$ के लिए $P = (8, 4)$ प्राप्त होता है।
$P(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ है।
$t=4, a=1/2$ के लिए: $y = -4x + 2(1/2)(4) + (1/2)(64) = -4x + 36$ है।
$4x + y = 36 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{36} = 1$। अतः $\alpha = 9, \beta = 36$ है।
$\alpha + \beta = 9 + 36 = 45$।

(B) माना $s = \sin t$ और $c = \cos t$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $(h, k)$ केंद्रक के साथ संपाती होता है।
केंद्रक $(h, k)$ का मान $h = \frac{a + s + c}{3}$ और $k = \frac{b - c + s}{3}$ है।
अतः,$3h - a = s + c$ और $3k - b = s - c$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - a)^2 + (3k - b)^2 = (s + c)^2 + (s - c)^2 = 2(s^2 + c^2) = 2$ प्राप्त होता है।
$9$ से भाग देने पर:
$(h - a/3)^2 + (k - b/3)^2 = 2/9$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(a/3, b/3)$ है।
वृत्त का केंद्र $(1, 1/3)$ दिया गया है,इसलिए $a/3 = 1$ और $b/3 = 1/3$ है।
अतः,$a = 3$ और $b = 1$ है।
अंत में,$a^2 - b^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ है।
मान लीजिए $M = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
$M$ पर स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = r$ है।
$B(r, 0)$ पर स्पर्श रेखा $l$,$x = r$ है।
$M$ पर स्पर्श रेखा और $l$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए $x = r$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$r \cos \theta + y \sin \theta = r \implies y \sin \theta = r(1 - \cos \theta) \implies y = r \tan(\theta/2)$।
अतः,$P = (r, r \tan(\theta/2))$ है।
$P$ से होकर जाने वाली और $AB$ ($x$-अक्ष) के समानांतर रेखा $y = r \tan(\theta/2)$ है।
रेखा $OM$,$(0, 0)$ और $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
$Q(h, k)$,$y = r \tan(\theta/2)$ और $y = x \tan \theta$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,$k = r \tan(\theta/2)$ और $k = h \tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,हमें $k = h \cdot \frac{2(k/r)}{1 - (k/r)^2}$ प्राप्त होता है।
$1 - k^2/r^2 = 2h/r \implies r^2 - k^2 = 2hr \implies k^2 = -2r(h - r/2)$।
$Q(x, y)$ का बिंदुपथ $y^2 = -2r(x - r/2)$ है,जो कि एक परवलय है।

(D) माना वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $a$ है। $A$ के निर्देशांक $(x_A, 0)$ और $B$ के $(0, y_B)$ हैं। माना कोण $\angle OAB = \theta$ है। तब $A = (a \cos \theta, 0)$ और $B = (0, a \sin \theta)$ है।
चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,सदिश $\vec{BC}$,$\vec{AB}$ के लंबवत है और इसकी लंबाई $a$ है। सदिश $\vec{AB} = (-a \cos \theta, a \sin \theta)$ है। इसे $90^\circ$ घुमाने पर $\vec{BC} = (a \sin \theta, a \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = B + \vec{BC} = (0 + a \sin \theta, a \sin \theta + a \cos \theta) = (a \sin \theta, a(\sin \theta + \cos \theta))$ है।
माना $C = (x, y)$ है। तब $x = a \sin \theta$ और $y = a \sin \theta + a \cos \theta$ है।
प्रथम समीकरण से,$\sin \theta = \frac{x}{a}$ है। तब $\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ है।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y = x + \sqrt{a^2 - x^2}$ है।
$y - x = \sqrt{a^2 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y - x)^2 = a^2 - x^2$ है।
$y^2 - 2xy + x^2 = a^2 - x^2$ है।
$2x^2 + y^2 - 2xy = a^2$ है।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है,क्योंकि विविक्तकर $B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4 < 0$ है। चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान नहीं हैं,इसलिए यह वृत्त नहीं है।

(B) माना $A, B, C, D$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त के केंद्र $(-g, -f)$ के ध्रुवीय निर्देशांक $-g = r \cos \theta$ और $-f = r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
$AB$,$X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई है,इसलिए $a = 2\sqrt{g^2-c} \implies \frac{a^2}{4} = g^2-c$.
$CD$,$Y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई है,इसलिए $b = 2\sqrt{f^2-c} \implies \frac{b^2}{4} = f^2-c$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $g^2-f^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$.
$g = -r \cos \theta$ और $f = -r \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-r \cos \theta)^2 - (-r \sin \theta)^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2 \cos 2\theta = \frac{a^2-b^2}{4}$.

(B) दी गई शर्त $|x+y|+|x-y|=4$ एक वर्ग को दर्शाती है।
हमें $f(x, y) = x^2+y^2-4x-6y = (x-2)^2 + (y-3)^2 - 13$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
यह व्यंजक बिंदु $(2, 3)$ से वर्ग पर स्थित किसी भी बिंदु $(x, y)$ की दूरी का वर्ग माइनस $13$ को दर्शाता है।
वर्ग के शीर्ष $(2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2)$ हैं।
बिंदु $(2, 3)$ से शीर्षों तक की दूरी के वर्ग की गणना करने पर,अधिकतम दूरी $(-2, -2)$ पर $41$ प्राप्त होती है।
अतः,अधिकतम मान $41 - 13 = 28$ है।

(B) माना $R$ शंकु के आधार की त्रिज्या है और $h$ इसकी ऊँचाई है। माना $V$ पानी का आयतन है।
स्थिति $1$: आधार सतह पर है। खाली भाग ऊपर की ओर $a$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,जल सतह की त्रिज्या $r = \frac{R}{h}(h-a)$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi r^2 a = \frac{1}{3}\pi R^2 h (1 - \frac{a^3}{h^3})$ है।
स्थिति $2$: उल्टा रखा गया है। पानी नीचे की ओर $h - \frac{a}{4}$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु बनाता है। जल सतह की त्रिज्या $r_1 = \frac{R}{h}(h - \frac{a}{4})$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r_1^2 (h - \frac{a}{4}) = \frac{1}{3}\pi R^2 h (\frac{h - a/4}{h})^3$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $1 - \frac{a^3}{h^3} = (1 - \frac{a}{4h})^3$. माना $k = \frac{h}{a}$.
$1 - \frac{1}{k^3} = (1 - \frac{1}{4k})^3 = (\frac{4k-1}{4k})^3$.
$\frac{k^3-1}{k^3} = \frac{(4k-1)^3}{64k^3} \Rightarrow 64(k^3-1) = (4k-1)^3 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1$.
$64k^3 - 64 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1 \Rightarrow 48k^2 - 12k - 63 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $16k^2 - 4k - 21 = 0$. $k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(16)(-21)}}{32} = \frac{4 \pm \sqrt{1360}}{32} = \frac{1 + \sqrt{85}}{8}$.

(D) दी गई असमिकाएँ $a^4+b^4 < 1$ और $a^2+b^2 > 1$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में $x, y > 0$ के लिए वक्र $x^2+y^2=1$ ($1$ त्रिज्या वाला वृत्त) और $x^4+y^4=1$ (स्कवर्कल) पर विचार करें।
वृत्त $x^2+y^2=1$ पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ के लिए,$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 1 - 2x^2y^2$ होता है। चूँकि $x, y > 0$,इसलिए $x^2y^2 > 0$,जिसका अर्थ है कि $x^4+y^4 < 1$ है।
इसका अर्थ है कि प्रथम चतुर्थांश में $a^4+b^4 < 1$ वाला क्षेत्र वृत्त $a^2+b^2=1$ के बाहर स्थित है,जबकि $a^2+b^2 > 1$ वाला क्षेत्र वृत्त के बाहर स्थित है। हालाँकि,वक्र $a^4+b^4=1$ वास्तव में प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $a^2+b^2=1$ की तुलना में अधिक क्षेत्र को घेरता है।
विशेष रूप से,$a, b > 0$ के लिए,$a^2+b^2 > 1$ और $a^4+b^4 < 1$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त और स्कवर्कल के बीच के क्षेत्र को दर्शाता है।
चूँकि इस क्षेत्र का क्षेत्रफल शून्य नहीं है,इसलिए इन असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अनंत युग्म $(a, b)$ मौजूद हैं।
अतः,ऐसे युग्मों की संख्या $2$ से अधिक है।

(C) माना बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
बेलन का आयतन $V_{cyl} = \pi r^2 h$ है और अर्धगोले का आयतन $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
प्रणाली का कुल आयतन $V_1 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
जब बेलन की ऊँचाई को दोगुना किया जाता है $(h \to 2h)$,तो नया आयतन $V_2$ होता है:
$V_2 = \pi r^2 (2h) + \frac{2}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
यह दिया गया है कि आयतन $50\,\%$ बढ़ जाता है,इसलिए $V_2 = 1.5 V_1 = \frac{3}{2} V_1$.
$\frac{2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$4 \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3 = 3 \pi r^2 h + 2 \pi r^3$.
$\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है कि $h = \frac{2}{3} r$.
अब,यदि ऊँचाई $h$ को स्थिर रखते हुए त्रिज्याओं को दोगुना किया जाता है $(r \to 2r)$,तो नया आयतन $V'_2$ होता है:
$V'_2 = \pi (2r)^2 h + \frac{2}{3} \pi (2r)^3 = 4 \pi r^2 h + \frac{16}{3} \pi r^3$.
$h = \frac{2}{3} r$ को $V'_2$ के व्यंजक में रखने पर:
$V'_2 = 4 \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3 + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{24}{3} \pi r^3 = 8 \pi r^3$.
$r$ के पदों में मूल आयतन $V_1$:
$V_1 = \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$.
अनुपात $\frac{V'_2}{V_1} = \frac{8 \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 8 \times \frac{3}{4} = 6$.
आयतन में वृद्धि $V'_2 - V_1 = 6 V_1 - V_1 = 5 V_1$.
प्रतिशत वृद्धि = $\frac{5 V_1}{V_1} \times 100\,\% = 500\,\%$.

(B) माना शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या क्रमशः $h$ और $r$ है,जहाँ $h, r \in \mathbb{Z}^+$.
दिया गया है कि शंकु का आयतन उसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है:
$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \pi r l + \pi r^2$,जहाँ $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.
$\pi r$ से भाग देने पर $(r \neq 0)$:
$\frac{1}{3} r h = \sqrt{h^2 + r^2} + r$
$\frac{1}{3} r h - r = \sqrt{h^2 + r^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2(\frac{h-3}{3})^2 = h^2 + r^2$
$r^2(h^2 - 6h + 9) = 9h^2 + 9r^2$
$r^2 h^2 - 6h r^2 = 9h^2$
$h$ से भाग देने पर:
$h(r^2 - 9) = 6r^2$
$h = 6 + \frac{54}{r^2 - 9}$.
$h$ के पूर्णांक होने के लिए,$r^2 - 9$ को $54$ का भाजक होना चाहिए और $r > 3$ होना चाहिए।
$54$ के भाजक $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$ हैं।
यदि $r^2 - 9 = 27$,तो $r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$. अतः $h = 6 + 2 = 8$.
इस प्रकार,केवल एक ही शंकु संभव है $(r, h) = (6, 8)$.

(D) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $1$ है। अतः,$AB = AD = 1$.
मान लीजिए वर्ग $PQRS$ की भुजा की लंबाई $s$ है।
चूंकि $PQ$ और $RS$,$AC$ के समानांतर हैं,विकर्ण $AC$,$AB$ और $AD$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ है। तो $A=(0,0)$,$B=(1,0)$,$D=(0,1)$ है।
चाप $BD$,वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ का हिस्सा है।
रेखा $AC$,$y=x$ है। चूंकि $PQ$,$AC$ के समानांतर है,इसका समीकरण $y=x+c$ है।
वर्ग $PQRS$ की ज्यामिति और चाप के गुणों का उपयोग करते हुए,भुजा की लंबाई $s$ के लिए $s^2 = 2/5$ प्राप्त होता है जब $ABCD$ की भुजा $1$ हो।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{s^2}{1^2} = \frac{2}{5}$ है।

(A) शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ त्रिज्यखंड की त्रिज्या के बराबर होती है,जो $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
शंकु के आधार की परिधि त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई के बराबर होती है।
शंकु के आधार की परिधि $= 2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$.
त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई $= l \theta = 13 \theta$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें $13 \theta = 10 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{10 \pi}{13}$.

(B) नियमित षट्कोण का आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है। बाह्य कोण $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ है। गाय $R = \frac{5a}{2}$ त्रिज्या और $240^\circ$ कोण वाले त्रिज्यखंड में चर सकती है।
जैसे-जैसे रस्सी षट्कोण के शीर्षों पर लिपटती है,प्रत्येक मोड़ पर त्रिज्या $a$ कम हो जाती है।
$1$. त्रिज्यखंड $1$: त्रिज्या $R_1 = \frac{5a}{2}$,कोण $\theta_1 = 240^\circ = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} R_1^2 \theta_1 = \frac{25\pi a^2}{12}$।
$2$. त्रिज्यखंड $2$: त्रिज्या $R_2 = \frac{3a}{2}$,कोण $\theta_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_2 = \frac{3\pi a^2}{8}$।
$3$. त्रिज्यखंड $3$: त्रिज्या $R_3 = \frac{a}{2}$,कोण $\theta_3 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_3 = \frac{\pi a^2}{24}$।
कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 + A_3 = \frac{5}{2} \pi a^2$।

(B) मान लीजिए $P(x, y)$ $XY$-समतल में कोई बिंदु है।
प्रश्न के अनुसार,पहली कंपनी की लागत $2 \times PA$ और दूसरी की $3 \times PB$ है।
हमें वह क्षेत्र चाहिए जहाँ पहली कंपनी सस्ती है,इसलिए $2 PA < 3 PB$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 PA^2 < 9 PB^2$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 3)$ के मान रखने पर,$4[(x-2)^2 + y^2] < 9[x^2 + (y-3)^2]$।
विस्तार करने पर,$4(x^2 - 4x + 4 + y^2) < 9(x^2 + y^2 - 6y + 9)$।
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 < 9x^2 + 9y^2 - 54y + 81$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5x^2 + 5y^2 + 16x - 54y + 65 > 0$।
$5$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + 3.2x - 10.8y + 13 > 0$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 > 18.72$।
यह दर्शाता है कि क्षेत्र वृत्त $(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 = 18.72$ के बाहर है।

(C) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त $S$ की त्रिज्या है और $r$ केंद्र $C$ वाले छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
मान लीजिए $O$ अर्धवृत्त $S$ का केंद्र है।
$C$ से व्यास $AB$ की दूरी $r$ है।
$C$ से केंद्र $O$ की दूरी $R - r$ है (क्योंकि छोटा वृत्त अर्धवृत्त $S$ को स्पर्श करता है)।
मान लीजिए $T$,व्यास $AB$ पर $C$ का प्रक्षेप है। तब $CT = r$ है।
इस प्रकार,$C$ की $O$ से दूरी,$C$ की रेखा $AB$ से दूरी और एक स्थिरांक के योग के बराबर है।
यह ज्यामितीय गुण परवलय की परिभाषा के अनुरूप है,जहाँ एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियता) से दूरी के बराबर होती है।
अतः,$C$ का बिंदुपथ एक परवलय का चाप है।

(D) माना $C(4, 5)$ त्रिज्या $R = 2$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $P(h, k)$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है जो केंद्र $C$ पर $\theta$ कोण अंतरित करती है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CPB$ में,$CP = R \cos(\frac{\theta}{2}) = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ है।
दूरी $CP$ केंद्र $(4, 5)$ से बिंदु $P(h, k)$ तक की दूरी है,इसलिए $CP^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$ है।
अतः,$(h-4)^2 + (k-5)^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ है।
यह $r = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
दिया है $r_i = 2 \cos(\frac{\theta_i}{2})$,इसलिए $r_i^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_i}{2})$ है।
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$r_1^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{6}) = 4 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3$ है।
$\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$r_3^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 1$ है।
चूंकि $r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$ है,इसलिए $3 = r_2^2 + 1$,जिसका अर्थ है $r_2^2 = 2$ है।
$r_2^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{2}$ है।
इसका अर्थ है $\cos(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\theta_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) क्षेत्र $E$,$0 \leq x \leq 3$ के लिए $y \geq 3-x$ और $y \leq \sqrt{9-x^2}$ द्वारा परिबद्ध है।
बिंदु $(p, p+1)$ रेखा $y = x+1$ पर स्थित है।
$p$ की सीमा ज्ञात करने के लिए,हम $y = x+1$ का $E$ की सीमाओं के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1$. $y = 3-x$ के साथ प्रतिच्छेदन:
$x+1 = 3-x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
अतः,$p = 1$ (यह $a$ है)।
$2$. $y = \sqrt{9-x^2}$ के साथ प्रतिच्छेदन:
$x+1 = \sqrt{9-x^2} \implies (x+1)^2 = 9-x^2 \implies x^2+2x+1 = 9-x^2 \implies 2x^2+2x-8 = 0 \implies x^2+x-4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
चूंकि $x \geq 0$,हम $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ लेते हैं।
अतः,$p = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ (यह $b$ है)।
इस प्रकार,$p \in \left(1, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,जहाँ $a = 1$ और $b = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
हमें $b^2+b-a^2$ की गणना करनी है:
चूंकि $b^2+b-4 = 0$,इसलिए $b^2+b = 4$ है।
अतः,$b^2+b-a^2 = 4 - (1)^2 = 4-1 = 3$.

(D) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के $(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि $A$ और $B$ मूल बिंदु पर केंद्रित $\lambda$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित हैं,$x_1^2 + y_1^2 = \lambda^2$ और $x_2^2 + y_2^2 = \lambda^2$ है।
$AB = \lambda$ लंबाई दी गई है,दूरी सूत्र से $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = \lambda^2$,जो $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$ में सरल होता है।
वृत्त के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,$2\lambda^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$,इसलिए $x_1x_2 + y_1y_2 = \frac{\lambda^2}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $P(h, k)$ वह बिंदु है जो $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र से,$h = \frac{2x_2 + 3x_1}{5}$ और $k = \frac{2y_2 + 3y_1}{5}$ है।
तब $25(h^2 + k^2) = (2x_2 + 3x_1)^2 + (2y_2 + 3y_1)^2 = 4(x_2^2 + y_2^2) + 9(x_1^2 + y_1^2) + 12(x_1x_2 + y_1y_2)$ होता है।
ज्ञात मानों को रखने पर: $25(h^2 + k^2) = 4\lambda^2 + 9\lambda^2 + 12(\frac{\lambda^2}{2}) = 13\lambda^2 + 6\lambda^2 = 19\lambda^2$।
अतः,$h^2 + k^2 = \frac{19}{25}\lambda^2$,जो $\frac{\sqrt{19}}{5}\lambda$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(D) मान लीजिए $B = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{3(4 \cos \theta) + 2(1)}{3 + 2} = \frac{12 \cos \theta + 2}{5} \Rightarrow 12 \cos \theta = 5h - 2$
$k = \frac{3(4 \sin \theta) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{12 \sin \theta + 4}{5} \Rightarrow 12 \sin \theta = 5k - 4$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(12 \cos \theta)^2 + (12 \sin \theta)^2 = (5h - 2)^2 + (5k - 4)^2$
$144 = 25(h - \frac{2}{5})^2 + 25(k - \frac{4}{5})^2$
$(h - \frac{2}{5})^2 + (k - \frac{4}{5})^2 = \frac{144}{25} = (\frac{12}{5})^2$
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\alpha, \beta) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ है।
$AC$ की लंबाई $A(1, 2)$ और $C(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ के बीच की दूरी है:
$AC = \sqrt{(1 - \frac{2}{5})^2 + (2 - \frac{4}{5})^2} = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-16x-4y=0$ है। वृत्त का केंद्र $(8, 2)$ है।
मान लीजिए कि $(8, 2)$ से गुजरने वाली चर रेखा की ढाल $m$ है। रेखा का समीकरण $(y-2) = m(x-8)$ है।
चूँकि रेखा धनात्मक अक्षों को काटती है,इसलिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए,अतः $m = -k$ लें जहाँ $k > 0$ है।
$x$-अंतःखंड $OA$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखें: $-2 = m(x-8) \Rightarrow x-8 = -2/m \Rightarrow OA = 8 - 2/m$.
चूँकि $m < 0$ है,$m = -k$ $(k > 0)$ रखने पर,$OA = 8 + 2/k$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड $OB$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखें: $(y-2) = m(-8) \Rightarrow y = 2 - 8m = 2 + 8k$.
हमें $f(k) = OA + OB = 8 + 2/k + 2 + 8k = 10 + 2/k + 8k$ को न्यूनतम करना है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए: $\frac{2/k + 8k}{2} \geq \sqrt{(2/k)(8k)} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,$2/k + 8k \geq 8$.
$OA+OB$ का न्यूनतम मान $10 + 8 = 18$ है।

(A) मान लीजिए $M(h, k)$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से खींची गई जीवा का मध्य बिंदु है।
वृत्त $x^2+(y-1)^2=1$ का केंद्र $C(0, 1)$ है।
चूंकि $CM \perp OM$,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है:
$\left(\frac{k-1}{h-0}\right) \cdot \left(\frac{k-0}{h-0}\right) = -1$
$\frac{k(k-1)}{h^2} = -1$
$k^2-k = -h^2$
$h^2+k^2-k = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2-y=0$ है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0, 1/2)$ और त्रिज्या $r = 1/2$ है।
रेखा $x+y-1=0$ है।
केंद्र $(0, 1/2)$ से रेखा $x+y-1=0$ की लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|0 + 1/2 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
जीवा $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{r^2-p^2}$ है:
$PQ = 2\sqrt{(1/2)^2 - (1/(2\sqrt{2}))^2} = 2\sqrt{1/4 - 1/8} = 2\sqrt{1/8} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(4,4)$,और $D(0,4)$ हैं।
विकर्ण $AC$ रेखा $y=x$ पर स्थित है।
चूंकि $AEFG$ भुजा $2$ वाला एक वर्ग है,इसलिए $F$ के निर्देशांक $(2,2)$ हैं।
वृत्त रेखाओं $BC$ $(x=4)$ और $CD$ $(y=4)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $O(4-r, 4-r)$ है।
वृत्त $F(2,2)$ से गुजरता है,इसलिए $OF=r$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(4-r-2)^2 + (4-r-2)^2 = r^2$.
$(2-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
$2(4 - 4r + r^2) = r^2$.
$r^2 - 8r + 8 = 0$.

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(x, y)$ की $(2, 1)$ और $(1, 3)$ से दूरियों का अनुपात $5:4$ है।
अतः,$\frac{\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2}} = \frac{5}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2 + (y-1)^2}{(x-1)^2 + (y-3)^2} = \frac{25}{16}$.
$16(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1) = 25(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9)$.
$16x^2 - 64x + 80 + 16y^2 - 32y + 16 = 25x^2 - 50x + 25 + 25y^2 - 150y + 225$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9x^2 + 9y^2 + 14x - 118y + 170 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + 170 = 0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=9, c=0, d=14, e=-118$ प्राप्त होता है।
अब,$a^2 + 2b + 3c + 4d + e = (9)^2 + 2(9) + 3(0) + 4(14) - 118$.
$= 81 + 18 + 0 + 56 - 118 = 155 - 118 = 37$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=169$ है,जो $x^2+y^2=r^2$ के रूप में है जहाँ $r=13$ है।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ का निर्देशक वृत्त (director circle) उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जिनसे वृत्त पर परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,जिसका समीकरण $x^2+y^2=2r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त के लिए,$r^2=169$,इसलिए निर्देशक वृत्त $x^2+y^2=2(169) = 338$ है।
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
अब,जाँचें कि क्या बिंदु $(17,7)$ निर्देशक वृत्त $x^2+y^2=338$ पर स्थित है:
$17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$.
चूँकि बिंदु $(17,7)$ निर्देशक वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इस बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है और $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया है,$RS$ वृत्त $x^2+y^2=1$ का व्यास है। माना $P = (\cos \theta, \sin \theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ है। $S(1,0)$ पर स्पर्श रेखा $x = 1$ है।
इन्हें हल करने पर,$Q = \left(1, \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \left(1, \tan \frac{\theta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
$Q$ से होकर जाने वाली और $RS$ ($x$-अक्ष) के समांतर रेखा $y = \tan \frac{\theta}{2}$ है।
$P$ पर अभिलंब $y = x \tan \theta$ है।
माना $E = (h, k)$ है। तब $k = \tan \frac{\theta}{2}$ और $k = h \tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$k = h \frac{2k}{1-k^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1-k^2 = 2h$,या बिंदुपथ $2x = 1-y^2$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर:
$x = 1/3$ के लिए,$1-y^2 = 2/3$ $\Rightarrow y^2 = 1/3$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{3}$ है।
अतः,बिंदु $(1/3, 1/\sqrt{3})$ और $(1/3, -1/\sqrt{3})$ बिंदुपथ पर स्थित हैं।
$x = 1/4$ के लिए,$1-y^2 = 2/4 = 1/2$ $\Rightarrow y^2 = 1/2$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{2} \neq \pm 1/2$ है।
इसलिए,बिंदुपथ $A$ और $C$ से होकर गुजरता है।

(D) माना $M \equiv (h, k)$। चूंकि $MP$ और $MQ$ वृत्तों $S_1$ और $S_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं और $M$ स्पर्श बिंदु है,इसलिए $MP = MQ$। साथ ही,$\angle PMQ = 90^{\circ}$।
अतः,$MP$ की प्रवणता $\times MQ$ की प्रवणता $= -1$।
$\left(\frac{k-7}{h+2}\right) \times \left(\frac{k+5}{h-2}\right) = -1$
$(k-7)(k+5) = -(h+2)(h-2)$
$k^2 - 2k - 35 = -(h^2 - 4) = -h^2 + 4$
$h^2 + k^2 - 2k - 39 = 0$। अतः,$E_1: x^2 + y^2 - 2y - 39 = 0$।
$E_2$ के लिए,माना $E_1$ की जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,अर्थात $xh + yk - (y + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39$।
चूंकि यह $R(1, 1)$ से गुजरती है,$h + k - (1 + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39 \Rightarrow h^2 + k^2 - h - 2k + 1 = 0$।
विकल्पों की जांच करने पर: $(D)$ $(0, 3/2)$ के लिए $0 + 9/4 - 3 - 39 \neq 0$,इसलिए यह $E_1$ में नहीं है। अतः $(D)$ सत्य है।

(D) दिए गए समीकरण: $x^2+y^2-8x=0$ $(1)$ और $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ $(2)$।
$(2)$ से,$4x^2-9y^2=36 \Rightarrow 9y^2=4x^2-36$।
$(1)$ से $y^2=8x-x^2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4x^2-9(8x-x^2)=36$।
$4x^2-72x+9x^2=36 \Rightarrow 13x^2-72x-36=0$।
$(13x+6)(x-6)=0$,इसलिए $x=6$ या $x=-\frac{6}{13}$।
$x=6$ के लिए,$y^2=8(6)-6^2=48-36=12$,इसलिए $y=\pm\sqrt{12}$।
अतः,$A=(6, \sqrt{12})$ और $B=(6, -\sqrt{12})$।
माना $P=(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर एक बिंदु है,इसलिए $2\alpha-3\beta+4=0$।
$\triangle PAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है: $h=\frac{6+6+\alpha}{3} = \frac{12+\alpha}{3}$ और $k=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{12}+\beta}{3} = \frac{\beta}{3}$।
इसलिए $\alpha=3h-12$ और $\beta=3k$।
$2\alpha-3\beta+4=0$ में मान रखने पर: $2(3h-12)-3(3k)+4=0$।
$6h-24-9k+4=0 \Rightarrow 6h-9k=20$।
केंद्रक का बिंदुपथ $6x-9y=20$ है।

(C) माना व्यास का दूसरा सिरा $(t, 3-t)$ है क्योंकि यह रेखा $x+y=3$ पर स्थित है।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
केंद्र,$(1, 1)$ और $(t, 3-t)$ सिरों वाले व्यास का मध्यबिंदु है।
अतः,$h = \frac{1+t}{2}$ और $k = \frac{1+3-t}{2} = \frac{4-t}{2}$ है।
इन समीकरणों से,$t = 2h-1$ और $t = 4-2k$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2h-1 = 4-2k$
$2h+2k = 5$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $2x+2y=5$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=16$ है,जिसकी त्रिज्या $r=4$ और केंद्र $(0,0)$ है।
माना $P(h,k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए केंद्र और $P$ को जोड़ने वाली रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $30^{\circ}$ होगा।
केंद्र,स्पर्श बिंदु और $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{OP}$ होता है।
$\frac{1}{2} = \frac{4}{\sqrt{h^2+k^2}}$.
$\sqrt{h^2+k^2} = 8$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2=64$ प्राप्त होता है।
$(h,k)$ को $(x,y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2=64$ है।

(B) किसी वृत्त की परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त (director circle) कहलाता है।
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ समीकरण वाले वृत्त के लिए,सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2r^{2}$ होता है।
यहाँ,दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ है,इसलिए $r^{2}=16$ है।
इस मान को सहायक वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $x^{2}+y^{2}=2(16) = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=32$ है।

(B) माना जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $C(x_{1}, y_{1})$ है। मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,$OA = OB = r = 2$ (वृत्त की त्रिज्या)।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $OC \perp AB$।
$\Delta OCB$ में,$\angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB = 45^{\circ}$।
$\Delta OCB$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\cos(45^{\circ}) = \frac{OC}{OB}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{4}$
$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 2$
$(x_{1}, y_{1})$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = 2$ है।

(A) माना $\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y)$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $A(\cos \alpha, \sin \alpha)$,$B(\sin \alpha, -\cos \alpha)$,और $C(1, 2)$ हैं।
केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3} \implies 3x - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$
$y = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3} \implies 3y - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(3x - 1)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$(3y - 2)^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$
दोनों वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y - 2)^2 = 2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 - 12y + 4 = 2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x - 12y + 3 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$.

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA:PB = 2:1$,इसलिए $PA^2 = 4PB^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2$ और $PB^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4[(x-1)^2 + (y-2)^2]$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4]$
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 8x - 16y + 20$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 + 3y^2 - 4x - 14y + 15 = 0$.

(C) मान लीजिए $P = (x, y)$ है। दी गई शर्त $PA + PB = 4$ है।
बिंदुओं $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ है।
चूंकि दूरियों का योग $PA + PB$ निश्चित बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी के बराबर है (अर्थात $PA + PB = AB = 4$),इसलिए बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
बिंदुओं $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ दोनों का $x$-निर्देशांक $2$ है,इसलिए उन्हें जोड़ने वाला रेखाखंड एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है।
अतः,$P$ का बिंदु पथ $y = -2$ और $y = 2$ के बीच ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ का एक रेखाखंड है।

(C) माना $P = (x, y)$ है। दी गई शर्त $PA = 2PB$ है।
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x+4)^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-4)^2 + y^2 = 4((x+4)^2 + y^2)$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 + 8x + 16 + y^2)$.
$3x^2 + 3y^2 + 40x + 48 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 + \frac{40}{3}x + 16 = 0$.
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $O' = (-\frac{20}{3}, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{20}{3})^2 - 16} = \frac{16}{3}$ है।
दी गई रेखा $3y - 3x - 20 = 0$ है,जिसे $y - x - \frac{20}{3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जाँच करें कि क्या केंद्र $(-\frac{20}{3}, 0)$ रेखा पर स्थित है: $0 - (-\frac{20}{3}) - \frac{20}{3} = 0$. हाँ,यह है।
चूंकि रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए जीवा $CD$ एक व्यास है।
दूरी $CD = 2r = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

(C) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
दिया गया है कि $AP + BP = 2$ है।
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2$।
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y-1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 - 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$-2x + 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$-2$ से भाग देने पर:
$x - y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 4 - 2xy + 4x - 4y = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$।
$3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0$।

(A) माना चर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु $P(x, y)$ की $A(2, -2)$ से दूरी $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 2)^2}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$PA = 2|x|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = 4x^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4x^2$।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 = 4x^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x^2 - y^2 + 4x - 4y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\triangle APQ$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
दिए गए शीर्ष $A(a, 0)$,$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$,और $Q(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ हैं।
केंद्रक $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{a + a \cos \theta + b \sin \theta}{3} \implies 3h - a = a \cos \theta + b \sin \theta$
$k = \frac{0 + a \sin \theta - b \cos \theta}{3} \implies 3k = a \sin \theta - b \cos \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - a)^2 + (3k)^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2$
$(3h - a)^2 + 9k^2 = a^2 + b^2$
$(h - \frac{a}{3})^2 + k^2 = \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}\right)^2$
अतः,बिंदु पथ $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ केंद्र और $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) $1$. $AB$ का मध्य बिंदु $M$ ज्ञात करें: $M = (\frac{4+2}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$.
$2$. $P(x, y)$ की $M(3, 4)$ से दूरी अधिकतम $5$ इकाई है: $(x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 5^2$,जो $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ में सरल होता है।
$3$. रेखा $AB$ का समीकरण $x + y - 7 = 0$ है।
$4$. मूल बिंदु $(0, 0)$ के लिए $0 + 0 - 7 = -7 < 0$ है। अतः $P$ को $x + y - 7 < 0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$5$. इस प्रकार,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ और $x + y - 7 < 0$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $P(x, y)$ है।
चूँकि त्रिभुज $P$ पर समकोण है,इसलिए $\angle P = 90^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $(1, 2)$ और $(4, 5)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
व्यास के सिरों $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(1, 2)$ और $(4, 5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)(x-4) + (y-2)(y-5) = 0$
$x^2 - 5x + 4 + y^2 - 7y + 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 5x - 7y + 14 = 0$.