જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ હોય અને તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{93}}{2}$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\alpha = $

ધારો કે સદિશો $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ અને $\overline{UP}$ એ એક નિયમિત ષટ્કોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
$\text{વિધાન}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

જો $|a| = 4$,$|b| = 2$ અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|a \times b|^2$ ની કિંમત શોધો.

$(2a + 3b) \times (5a + 7b) = $

$A, B, C$ અને $D$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો,જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}$ છે.

ધારો કે $\bar{a}=4 \bar{i}+5 \bar{j}-\bar{k}$,$\bar{b}=\bar{i}-4 \bar{j}+5 \bar{k}$,$\bar{c}=3 \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ અને ધારો કે $\bar{\alpha}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બંનેને લંબ સદિશ છે જેથી $\bar{\alpha} \cdot \bar{c}=63$ થાય. તો $\bar{\alpha}=$