$p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$ का निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपों की लंबाइयों का योग क्या है, जहाँ $p = 4, q = -5, r = 7$ है ($\text{इकाई}$ में)?

बिंदु जिनके स्थिति सदिश $10\,i + 3\,j$,$12\,i - 5\,j$ और $a\,i + 11\,j$ हैं,संरेख हैं,यदि $a = $

यदि बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $i + j$,$i - j$ और $a i + b j + c k$ हैं,तो बिंदु $A, B, C$ संरेख होंगे यदि

मान लीजिए कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं। तो बिंदुओं $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}$ को जोड़ने वाली रेखा और बिंदुओं $2 \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}, \vec{a}-2 \vec{b}+4 \vec{c}$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है

$\triangle ABC$ में (नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है),बताएं कि निम्नलिखित सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$
(ii) $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$
(iii) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = \vec{0}$
(iv) $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{0}$

$P$ और $Q$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ हैं। यदि $R$,रेखा $PQ$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\overrightarrow{PR}=5 \overrightarrow{PQ}$,तो $R$ का स्थिति सदिश क्या है?