Locus Related Problem Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $S(h, k)$ છે.
$P$ એ $x$-અક્ષ પર અને $Q$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ધારો કે $P = (a, 0)$ અને $Q = (0, b).$
મધ્યબિંદુ $S(h, k)$ માટે $h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2},$ તેથી $a = 2h$ અને $b = 2k.$
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જે $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ બને છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2}} = 1.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}} = 1,$
જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$ થાય છે.
$4h^2k^2$ વડે ગુણતા,$k^2 + h^2 = 4h^2k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 4x^2y^2$ અથવા $x^2 + y^2 - 4x^2y^2 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = |h| = h$ થાય (પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$).
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + 1 = h + 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h^2 + k^2 = (h + 1)^2$
$h^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$
$k^2 = 2h + 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2x + 1$ મળે,એટલે કે $y = \sqrt{2x + 1}$ જ્યાં $x \ge 0$.

(N/A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(-4, 1)$ અને $C(x, y)$ છે,જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$.
$C$ એ $AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળ પર હોવાથી,$C$ નો બિંદુપથ $(x - 1)(x + 4) + (y - 3)(y - 1) = 0$ છે.
આ વર્તુળ પર બિંદુ $C$ ની પસંદગી મુજબ આવા અસંખ્ય ત્રિકોણો શક્ય છે.
ધારો કે બાજુ $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. તો બાજુ $BC$ નો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ થશે (કારણ કે $AC \perp BC$).
$(1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 1)$ છે.
$(-4, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{m}(x + 4)$ છે.
$m$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે,આ બે રેખાઓ આપેલ કર્ણવાળા કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $AB$ એ $12 \, cm$ લંબાઈનો સળિયો છે. ધારો કે $A$ એ $x-$અક્ષ પર અને $B$ એ $y-$અક્ષ પર છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ સળિયા પરનું બિંદુ છે જેથી $AP = 3 \, cm$. તો $PB = AB - AP = 12 - 3 = 9 \, cm$.
ધારો કે $\angle OAB = \theta$. તો $\triangle PRA$ માં (જ્યાં $PR \perp OA$),આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{AR}{AP} = \frac{x}{3}$ છે,તેથી $x = 3 \cos \theta$.
$\triangle PQB$ માં (જ્યાં $PQ \perp OB$),આપણી પાસે $\sin \theta = \frac{QB}{PB} = \frac{y}{9}$ છે,તેથી $y = 9 \sin \theta$.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\left(\frac{x}{3}\right)^{2} + \left(\frac{y}{9}\right)^{2} = 1$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(5, 0)$ થી અંતર એ $(-5, 0)$ થી અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે:
$\sqrt{(x-5)^{2} + y^{2}} = 3\sqrt{(x+5)^{2} + y^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-5)^{2} + y^{2} = 9((x+5)^{2} + y^{2})$
$x^{2} - 10x + 25 + y^{2} = 9(x^{2} + 10x + 25 + y^{2})$
$8x^{2} + 8y^{2} + 100x + 200 = 0$
$8$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} + 12.5x + 25 = 0$
વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 6.25$,$f = 0$,અને $c = 25$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(6.25)^{2} - 25} = \sqrt{39.0625 - 25} = \sqrt{14.0625}$.
આમ,$r^{2} = 14.0625$.
તેથી,$4r^{2} = 4 \times 14.0625 = 56.25$.

(B) ધારો કે વર્તુળ પરનું બિંદુ $(\cos \theta, \sin \theta)$ છે.
ધારો કે $(3, 2)$ અને $(\cos \theta, \sin \theta)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ છે.
તેથી,$h = \frac{\cos \theta + 3}{2}$ અને $k = \frac{\sin \theta + 2}{2}$.
આના પરથી $\cos \theta = 2h - 3$ અને $\sin \theta = 2k - 2$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,તેથી $(2h - 3)^{2} + (2k - 2)^{2} = 1$.
$4$ વડે ભાગતા,$(h - \frac{3}{2})^{2} + (k - 1)^{2} = \frac{1}{4}$ મળે.
આ $r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
$(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ થી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો:
$(x^2 + y^2) + ((x-1)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2) + ((x-1)^2 + (y-1)^2) = 18$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4 = 18$
$4$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 - x - y - 3.5 = 0$
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
અહીં,$g = -0.5, f = -0.5, c = -3.5$.
$r = \sqrt{0.25 + 0.25 + 3.5} = \sqrt{4} = 2$.
વ્યાસ $d = 2r = 4$.
તેથી,$d^2 = 16$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ $(x=0)$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |h|$.
વર્તુળ રેખા $x+y=0$ ને પણ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x+y=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$r = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$|h| = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^{2} = \frac{(h+k)^{2}}{2}$.
$2h^{2} = h^{2} + k^{2} + 2hk$.
$h^{2} - k^{2} = 2hk$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^{2}-y^{2}=2xy$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,$r = \beta$ થાય.
તે વર્તુળ $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$,ત્રિજ્યા $1$) ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{(\alpha - 0)^{2} + (\beta - 1)^{2}} = \beta + 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^{2} + (\beta - 1)^{2} = (\beta + 1)^{2}$
$\alpha^{2} + \beta^{2} - 2\beta + 1 = \beta^{2} + 2\beta + 1$
$\alpha^{2} = 4\beta$
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $L$ એ પરવલય $x^{2} = 4y$ છે.
$x^{2} = 4y$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:
$A = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{4y} \, dy = 2 \int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 4 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$.

(B) ધારો કે $P = (x, y)$. બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(-2, 1)$ થી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $14$ છે:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (x+2)^2 + (y-1)^2 = 14$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y + 10 = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y - 4 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 3y - 2 = 0$
$x$-અંતઃખંડ માટે,$y = 0$ લેતા:
$x^2 + x - 2 = 0$ $\Rightarrow (x+2)(x-1) = 0$ $\Rightarrow x = -2, 1$. તેથી $A = (-2, 0)$ અને $B = (1, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ માટે,$x = 0$ લેતા:
$y^2 - 3y - 2 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. તેથી $C = (0, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ અને $D = (0, \frac{3-\sqrt{17}}{2})$.
ચતુષ્કોણ $ACBD$ ના વિકર્ણો અક્ષો પર છે. આડા વિકર્ણની લંબાઈ $AB = |1 - (-2)| = 3$.
ઊભા વિકર્ણની લંબાઈ $CD = |\frac{3+\sqrt{17}}{2} - \frac{3-\sqrt{17}}{2}| = \sqrt{17}$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ થાય.

(A) આપેલ છે $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$. વિકલન $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^{2} - 1}{x}$ છે.
$f(x)$ એ $(0, a)$ માં ઘટતું અને $(a, 4)$ માં વધતું હોવાથી,$f'(x) = 0$ લેતા $4x^{2} = 1$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $x > 0$). આમ,$a = \frac{1}{2}$.
પરવલય $y^{2} = 4(\frac{1}{2})x = 2x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $ty = x + at^{2}$ છે.
બિંદુ $(8a, 8a-1)$ માંથી પસાર થતા,$t(8a-1) = 8a + at^{2} \Rightarrow at^{2} - t(8a-1) + 8a = 0$.
$a = 1/2$ મૂકતા,$\frac{1}{2}t^{2} - 3t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 6t + 8 = 0$.
ઉકેલ $t = 2, 4$ મળે છે. $t=4$ માટે $P = (8, 4)$ મળે છે.
$P(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
$t=4, a=1/2$ માટે: $y = -4x + 2(1/2)(4) + (1/2)(64) = -4x + 36$.
$4x + y = 36 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{36} = 1$. તેથી $\alpha = 9, \beta = 36$.
$\alpha + \beta = 9 + 36 = 45$.

(B) ધારો કે $s = \sin t$ અને $c = \cos t$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $(h, k)$ એ મધ્યકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h = \frac{a + s + c}{3}$ અને $k = \frac{b - c + s}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$3h - a = s + c$ અને $3k - b = s - c$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - a)^2 + (3k - b)^2 = (s + c)^2 + (s - c)^2 = 2(s^2 + c^2) = 2$.
$9$ વડે ભાગતા:
$(h - a/3)^2 + (k - b/3)^2 = 2/9$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(a/3, b/3)$ છે.
આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1/3)$ હોવાથી,$a/3 = 1$ અને $b/3 = 1/3$.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 1$.
અંતે,$a^2 - b^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે $M = (r \cos \theta, r \sin \theta)$.
$M$ આગળનો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = r$ છે.
$B(r, 0)$ આગળનો સ્પર્શક $l$ એ $x = r$ છે.
$M$ આગળના સ્પર્શક અને $l$ નું છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે $x = r$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r \cos \theta + y \sin \theta = r \implies y \sin \theta = r(1 - \cos \theta) \implies y = r \tan(\theta/2)$.
તેથી,$P = (r, r \tan(\theta/2))$.
$P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ($x$-અક્ષ) ને સમાંતર રેખા $y = r \tan(\theta/2)$ છે.
રેખા $OM$ એ $(0, 0)$ અને $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
$Q(h, k)$ એ $y = r \tan(\theta/2)$ અને $y = x \tan \theta$ નું છેદબિંદુ છે.
તેથી,$k = r \tan(\theta/2)$ અને $k = h \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $k = h \cdot \frac{2(k/r)}{1 - (k/r)^2}$.
$1 - k^2/r^2 = 2h/r \implies r^2 - k^2 = 2hr \implies k^2 = -2r(h - r/2)$.
$Q(x, y)$ નો બિંદુપથ $y^2 = -2r(x - r/2)$ છે,જે પરવલય છે.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. $A$ ના યામ $(x_A, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, y_B)$ છે. ધારો કે ખૂણો $\angle OAB = \theta$. તો $A = (a \cos \theta, 0)$ અને $B = (0, a \sin \theta)$.
$ABCD$ ચોરસ હોવાથી,સદિશ $\vec{BC}$ એ $\vec{AB}$ ને લંબ છે અને તેની લંબાઈ $a$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (-a \cos \theta, a \sin \theta)$. તેને $90^\circ$ ફેરવતા $\vec{BC} = (a \sin \theta, a \cos \theta)$ મળે.
તેથી,$C = B + \vec{BC} = (0 + a \sin \theta, a \sin \theta + a \cos \theta) = (a \sin \theta, a(\sin \theta + \cos \theta))$.
ધારો કે $C = (x, y)$. તો $x = a \sin \theta$ અને $y = a \sin \theta + a \cos \theta$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{a}$. તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $y = x + \sqrt{a^2 - x^2}$.
$y - x = \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y - x)^2 = a^2 - x^2$.
$y^2 - 2xy + x^2 = a^2 - x^2$.
$2x^2 + y^2 - 2xy = a^2$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે,કારણ કે વિવેચક $B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4 < 0$. $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન ન હોવાથી,તે વર્તુળ નથી.

(B) ધારો કે $A, B, C, D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(-g, -f)$ ના ધ્રુવીય યામ $-g = r \cos \theta$ અને $-f = r \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$AB$ એ $X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ છે,તેથી $a = 2\sqrt{g^2-c} \implies \frac{a^2}{4} = g^2-c$.
$CD$ એ $Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ છે,તેથી $b = 2\sqrt{f^2-c} \implies \frac{b^2}{4} = f^2-c$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $g^2-f^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$.
$g = -r \cos \theta$ અને $f = -r \sin \theta$ મૂકતા:
$(-r \cos \theta)^2 - (-r \sin \theta)^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2 \cos 2\theta = \frac{a^2-b^2}{4}$.

(B) આપેલ શરત $|x+y|+|x-y|=4$ એ $xy$-સમતલમાં એક ચોરસ દર્શાવે છે.
આપણે $f(x, y) = x^2+y^2-4x-6y = (x-2)^2 + (y-3)^2 - 13$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે.
આ પદ બિંદુ $(2, 3)$ થી ચોરસ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના અંતરનો વર્ગ ઓછા $13$ દર્શાવે છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2)$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ થી શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરતા,મહત્તમ અંતર $(-2, -2)$ બિંદુ પર મળે છે,જે $41$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $41 - 13 = 28$ થાય છે.

(B) ધારો કે $R$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $h$ તેની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $V$ એ પાણીનું કદ છે.
કિસ્સો $1$: પાયો સપાટી પર છે. ખાલી ભાગ એ ઉપરના ભાગમાં $a$ ઊંચાઈ ધરાવતો નાનો શંકુ છે. સમાન ત્રિકોણો દ્વારા,પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{h}(h-a)$ છે. પાણીનું કદ $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi r^2 a = \frac{1}{3}\pi R^2 h (1 - \frac{a^3}{h^3})$ છે.
કિસ્સો $2$: ઉલટું રાખેલું છે. પાણી નીચેના ભાગમાં $h - \frac{a}{4}$ ઊંચાઈ ધરાવતો નાનો શંકુ બનાવે છે. પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{R}{h}(h - \frac{a}{4})$ છે. પાણીનું કદ $V = \frac{1}{3}\pi r_1^2 (h - \frac{a}{4}) = \frac{1}{3}\pi R^2 h (\frac{h - a/4}{h})^3$ છે.
કદને સરખાવતા: $1 - \frac{a^3}{h^3} = (1 - \frac{a}{4h})^3$. ધારો કે $k = \frac{h}{a}$.
$1 - \frac{1}{k^3} = (1 - \frac{1}{4k})^3 = (\frac{4k-1}{4k})^3$.
$\frac{k^3-1}{k^3} = \frac{(4k-1)^3}{64k^3} \Rightarrow 64(k^3-1) = (4k-1)^3 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1$.
$64k^3 - 64 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1 \Rightarrow 48k^2 - 12k - 63 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $16k^2 - 4k - 21 = 0$. $k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(16)(-21)}}{32} = \frac{4 \pm \sqrt{1360}}{32} = \frac{1 + \sqrt{85}}{8}$.

(D) આપેલ અસમતાઓ $a^4+b^4 < 1$ અને $a^2+b^2 > 1$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $x, y > 0$ માટે વક્ર $x^2+y^2=1$ (ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ) અને $x^4+y^4=1$ (સ્કવર્કલ) ધ્યાનમાં લો.
વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ માટે,$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 1 - 2x^2y^2$ થાય. $x, y > 0$ હોવાથી,$x^2y^2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^4+y^4 < 1$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ ચરણમાં $a^4+b^4 < 1$ વાળો વિસ્તાર વર્તુળ $a^2+b^2=1$ ની બહાર આવે છે,જ્યારે $a^2+b^2 > 1$ વાળો વિસ્તાર વર્તુળની બહાર આવે છે. જોકે,વક્ર $a^4+b^4=1$ વાસ્તવમાં પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $a^2+b^2=1$ કરતા મોટો વિસ્તાર આવરી લે છે.
ચોક્કસ રીતે,$a, b > 0$ માટે,$a^2+b^2 > 1$ અને $a^4+b^4 < 1$ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ અને સ્કવર્કલ વચ્ચેનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
આ વિસ્તાર શૂન્ય ન હોવાથી,આ અસમતાઓનું સમાધાન કરતી ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓની અસંખ્ય જોડીઓ $(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,આવી જોડીઓની સંખ્યા $2$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
નળાકારનું કદ $V_{cyl} = \pi r^2 h$ અને અર્ધગોલકનું કદ $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_1 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
જ્યારે નળાકારની ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે $(h \to 2h)$,ત્યારે નવું કદ $V_2$ નીચે મુજબ થાય:
$V_2 = \pi r^2 (2h) + \frac{2}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
આપેલ છે કે કદમાં $50\,\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $V_2 = 1.5 V_1 = \frac{3}{2} V_1$.
$\frac{2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3} = \frac{3}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$4 \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3 = 3 \pi r^2 h + 2 \pi r^3$.
$\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{2}{3} r$.
હવે,જો ઊંચાઈ $h$ અચળ રાખીને ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(r \to 2r)$,તો નવું કદ $V'_2$ નીચે મુજબ થાય:
$V'_2 = \pi (2r)^2 h + \frac{2}{3} \pi (2r)^3 = 4 \pi r^2 h + \frac{16}{3} \pi r^3$.
$h = \frac{2}{3} r$ ને $V'_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V'_2 = 4 \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3 + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{24}{3} \pi r^3 = 8 \pi r^3$.
$r$ ના સંદર્ભમાં મૂળ કદ $V_1$:
$V_1 = \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$.
ગુણોત્તર $\frac{V'_2}{V_1} = \frac{8 \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 8 \times \frac{3}{4} = 6$.
કદમાં વધારો $V'_2 - V_1 = 6 V_1 - V_1 = 5 V_1$.
ટકાવારી વધારો = $\frac{5 V_1}{V_1} \times 100\,\% = 500\,\%$.

(B) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યા અનુક્રમે $h$ અને $r$ છે,જ્યાં $h, r \in \mathbb{Z}^+$.
આપેલ છે કે શંકુનું ઘનફળ તેના કુલ પૃષ્ઠફળ જેટલું છે:
$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \pi r l + \pi r^2$,જ્યાં $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.
$\pi r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ હોવાથી):
$\frac{1}{3} r h = \sqrt{h^2 + r^2} + r$
$\frac{1}{3} r h - r = \sqrt{h^2 + r^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$r^2(\frac{h-3}{3})^2 = h^2 + r^2$
$r^2(h^2 - 6h + 9) = 9h^2 + 9r^2$
$r^2 h^2 - 6h r^2 = 9h^2$
$h$ વડે ભાગતા:
$h(r^2 - 9) = 6r^2$
$h = 6 + \frac{54}{r^2 - 9}$.
$h$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r^2 - 9$ એ $54$ નો ભાજક હોવો જોઈએ અને $r > 3$ હોવો જોઈએ.
$54$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$ છે.
જો $r^2 - 9 = 27$,તો $r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$. તેથી $h = 6 + 2 = 8$.
આમ,માત્ર એક જ શંકુ શક્ય છે $(r, h) = (6, 8)$.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $1$ છે. તેથી,$AB = AD = 1$.
ધારો કે ચોરસ $PQRS$ ની બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
$PQ$ અને $RS$ એ $AC$ ને સમાંતર હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ એ $AB$ અને $AD$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. તો $A=(0,0)$,$B=(1,0)$,$D=(0,1)$.
ચાપ $BD$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો ભાગ છે.
રેખા $AC$ એ $y=x$ છે. $PQ$ એ $AC$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y=x+c$ છે.
ચોરસ $PQRS$ ની ભૂમિતિ અને ચાપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,બાજુની લંબાઈ $s$ માટે $s^2 = 2/5$ મળે છે જ્યારે $ABCD$ ની બાજુ $1$ હોય.
આમ,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{s^2}{1^2} = \frac{2}{5}$ થાય.

(A) શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ એ વૃતાંશની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,જે $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ છે.
શંકુના પાયાનો પરિઘ એ વૃતાંશની ચાપની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
શંકુના પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$.
વૃતાંશની ચાપની લંબાઈ $= l \theta = 13 \theta$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $13 \theta = 10 \pi$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \frac{10 \pi}{13}$.

(B) નિયમિત ષટ્કોણનો આંતરિક ખૂણો $120^\circ$ છે. બાહ્ય ખૂણો $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ છે. ગાય $R = \frac{5a}{2}$ ત્રિજ્યા અને $240^\circ$ ખૂણાવાળા વૃત્તાંશમાં ચરી શકે છે.
જેમ જેમ દોરડું ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર વીંટળાય છે,તેમ દરેક વળાંક પર ત્રિજ્યા $a$ જેટલી ઘટે છે.
$1$. વૃત્તાંશ $1$: ત્રિજ્યા $R_1 = \frac{5a}{2}$,ખૂણો $\theta_1 = 240^\circ = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{2} R_1^2 \theta_1 = \frac{25\pi a^2}{12}$.
$2$. વૃત્તાંશ $2$: ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{3a}{2}$,ખૂણો $\theta_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન. ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{3\pi a^2}{8}$.
$3$. વૃત્તાંશ $3$: ત્રિજ્યા $R_3 = \frac{a}{2}$,ખૂણો $\theta_3 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન. ક્ષેત્રફળ $A_3 = \frac{\pi a^2}{24}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= A_1 + A_2 + A_3 = \frac{5}{2} \pi a^2$.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ $XY$-સમતલનું કોઈપણ બિંદુ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ કંપનીનો ખર્ચ $2 \times PA$ અને બીજી કંપનીનો ખર્ચ $3 \times PB$ છે.
આપણે તે વિસ્તાર શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં પ્રથમ કંપની સસ્તી છે,તેથી $2 PA < 3 PB$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 PA^2 < 9 PB^2$.
બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(0, 3)$ ની કિંમતો મૂકતા,$4[(x-2)^2 + y^2] < 9[x^2 + (y-3)^2]$.
વિસ્તરણ કરતા,$4(x^2 - 4x + 4 + y^2) < 9(x^2 + y^2 - 6y + 9)$.
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 < 9x^2 + 9y^2 - 54y + 81$.
પદોને ગોઠવતા,$5x^2 + 5y^2 + 16x - 54y + 65 > 0$.
$5$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 3.2x - 10.8y + 13 > 0$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા,$(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 > 18.72$.
આ દર્શાવે છે કે વિસ્તાર વર્તુળ $(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 = 18.72$ ની બહારનો છે.

(C) ધારો કે $R$ એ અર્ધવર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ કેન્દ્ર $C$ વાળા નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $O$ એ અર્ધવર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે.
$C$ થી વ્યાસ $AB$ નું અંતર $r$ છે.
$C$ થી કેન્દ્ર $O$ નું અંતર $R - r$ છે (કારણ કે નાનું વર્તુળ અર્ધવર્તુળ $S$ ને સ્પર્શે છે).
ધારો કે $T$ એ વ્યાસ $AB$ પર $C$ નો પ્રક્ષેપ છે. તેથી $CT = r$.
આમ,$C$ નું $O$ થી અંતર એ $C$ નું રેખા $AB$ થી અંતર અને અન્ય અચળના સરવાળા જેટલું છે.
આ ભૌમિતિક ગુણધર્મ પરવલયની વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે,જ્યાં નિશ્ચિત બિંદુ (નાભિ) થી અંતર એ નિશ્ચિત રેખા (નિયામિકા) થી અંતર જેટલું હોય છે.
તેથી,$C$ નો બિંદુપથ એ પરવલયનો ચાપ છે.

(D) ધારો કે $C(4, 5)$ એ $R = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $P(h, k)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જે કેન્દ્ર $C$ આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CPB$ માં,$CP = R \cos(\frac{\theta}{2}) = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ થાય.
અંતર $CP$ એ કેન્દ્ર $(4, 5)$ થી બિંદુ $P(h, k)$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $CP^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$.
આમ,$(h-4)^2 + (k-5)^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta}{2})$.
આ $r = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $r_i = 2 \cos(\frac{\theta_i}{2})$,તેથી $r_i^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_i}{2})$.
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ માટે,$r_1^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{6}) = 4 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3$.
$\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$r_3^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$ હોવાથી,$3 = r_2^2 + 1$,જેનો અર્થ છે કે $r_2^2 = 2$.
$r_2^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2})$ મૂકતા,આપણને $4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = 2$ મળે,તેથી $\cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\theta_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.

(D) પ્રદેશ $E$ એ $y \geq 3-x$ અને $y \leq \sqrt{9-x^2}$ દ્વારા $0 \leq x \leq 3$ માટે મર્યાદિત છે.
બિંદુ $(p, p+1)$ એ રેખા $y = x+1$ પર આવેલું છે.
$p$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે $y = x+1$ નું $E$ ની સીમાઓ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$1$. $y = 3-x$ સાથે છેદબિંદુ:
$x+1 = 3-x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
તેથી,$p = 1$ (આ $a$ છે).
$2$. $y = \sqrt{9-x^2}$ સાથે છેદબિંદુ:
$x+1 = \sqrt{9-x^2} \implies (x+1)^2 = 9-x^2 \implies x^2+2x+1 = 9-x^2 \implies 2x^2+2x-8 = 0 \implies x^2+x-4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x \geq 0$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ લઈએ છીએ.
તેથી,$p = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ (આ $b$ છે).
આમ,$p \in \left(1, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,જ્યાં $a = 1$ અને $b = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
આપણે $b^2+b-a^2$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$b^2+b-4 = 0$ હોવાથી,$b^2+b = 4$ થાય.
તેથી,$b^2+b-a^2 = 4 - (1)^2 = 4-1 = 3$.

(D) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે. $A$ અને $B$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $\lambda$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર હોવાથી,$x_1^2 + y_1^2 = \lambda^2$ અને $x_2^2 + y_2^2 = \lambda^2$ થાય.
$AB = \lambda$ લંબાઈ આપેલ હોવાથી,અંતર સૂત્ર મુજબ $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = \lambda^2$,જેનું સાદુંરૂપ $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$ થાય.
વર્તુળના સમીકરણો મૂકતા,$2\lambda^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$,તેથી $x_1x_2 + y_1y_2 = \frac{\lambda^2}{2}$ મળે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $AB$ ને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$h = \frac{2x_2 + 3x_1}{5}$ અને $k = \frac{2y_2 + 3y_1}{5}$ મળે.
તેથી $25(h^2 + k^2) = (2x_2 + 3x_1)^2 + (2y_2 + 3y_1)^2 = 4(x_2^2 + y_2^2) + 9(x_1^2 + y_1^2) + 12(x_1x_2 + y_1y_2)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $25(h^2 + k^2) = 4\lambda^2 + 9\lambda^2 + 12(\frac{\lambda^2}{2}) = 13\lambda^2 + 6\lambda^2 = 19\lambda^2$.
આમ,$h^2 + k^2 = \frac{19}{25}\lambda^2$,જે $\frac{\sqrt{19}}{5}\lambda$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $B = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{3(4 \cos \theta) + 2(1)}{3 + 2} = \frac{12 \cos \theta + 2}{5} \Rightarrow 12 \cos \theta = 5h - 2$
$k = \frac{3(4 \sin \theta) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{12 \sin \theta + 4}{5} \Rightarrow 12 \sin \theta = 5k - 4$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(12 \cos \theta)^2 + (12 \sin \theta)^2 = (5h - 2)^2 + (5k - 4)^2$
$144 = 25(h - \frac{2}{5})^2 + 25(k - \frac{4}{5})^2$
$(h - \frac{2}{5})^2 + (k - \frac{4}{5})^2 = \frac{144}{25} = (\frac{12}{5})^2$
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ છે.
$AC$ ની લંબાઈ એ $A(1, 2)$ અને $C(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AC = \sqrt{(1 - \frac{2}{5})^2 + (2 - \frac{4}{5})^2} = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-16x-4y=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(8, 2)$ છે.
ધારો કે $(8, 2)$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખાનું સમીકરણ $(y-2) = m(x-8)$ છે.
રેખા ધન અક્ષોને છેદતી હોવાથી,તેનો ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $m = -k$ લો જ્યાં $k > 0$.
$x$-અંતઃખંડ $OA$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા: $-2 = m(x-8) \Rightarrow x-8 = -2/m \Rightarrow OA = 8 - 2/m$.
$m < 0$ હોવાથી,$m = -k$ $(k > 0)$ લેતા,$OA = 8 + 2/k$.
$y$-અંતઃખંડ $OB$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા: $(y-2) = m(-8) \Rightarrow y = 2 - 8m = 2 + 8k$.
આપણે $f(k) = OA + OB = 8 + 2/k + 2 + 8k = 10 + 2/k + 8k$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2/k + 8k}{2} \geq \sqrt{(2/k)(8k)} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$2/k + 8k \geq 8$.
$OA+OB$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $10 + 8 = 18$ થાય.

(A) ધારો કે $M(h, k)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી દોરેલી જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=1$ નું કેન્દ્ર $C(0, 1)$ છે.
$CM \perp OM$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{k-1}{h-0}\right) \cdot \left(\frac{k-0}{h-0}\right) = -1$
$\frac{k(k-1)}{h^2} = -1$
$k^2-k = -h^2$
$h^2+k^2-k = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2-y=0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1/2$ છે.
રેખા $x+y-1=0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 1/2)$ થી રેખા $x+y-1=0$ નું લંબ અંતર $p$:
$p = \frac{|0 + 1/2 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-p^2}$ છે:
$PQ = 2\sqrt{(1/2)^2 - (1/(2\sqrt{2}))^2} = 2\sqrt{1/4 - 1/8} = 2\sqrt{1/8} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(4,4)$,અને $D(0,4)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ રેખા $y=x$ પર આવેલો છે.
$AEFG$ એ $2$ બાજુવાળો ચોરસ હોવાથી,$F$ ના યામ $(2,2)$ થશે.
વર્તુળ રેખાઓ $BC$ $(x=4)$ અને $CD$ $(y=4)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $O(4-r, 4-r)$ છે.
વર્તુળ $F(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $OF=r$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(4-r-2)^2 + (4-r-2)^2 = r^2$.
$(2-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
$2(4 - 4r + r^2) = r^2$.
$r^2 - 8r + 8 = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(x, y)$ થી $(2, 1)$ અને $(1, 3)$ ના અંતરનો ગુણોત્તર $5:4$ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2}} = \frac{5}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(x-2)^2 + (y-1)^2}{(x-1)^2 + (y-3)^2} = \frac{25}{16}$.
$16(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1) = 25(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9)$.
$16x^2 - 64x + 80 + 16y^2 - 32y + 16 = 25x^2 - 50x + 25 + 25y^2 - 150y + 225$.
પદોને ગોઠવતા,$9x^2 + 9y^2 + 14x - 118y + 170 = 0$ મળે છે.
આને $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + 170 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=9, b=9, c=0, d=14, e=-118$ મળે છે.
હવે,$a^2 + 2b + 3c + 4d + e = (9)^2 + 2(9) + 3(0) + 4(14) - 118$.
$= 81 + 18 + 0 + 56 - 118 = 155 - 118 = 37$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=169$ છે,જે $x^2+y^2=r^2$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $r=13$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે નિયામક વર્તુળ (director circle) એ એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી વર્તુળ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે,જેનું સમીકરણ $x^2+y^2=2r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ માટે,$r^2=169$,તેથી નિયામક વર્તુળ $x^2+y^2=2(169) = 338$ છે.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
હવે,તપાસો કે બિંદુ $(17,7)$ એ નિયામક વર્તુળ $x^2+y^2=338$ પર આવેલું છે કે નહીં:
$17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$.
બિંદુ $(17,7)$ એ નિયામક વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી આ બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે અને $\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે,$RS$ એ $x^2+y^2=1$ નો વ્યાસ છે. ધારો કે $P = (\cos \theta, \sin \theta)$.
$P$ આગળનો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ છે. $S(1,0)$ આગળનો સ્પર્શક $x = 1$ છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,$Q = \left(1, \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \left(1, \tan \frac{\theta}{2}\right)$ મળે.
$Q$ માંથી પસાર થતી અને $RS$ ($x$-અક્ષ) ને સમાંતર રેખા $y = \tan \frac{\theta}{2}$ છે.
$P$ આગળનો અભિલંબ $y = x \tan \theta$ છે.
ધારો કે $E = (h, k)$. તો $k = \tan \frac{\theta}{2}$ અને $k = h \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = h \frac{2k}{1-k^2}$ મળે.
આમ,$1-k^2 = 2h$,અથવા બિંદુપથ $2x = 1-y^2$ છે.
બિંદુઓ ચકાસતા:
$x = 1/3$ માટે,$1-y^2 = 2/3$ $\Rightarrow y^2 = 1/3$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{3}$.
તેથી,બિંદુઓ $(1/3, 1/\sqrt{3})$ અને $(1/3, -1/\sqrt{3})$ બિંદુપથ પર છે.
$x = 1/4$ માટે,$1-y^2 = 2/4 = 1/2$ $\Rightarrow y^2 = 1/2$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{2} \neq \pm 1/2$.
તેથી,બિંદુપથ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $M \equiv (h, k)$. $MP$ અને $MQ$ એ વર્તુળો $S_1$ અને $S_2$ પરના સ્પર્શકો હોવાથી અને $M$ એ સ્પર્શબિંદુ હોવાથી,$MP = MQ$. વળી,$\angle PMQ = 90^{\circ}$.
તેથી,$MP$ નો ઢાળ $\times MQ$ નો ઢાળ $= -1$.
$\left(\frac{k-7}{h+2}\right) \times \left(\frac{k+5}{h-2}\right) = -1$
$(k-7)(k+5) = -(h+2)(h-2)$
$k^2 - 2k - 35 = -(h^2 - 4) = -h^2 + 4$
$h^2 + k^2 - 2k - 39 = 0$. આમ,$E_1: x^2 + y^2 - 2y - 39 = 0$.
$E_2$ માટે,ધારો કે $E_1$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,એટલે કે $xh + yk - (y + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39$.
તે $R(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$h + k - (1 + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39 \Rightarrow h^2 + k^2 - h - 2k + 1 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $(D)$ $(0, 3/2)$ માટે $0 + 9/4 - 3 - 39 \neq 0$,તેથી તે $E_1$ માં નથી. આમ $(D)$ સાચું છે.

(D) આપેલ સમીકરણો: $x^2+y^2-8x=0$ $(1)$ અને $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ $(2)$.
$(2)$ પરથી,$4x^2-9y^2=36 \Rightarrow 9y^2=4x^2-36$.
$(1)$ માંથી $y^2=8x-x^2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $4x^2-9(8x-x^2)=36$.
$4x^2-72x+9x^2=36 \Rightarrow 13x^2-72x-36=0$.
$(13x+6)(x-6)=0$,તેથી $x=6$ અથવા $x=-\frac{6}{13}$.
$x=6$ માટે,$y^2=8(6)-6^2=48-36=12$,તેથી $y=\pm\sqrt{12}$.
આમ,$A=(6, \sqrt{12})$ અને $B=(6, -\sqrt{12})$.
ધારો કે $P=(\alpha, \beta)$ એ $2x-3y+4=0$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $2\alpha-3\beta+4=0$.
$\triangle PAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h=\frac{6+6+\alpha}{3} = \frac{12+\alpha}{3}$ અને $k=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{12}+\beta}{3} = \frac{\beta}{3}$ છે.
તેથી $\alpha=3h-12$ અને $\beta=3k$.
$2\alpha-3\beta+4=0$ માં મૂકતા: $2(3h-12)-3(3k)+4=0$.
$6h-24-9k+4=0 \Rightarrow 6h-9k=20$.
મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $6x-9y=20$ છે.

(C) ધારો કે વ્યાસનો બીજો અંતિમ બિંદુ $(t, 3-t)$ છે કારણ કે તે રેખા $x+y=3$ પર આવેલો છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર એ $(1, 1)$ અને $(t, 3-t)$ અંતિમ બિંદુઓ ધરાવતા વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{1+t}{2}$ અને $k = \frac{1+3-t}{2} = \frac{4-t}{2}$.
આ સમીકરણો પરથી,$t = 2h-1$ અને $t = 4-2k$ મળે છે.
$t$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2h-1 = 4-2k$
$2h+2k = 5$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $2x+2y=5$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=4$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
ધારો કે $P(h,k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી કેન્દ્ર અને $P$ ને જોડતી રેખા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
કેન્દ્ર,સ્પર્શબિંદુ અને $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{OP}$ મળે.
$\frac{1}{2} = \frac{4}{\sqrt{h^2+k^2}}$.
$\sqrt{h^2+k^2} = 8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2=64$ મળે.
$(h,k)$ ને $(x,y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2=64$ થાય.

(B) વર્તુળના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને તે વર્તુળનું નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ સમીકરણ ધરાવતા વર્તુળ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=2r^{2}$ થાય છે.
અહીં,આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ છે,તેથી $r^{2}=16$.
આ કિંમત નિયામક વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^{2}+y^{2}=2(16) = 32$ મળે છે.
આમ,માંગેલ બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=32$ છે.

(B) ધારો કે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $C(x_{1}, y_{1})$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,$OA = OB = r = 2$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા).
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$OC \perp AB$.
$\Delta OCB$ માં,$\angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB = 45^{\circ}$.
$\Delta OCB$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(45^{\circ}) = \frac{OC}{OB}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{4}$
$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 2$
$(x_{1}, y_{1})$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $A(\cos \alpha, \sin \alpha)$,$B(\sin \alpha, -\cos \alpha)$,અને $C(1, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3} \implies 3x - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$
$y = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3} \implies 3y - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(3x - 1)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$(3y - 2)^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y - 2)^2 = 2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 - 12y + 4 = 2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x - 12y + 3 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA:PB = 2:1$,તેથી $PA^2 = 4PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2$ અને $PB^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4[(x-1)^2 + (y-2)^2]$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4]$
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 8x - 16y + 20$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$3x^2 + 3y^2 - 4x - 14y + 15 = 0$.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$. આપેલ શરત $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ છે.
કારણ કે અંતરનો સરવાળો $PA + PB$ એ નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેના અંતર જેટલો છે (એટલે કે $PA + PB = AB = 4$),તેથી બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ બંનેનો $x$-યામ $2$ છે,તેથી તેમને જોડતો રેખાખંડ એક શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ એ $y = -2$ અને $y = 2$ ની વચ્ચેની શિરોલંબ રેખા $x = 2$ નો રેખાખંડ છે.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$. આપેલ શરત $PA = 2PB$ છે.
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x+4)^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-4)^2 + y^2 = 4((x+4)^2 + y^2)$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 + 8x + 16 + y^2)$.
$3x^2 + 3y^2 + 40x + 48 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 + \frac{40}{3}x + 16 = 0$.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $O' = (-\frac{20}{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{20}{3})^2 - 16} = \frac{16}{3}$ છે.
આપેલ રેખા $3y - 3x - 20 = 0$ છે,જે $y - x - \frac{20}{3} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ચકાસો કે કેન્દ્ર $(-\frac{20}{3}, 0)$ રેખા પર છે કે નહીં: $0 - (-\frac{20}{3}) - \frac{20}{3} = 0$. હા,તે છે.
રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,જીવા $CD$ એ વ્યાસ છે.
અંતર $CD = 2r = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $AP + BP = 2$.
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2$.
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y-1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 - 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$-2x + 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$-2$ વડે ભાગતા:
$x - y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 4 - 2xy + 4x - 4y = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$.
$3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0$.

(A) ધારો કે ચલ બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $A(2, -2)$ થી અંતર $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 2)^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA = 2|x|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PA^2 = 4x^2$.
$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4x^2$.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 = 4x^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x^2 - y^2 + 4x - 4y - 8 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle APQ$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, 0)$,$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$,અને $Q(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{a + a \cos \theta + b \sin \theta}{3} \implies 3h - a = a \cos \theta + b \sin \theta$
$k = \frac{0 + a \sin \theta - b \cos \theta}{3} \implies 3k = a \sin \theta - b \cos \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - a)^2 + (3k)^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2$
$(3h - a)^2 + 9k^2 = a^2 + b^2$
$(h - \frac{a}{3})^2 + k^2 = \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}\right)^2$
આમ,બિંદુપથ એ કેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}$ વાળું વર્તુળ છે.

(B) $1$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો: $M = (\frac{4+2}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$.
$2$. $P(x, y)$ નું $M(3, 4)$ થી અંતર વધુમાં વધુ $5$ એકમ છે: $(x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 5^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ થાય છે.
$3$. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $x + y - 7 = 0$ છે.
$4$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માટે $0 + 0 - 7 = -7 < 0$ થાય છે. તેથી $P$ એ $x + y - 7 < 0$ શરતનું પાલન કરે છે.
$5$. આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ અને $x + y - 7 < 0$ છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $P(x, y)$ છે.
ત્રિકોણ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી $\angle P = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $P$ એવા વર્તુળ પર આવેલું છે જેનો વ્યાસ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ મૂકતા:
$(x-1)(x-4) + (y-2)(y-5) = 0$
$x^2 - 5x + 4 + y^2 - 7y + 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 5x - 7y + 14 = 0$.