Locus Related Problem Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે બે આપેલા વર્તુળોના કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ છે અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ચલ વર્તુળ બે આપેલા વર્તુળોને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય છે:
$OO_1 = r + r_1$
$OO_2 = r + r_2$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$OO_2 - OO_1 = (r + r_2) - (r + r_1) = r_2 - r_1$
અહીં $r_1$ અને $r_2$ અચળ હોવાથી,બિંદુ $O$ નું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $O_1$ અને $O_2$ થી અંતરનો તફાવત અચળ રહે છે. વ્યાખ્યા મુજબ,આ અતિવલયનો બિંદુપથ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \angle APB$. યામ $A(0, a)$,$B(0, b)$,અને $P(x, 0)$ છે.
$\triangle APB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2(PA)(PB) \cos \theta$
$(a - b)^2 = (x^2 + a^2) + (x^2 + b^2) - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$a^2 - 2ab + b^2 = 2x^2 + a^2 + b^2 - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta = 2x^2 + 2ab$
$\cos \theta = \frac{x^2 + ab}{\sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2}}$
$\theta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\cos \theta$ ને ન્યૂનતમ કરીએ છીએ. ગણતરી કરતા $x^2 = ab$ મળે છે.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $r \cos \theta = 2a \sin^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,અને $r^2 = x^2 + y^2$.
આપેલ સમીકરણને $r^2$ વડે ગુણતા:
$r^3 \cos \theta = 2a (r \sin \theta)^2$.
$r^2 (r \cos \theta) = 2a (r \sin \theta)^2$
$(x^2 + y^2)x = 2a y^2$
$x^3 + xy^2 = 2a y^2$
$x^3 = 2a y^2 - xy^2$
$x^3 = y^2(2a - x)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ છે. $x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(-2,0)$ છે.
ધારો કે $AQ$ અને $BP$ નું છેદબિંદુ $R(h,k)$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_{BP} = \tan \frac{\alpha}{2}$ છે.
$AQ$ નો ઢાળ $m_{AQ} = -\cot \frac{\beta}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h^2 + k^2 - 4k - 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $x^2 + y^2 - 4y - 4 = 0$ પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$,$A(-\sqrt{3}a, 0)$,અને $B(0, -\sqrt{2}b)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ સ્વરૂપનું છે.
$A(-\sqrt{3}a, 0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\sqrt{3}a)^2 + 2g(-\sqrt{3}a) = 0 \implies 3a^2 - 2g\sqrt{3}a = 0 \implies 2g = \sqrt{3}a$.
$B(0, -\sqrt{2}b)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\sqrt{2}b)^2 + 2f(-\sqrt{2}b) = 0 \implies 2b^2 - 2f\sqrt{2}b = 0 \implies 2f = \sqrt{2}b$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + (\sqrt{3}a)x + (\sqrt{2}b)y = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2} = 4$ છે.
તેથી,$g^2 + f^2 = 16 \implies (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}b}{2})^2 = 16 \implies \frac{3a^2}{4} + \frac{2b^2}{4} = 16 \implies 3a^2 + 2b^2 = 64$.
ધારો કે $\Delta OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
$h = \frac{0 - \sqrt{3}a + 0}{3} = -\frac{\sqrt{3}a}{3} \implies a = -\sqrt{3}h$.
$k = \frac{0 + 0 - \sqrt{2}b}{3} = -\frac{\sqrt{2}b}{3} \implies b = -\frac{3k}{\sqrt{2}}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો $3a^2 + 2b^2 = 64$ માં મૂકતા:
$3(-\sqrt{3}h)^2 + 2(-\frac{3k}{\sqrt{2}})^2 = 64 \implies 3(3h^2) + 2(\frac{9k^2}{2}) = 64 \implies 9h^2 + 9k^2 = 64 \implies h^2 + k^2 = \frac{64}{9}$.
બિંદુપથ $x^2 + y^2 = (\frac{8}{3})^2$ છે,જે $\frac{8}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0$ છે. કેન્દ્ર $O(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ છેદબિંદુ છે. $\triangle OAR$ માં,$\cos(30^{\circ}) = \frac{OA}{OR} = \frac{4}{OR}$.
તેથી,$OR = \frac{8}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $OR^{2} = \frac{64}{3}$.
$(h-2)^{2} + (k-3)^{2} = \frac{64}{3}$.
$3(h^{2}-4h+4 + k^{2}-6k+9) = 64$.
$3(h^{2}+k^{2}) - 12h - 18k - 25 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $3(x^{2}+y^{2}) - 12x - 18y - 25 = 0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે. કેન્દ્ર $O'(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ છે.
ધારો કે જીવા $AB$ નું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી જીવા $AB$ પરના લંબનો પાદ $(h, k)$ છે. તેથી,રેખા $AB$ એ $hx + ky = h^2 + k^2$ છે.
જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ વર્તુળના સમીકરણને જીવાના સમીકરણ સાથે સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે: $x^2 + y^2 - (6x + 8y)(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2}) - 11(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2})^2 = 0$.
કાટખૂણા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(1 - \frac{6h}{h^2 + k^2} - \frac{11h^2}{(h^2 + k^2)^2}) + (1 - \frac{8k}{h^2 + k^2} - \frac{11k^2}{(h^2 + k^2)^2}) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$2(h^2 + k^2) - (6h + 8k) - 11 = 0$ મળે છે,જે $x^2 + y^2 - 3x - 4y - 5.5 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3, \beta = 4, \gamma = 0$ (પ્રશ્નના સંદર્ભમાં) લેતા,$\alpha + \beta + 2\gamma = 3 + 4 + 0 = 7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $B = (x, y)$. વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે,જ્યાં $A = (3, 0)$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $M = (\frac{x+3}{2}, \frac{y}{2})$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ નું કેન્દ્ર $O = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 6$ છે.
વર્તુળો અંદરની તરફ સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OM = R - r$ થાય.
$OM = \sqrt{(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2} = 6 - \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
$2$ વડે ગુણતા: $\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 12 - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
ધારો કે $d_1 = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ (અંતર $AB$) અને $d_2 = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ (અંતર $OB$).
સમીકરણ $d_2 = 12 - d_1$ અથવા $d_1 + d_2 = 12$ છે.
અહીં $d_1 + d_2 = 12 > AB = 6$ હોવાથી,$B$ નો બિંદુપથ એ ઉપવલય છે જેના નાભિઓ $A(3, 0)$ અને $O(-3, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$,તેથી $ae = 3$.
પ્રધાન અક્ષ $2a = 12$,તેથી $a = 6$.
આમ,$e = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી $e^2 = \frac{1}{4}$.
અંતે,$72e^2 = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.