જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ત્રણ સદિશો એવા હોય કે જેથી $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ અને $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ અને જો $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ હોય,તો $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

ધારો કે $a, b, c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,અને $r = 2a - 3b + 4c$ છે. જો $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ હોય,તો:

ધારો કે $\vec{a}_n = (\tan \theta_n)\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b}_n = \hat{i} - (\cot \theta_n)\hat{j}$,જ્યાં $\theta_n = \frac{2^{n-1}\pi}{2^n+1}$,કોઈ $n \in N, n > 5$ માટે. તો $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2}$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ અને $\vec{d}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ ............. એકમ છે.

સદિશો $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ ............. $unit$ છે.