Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(D) ધારો કે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
જો બે વર્તુળોને કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય,તો તેઓ બે સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે:
$1$. એક વર્તુળ બીજાની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું હોય: આ કિસ્સામાં,$d < |r_1 - r_2|$,અને $0$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.
$2$. વર્તુળો એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે અલગ હોય: આ કિસ્સામાં,$d > r_1 + r_2$,અને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો ($2$ સીધા અને $2$ ત્રાંસા) હોય છે.
તેથી,કાં તો $0$ અથવા $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હશે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3,4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $|r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_2 - r_1|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે,ત્યારે તેમને $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.
માગેલ વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_1(-2, 3)$ અને સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
રેખા $O_1P$ નો ઢાળ $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ આગળ અભિલંબની રેખાનો ઢાળ $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ થશે.
આ અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે,જે આ રેખા પર હોવાથી $3h-4k=7$ થાય.
વળી,$(h, k)$ થી $P(1, -1)$ નું અંતર $R$ છે અને $(h, k)$ થી $(4, 0)$ નું અંતર પણ $R$ છે. તેથી,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$.
જેથી $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ મળે.
સમીકરણો $3h-4k=7$ અને $3h+k=7$ ઉકેલતા,$5k=0 \Rightarrow k=0$ અને $h=7/3$ મળે.
આમ,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ મળે છે. (નોંધ: ગણતરી મુજબ $R=5$ સાચો જવાબ છે).

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=1$ માટે:
કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$,ત્રિજ્યા $R_1 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_2 = (1,3)$,ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{1^2+3^2-6} = \sqrt{4} = 2$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ છે.
અહીં $\sqrt{10} \approx 3.16$ અને $R_1+R_2 = 1+2 = 3$ હોવાથી,$d > R_1+R_2$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી અને બહારની તરફ આવેલા છે.
તેથી,કુલ $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો દોરી શકાય.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+2hx+2ky=0$ અને $x^2+y^2+2px+2qy=0$ છે.
બંને વર્તુળો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y=0$ ઉગમબિંદુ પર એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ સાથે સમરેખ હોય,જેનો અર્થ છે $\frac{g_1}{f_1} = \frac{g_2}{f_2}$,અથવા $g_1f_2 = g_2f_1$.
અહીં,$g_1=h, f_1=k, g_2=p, f_2=q$.
તેથી,ઉગમબિંદુ પર સ્પર્શવાની શરત $hq = pk$ છે,જેનો અર્થ છે $hq - pk = 0$.
વળી,$hq = pk$ હોવાથી અને $p, k \neq 0$,આપણને $\frac{hq}{pk} = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$hq - pk - \frac{hq}{pk} = 0 - 1 = -1$.

(B) જ્યારે બે વર્તુળોને માત્ર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = r_1 + r_2$ હોય,ત્યારે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
આ કિસ્સામાં,સ્પર્શબિંદુ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક રેડિકલ અક્ષ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સ્પર્શબિંદુ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$
$x^2+y^2+4x-4y+\alpha=0$
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = 3$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 - \alpha} = \sqrt{8-\alpha}$.
બે વર્તુળોને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$d > r_1 + r_2$
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
તેથી,$5 > 3 + \sqrt{8-\alpha}$
$2 > \sqrt{8-\alpha}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 > 8 - \alpha$
$\alpha > 4$.
$\alpha$ ની $4$ કરતા મોટી ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $5$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+2y+1=0$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1+1-1} = 1$ છે.
વર્તુળ $S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1+1-1} = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = 2$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે:
$\text{સ્પર્શબિંદુ} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) = (0, -1)$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે $y$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $g^2=c$ છે.
વર્તુળ માટે $x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $f^2=c$ છે.
વિધાન $I$: $x^2+y^2-6x-4y-7=0$. અહીં $g=-3$ અને $c=-7$. $g^2 = (-3)^2 = 9$ અને $c = -7$ હોવાથી,$g^2 \neq c$. તેથી,તે $y$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
વિધાન $II$: $x^2+y^2+6x+4y-7=0$. અહીં $f=2$ અને $c=-7$. $f^2 = (2)^2 = 4$ અને $c = -7$ હોવાથી,$f^2 \neq c$. તેથી,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
તેથી,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ સાચું નથી.

(D) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-2x-6y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(1, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-9} = \sqrt{1} = 1$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+6x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(-3, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2+1^2-1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
અહીં $\sqrt{20} \approx 4.47$ અને $r_1 + r_2 = 1 + 3 = 4$ હોવાથી,$d > r_1 + r_2$ થાય છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી અને એકબીજાની બહાર આવેલા છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) ધારો કે $C$ એ ત્રિકોણનું ત્રીજું શિરોબિંદુ છે. $S(0,0)$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $S$ પર આંતરાતો ખૂણો $\angle ASB = 2\theta$ છે,જ્યાં $\theta = \angle ACB$ એ ત્રીજા શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો છે.
$AS$ નો ઢાળ = $\frac{2-0}{1-0} = 2$.
$BS$ નો ઢાળ = $\frac{1-0}{2-0} = \frac{1}{2}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્ર મુજબ,$\tan(2\theta) = \left|\frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)}\right| = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$.
તેથી,$\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{3}{4}$.
$3\tan^2\theta + 8\tan\theta - 3 = 0$.
$(3\tan\theta - 1)(\tan\theta + 3) = 0$.
ત્રિકોણ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta$ લઘુકોણ હોવો જોઈએ,તેથી $\tan\theta = \frac{1}{3}$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુ પર આંતરાતો ખૂણો $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $x+y-5=0$ પર હોવાથી,$h+k=5$ મળે.
વર્તુળ રેખાઓ $x=2$ અને $y=5$ ને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h-2| = |k-5|$ થાય.
પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$r = 2-h$ અને $r = 5-k$ લેતા,$h = 2-r$ અને $k = 5-r$ મળે.
$h+k=5$ માં કિંમત મૂકતા: $(2-r) + (5-r) = 5$ $\Rightarrow 7-2r = 5$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$.
તેથી,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$x+y=6$ $(1)$,$2x+y=4$ $(2)$,અને $x+2y=5$ $(3)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $x = -2, y = 8$. શિરોબિંદુ $A = (-2, 8)$.
$(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $x = 1, y = 2$. શિરોબિંદુ $B = (1, 2)$.
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $x = 7, y = -1$. શિરોબિંદુ $C = (7, -1)$.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે. કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $R$) હોય છે.
$(a+2)^2 + (b-8)^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 = (a-7)^2 + (b+1)^2$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $2a - 4b = -21$ અને $4a - 2b = 15$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a = \frac{17}{2}$ અને $b = \frac{19}{2}$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{17}{2}, \frac{19}{2})$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-1=0$,$L_2: x-y-1=0$ અને $L_3: y+1=0$ છે.
આ ત્રણેય રેખાઓ સમાંતર નથી અને એક જ બિંદુમાં છેદતી નથી,તેથી તેઓ એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,એક અંતઃવર્તુળ (incircle) હોય છે જે ત્રણેય બાજુઓને અંદરથી સ્પર્શે છે.
વધુમાં,ત્રણ બહિર્વર્તુળો (excircles) હોય છે,જેમાંથી દરેક ત્રિકોણની એક બાજુને બહારથી અને બાકીની બે બાજુઓના લંબાવેલા ભાગને સ્પર્શે છે.
તેથી,ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોની કુલ સંખ્યા $1 + 3 = 4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5$ છે.
રેખા $x = 1 + \frac{r}{2}$ અને $y = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ માટે ગોઠવતા,$r = 2(x-1)$ અને $r = \frac{2}{\sqrt{3}}(y+2)$ મળે છે.
સરખાવતા,$\sqrt{3}x - y - (\sqrt{3}+2) = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(2, -1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}-1|}{2}$ છે.
$d < R$ હોવાથી,રેખા વર્તુળને બે બિંદુઓમાં છેદે છે.
રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી નથી,તેથી તે વ્યાસ સિવાયની જીવા છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ છે.
કેન્દ્ર $y=x+1$ પર હોવાથી,$k = h+1$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આ વર્તુળ $Y$-અક્ષ પર $2$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે. $x=0$ મૂકતા,$h^2 + (y-k)^2 = k^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 2ky + h^2 = 0$ થાય.
અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = 2\sqrt{k^2 - h^2} = 2$ છે.
તેથી,$k^2 - h^2 = 1$.
$k = h+1$ મૂકતા,$(h+1)^2 - h^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે $h^2 + 2h + 1 - h^2 = 1$,તેથી $2h = 0$,એટલે કે $h=0$.
તેથી $k = 0+1 = 1$.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(0, 1)$ છે.
આપણે $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ શોધવાનું છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $0^2 + 1^2 - 26(0) - 20(1) + 19 = 1 - 20 + 19 = 0$.
આમ,વર્તુળ $x^2+y^2-26x-20y+19=0$ એ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-4y-8=0$ છે. કેન્દ્ર $C(2,2)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે.
રેખા $AB$ માટે,$CM^2-PM^2=12$ શરત સંતોષાય છે.
વિકલ્પ $2y+3=0$ એટલે કે $y=-1.5$ માટે,કેન્દ્ર $(2,2)$ થી અંતર $3.5$ છે અને $P(2,-2)$ થી અંતર $0.5$ છે.
$3.5^2 - 0.5^2 = 12.25 - 0.25 = 12$.
તેથી,સાચો જવાબ $2y+3=0$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 6y + c = 0$ છે.
કેન્દ્ર $O = (1, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10 - c}$ છે.
કેન્દ્ર $(1, -3)$ થી રેખા $4x - 3y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = 3$ છે.
$r^2 = d^2 + (AB/2)^2$ મુજબ,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$.
તેથી $10 - c = 25 \implies c = -15$.
બિંદુ $(1, k)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$1^2 + k^2 - 2(1) + 6k - 15 = 0 \implies k^2 + 6k - 16 = 0$.
$(k + 8)(k - 2) = 0$. $k > 0$ હોવાથી,$k = 2$.

(C) વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની પાવર $(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 - r^2 = 9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, -1)$,ત્રિજ્યા $r=4$,અને કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ રેખા $x+y=0$ પર છે,તેથી $\beta = -\alpha$.
કેન્દ્ર બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha < 0$ અને $\beta > 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(2-\alpha)^2 + (-1-\beta)^2 - 4^2 = 9$.
$\beta = -\alpha$ હોવાથી,$(2-\alpha)^2 + (-1+\alpha)^2 - 16 = 9$.
વિસ્તરણ કરતા: $(4 - 4\alpha + \alpha^2) + (1 - 2\alpha + \alpha^2) - 16 = 9$.
$2\alpha^2 - 6\alpha + 5 - 16 = 9 \implies 2\alpha^2 - 6\alpha - 20 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $\alpha^2 - 3\alpha - 10 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha - 5)(\alpha + 2) = 0$.
$\alpha < 0$ હોવાથી,$\alpha = -2$.
તેથી $\beta = -(-2) = 2$.
આમ,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખાઓનું લંબ અંતર સમાન હોય તો ત્રિજ્યા $r$ મળે.
રેખાઓ $x=0$,$x-y=0$ અને $2x+3y-10=0$ માટે અંતર $d_1 = |h|$,$d_2 = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$ અને $d_3 = \frac{|2h+3k-10|}{\sqrt{13}}$ છે.
$d_1 = d_2 = d_3$ લેતા,ઉકેલતા ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{\sqrt{13}}$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-10x-4y+19=0$.
કેન્દ્ર $C_1 = (5, 2)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{10}$.
નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
વર્તુળ $(2,3)$ પર સ્પર્શે છે અને વિકલ્પ $B$ આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને યોગ્ય ત્રિજ્યા ધરાવે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-0)^2 = r^2$ છે.
$P$ એ વર્તુળના સાપેક્ષમાં $A$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ હોવાથી,$C, P, A$ સમરેખ છે અને $CP \cdot CA = r^2$.
સદિશ $\vec{CA} = (1-2, 2-0) = (-1, 2)$.
સદિશ $\vec{CP} = \left(\frac{7}{5}-2, \frac{6}{5}-0\right) = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$.
અહીં $\vec{CP} = \frac{3}{5} \vec{CA}$ છે,તેથી $P$ એ $CA$ પર આવેલું છે.
અંતર $CA = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
અંતર $CP = \sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
આમ,$r^2 = CP \cdot CA = \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) \cdot \sqrt{5} = 3$.
તેથી,$r = \sqrt{3}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=8^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=8$ છે. રેખા $y=\sqrt{3}x$ છે,જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ રેડિયનનો ખૂણો બનાવે છે.
આ પ્રદેશ એ $r=8$ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ ધરાવતો વર્તુળાકાર વૃતાંશ છે.
વર્તુળાકાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \times (8)^2 \times \frac{\pi}{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\pi}{3} = \frac{32 \pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે બંદર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે.
$2 \text{ hours}$ પછી,પ્રથમ જહાજ $A$ બંદરથી $8 \times 2 = 16 \text{ km}$ ના અંતરે $E 50^{\circ} N$ દિશામાં છે.
બીજું જહાજ $B$ બંદરથી $12 \times 2 = 24 \text{ km}$ ના અંતરે $S 20^{\circ} E$ દિશામાં છે.
બંને દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E 50^{\circ} N$ દિશા એ પૂર્વ ધરીથી ઉત્તર તરફ $50^{\circ}$ છે.
$S 20^{\circ} E$ દિશા એ દક્ષિણ ધરીથી પૂર્વ તરફ $20^{\circ}$ છે.
પૂર્વ ધરી અને દક્ષિણ ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,બંને જહાજો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta = 50^{\circ} + (90^{\circ} - 20^{\circ}) = 50^{\circ} + 70^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
$\triangle OAB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $OA = 16$,$OB = 24$,અને $\angle AOB = 120^{\circ}$:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(120^{\circ})$
$AB^2 = 16^2 + 24^2 - 2(16)(24)(-0.5)$
$AB^2 = 256 + 576 + 384 = 1216$
$AB = \sqrt{1216} = \sqrt{64 \times 19} = 8 \sqrt{19} \text{ km}$.

(C) બિંદુઓ $P(0,0), Q(1,0)$ અને $R\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = 1, QR = 1, RP = 1$
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,અંતઃકેન્દ્ર (incenter) એ મધ્યકેન્દ્ર (centroid) સમાન હોય છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a=b=c=1$.
તેથી,$I = \left(\frac{0+1+\frac{1}{2}}{3}, \frac{0+0+\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2}+3y^{2}-9x+6y+5=0$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}+y^{2}-3x+2y+\frac{5}{3}=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (-\frac{g}{2}, -f)$ છે,જ્યાં $2g = -3$ અને $2f = 2$.
આમ,કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $(x_2, y_2) = (h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+h}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 1+h = 3$ $\Rightarrow h = 2$.
$\frac{2+k}{2} = -1$ $\Rightarrow 2+k = -2$ $\Rightarrow k = -4$.
તેથી,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(2, -4)$ છે.

(B, C) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $4x+3y-12=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે.
$\frac{|4r+3r-12|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = r$
$\frac{|7r-12|}{5} = r$
$|7r-12| = 5r$
કિસ્સો $1$: $7r-12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$.
સમીકરણ $(x-6)^{2}+(y-6)^{2} = 6^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ છે.
કિસ્સો $2$: $7r-12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$.
સમીકરણ $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ છે.
આમ,શક્ય સમીકરણો $x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ અને $x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ છે.

(B) બે વ્યાસ $x-y=0$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x-y) + (x+y) = 0 + 1$ $\Rightarrow 2x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને $x-y=0$ માં મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$R = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
$O(0, 0)$,$A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક $ax + by = 0$ છે.
$A(a, 0)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું અંતર $m = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$B(0, b)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું અંતર $n = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$m+n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આમ,વર્તુળનો વ્યાસ $m+n$ છે.

(B) છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે,$y=x$ ને વર્તુળના સમીકરણ $x^2+y^2-2x=0$ માં મૂકતા.
$x^2+x^2-2x=0$
$2x^2-2x=0$
$2x(x-1)=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=1$. $y=x$ હોવાથી,બિંદુઓ $A(0,0)$ અને $B(1,1)$ મળે છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
$(0,0)$ અને $(1,1)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-1)+(y-0)(y-1)=0$
$x(x-1)+y(y-1)=0$
$x^2-x+y^2-y=0$
$x^2+y^2-x-y=0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-8y+5=0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=4 \Rightarrow g=2$ અને $2f=-8 \Rightarrow f=-4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, 4)$ છે.
ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(h, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{h+2}{2} = -2$ $\Rightarrow h+2 = -4$ $\Rightarrow h = -6$
$\frac{k+1}{2} = 4$ $\Rightarrow k+1 = 8$ $\Rightarrow k = 7$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(-6, 7)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=169$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $O=(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=13$ છે.
બિંદુઓ $Q=(5, 12)$ અને $R=(-12, 5)$ વર્તુળ પર આવેલા છે કારણ કે $5^{2}+12^{2}=169$ અને $(-12)^{2}+5^{2}=169$ થાય છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{12-0}{5-0} = \frac{12}{5}$ છે.
$OR$ નો ઢાળ $m_{2} = \frac{5-0}{-12-0} = -\frac{5}{12}$ છે.
અહીં $m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OQ$ અને $OR$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\angle ROQ = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની જીવા દ્વારા પરિઘ પર બનતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા કરતાં અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle ROQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. જીવાઓ કાટખૂણે છેદતી હોવાથી,આપણે $AB$ ને $x$-અક્ષ પર અને $CD$ ને $y$-અક્ષ પર લઈ શકીએ.
આપેલ છે કે $AP = 2$,$PB = 6$,$CP = 3$,અને $PD = 4$,તેથી અંત્યબિંદુઓના યામ $A(-2, 0)$,$B(6, 0)$,$C(0, 3)$,અને $D(0, -4)$ થશે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે.
$AB$ નો લંબદ્વિભાજક $x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$ છે.
$CD$ નો લંબદ્વિભાજક $y = \frac{3 - 4}{2} = -0.5$ છે.
આમ,કેન્દ્ર $O(2, -0.5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $O(2, -0.5)$ થી $A(-2, 0)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (2 - (-2))^2 + (-0.5 - 0)^2 = 4^2 + (-0.5)^2 = 16 + 0.25 = 16.25 = \frac{65}{4}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ એકમ.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$ છે.
$y = mx$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + (mx)^2 - 20(mx) + 90 = 0$
$x^2(1 + m^2) - 20mx + 90 = 0$.
રેખા વર્તુળની બહાર રહે તે માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-20m)^2 - 4(1 + m^2)(90) < 0$
$400m^2 - 360(1 + m^2) < 0$
$400m^2 - 360 - 360m^2 < 0$
$40m^2 - 360 < 0$
$40m^2 < 360$
$m^2 < 9$
$|m| < 3$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_{1}(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-(-12)} = 5 \text{ એકમ}$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $C_{2}(2, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $C_{2}$ થી જીવા (જે પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે) નું લંબ અંતર $d = \sqrt{(2 - (-2))^{2} + (-3 - (-3))^{2}} = 4$ છે.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $R$ માટે,$R^{2} = d^{2} + r_{1}^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$.
તેથી,$R = \sqrt{41} \text{ એકમ}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=0$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 0)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, 0)$.
$T = x(1) + y(0) - 2(x+1) + 0(y+0) + 0 = x - 2x - 2 = -x - 2$.
$S_1 = (1)^2 + (0)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$.
$T = S_1$ લેતા,આપણને $-x - 2 = -3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 1$ થાય છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(0,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(0,1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2+1^2} = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = 1$ છે.
અંતર $d$ ની ત્રિજ્યાઓ સાથે સરખામણી કરતા:
$r_1 - r_2 = 4 - 1 = 3$.
અહીં $d < r_1 - r_2$ $(1 < 3)$ હોવાથી,વર્તુળ $C_2$ એ વર્તુળ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે.
તેથી,બંને વર્તુળો વચ્ચે કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક નથી.

(C) બિંદુ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ પર આવેલું છે.
આપણને રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ આપેલી છે.
ઉગમબિંદુ ધરાવતો પ્રદેશ અસમતાઓ $x+y < 2$ અને $x-y < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$x = 2 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$ મૂકતા:
$1$) $2 \cos \theta + 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta + \sin \theta < 1$.
$2$) $2 \cos \theta - 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta - \sin \theta < 1$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,છાયાંકિત પ્રદેશ વર્તુળના તે ભાગને અનુરૂપ છે જ્યાં $x$-યામ $0$ કરતા નાનો છે (એટલે કે $\cos \theta < 0$),જે $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માટે થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જીવા $y=x$ એ $C_{2}$ નો વ્યાસ છે. $C_{2}$ નું કેન્દ્ર $A(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને કેન્દ્ર $A$ થી સૌથી દૂર હોય તેવી જીવા,રેખાખંડ $AB$ ને લંબ હોય છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 5/2}{2 - 5/2} = -1$.
તેથી,જરૂરી જીવાનો ઢાળ $= 1$ થશે.
જીવાનું સમીકરણ $y - 3 = 1(x - 2)$ એટલે કે $x - y + 1 = 0$ છે.
$x + ay + b = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$a - b = -1 - 1 = -2$.

(B) ધારો કે $P = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ અને $Q = (\alpha, -5\alpha - 2)$.
$x-y+1=0$ એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ રેખા $x-y+1=0$ પર આવેલું છે.
મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2}, \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2})$.
$M$ ને $x-y+1=0$ માં મૂકતા:
$\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2} - \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2} + 1 = 0$
$\cos \theta - \sin \theta + 3\alpha + 2 = 0 \quad \dots(1)$
$PQ$ નો ઢાળ $-1$ છે.
$\frac{2 \sin \theta + 5\alpha + 2}{2 \cos \theta - \alpha} = -1$
$\sin \theta + \cos \theta + 2\alpha + 1 = 0 \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી $\alpha$ નો લોપ કરતા:
$5 \sin \theta + \cos \theta = 1$
$\cos \theta = 1$ અથવા $\cos \theta = -\frac{12}{13}$.
$P$ ના $x$-યામોનો સરવાળો $= 2(1) + 2(-\frac{12}{13}) = 2 - \frac{24}{13} = \frac{2}{13}$.
$13$ ગણા સરવાળો $= 13 \times \frac{2}{13} = 2$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે,કારણ કે તે $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
$y$-અંતઃખંડ માટે,$x = 0$ લેતા: $(0 - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow (y - r)^2 = r^2 - 9$.
આમ,$y = r \pm \sqrt{r^2 - 9}$. અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - 9} = 6\sqrt{3}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4(r^2 - 9) = 36 \times 3 = 108 \Rightarrow r^2 - 9 = 27 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 36$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 6)$ થી રેખા $x - y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 6 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{36 - 18} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$ થાય.

(B) ધારો કે જીવા $P(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષ પર $M(0, y_0)$ બિંદુએ દુભાગે છે. મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે. અહીં,$T = xx_1 + yy_1 + \frac{x+x_1}{2} - \frac{3(y+y_1)}{2}$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + x_1 - 3y_1$ છે. $x_1 = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $yy_0 + \frac{x}{2} - \frac{3(y+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ બને છે. જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$2y_0 + 0.5 - \frac{3(2+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ મળે છે. સાદું રૂપ આપતા,$2y_0 + 0.5 - 3 - 1.5y_0 = y_0^2 - 3y_0$,જે $y_0^2 - 3.5y_0 + 2.5 = 0$ અથવા $2y_0^2 - 7y_0 + 5 = 0$ આપે છે. ઉકેલ $y_0 = 1$ અને $y_0 = 2.5$ છે. જીવાઓના મધ્યબિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(0, 2.5)$ છે. $RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\alpha, \beta) = (0, \frac{1+2.5}{2}) = (0, 1.75)$ છે. આમ,$6(\alpha + \beta) = 6(0 + 1.75) = 10.5$. જોકે,ભૂમિતિ મુજબ ગણતરી કરતા વિકલ્પોને આધારે સાચો જવાબ $3$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(4, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $L: x - y - 4 = 0$ વર્તુળને $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
$PQ = PR$ માટે,$P$ એ જીવા $QR$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $-1$ થાય.
$(4, -3)$ માંથી પસાર થતા લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - (-3) = -1(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 1$ થાય છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ વર્તુળ અને રેખા $x + y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $\beta = 1 - \alpha$.
વર્તુળના સમીકરણમાં કિંમત મુકતા: $(\alpha - 4)^2 + (1 - \alpha + 3)^2 = 9$.
$(\alpha - 4)^2 + (4 - \alpha)^2 = 9 \implies 2(\alpha - 4)^2 = 9 \implies (\alpha - 4)^2 = 4.5$.
વળી,$6\alpha + 8\beta = 6\alpha + 8(1 - \alpha) = 8 - 2\alpha$.
$(\alpha - 4)^2 = 4.5$ પરથી,$\alpha - 4 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = 4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી $8 - 2\alpha = 8 - 2(4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}) = 8 - 8 \mp 3\sqrt{2} = \mp 3\sqrt{2}$.
આનો વર્ગ કરતા,$(6\alpha + 8\beta)^2 = (\mp 3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{3sqrt{3}}{4}R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = 27sqrt{3}$,તેથી $\frac{3sqrt{3}}{4}R^2 = 27sqrt{3}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $R^2 = 36$ મળે,એટલે કે $R = 6$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $2x - y = 4$ રેખા પર છે,તેથી $k = 2h - 4$. કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$ અને $k > 0$,જેનો અર્થ છે કે $2h - 4 > 0$,એટલે કે $h > 2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 36$ છે.
$x = 1$ રેખા પર જીવાની લંબાઈ $L = 2sqrt{R^2 - d^2}$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x = 1$ નું લંબ અંતર છે.
અહીં,$d = |h - 1|$. $h > 2$ હોવાથી,$d = h - 1$.
$L^2 = 4(36 - (h - 1)^2)$.