Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે વ્યાસ $AC$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
$\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 25$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓના યામ $(h \pm r \cos \theta, k \pm r \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$C = (x_2, y_2)$ માટે,ધન ચિહ્નનો ઉપયોગ કરતા:
$x_2 = 3 + 25 \times \frac{4}{5} = 3 + 20 = 23$
$y_2 = 2 + 25 \times \frac{3}{5} = 2 + 15 = 17$
$A = (x_1, y_1)$ માટે,ઋણ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1 = 3 - 25 \times \frac{4}{5} = 3 - 20 = -17$
$y_1 = 2 - 25 \times \frac{3}{5} = 2 - 15 = -13$
તેથી,$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = \frac{(-17) \times 23}{(-13) \times 17} = \frac{-17 \times 23}{-13 \times 17} = \frac{23}{13}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O = (x, y)$ છે. વર્તુળ $A(-1, 1)$,$B(2, -1)$ અને $C(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2 = r^2$.
$OA^2 = OB^2$ પરથી:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$6x - 4y = 3$ ... $(i)$
$OA^2 = OC^2$ પરથી:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
$4x - 2y = -1$ ... $(ii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -\frac{5}{2}$ અને $y = -\frac{9}{2}$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{5}{2} - 1)^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$.

(A) રેખા પરિઘને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\frac{1}{1+2} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ ના ચાપના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
ધારો કે $O(5, 3)$ એ કેન્દ્ર છે અને $d$ એ કેન્દ્રથી રેખા $4x + 3y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$d = \frac{|4(5) + 3(3) - 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 9 - 4|}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
કેન્દ્ર,જીવાનું મધ્યબિંદુ અને પરિઘ પરના બિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો ચાપના ખૂણાનો અડધો એટલે કે $60^{\circ}$ થાય.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(60^{\circ}) = \frac{d}{R}$,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Rightarrow R = 10$.
કેન્દ્ર $(5, 3)$ અને ત્રિજ્યા $10$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 10^2$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2+4x-6y-3=0$
$C_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$
સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g=2, f=-3, c=-3$. કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4$.
$C_2$ માટે: $g=2, f=-1, c=1$. કેન્દ્ર $O_2 = (-2, 1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+1-1} = \sqrt{4} = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
અહીં $|r_1 - r_2| = |4 - 2| = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = |r_1 - r_2|$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,ત્યારે માત્ર $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1, f=-3, c=6$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ વર્તુળનો એક વ્યાસ એ $O(2, 1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા મોટા વર્તુળની જીવા છે.
આ જીવાની લંબાઈ નાના વર્તુળના વ્યાસ જેટલી છે,જે $2r = 2(2) = 4$ છે.
ધારો કે $A(1, 3)$ એ નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $B$ એ નાના વર્તુળની પરિઘ પરનું બિંદુ છે જેથી $AB$ એ ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
કેન્દ્રો $(2, 1)$ અને $(1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $OA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
મોટા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$,નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $A$ અને જીવા પરના બિંદુ $B$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $R^2 = OA^2 + r^2$ છે,જ્યાં $R$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$R^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.
તેથી,$R = \sqrt{9} = 3$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ અને બિંદુ $(1, 6)$ છે,પાવર $-16$ છે.
બિંદુ $(1, 6)$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $4x^2+4y^2-12x-12y+9=0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2-3x-3y+\frac{9}{4}=0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^2-3x)+(y^2-3y)=-\frac{9}{4}$ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ થાય છે,જે $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r=\frac{3}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્રનું બંને અક્ષોથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી (એટલે કે $|h|=|k|=r=\frac{3}{2}$),વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y-23=0$ છે. કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 6$ છે.
બિંદુ $P(-1, -5)$ વર્તુળની અંદર છે કારણ કે $CP = 5 < 6$.
ન્યૂનતમ અંતર ધરાવતું બિંદુ $A$ એ રેખા $CP$ પર આવેલું છે.
$A = C + \frac{r}{CP} \vec{CP} = (3, -2) + \frac{6}{5}(-4, -3) = (-\frac{9}{5}, -\frac{28}{5})$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+4y+4=0$ છે.
કેન્દ્ર $O(2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
બિંદુ $P(3, 3)$ અને કેન્દ્ર $O(2, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y+2 = \frac{3+2}{3-2}(x-2)$ એટલે કે $y=5x-12$ છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q(a, b)$ આ રેખા પર હોવાથી $b=5a-12$ થાય.
સૂત્ર $OQ \cdot OP = r^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$OP = \sqrt{26}$ મળે.
તેથી $OQ \cdot \sqrt{26} = 4 \Rightarrow OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$.
$Q(a, b)$ એ $OP$ પર હોવાથી અને $OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$ હોવાથી,ગણતરી કરતા $a=\frac{28}{13}$ અને $b=-\frac{16}{13}$ મળે.
તેથી $a+5b = \frac{28}{13} + 5(-\frac{16}{13}) = \frac{28-80}{13} = -4$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0$ છે.
વર્તુળ $(-1,-1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2-2g-2f+C=0$,એટલે કે $2g+2f-C=2$ $... (i)$.
બિંદુ $(2,0)$ ની પાવર $-4$ છે,તેથી $4+4g+C=-4$,એટલે કે $C=-8-4g$ $... (ii)$.
$(1,1)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $2$ છે,તેથી $2+2g+2f+C=4$,એટલે કે $2g+2f+C=2$ $... (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $2g+2f-8-4g=2$,એટલે કે $f-g=5$ $... (iv)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2g+2f+8+4g=2$,એટલે કે $3g+f=-3$ $... (v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ ઉકેલતા,$g=-2$ અને $f=3$ મળે છે. સમીકરણ $(ii)$ પરથી $C=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-C} = \sqrt{4+9-0} = \sqrt{13}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+8y+6=0$ છે. કેન્દ્ર $(2, -4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{14}$ છે.
$(2, \alpha)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તે વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ. તેથી,$\alpha^2+8\alpha+2 < 0$ મળે.
$\alpha$ ની કિંમતો $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ અંતરાલમાં છે.
જીવા $(2, \alpha)$ માંથી પસાર થાય છે અને ત્રિજ્યાને લંબ છે,તેથી જીવા $y=\alpha$ રેખા છે.
આમ,$y$-અંતઃખંડ $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ અંતરાલમાં છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0$ છે. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1$,$f = 2$,અને $c = -11$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-11)} = \sqrt{16} = 4$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{3}$ છે. ધારો કે $d$ એ કેન્દ્ર $(1, -2)$ થી જીવા $2x + 3y + k = 0$ નું લંબ અંતર છે.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$d = \frac{|2(1) + 3(-2) + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k - 4|}{\sqrt{13}}$ મળે.
વર્તુળમાં,$r^2 = d^2 + (L/2)^2$. કિંમતો મૂકતા,$16 = d^2 + 3$,તેથી $d^2 = 13$ અને $d = \sqrt{13}$.
આમ,$\frac{|k - 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$,જેનો અર્થ છે $|k - 4| = 13$.
તેથી $k = 17$ અથવા $k = -9$.
$k$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $17 + (-9) = 8$ થાય.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ છે.
ધારો કે $M(a, b)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. રેખા $CM$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
રેખા $x+y+1=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$CM \perp AB$ હોવાથી,$CM$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થશે.
$C(2, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $CM$ નું સમીકરણ $y - (-1) = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x - 3$ અથવા $x - y = 3$ થાય છે.
$M(a, b)$ એ રેખા $x+y+1=0$ અને $x-y=3$ બંને પર હોવાથી,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$a+b = -1$
$a-b = 3$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2a = 2$,તેથી $a = 1$ મળે.
$a=1$ ને $a-b=3$ માં મુકતા,$1-b=3$,તેથી $b = -2$ મળે.
આમ,$a-b = 1 - (-2) = 3$.

(C) વિધાન $I$: વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ માટે,$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{f^2-c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = -2$ અને $c = 1$. આમ,અંતઃખંડ $2\sqrt{(-2)^2-1} = 2\sqrt{4-1} = 2\sqrt{3}$ છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y+6=0$ માટે,$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $g = -2$ અને $c = 6$. આમ,અંતઃખંડ $2\sqrt{(-2)^2-6} = 2\sqrt{4-6} = 2\sqrt{-2}$ છે. વર્ગમૂળમાં કિંમત ઋણ હોવાથી,વર્તુળ $X$-અક્ષને છેદતું નથી. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$: રેખા $y=2x+1$ અથવા $2x-y+1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $p$ એ ત્રિજ્યા $r=3$ કરતા ઓછું હોય. અહીં,$p = \frac{|2(0)-(0)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. કારણ કે $p = \frac{1}{\sqrt{5}} < 3$,રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,$I$ સાચું,$II$ ખોટું અને $III$ સાચું છે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ છે. $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1, f=2, c=-20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1^2+2^2-(-20)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -2)$ થી રેખા $3x+4y-6=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3(-1)+4(-2)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-3-8-6|}{5} = \frac{17}{5}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{17}{5})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{289}{25}} = 2\sqrt{\frac{625-289}{25}} = 2\sqrt{\frac{336}{25}} = 2 \times \frac{\sqrt{16 \times 21}}{5} = 2 \times \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{21}$ થાય.

(A) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,4)$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,4)$ થી રેખા $x+y+2=0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
જીવાની લંબાઈ $6$ છે,તેથી અડધી જીવાની લંબાઈ $AB = \frac{6}{2} = 3$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^2 = d^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $A(2,1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર $AP$ ની ગણતરી કરીએ:
$AP = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.
કારણ કે $Q$ એ રેખાખંડ $PA$ પર આવેલું છે અને $PQ=5$ છે,તેથી અંતર $AQ = AP - PQ = 10 - 5 = 5$.
આમ,$Q$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે કારણ કે $AQ = PQ = 5$.
$Q$ ના યામ $\left(\frac{10+2}{2}, \frac{7+1}{2}\right) = (6,4)$ છે.
કારણ કે $Q(6,4)$ વર્તુળ પર આવેલું છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$6^2 + 4^2 - 4(6) - 2(4) + c = 0$
$36 + 16 - 24 - 8 + c = 0$
$20 + c = 0$
$c = -20$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=61$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{61}$ છે.
$PA=PB=10$ હોવાથી,$P$ એ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. કેન્દ્ર $O$ પણ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. તેથી,$OP \perp AB$.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ છે.
$AB \perp OP$ હોવાથી,રેખા $l$ (એટલે કે $AB$) નો ઢાળ $m_l = \frac{5}{6}$ થાય.
રેખા $l$ નું સમીકરણ $5x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં લેતા,વિકલ્પ $(c)$ ચકાસતા $5x-6y+11=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $mx-y+c=0$ છે.
રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા પરના લંબનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોય.
લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$d < r$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
આ અસમતા સૂચવે છે કે:
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $C = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $P(2, -1)$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{r^3 \sqrt{PC^2-r^2}}{PC^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2^3 \times \sqrt{20-4}}{20} = \frac{8 \times 4}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5}$.

(C) વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $A(x_1, y_1)$ ની પાવર $S_1 = x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ છેદિકા રેખા માટે જે વર્તુળને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે,રેખાખંડોની લંબાઈનો ગુણાકાર એ બિંદુની પાવર જેટલો હોય છે,એટલે કે $AP \cdot AQ = S_1$.
આપેલ બિંદુ $A(5,7)$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-36=0$ માટે,આપણી પાસે $S_1 = 5^2+7^2-36$ છે.
$S_1 = 25+49-36 = 74-36 = 38$.
તેથી,$AP \cdot AQ = 38$.

(C) રેખાઓ $x=0$ અને $y=0$ એ $3x+4y-24=0$ રેખા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $3x+4y-24=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left|\frac{3r+4r-24}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| = r$.
$\left|\frac{7r-24}{5}\right| = r$.
કિસ્સો $1$: $7r-24 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 24$ $\Rightarrow r = 12$.
કિસ્સો $2$: $7r-24 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 24$ $\Rightarrow r = 2$.
અંતઃવૃત્ત ત્રિકોણની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $r=12$ શક્ય નથી. તેથી $r=2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ છે.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમાંતર સ્પર્શકોના સમીકરણો $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 8y + 8 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
વ્યાસ $\frac{3}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને ધન યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-12x-10y+52=0$.
આ વર્તુળને $(x-6)^2+(y-5)^2 = 9$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $C_1(r, r)$ અને $C_2(6, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = r_1+r_2 = r+3$ થાય.
તેથી,$\sqrt{(r-6)^2+(r-5)^2} = r+3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(r-6)^2+(r-5)^2 = (r+3)^2$.
$r^2-12r+36+r^2-10r+25 = r^2+6r+9$.
$r^2-28r+52 = 0$.
$(r-2)(r-26) = 0$,તેથી $r=2$ અથવા $r=26$.
$r=2$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r+3 = 2+3 = 5$ છે.
$r=26$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r+3 = 26+3 = 29$ છે.
વિકલ્પોમાં $5$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $5$ છે.

(C) અભિલંબનું સમીકરણ $x^2-3xy-3x+9y=0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,એટલે કે $(x-3y)(x-3)=0$.
આમ,બે અભિલંબ $x-3y=0$ અને $x=3$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે: $x=3$ અને $x=3y$,જે $y=1$ આપે છે.
તેથી,જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3,1)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(3,-3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = \sqrt{9+9-17} = \sqrt{1} = 1$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $r_1+r_2 = \sqrt{(3-3)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{0^2+4^2} = 4$.
$r_1=1$ મૂકતા,$1+r_2=4$,તેથી $r_2=3$.
કેન્દ્ર $(3,1)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2-6x+9+y^2-2y+1=9$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ ધારો. $\tan(2\alpha) = \frac{24}{7}$ હોવાથી,$\tan\alpha = 3/4$ મળે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ માં,$\sin\alpha = \frac{r}{CP} = \frac{3}{CP} = 3/5$,તેથી $CP = 5$.
બિંદુ $P(h, k)$ માટે $(h-3)^2 + (k-2)^2 = 25$ થાય.
રેખા $4h - 3k = 6$ પરથી $h = \frac{6 + 3k}{4}$ મૂકતા,$k^2 - 4k - 12 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $k = 6$ અથવા $k = -2$ છે.
તેથી $P$ ના યામ $(6, 6)$ અથવા $(0, -2)$ મળે છે.

(A) આપેલ સ્પર્શકો:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots$ $(i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots$ $(ii)$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{5}{12}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
વ્યાસ $2r = 2$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 1$ મળે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-1)^2+(y-1)^2 = 1$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C=(1,1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $A=(0,-2)$ અને કેન્દ્ર $C=(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર $AC = \sqrt{(1-0)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{10}$ છે.
મહત્તમ અંતર $AB = AC+r = \sqrt{10}+1$ થાય.
તેથી,$(AB)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $(\sqrt{10}+1)^2 = 11+2\sqrt{10}$ થાય.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ પરના બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{S_1}}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $S_1$ એ બિંદુની વર્તુળ સાપેક્ષ ઘાત છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 - (-2)} = \frac{7}{2}$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ માટે $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 4$ મળે છે.
તેથી,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7/2}{\sqrt{4}}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(8, y_0)$ છે. જીવા વર્તુળ $x^2+y^2=75$ ની અંદર હોવાથી,મધ્યબિંદુ $8^2+y_0^2 < 75$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $64+y_0^2 < 75$,એટલે કે $y_0^2 < 11$. તેથી,$y_0 \in (-3.31, 3.31)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી મધ્યબિંદુ $M(8, y_0)$ ને જોડતી ત્રિજ્યાનો ઢાળ $m_r = \frac{y_0}{8}$ છે.
જીવા આ ત્રિજ્યાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{8}{y_0}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $m$ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$y_0 = -\frac{8}{m}$ જ્યાં $m \neq 0$ પૂર્ણાંક છે.
જો આપણે $y_0$ ને પૂર્ણાંક તરીકે લઈએ,તો $y_0 \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
$y_0=0$ માટે,$m$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$y_0 \in \{-2, -1, 1, 2\}$ માટે,$m = -8/y_0$ પૂર્ણાંક મળે છે. આ કિંમતો $m \in \{4, 8, -8, -4\}$ છે.
આમ,કુલ $4$ જીવાઓ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\angle APB = \pi / 4$. જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O(h, k)$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\angle AOB = 2 \angle APB = \pi / 2$ થાય.
$OA = OB$ હોવાથી,$\triangle OAB$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 3)$ છે. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $x = 2$ છે,તેથી $h = 2$.
$\angle AOB = 90^\circ$ હોવાથી,$O(2, k)$ થી $A(-1, 3)$ નું અંતર $R$ છે,અને $OA^2 + OB^2 = AB^2$.
$AB^2 = (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 = 6^2 = 36$.
$OA^2 = (2 - (-1))^2 + (k - 3)^2 = 9 + (k - 3)^2$.
$OA = OB$ હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = R^2$,તેથી $2R^2 = 36 \Rightarrow R^2 = 18$.
$9 + (k - 3)^2 = 18$ $\Rightarrow (k - 3)^2 = 9$ $\Rightarrow k - 3 = \pm 3$.
આમ,$k = 6$ અથવા $k = 0$.
કેન્દ્રો $(2, 6)$ અને $(2, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 6)$ માટે,સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 12y + 36 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 12y + 22 = 0$ થાય.
કેન્દ્ર $(2, 0)$ માટે,સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 14 = 0$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળના પ્રચલિત સમીકરણો $x = 12 \cos \theta$ અને $y = 12 \sin \theta$ છે.
બિંદુ $A$ માટે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$x_A = 12 \cos \frac{\pi}{3} = 6$
$y_A = 12 \sin \frac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}$
તેથી,$A = (6, 6\sqrt{3})$.
બિંદુ $B$ માટે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$:
$x_B = 12 \cos \frac{\pi}{6} = 6\sqrt{3}$
$y_B = 12 \sin \frac{\pi}{6} = 6$
તેથી,$B = (6\sqrt{3}, 6)$.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ અંતરના સૂત્ર દ્વારા:
$AB = \sqrt{(6\sqrt{3} - 6)^2 + (6 - 6\sqrt{3})^2}$
$AB = 6\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.

(B) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-6x+2y-28=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=1, c=-28$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (3, -1)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+(1)^2-(-28)} = \sqrt{9+1+28} = \sqrt{38}$ એકમ.
ધારો કે $OD$ એ કેન્દ્ર $O(3, -1)$ થી રેખા $2x-5y+18=0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$OD = \left|\frac{2(3)-5(-1)+18}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}\right| = \left|\frac{6+5+18}{\sqrt{4+25}}\right| = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$ એકમ.
$\triangle OAD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^2 = r^2 - OD^2 = (\sqrt{38})^2 - (\sqrt{29})^2 = 38 - 29 = 9$.
$AD = 3$ એકમ.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી જીવાની લંબાઈ $\lambda = AB = 2AD = 2 \times 3 = 6$ એકમ.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ છે. કેન્દ્ર $C$ $(3, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$(-1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{4}{3}$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x-3y+7=0$ છે.
સમાંતર જીવાનું સમીકરણ $4x-3y+k=0$ છે. સ્પર્શક અને જીવા વચ્ચેનું અંતર $1$ હોવાથી,$|k-7|=5$,તેથી $k=12$ અથવા $k=2$.
કેન્દ્રથી અંતર તપાસતા,$k=2$ માટે જીવા મળે છે. જીવાનું સમીકરણ $4x-3y+2=0$ છે.
$CP$ રેખાનું સમીકરણ $3x+4y=1$ મળે છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,મધ્યબિંદુ $\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = r$ છે અને $C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = 3r$ છે.
કેન્દ્રો $O_1(1, 2)$ અને $O_2(3, -2)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ માટે $d^2 = (3-1)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$ થાય.
વર્તુળો લંબછેદી હોવાથી,શરત $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 = (3r)^2 + r^2 = 9r^2 + r^2 = 10r^2$.
આમ,$10r^2 = 20$,જેનો અર્થ છે $r^2 = 2$.
કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-4x+2y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+4y-11=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-11)} = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\cos \theta = \frac{2 - 9 - 16}{2(3)(4)} = \frac{-23}{24}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{-23}{24})^2 = \frac{47}{576}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{47}}{24}$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y-6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-2y+k=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{10-k}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = C_1C_2^2 = (3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 = 20$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 16 + (10-k) - 2(4)(\sqrt{10-k})(\frac{-5}{24})$.
$k - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{10-k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(k-6)^2 = \frac{25}{9}(10-k)$.
$9k^2 - 83k + 74 = 0$.
$(k-1)(9k-74) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,$k = \frac{74}{9}$.

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5-c}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{2}$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ લેતા,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$.
ઉકેલતા,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર $x-y=0$ રેખા પર હોવાથી,$-g - (-f) = 0$,એટલે કે $g=f$.
તેથી,વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2gy=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ થાય.
અહીં,$g_1=g, f_1=g, c_1=0$ અને $g_2=-2, f_2=-3, c_2=10$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2(g)(-2) + 2(g)(-3) = 0 + 10$.
$-4g - 6g = 10$ $\Rightarrow -10g = 10$ $\Rightarrow g = -1$.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-0} = \sqrt{2}$.
વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ $2r = 2\sqrt{2}$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-12y+43=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$S_1$ માટે: $g_1 = -1, f_1 = -2, c_1 = -4$. ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1+4-(-4)} = 3$.
$S_2$ માટે: $g_2 = -4, f_2 = -6, c_2 = 43$. ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{16+36-43} = 3$.
કેન્દ્રો $C_1(1, 2)$ અને $C_2(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{5^2 - 3^2 - 3^2}{2(3)(3)} = \frac{25 - 9 - 9}{18} = \frac{7}{18}$.
તેથી,$\sec \theta = \frac{18}{7}$.
હવે,$|7 \sec \theta - 18 \cos \theta| = |7(\frac{18}{7}) - 18(\frac{7}{18})| = |18 - 7| = 11$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-9=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4y-1=0$ છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને ત્રિજ્યા $r_1$ અનુક્રમે $(1, 0)$ અને $\sqrt{10}$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ અનુક્રમે $(0, 2)$ અને $\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=16$ ની ત્રિજ્યા $r_1=4$ અને કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ છે.
સામાન્ય જીવાની મહત્તમ લંબાઈ નાના વર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2r_1 = 8$ એકમ છે. આ જીવા $C_1$ ના કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
$m = \frac{3}{4}$ ઢાળવાળી અને $(0,0)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $y = \frac{3}{4}x$ અથવા $3x - 4y = 0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર $O_2(h, k)$ છે. સામાન્ય જીવા $C_1$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $O_1O_2$ સામાન્ય જીવાને લંબ હોય છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ છે,તેથી $O_1O_2$ રેખાનો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ છે.
આમ,$O_2$ ના યામ $(3a, -4a)$ તરીકે લખી શકાય.
$O_1(0,0)$ થી જીવાનું અંતર $0$ છે. $O_2(3a, -4a)$ થી જીવા $3x - 4y = 0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3a) - 4(-4a)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9a + 16a|}{5} = 5|a|$ છે.
$C_2$ ની ત્રિજ્યા $(R_2=5)$,અંતર $d$,અને જીવાની અડધી લંબાઈ $(4)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$R_2^2 = d^2 + 4^2$,તેથી $25 = d^2 + 16$,જે $d^2 = 9$ આપે છે,એટલે કે $d = 3$.
તેથી,$5|a| = 3 \Rightarrow |a| = \frac{3}{5}$.
જો $a = \frac{3}{5}$,તો $O_2 = \left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$.
જો $a = -\frac{3}{5}$,તો $O_2 = \left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ એ વિકલ્પ $A$ છે.