Locus Related Problem Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $P = (h, k)$ એ બિંદુ છે જે રેખાખંડ $QA$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{1(4) + 2(3 \cos \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \cos \theta}{3}$
$k = \frac{1(4) + 2(3 \sin \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \sin \theta}{3}$
આ સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા:
$3h - 4 = 6 \cos \theta$
$3k - 4 = 6 \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - 4)^2 + (3k - 4)^2 = (6 \cos \theta)^2 + (6 \sin \theta)^2$
$9(h - \frac{4}{3})^2 + 9(k - \frac{4}{3})^2 = 36$
$(h - \frac{4}{3})^2 + (k - \frac{4}{3})^2 = 4$
આ $r = \sqrt{4} = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બિંદુપથની પરિમિતિ $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ થાય.

(B) ધારો કે $(x, y)$ એ બિંદુ છે જે $(1, 1)$ અને રેખા $x+y+1=0$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$(x, y)$ થી $(1, 1)$ નું અંતર $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$ છે.
$(x, y)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું અંતર $\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$ છે.
બંને અંતરોને સરખાવતા:
$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2+(y-1)^2 = \frac{(x+y+1)^2}{2}$
$2(x^2-2x+1+y^2-2y+1) = x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$
$2x^2+2y^2-4x-4y+4 = x^2+y^2+2xy+2x+2y+1$
$x^2+y^2-2xy-6x-6y+3 = 0$
$(x-y)^2-6(x+y)+3 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{3at}{1+t^3}$ અને $y = \frac{3at^2}{1+t^3}$.
$x^3 + y^3 = \left(\frac{3at}{1+t^3}\right)^3 + \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right)^3$ લેતા.
$x^3 + y^3 = \frac{27a^3t^3 + 27a^3t^6}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3(1+t^3)}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
હવે,$3axy = 3a \left(\frac{3at}{1+t^3}\right) \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right) = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
તેથી,$x^3 + y^3 = 3axy$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA + PB = 8$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y+3)^2} = 8$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા:
$16x^2 + 7y^2 - 64x - 48 = 0$.

(A) ધારો કે $A = (-1, 0)$ અને $B = (0, 2)$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{PA}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{PA^2}{PB^2} = 2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-0)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
ગુણોત્તરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 8y + 8$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = -7 + 1 + 16$.
$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 10$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$(a, 0)$ અને $(-a, 0)$ થી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $2b^2$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$((x-a)^2 + (y-0)^2) + ((x+a)^2 + (y-0)^2) = 2b^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2b^2$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2b^2$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + a^2 = b^2$
પદોને ગોઠવતા,$P$ નો બિંદુપથ મળે છે:
$x^2 + y^2 = b^2 - a^2$

(D) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ અને $(3, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $4$ એકમ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{(x-3)^2 + (y-(-2))^2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2+y^2}$ છે.
$A(-2, -3)$ થી અંતર $\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{OP}{AP} = \frac{5}{7}$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}} = \frac{5}{7}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2+y^2}{(x+2)^2+(y+3)^2} = \frac{25}{49}$.
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+4x+4+y^2+6y+9)$.
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+y^2+4x+6y+13)$.
$49(x^2+y^2) - 25(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$.
$24(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) બિંદુ $P(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ અને $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $x^2 + y^2$ છે.
રેખા $x-y-1=0$ થી બિંદુ $P(x, y)$ નું અંતર $d = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અક્ષોથી અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો એ રેખાથી અંતરના વર્ગ જેટલો છે:
$x^2 + y^2 = \left( \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x-y-1)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{(x+2)^2+y^2} = 4$ છે.
ધારો કે $A = (2, 0)$ અને $B = (-2, 0)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $P(x, y)$ નું બિંદુઓ $A$ અને $B$ થી અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે,જે $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
અહીં $PA + PB = AB$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
તેથી,બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ એ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ સીધી રેખાઓના સમીકરણો છે:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ ... $(i)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$y(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta$
$y = a \sin \theta$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta)(a \sin \theta) = a \sin \theta$
$x + a - a \cos \theta = a$
$x = a \cos \theta$
હવે,બિંદુપથ શોધવા માટે:
$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2$
$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. આપેલ શરત $PA + PB = 4$ છે.
$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 + (x+1)^2 + (y-1)^2 + 2\sqrt{((x-1)^2 + (y+1)^2)((x+1)^2 + (y-1)^2)} = 16$
$2(x^2 + y^2 + 2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + 2 - 2x + 2y)(x^2 + y^2 + 2 + 2x - 2y)} = 16$
$(x^2 + y^2 + 2) + \sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - (2x - 2y)^2} = 8$
$\sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2} = 8 - (x^2 + y^2 + 2)$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2 = (6 - (x^2 + y^2))^2$
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - (x^2 + y^2 - 6)^2 = 4(x - y)^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((x^2 + y^2 + 2) - (x^2 + y^2 - 6))((x^2 + y^2 + 2) + (x^2 + y^2 - 6)) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$(8)(2x^2 + 2y^2 - 4) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$16(x^2 + y^2 - 2) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$4x^2 + 4y^2 - 8 = x^2 + y^2 - 2xy$
$3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8$

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = (a \cos k, a \sin k)$,$B = (b \sin k, -b \cos k)$,અને $C = (1, 0)$ છે.
ધારો કે $G(x, y)$ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $x = \frac{a \cos k + b \sin k + 1}{3}$ અને $y = \frac{a \sin k - b \cos k + 0}{3}$ છે.
આના પરથી,$3x - 1 = a \cos k + b \sin k$ ... $(i)$ અને $3y = a \sin k - b \cos k$ ... $(ii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos k + b \sin k)^2 + (a \sin k - b \cos k)^2$.
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 k + \sin^2 k) + b^2(\sin^2 k + \cos^2 k) + 2ab \cos k \sin k - 2ab \sin k \cos k$.
કારણ કે $\sin^2 k + \cos^2 k = 1$,તેથી $(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ મળે.
આ $(1 - 3x)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - k^2} = 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - k^2 = 16$,તેથી $r^2 = k^2 + 16$.
$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - h^2} = 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - h^2 = 9$,તેથી $r^2 = h^2 + 9$.
$r^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $k^2 + 16 = h^2 + 9$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $h^2 - k^2 = 7$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 - y^2 = 7$,અથવા $x^2 - y^2 - 7 = 0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ બને છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ રેખા $x=2$ ને છેદે છે,તેથી $2^2 + y^2 + 2g(2) + 2fy = 0$,એટલે કે $y^2 + 2fy + (4 + 4g) = 0$.
ધારો કે આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = 4$ છે.
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 = \sqrt{(-2f)^2 - 4(4+4g)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 = 4f^2 - 16 - 16g$,જે $32 = 4f^2 - 16g$ અથવા $8 = f^2 - 4g$ માં પરિણમે છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-g, -f)$ હોવાથી,$g = -h$ અને $f = -k$ મળે.
આ કિંમતો $8 = f^2 - 4g$ માં મૂકતા,$8 = (-k)^2 - 4(-h)$,એટલે કે $k^2 + 4h = 8$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $y^2 + 4x = 8$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $A(-2g, 0)$ માં અને $y$-અક્ષને $B(0, -2f)$ માં છેદે છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-2g} + \frac{y}{-2f} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{g} + \frac{y}{f} = -2$ થાય છે.
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{x_1}{g} + \frac{y_1}{f} = -2$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $x = -g$ અને $y = -f$,જેનો અર્થ છે $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x_1}{-x} + \frac{y_1}{-y} = -2$ મળે.
$-1$ વડે ગુણતા,$\frac{x_1}{x} + \frac{y_1}{y} = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
કેન્દ્ર $(-3, 0)$ થી ઓછામાં ઓછા $2$ એકમ અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ એ $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની બહારનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ: $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} \geq 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 3)^2 + y^2 \geq 2^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 6x + 9 + y^2 \geq 4$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 + 6x + 5 \geq 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $O = (-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ સહાયક વર્તુળ (director circle) છે.
સહાયક વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5\sqrt{2}$ છે.
તેથી,વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x+3)^2+(y-2)^2 = 50$ છે.
રેખા $6x-4y+k=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x+3y+C'=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(-3, 2)$ થી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા $5\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|2(-3)+3(2)+C'|}{\sqrt{2^2+3^2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow |C'| = 5\sqrt{26}$.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x+3y \pm 5\sqrt{26}=0$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ છે.
ધારો કે $P = (h, k)$.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:1$ છે:
$\frac{\sqrt{h^2+k^2-2h+4k-20}}{\sqrt{h^2+k^2-2h-8k+1}} = \frac{2}{1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{h^2+k^2-2h+4k-20}{h^2+k^2-2h-8k+1} = 4$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4(h^2+k^2-2h-8k+1)$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4h^2+4k^2-8h-32k+4$
$3h^2+3k^2-6h-36k+24 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$h^2+k^2-2h-12k+8 = 0$
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-2x-12y+8=0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26} = \frac{4}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12) = 4(x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26)$
$9x_1^2+9y_1^2-36x_1-54y_1-108 = 4x_1^2+4y_1^2+24x_1+72y_1+104$
$5x_1^2+5y_1^2-60x_1-126y_1-212 = 0$
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $5x^2+5y^2-60x-126y-212=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેઓ $X$-અક્ષ સાથે કોટિકોણ બનાવે છે,તેથી $m_1 = \tan(\theta)$ અને $m_2 = \cot(\theta)$,એટલે કે $m_1 m_2 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ છે.
તેથી $(y-mx)^2 = a^2(1+m^2)$ અથવા $m^2(x^2-a^2) - 2mxy + (y^2-a^2) = 0$.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} = 1$.
આથી $y^2-a^2 = x^2-a^2$,એટલે કે $x^2-y^2=0$.

(B) વર્તુળના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને ડાયરેક્ટર સર્કલ (નિયામક વર્તુળ) કહેવામાં આવે છે.
$x^2+y^2=r^2$ સમીકરણ ધરાવતા વર્તુળ માટે,ડાયરેક્ટર સર્કલનું સમીકરણ $x^2+y^2=2r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=10$ માટે,$r^2=10$ છે.
આ કિંમત ડાયરેક્ટર સર્કલના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2=2(10) = 20$ મળે છે.
આમ,જરૂરી બિંદુપથ $x^2+y^2=20$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2$,$f=-3$,અને $c=9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha$ મળે.
કેન્દ્ર $C$ એ $(-2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-(9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha)} = \sqrt{13-9 \sin^2 \alpha-13 \cos^2 \alpha} = \sqrt{13 \sin^2 \alpha-9 \sin^2 \alpha} = \sqrt{4 \sin^2 \alpha} = 2 \sin \alpha$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ બિંદુ છે. અંતર $PC = \sqrt{(x_1+2)^2+(y_1-3)^2} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$.
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13 = 4$.
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+9 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $C(x_1, y_1)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.
$\triangle OAB$ માં,$OA=OB=5$ અને $\angle AOB = 90^\circ$ છે.
$OC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAB$ માં કર્ણ $AB$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$OC = \frac{1}{2} AB$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$\triangle OCB$ માં,$\angle COB = 45^\circ$ અને $\angle OCB = 90^\circ$ છે.
તેથી,$OC = OB \cos(45^\circ) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
મધ્યબિંદુ $C(x_1, y_1)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x_1^2+y_1^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2+y_1^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{25}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x_1^2}{25/2} + \frac{y_1^2}{25/2} = 1$ મળે છે.
આને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = \frac{25}{2}$ મળે,તેથી $|a| = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(3,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$3^2+4^2+2g(3)+2f(4)+c=0$
$9+16+6g+8f+c=0$
$6g+8f+c+25=0$ ... $(i)$
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
અહીં,આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-36=0$ છે,તેથી $g_2=0, f_2=0, c_2=-36$.
લંબચ્છેદી હોવાની શરત મુજબ:
$2g(0)+2f(0)=c-36$
$0=c-36$,તેથી $c=-36$.
સમીકરણ $(i)$ માં $c=-36$ મૂકતા:
$6g+8f-36+25=0$
$6g+8f-11=0$
ધારો કે વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,જ્યાં $x=-g$ અને $y=-f$. તેથી $g=-x$ અને $f=-y$.
આ કિંમતો $6g+8f-11=0$ માં મૂકતા:
$6(-x)+8(-y)-11=0$
$-6x-8y-11=0$
$6x+8y+11=0$

(C) આપેલ સમાંતર સ્પર્શકો: $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$.
તેમની સરખામણી કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $6x - 8y + 8 = 0$ તરીકે લખો.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$.
ત્રિજ્યા $r = 0.75$.
કેન્દ્રોનો બિંદુપથ એ આપેલી રેખાઓને સમાંતર રેખા છે.
ગણતરી કરતા,બિંદુપથ $12x - 16y + 15 = 0$ સ્વરૂપની રેખા મળે છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $2x^2 - y^2 + 3x + 2y = 0$ છે.
ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જેને $\frac{y - mx}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 - y^2 + (3x + 2y)(\frac{y - mx}{c}) = 0$.
$c$ વડે ગુણતા:
$(2c - 3m)x^2 + (2 - c)y^2 + (3 - 2m)xy = 0$.
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2c - 3m) + (2 - c) = 0 \Rightarrow c - 3m + 2 = 0$.
$c = 3m - 2$ ને $y = mx + c$ માં મૂકતા:
$y = mx + 3m - 2 \Rightarrow y + 2 = m(x + 3)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $(-3, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (-3, -2)$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 4h + 6k - 13 = 0$ થાય.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 12 = 0$ ને લંબચ્છેદી છે.
લંબચ્છેદની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 4h + 6k - 13$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -12$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $2(-h)(0) + 2(-k)(0) = (4h + 6k - 13) - 12$.
$0 = 4h + 6k - 25$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુગણ $4x + 6y - 25 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે ... $(i)$.
આ વર્તુળ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ માટે,$g_1=2, f_1=-3, c_1=9$. શરત મુજબ $2(2g-3f) = c+9$,તેથી $4g-6f-c=9$ ... $(ii)$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-5x+4y+2=0$ માટે,$g_2=-2.5, f_2=2, c_2=2$. શરત મુજબ $2(-2.5g+2f) = c+2$,તેથી $-5g+4f-c=2$ ... $(iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$(4g-6f-c) - (-5g+4f-c) = 9-2$,જેનું સાદું રૂપ $9g-10f=7$ મળે છે.
$(g, f)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $9x-10y=7$ અથવા $9x-10y-7=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-6x-6y+14=0$ છે.
$P(h, k)$ એ $S_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $h^2+k^2=4$.
$A$ અને $B$ એ $P$ માંથી $S_2$ પરના સ્પર્શકોના સ્પર્શબિંદુઓ છે.
$P, A, B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ $PC$ છે,જ્યાં $C$ એ $S_2$ નું કેન્દ્ર છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C(3, 3)$ છે.
વ્યાસ $PC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)(x-3) + (y-k)(y-3) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2 - (h+3)x - (k+3)y + 3h+3k = 0$ મળે છે.
$P(h, k)$ એ $x^2+y^2=4$ પર હોવાથી,$h^2+k^2=4$.
આ વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$ છે.
ધારો કે $(x, y) = (\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$,તેથી $h = 2x-3$ અને $k = 2y-3$.
$h^2+k^2=4$ માં કિંમત મૂકતા,$(2x-3)^2 + (2y-3)^2 = 4$.
$4x^2-12x+9 + 4y^2-12y+9 = 4$.
$4x^2+4y^2-12x-12y+14 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$2x^2+2y^2-6x-6y+7 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (5, 4)$,અને $B = (5, -4)$.
આપેલ છે કે $\tan(\angle APB) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$PA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y-4}{x-5}$ અને $PB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{y+4}{x-5}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\frac{\frac{y-4}{x-5} - \frac{y+4}{x-5}}{1 + \frac{(y-4)(y+4)}{(x-5)^2}}| = 1$
$|\frac{-8(x-5)}{(x-5)^2 + y^2 - 16}| = 1$
$| -8x + 40 | = | x^2 + y^2 - 10x + 9 |$
આથી $x^2 + y^2 - 10x + 9 = \pm(-8x + 40)$.
કિસ્સો $1$: $x^2 + y^2 - 2x - 31 = 0$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ છે. $A$ એ $CP$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$A$ ના યામ $\left(\frac{2h+3}{5}, \frac{2k+6}{5}\right)$ થાય.
$A$ એ વર્તુળ પર હોવાથી,આ કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2h+3}{5}\right)^2 + \left(\frac{2k+6}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{2h+3}{5}\right) - 4\left(\frac{2k+6}{5}\right) - 20 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $4h^2 + 4k^2 - 8h - 16k - 605 = 0$.
તેથી $P$ નો બિંદુપથ $4x^2+4y^2-8x-16y-605=0$ છે.

(D) ધારો કે સળિયો $x$-અક્ષને $(a, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, b)$ બિંદુએ છેદે છે,અને $(x, y)$ એ સળિયાનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ અને $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$.
સળિયાની લંબાઈ $r$ એકમ આપેલી છે,તેથી $a^2 + b^2 = r^2$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2x)^2 + (2y)^2 = r^2$ મળે છે.
$4x^2 + 4y^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = (\frac{r}{2})^2$.
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $R = \frac{r}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વક્રની લંબાઈ (વર્તુળનો પરિઘ) $2 \pi R = 2 \pi (\frac{r}{2}) = \pi r$ છે.

(B) ધારો કે $x = \frac{8t}{1+t^2}$ અને $y = \frac{4(1-t^2)}{1+t^2}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = \frac{64t^2 + 16(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$
$x^2 + y^2 = \frac{16(4t^2 + (1-t^2)^2)}{(1+t^2)^2}$
કારણ કે $(1-t^2)^2 + 4t^2 = (1+t^2)^2$ હોવાથી,
$x^2 + y^2 = \frac{16(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 16$.
આ $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4^2$ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(-2, 1)$ અને $B(3, 0)$ છે.
$AP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k-1}{h+2}$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k-0}{h-3} = \frac{k}{h-3}$ છે.
કારણ કે $\angle APB = 90^{\circ}$,તેથી ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
$\frac{k-1}{h+2} \times \frac{k}{h-3} = -1$.
$\frac{k^2-k}{h^2-h-6} = -1$.
$k^2-k = -(h^2-h-6)$.
$h^2+k^2-h-k-6 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-x-y-6=0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે,જે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ માં,ખૂણો $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
અહીં $OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,માંગેલ બિંદુપથ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં મળે છે, તેથી $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2 \times 6 = 12$ છે.
તેથી, $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ $h = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$ અને $k = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3}$ છે.
તેથી, $a = 3h$ અને $b = 3k$.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 144$ માં મૂકતા, આપણને $(3h)^2 + (3k)^2 = 144$ મળે છે.
$9h^2 + 9k^2 = 144$.
$9$ વડે ભાગતા, $h^2 + k^2 = 16$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા, મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 16$ છે.

(A) $S_1: x^2+y^2-1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + kS_2 = 0$ $(k \neq -1)$ છે.
$(x^2+y^2-1) + k(x^2+y^2-2x+y) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 2kx + ky - (1+k) = 0$
$(1+k)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{2k}{1+k}x + \frac{k}{1+k}y - 1 = 0$ મળે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k')$ એ $(-g, -f) = \left(\frac{k}{1+k}, \frac{-k}{2(1+k)}\right)$ છે.
ધારો કે $x = \frac{k}{1+k}$ અને $y = \frac{-k}{2(1+k)}$.
તેથી $2y = \frac{-k}{1+k}$.
$x$ અને $2y$ નો સરવાળો કરતા,$x + 2y = \frac{k}{1+k} - \frac{k}{1+k} = 0$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x+2y=0$ રેખા છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ દ્વારા $x$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2-c} = 2a$ છે,જે સૂચવે છે કે $g^2-c = a^2$,તેથી $c = g^2-a^2$.
વર્તુળ દ્વારા $y$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2-c} = 2b$ છે,જે સૂચવે છે કે $f^2-c = b^2$,તેથી $c = f^2-b^2$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $g^2-a^2 = f^2-b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $g^2-f^2 = a^2-b^2$ થાય છે.
કેન્દ્રના યામ $(x, y)$ ને $(-g, -f)$ સાથે બદલતા,આપણને બિંદુપથ $x^2-y^2 = a^2-b^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. વર્તુળ $S=0$ પરના બિંદુ $(x, y)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \frac{2}{3}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $9S_1 = 4S_2$.
વર્તુળોના સમીકરણો મૂકતા:
$9(x^2+y^2-4x-6y-12) = 4(x^2+y^2+6x+18y+26)$.
$9x^2+9y^2-36x-54y-108 = 4x^2+4y^2+24x+72y+104$.
$5x^2+5y^2-60x-126y-212 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-12x-\frac{126}{5}y-\frac{212}{5}=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x=2a$ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x-2a=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$r = |h-2a|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 = (h-2a)^2 = h^2 - 4ah + 4a^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2hx-2ky+c=0$ છે,જ્યાં $c = h^2+k^2-r^2$.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,$c = h^2+k^2-(h^2-4ah+4a^2) = k^2+4ah-4a^2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ને લંબચ્છેદે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$.
અહીં,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = c$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
તેથી,$0 + 0 = c - a^2$,એટલે કે $c = a^2$.
$c$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $k^2+4ah-4a^2 = a^2$.
$k^2+4ah = 5a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2+4ax-5a^2=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ગતિશીલ બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ નિશ્ચિત બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(-a, 0)$ છે.
$AP$ અંતરનો વર્ગ $AP^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 = (x-a)^2 + y^2$ છે.
$BP$ અંતરનો વર્ગ $BP^2 = (x+a)^2 + (y-0)^2 = (x+a)^2 + y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ વર્ગોનો સરવાળો $2c^2$ છે:
$AP^2 + BP^2 = 2c^2$
$(x-a)^2 + y^2 + (x+a)^2 + y^2 = 2c^2$
$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 + 2ax + a^2) + y^2 = 2c^2$
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2c^2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + y^2 + a^2 = c^2$
$x^2 + y^2 = c^2 - a^2$
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = c^2 - a^2$ છે.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ની જીવાનું સમીકરણ જેનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ હોય તે $T=S_1$ દ્વારા મળે છે,જે $xh+yk = h^2+k^2$ છે.
આ જીવા અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને સ્પર્શક છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $lx+my=n$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ છે.
અહીં,$l=h$,$m=k$,$n=h^2+k^2$,$a^2=16$,અને $b^2=9$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2 = (x^2+y^2)^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $hx+ky=h^2+k^2$ થાય.
આને ગોઠવતા,$y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ મળે.
અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2=16$ અને $b^2=9$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
$m = -\frac{h}{k}$ અને $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$(\frac{h^2+k^2}{k})^2 = 16(-\frac{h}{k})^2 - 9$.
$k^2$ વડે ગુણતા,$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ થાય.

(B) બિંદુઓ $A_k$ ના $x$-યામો $a, 2a, 3a, \ldots, na$ છે. સમાંતર મધ્યક $\alpha$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\alpha = \frac{a + 2a + 3a + \ldots + na}{n} = \frac{a(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}{n} = \frac{a \cdot n(n+1)}{2n} = \frac{a(n+1)}{2}$.
તેથી,$a = \frac{2\alpha}{n+1}$.
બિંદુઓ $A_k$ ના $y$-યામો $a^1, a^2, a^3, \ldots, a^n$ છે. સમગુણોત્તર મધ્યક $\beta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\beta = (a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot \ldots \cdot a^n)^{1/n} = (a^{1+2+3+\ldots+n})^{1/n} = (a^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n} = a^{\frac{n+1}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\beta^2 = a^{n+1}$ મળે.
$\beta^2$ ના સમીકરણમાં $a = \frac{2\alpha}{n+1}$ મૂકતા:
$\beta^2 = \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{n+1}$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = \left(\frac{2x}{n+1}\right)^{n+1}$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણ $ABP$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y)$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $A(2, 3)$,$B(3, 2)$ અને $P(t, t^2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y)$ માટેનું સૂત્ર:
$x = \frac{2 + 3 + t}{3} \implies 3x = 5 + t \implies t = 3x - 5$
$y = \frac{3 + 2 + t^2}{3} \implies 3y = 5 + t^2$
$t = 3x - 5$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3y = 5 + (3x - 5)^2$
$3y = 5 + 9x^2 - 30x + 25$
$3y = 9x^2 - 30x + 30$
$3$ વડે ભાગતા:
$y = 3x^2 - 10x + 10$
પદોને ગોઠવતા:
$3x^2 - 10x - y + 10 = 0$
આમ,મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $3x^2 - 10x - y + 10 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $C$ ના યામ $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left( \frac{2+3+h}{3}, \frac{3+2+k}{3} \right) = \left( \frac{5+h}{3}, \frac{5+k}{3} \right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્રનું ઉગમબિંદુથી અંતર $5$ એકમ છે,તેથી $\sqrt{\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2 = 25$.
$9$ વડે ગુણતા,$(h+5)^2 + (k+5)^2 = 225$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$C$ નો બિંદુપથ $(x+5)^2 + (y+5)^2 = 15^2$ છે.
આ $15$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $2 \times 15 = 30$ એકમ છે.

(A) ધારો કે $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
$O = (0, 0)$,$A = (a \sec t, b \tan t)$,અને $B = (-a \tan t, b \sec t)$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{0 + a \sec t - a \tan t}{3} \Rightarrow 3x = a(\sec t - \tan t) \dots (i)$
$y = \frac{0 + b \tan t + b \sec t}{3} \Rightarrow 3y = b(\tan t + \sec t) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(3x)(3y) = a(\sec t - \tan t) \cdot b(\sec t + \tan t)$
$9xy = ab(\sec^2 t - \tan^2 t)$
$\sec^2 t - \tan^2 t = 1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$9xy = ab$.

(C) આપેલ છે $A = (0, 4)$ અને $B = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$.
$P$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{2(2 \cos \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4 \cos \theta}{5} \Rightarrow \cos \theta = \frac{5x}{4}$
$y = \frac{2(2 \sin \theta) + 3(4)}{2 + 3} = \frac{4 \sin \theta + 12}{5} \Rightarrow \sin \theta = \frac{5y - 12}{4}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી:
$\left(\frac{5x}{4}\right)^2 + \left(\frac{5y - 12}{4}\right)^2 = 1$
$25x^2 + (5y - 12)^2 = 16$
આ સમીકરણ એક વર્તુળ દર્શાવે છે.