Locus Related Problem Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ અને $C(1, 0)$ છે.
ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર મુજબ,$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3}$ અને $y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta}{3}$.
તેથી,$a \cos \theta + b \sin \theta = 3x - 1$ અને $a \sin \theta - b \cos \theta = 3y$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = (3x - 1)^2 + (3y)^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = (3x - 1)^2 + 9y^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(-1, 1)$ અને $C(-1, -1)$ છે.
શરત $PA^2 = PB^2 + PC^2$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2] + [(x + 1)^2 + (y + 1)^2]$
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2x^2 + 2y^2 + 4x + 4$
આમ,$P$ ના બિંદુગણનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 2 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $P'(h, k)$ એ રેખા $x+y-1=0$ માં તેનું પ્રતિબિંબ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું રેખા $ax+by+c=0$ માં પ્રતિબિંબ શોધવાના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{h-x_0}{a} = \frac{k-y_0}{b} = -2 \frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$
અહીં,$a=1, b=1, c=-1$ છે. તેથી,
$\frac{h-x_0}{1} = \frac{k-y_0}{1} = -2 \frac{x_0+y_0-1}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-1) = 1-x_0-y_0$
આના પરથી,$h = 1-y_0$ અને $k = 1-x_0$ મળે છે.
તેથી,$x_0 = 1-k$ અને $y_0 = 1-h$.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ એ $x^2+y^2=1$ પર છે,તેથી:
$(1-k)^2 + (1-h)^2 = 1$
$1 - 2k + k^2 + 1 - 2h + h^2 = 1$
$h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુઓનો પથ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ નું $(1, 4)$ થી અંતર $5$ છે,તેથી: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-4)^2} = 5 \implies (x-1)^2 + (y-4)^2 = 25 \implies x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$.
વળી,$P$ નું રેખા $2x + 3y - 1 = 0$ થી અંતર $5$ છે,તેથી: $\frac{|2x + 3y - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 5 \implies |2x + 3y - 1| = 5\sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2x + 3y - 1)^2 = 325 \implies 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x - 6y - 324 = 0$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P$ નું $(1, 1)$ થી અંતર અને રેખા $x-y+2=0$ થી અંતરનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.
$\frac{\sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{\frac{|h-k+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2} \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{|h-k+2|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{2((h-1)^2+(k-1)^2)}{(h-k+2)^2} = \frac{1}{2}$
$4(h^2-2h+1+k^2-2k+1) = (h-k+2)^2$
$4(h^2+k^2-2h-2k+2) = h^2+k^2+4-2hk+4h-4k$
$4h^2+4k^2-8h-8k+8 = h^2+k^2-2hk+4h-4k+4$
$3h^2+3k^2+2hk-12h-4k+4 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2+3y^2+2xy-12x-4y+4=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $Q$ એ $(h, k)$ છે અને બિંદુ $B$ એ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $AQ = 2AB$,જેનો અર્થ છે કે $B$ એ રેખાખંડ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{h+0}{2} = \frac{h}{2}$ અને $y = \frac{k+3}{2}$ મળે.
બિંદુ $B(x, y)$ એ વર્તુળ $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ પર આવેલું છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{h}{2}+2)^2 + (\frac{k+3}{2}-3)^2 = 4$
$(\frac{h+4}{2})^2 + (\frac{k-3}{2})^2 = 4$
$\frac{(h+4)^2}{4} + \frac{(k-3)^2}{4} = 4$
$(h+4)^2 + (k-3)^2 = 16$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$Q$ નો બિંદુપથ $(x+4)^2+(y-3)^2=16$ છે.

(A) ધારો કે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ એ સળિયાના અંતિમ બિંદુઓ છે અને $P(h, k)$ એ મધ્યબિંદુ છે.
$P$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2}$ મળે.
તેથી,$a = 2h$ અને $b = 2k$.
સળિયાની લંબાઈ $6$ એકમ આપેલી છે,તેથી $\sqrt{a^2 + b^2} = 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 + b^2 = 36$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,$(2h)^2 + (2k)^2 = 36$.
$4h^2 + 4k^2 = 36$.
$4$ વડે ભાગતા,$h^2 + k^2 = 9$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 9$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ કોઈ બિંદુ છે.
આપેલ છે કે તેના યામોના વર્ગોનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો છે:
$x^2 + y^2 = xy$
બંને બાજુને $xy$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $x \neq 0$ અને $y \neq 0$ કારણ કે ઉગમબિંદુ બાકાત છે):
$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{xy}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$ છે.

(C) આપેલ શરત $|PA - PB| = 2$ છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$ અને $PB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$ છે.
તેથી,$|\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} - \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$2x - 10y - 4 = 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
$2$ વડે ભાગતા:
$x - 5y - 2 = 2\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x - 5y - 2)^2 = 4[(x - 3)^2 + (y + 2)^2]$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એવું છે કે બે બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ માટે $PA+PB=3$ થાય છે.
$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+135=0$ મળે છે. વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $C$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $(x, y)$ એવું કોઈ બિંદુ છે જેનું $(-3, 0)$ થી અંતર $2$ એકમ કરતા વધારે છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,શરત $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} > 2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x + 3)^2 + y^2 > 2^2$ મળે છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + 6x + 9 + y^2 > 4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 + y^2 + 6x + 9 - 4 > 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 6x + 5 > 0$ છે.

(C) ધારો કે ચલ બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ છે અને $|PA-PB|=3$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા:
$2h - 2k - 9 = 6\sqrt{(h-2)^2+(k-1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2h-2k-9)^2 = 36((h-2)^2+(k-1)^2)$.
સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$32h^2+32k^2+8hk-108h-108k+99=0$.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+99=0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
$P$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$h = \frac{x_1 + 1}{2}$ અને $k = \frac{y_1 + 0}{2}$
તેથી $x_1 = 2h - 1$ અને $y_1 = 2k$ મળે.
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર હોવાથી,$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2h - 1)^2 + (2k)^2 = 1$
$4h^2 - 4h + 1 + 4k^2 = 1$
$4h^2 + 4k^2 - 4h = 0$
$4$ વડે ભાગતા,$h^2 + k^2 - h = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ છે.

(B) ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે.
વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ ને જીવાના સમીકરણ સાથે સમઘાત બનાવતા:
$3x^2 - y^2 - 2x(lx + my) + 4y(lx + my) = 0$
$3x^2 - y^2 - 2lx^2 - 2mxy + 4lxy + 4my^2 = 0$
$(3 - 2l)x^2 + (4l - 2m)xy + (4m - 1)y^2 = 0$
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાઓની જોડ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ.
તેથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(3 - 2l) + (4m - 1) = 0$
$2 - 2l + 4m = 0$
$l - 2m = 1$
$lx + my = 1$ ને $l(1) + m(-2) = 1$ સાથે સરખાવતા,રેખા હંમેશા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. આપેલ $Q(0,2)$ અને $R(-1,0)$ માટે,શરત $PQ = \frac{1}{\sqrt{2}} PR$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2(PQ)^2 = (PR)^2$.
યામ મૂકતા,$2(x^2 + (y-2)^2) = (x+1)^2 + y^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે.
કેન્દ્ર $(-\frac{-2}{2}, -\frac{-8}{2}) = (1, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 4^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ છે.
આમ,બિંદુપથ એ $(1, 4)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(\alpha, \beta)$ છે અને $A(1,1)$ માંથી પસાર થતા વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $Q(h, k)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $|\beta|$ થાય. આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = \beta^2$ છે.
$A(1,1)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$(1-\alpha)^2 + (1-\beta)^2 = \beta^2$,જેનું સાદું રૂપ $(1-\alpha)^2 + 1 - 2\beta = 0$ થાય,તેથી $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$.
$O(\alpha, \beta)$ એ વ્યાસ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\alpha = \frac{h+1}{2}$ અને $\beta = \frac{k+1}{2}$ મળે.
આ કિંમતોને $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$ માં મૂકતા:
$k+1 = (1 - \frac{h+1}{2})^2 + 1$
$k+1 = (\frac{2-h-1}{2})^2 + 1$
$k+1 = \frac{(1-h)^2}{4} + 1$
$k = \frac{(h-1)^2}{4}$
$4k = (h-1)^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x-1)^2 = 4y$ મળે છે.

(B) આપેલ બિંદુ $A(a, 0)$ અને રેખા $x+y=0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P$ થી $A$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી રેખા $x+y=0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું છે:
$\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(h-a)^2 + k^2 = \frac{(h+k)^2}{2}$.
$2(h^2 - 2ha + a^2 + k^2) = h^2 + k^2 + 2hk$.
$2h^2 - 4ha + 2a^2 + 2k^2 = h^2 + k^2 + 2hk$.
$h^2 + k^2 - 2hk - 4ha + 2a^2 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 - 2xy - 4ax + 2a^2 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2+b^2+2ga+2fb+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $c = -a^2-b^2-2ga-2fb$.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ:
$2g(-1) + 2f(2) = c - 4$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા:
$-2g + 4f = -a^2-b^2-2ga-2fb - 4$.
પદોને ગોઠવતા:
$g(2a-2) + f(2b+4) = -a^2-b^2-4$.
કેન્દ્ર $(x, y) = (-g, -f)$ હોવાથી,$g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-x(2a-2) - y(2b+4) = -a^2-b^2-4$.
$x(2a-2) + y(2b+4) = a^2+b^2+4$.
$2$ વડે ભાગતા:
$(a-1)x + (b+2)y = \frac{a^2+b^2+4}{2}$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-20x+4=0$ નું કેન્દ્ર $(10, 0)$ છે.
બે વર્તુળો લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = -10, f_1 = 0, c_1 = 4$ અને $g_2 = g, f_2 = f, c_2 = c$.
તેથી,$2(-10)(g) + 2(0)(f) = 4+c$,જે $c = -20g-4$ આપે છે.
વર્તુળ રેખા $x=2$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ જેટલું થાય.
$| -g - 2 | = \sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow (g+2)^2 = g^2+f^2-c$.
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c \Rightarrow f^2-c-4g-4 = 0$.
$c = -20g-4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^2 - (-20g-4) - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 20g + 4 - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 16g = 0$.
$(-g, -f)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$.

(A) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે મધ્યબિંદુ $M(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x=0$ માટે,$g=-1, f=0, c=0$ છે.
જીવા બિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ $T=S_1$ માં $(0,0)$ મૂકતા:
$0(x_1) + 0(y_1) - 1(0+x_1) + 0(0+y_1) + 0 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$-x_1 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$x_1^2 + y_1^2 - x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2-x=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $R(\alpha, \beta)$ એ માંગેલ બિંદુ છે,$Q(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે અને $P(h, k)$ એ નિશ્ચિત બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R$ ના યામ:
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{p x_0 + q h}{p+q}, \frac{p y_0 + q k}{p+q}\right)$
આના પરથી,આપણને મળે:
$x_0 = \frac{(p+q)\alpha - qh}{p}$ અને $y_0 = \frac{(p+q)\beta - qk}{p}$
કારણ કે $Q(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર છે,આપણે $x_0$ અને $y_0$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\left(\frac{(p+q)\alpha - qh}{p}\right)^2 + \left(\frac{(p+q)\beta - qk}{p}\right)^2 = a^2$
$\frac{(p+q)^2}{p^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\left(\alpha - \frac{qh}{p+q}\right)^2 + \left(\beta - \frac{qk}{p+q}\right)^2 = \frac{p^2 a^2}{(p+q)^2}$
આમ,$R(x, y)$ નો બિંદુપથ એ વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $\left(\frac{qh}{p+q}, \frac{qk}{p+q}\right)$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
તેથી,$\sqrt{(h + 1)^2 + (k - 1)^2} = |k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h + 1)^2 + (k - 1)^2 = k^2$.
$(h + 1)^2 + k^2 - 2k + 1 = k^2$.
$(h + 1)^2 = 2k - 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$(x + 1)^2 = 2(y - 1/2)$.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે જેની નાભિ $(-1, 1)$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે. આપેલ છે કે $PA + PB = 4$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x-0)^2 + (y+2)^2} = 4$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-2)^2 + y^2 = 16 + x^2 + (y+2)^2 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 16 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$-4x - 4y - 16 = -8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x + y + 4 = 2\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x + y + 4)^2 = 4(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 + 16 + 2xy + 8x + 8y = 4x^2 + 4y^2 + 16y + 16$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 - 8x + 8y = 0$.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (0, 2)$,અને $B = (-1, 0)$.
આપેલ છે કે $PA = \frac{1}{\sqrt{2}} PB$,જેનો અર્થ છે કે $2 PA^2 = PB^2$.
યામ મૂકતા:
$2[(x - 0)^2 + (y - 2)^2] = (x + 1)^2 + (y - 0)^2$
$2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + y^2 + 2x + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું વર્તુળ છે.
સરખાવતા,$2g = -2 \implies g = -1$ અને $2f = -8 \implies f = -4$.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ એકમ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R$ માટે $R^2 = h^2 + k^2$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2 + k^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ થાય છે.
વર્તુળ રેખા $x=1$ પર $2$ એકમ લંબાઈની જીવા કાપે છે. જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x=1$ નું લંબ અંતર છે.
તેથી,$\sqrt{R^2 - d^2} = 1$,અથવા $R^2 - d^2 = 1$.
અહીં,$R^2 = h^2 + k^2$ અને $d = |h-1|$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(h^2 + k^2) - (h-1)^2 = 1$ મળે છે.
$h^2 + k^2 - (h^2 - 2h + 1) = 1$
$h^2 + k^2 - h^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 = 2 - 2h$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2(1-x)$ મળે છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ છે.
સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+1-3} = \sqrt{2}$ મળે છે.
જો સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ એ નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = 2r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-2)^2+(y+1)^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 4$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2+y^2-4x+2y+1 = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$,$A(1, 0)$,અને $B(x_1, y_1)$ છે. આપણી પાસે $AP=3AB$ છે.
$P$ એ $AB$ ના લંબાવેલા ભાગ પર હોવાથી,$B$ એ $A$ અને $P$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$AP = AB + BP = 3AB$,જેનો અર્થ છે કે $BP = 2AB$.
તેથી,$B$ એ $AP$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$B(x_1, y_1)$ ના યામ:
$x_1 = \frac{h+2}{3}$
$y_1 = \frac{k}{3}$
$B(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ પર હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$(\frac{h+2}{3})^2 + (\frac{k}{3})^2 - 2(\frac{h+2}{3}) + 2(\frac{k}{3}) + 1 = 0$
$9$ વડે ગુણતા:
$(h+2)^2 + k^2 - 6(h+2) + 6k + 9 = 0$
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6h - 12 + 6k + 9 = 0$
$h^2 + k^2 - 2h + 6k + 1 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-2x+6y+1=0$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
તે $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$,જે દર્શાવે છે કે $h^2 + k^2 - 6h - 8k + 25 = r^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 6h + 8k - 25 = 0$ છે.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં $g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 6h + 8k - 25$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
આમ,$6h + 8k - 25 - a^2 = 0$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ નો બિંદુપથ $6x + 8y - (25 + a^2) = 0$ છે.
આ રેખાનું $(0, 0)$ થી અંતર $\frac{|-(25 + a^2)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 25$ છે.
$\frac{25 + a^2}{10} = 25$ $\Rightarrow 25 + a^2 = 250$ $\Rightarrow a^2 = 225$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે.
$AM$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ $a$ છે,તેથી બિંદુ $M(x, y)$ ના યામ $(a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ અથવા $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ થશે.
કિસ્સો $1$: $x = a \cos \theta + a$ અને $y = a \sin \theta$.
તેથી $x - a = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = 2ax$.
કિસ્સો $2$: $x = a \cos \theta - a$ અને $y = a \sin \theta$.
તેથી $x + a = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(x + a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = -2ax$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \pm 2ax$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $x^2 + y^2 = 2ax$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = h^2 + k^2$ થાય.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ થી રેખા $x=3$ નું લંબ અંતર $d = |h-3|$ છે.
રેખા $x=3$ દ્વારા કપાતા જીવાની લંબાઈ $4$ એકમ છે. તેથી,જીવાની અડધી લંબાઈ $2$ એકમ થાય.
ત્રિજ્યા,લંબ અંતર અને જીવાની અડધી લંબાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$r^2 = d^2 + 2^2$
$h^2 + k^2 = (h-3)^2 + 4$
$h^2 + k^2 = h^2 - 6h + 9 + 4$
$k^2 = -6h + 13$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = -6x + 13$ અથવા $y^2 + 6x = 13$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$S_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $x^2+y^2+2gx+2fy+c$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગોનો ગુણોત્તર:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2g=14$ અને $2f=-16$.
તેથી,$g=7$ અને $f=-8$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા મળે છે,જે $hx+ky=h^2+k^2$ છે.
આને $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને સ્પર્શે છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2=16$,$b^2=9$,$m = -\frac{h}{k}$,અને $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{h^2+k^2}{k}\right)^2 = 16\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - 9$.
$\frac{(h^2+k^2)^2}{k^2} = \frac{16h^2}{k^2} - 9$.
$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $S = (x, 0)$ છે અને આપેલ બિંદુ $P = (3, 4)$ છે.
$S$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,તેથી $d^2 = (x - 3)^2 + (0 - 4)^2$.
$d^2 = (x - 3)^2 + 16$.
$(x - 3)^2 = d^2 - 16$.
જો $d < 4$ હોય,તો $d^2 < 16$,જેનો અર્થ છે કે $d^2 - 16 < 0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $d < 4$ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.
તેથી,જો $d < 4$ હોય તો $S$ ખાલી ગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $A(5, -4)$ અને $B(7, 6)$ સમતલમાં બિંદુઓ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી $AP:PB = 2:3$ થાય.
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3AP = 2PB$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $9AP^2 = 4PB^2$ મળે છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AP^2 = (x-5)^2 + (y+4)^2$ અને $PB^2 = (x-7)^2 + (y-6)^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$9[(x-5)^2 + (y+4)^2] = 4[(x-7)^2 + (y-6)^2]$.
$9[x^2 - 10x + 25 + y^2 + 8y + 16] = 4[x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36]$.
$9[x^2 + y^2 - 10x + 8y + 41] = 4[x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85]$.
$9x^2 + 9y^2 - 90x + 72y + 369 = 4x^2 + 4y^2 - 56x - 48y + 340$.
$5x^2 + 5y^2 - 34x + 120y + 29 = 0$.
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $A$ ના યામ $(0, 0)$ અને $B$ ના યામ $(2a, 0)$ છે.
ખૂણો $\angle ACB = \alpha$ હોવાથી,સદિશો $\vec{CA}$ અને $\vec{CB}$ ના ગુણોત્તરનો કોણાંક $\alpha$ છે.
$\arg \left( \frac{0 - z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{-z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z}{z - 2a} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \alpha$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુપથ એ $A(0,0)$ અને $B(2a,0)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2) - 2ax - 2ay \cot \alpha = 0$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2 \sin \alpha$ મળે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું બિંદુ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ હોવાથી,$\triangle PAC$ માં $\sin \alpha = \frac{r}{PC}$ થાય.
તેથી,$PC = \frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} = 2$.
$PC^{2} = 4 \Rightarrow (h+2)^{2} + (k-3)^{2} = 4$.
સાદુરૂપ આપતા,$h^{2}+k^{2}+4h-6k+9 = 0$.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(x_0, y_0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $P(x_0 + r \cos \theta, y_0 + r \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $Q$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(a, b)$ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{x_0 + r \cos \theta + a}{2}$ અને $k = \frac{y_0 + r \sin \theta + b}{2}$.
આ સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$2h - (x_0 + a) = r \cos \theta$
$2k - (y_0 + b) = r \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(2h - (x_0 + a))^2 + (2k - (y_0 + b))^2 = r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$4(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + 4(k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = r^2$
$(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + (k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = (\frac{r}{2})^2$
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{x_0 + a}{2}, \frac{y_0 + b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\frac{r}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $M$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A(0, 3)$ અને $AM = 2AB$,જેનો અર્થ છે કે $B$ એ રેખાખંડ $AM$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$B$ ના યામ $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$ થશે.
$B$ એ વર્તુળ $x^{2}+4x+(y-3)^{2}=0$ પર આવેલું હોવાથી,$B$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 4\left(\frac{x}{2}\right) + \left(\frac{y+3}{2} - 3\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \left(\frac{y-3}{2}\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \frac{y^{2}-6y+9}{4} = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$x^{2} + 8x + y^{2} - 6y + 9 = 0$
આમ,$M$ નો બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2x-2y-2=0$ છે.
જેને $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $O(-1, 1)$ થી મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ નું અંતર $OP = \sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}$ છે.
જીવા $AB$ કેન્દ્ર આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\triangle OAP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OAP = 45^{\circ}$.
$\triangle OAP$ માં,$\sin 45^{\circ} = \frac{OP}{OA}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}{4}$.
$(h+1)^{2}+(k-1)^{2} = 2$.
વિસ્તરણ કરતા,$h^{2}+2h+1+k^{2}-2k+1 = 2$.
$h^{2}+k^{2}+2h-2k = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}+2x-2y=0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $hx+ky = h^{2}+k^{2}$ થાય.
વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$x^{2}+y^{2} = 1 \cdot \left(\frac{hx+ky}{h^{2}+k^{2}}\right)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = (hx+ky)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = h^{2}x^{2} + k^{2}y^{2} + 2hkxy$
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(h^{2}+k^{2})^{2} - h^{2} + (h^{2}+k^{2})^{2} - k^{2} = 0$
$2(h^{2}+k^{2})^{2} - (h^{2}+k^{2}) = 0$
$h^{2}+k^{2} \neq 0$ હોવાથી,$2(h^{2}+k^{2}) = 1$,એટલે કે $h^{2}+k^{2} = \frac{1}{2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$ અને $B(-2, 1)$ થી તેના અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $6$ છે.
$(PA)^2 + (PB)^2 = 6$
$(h - 1)^2 + (k - 2)^2 + (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 6$
$(h^2 - 2h + 1) + (k^2 - 4k + 4) + (h^2 + 4h + 4) + (k^2 - 2k + 1) = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 10 = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 4 = 0$
$h^2 + k^2 + h - 3k + 2 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + x - 3y + 2 = 0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 2} = \sqrt{\frac{10}{4} - 2} = \sqrt{\frac{5}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $(a, 0)$ અને $(-a, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ થી બંને બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હશે.
તેથી,$\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{(h-(-a))^2 + (k-0)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h-a)^2 + k^2 = (h+a)^2 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$.
આથી,$-2ah = 2ah$,જેનો અર્થ છે કે $4ah = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$h = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x = 0$ મળે છે,જે $y$-અક્ષ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરનું બિંદુ $P(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = 3\cos\theta$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ ને $Q$ માં મળે છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 3\cos\theta$ મૂકતા:
$(3\cos\theta)^{2} + y^{2} = 9$ $\Rightarrow 9\cos^{2}\theta + y^{2} = 9$ $\Rightarrow y^{2} = 9\sin^{2}\theta$.
$P$ અને $Q$ એ $X$-અક્ષની એક જ બાજુએ હોવાથી,$Q = (3\cos\theta, 3\sin\theta)$ મળે.
$PQ$ પરનું બિંદુ $R(h, k)$ એવું છે કે $\frac{PR}{RQ} = \frac{1}{2}$. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1(3\cos\theta) + 2(3\cos\theta)}{3} = 3\cos\theta$
$k = \frac{1(3\sin\theta) + 2(2\sin\theta)}{3} = \frac{7\sin\theta}{3}$
તેથી,$\cos\theta = \frac{h}{3}$ અને $\sin\theta = \frac{3k}{7}$.
નિત્યસમ $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{h}{3})^{2} + (\frac{3k}{7})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{h^{2}}{9} + \frac{9k^{2}}{49} = 1$.
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{9y^{2}}{49} = 1$ છે.

(D) ધારો કે ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ચલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + a \implies h^{2}+k^{2} = (r+a)^{2} \quad (1)$
તે $x^{2}+y^{2}=4ax$ (જેનું કેન્દ્ર $(2a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2a$ છે) ને પણ બહારથી સ્પર્શે છે:
$\sqrt{(h-2a)^{2}+k^{2}} = r + 2a \implies (h-2a)^{2}+k^{2} = (r+2a)^{2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(h-2a)^{2} - h^{2} = (r+2a)^{2} - (r+a)^{2}$
$-4ah + 4a^{2} = 2ar + 3a^{2}$
$r = \frac{a-4h}{2}$
$r$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$h^{2}+k^{2} = (\frac{3a-4h}{2})^{2}$
$12h^{2} - 4k^{2} - 24ah + 9a^{2} = 0$
આમ,બિંદુપથ $12x^{2}-4y^{2}-24ax+9a^{2}=0$ છે,જે અતિવલય દર્શાવે છે.