MHT CET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $S_1 \equiv p$ અને $S_2 \equiv q$. તેથી $S_1' \equiv \sim p$ અને $S_2' \equiv \sim q$.
સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે.
પ્રથમ શાખામાં $S_1$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં છે,જે $(p \wedge \sim q)$ દર્શાવે છે.
બીજી શાખામાં $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં છે,જે $(\sim p \wedge q)$ દર્શાવે છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ અભિવ્યક્તિ $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ થાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ $\sim(p \leftrightarrow q)$ ને સમતુલ્ય છે.

(C) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,તેનો વર્ગ $x^2$ હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટો હોય છે $(x^2 \geq 0)$.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે $x=0$ માટે,$x^2=0$ થાય,જે ધન નથી.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $x=0$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ $0$ છે,જે ધન નથી.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે $\sqrt{2}$ જેવી અસંમેય સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન $p$ નું સત્યતા મૂલ્ય નક્કી કરો. દરેક ચોરસ એક લંબચોરસ છે તે સાચું વિધાન છે,તેથી $p = T$.
પગલું $2$: વિધાન $q$ નું સત્યતા મૂલ્ય નક્કી કરો. દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ એક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે તે સાચું વિધાન છે,તેથી $q = T$.
પગલું $3$: $p \rightarrow q$ નું મૂલ્ય શોધો. $T \rightarrow T$ એ $T$ થાય છે,તેથી સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.
પગલું $4$: $p \leftrightarrow q$ નું મૂલ્ય શોધો. $T \leftrightarrow T$ એ $T$ થાય છે,તેથી સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(A) પ્રથમ ચરણ એ ધન $x$-અક્ષ $(0^\circ)$ અને ધન $y$-અક્ષ $(90^\circ)$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
પ્રથમ ચરણના ત્રણ સમાન ભાગ કરતી રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ અને $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓના સમીકરણો $y = \tan(30^\circ)x$ અને $y = \tan(60^\circ)x$ છે.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(B) રેખાઓ $x=5$ અને $y=3$ બિંદુ $(5, 3)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ખૂણાના દ્વિભાજકો $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ અને $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દ્વિભાજકોના ઢાળ $m = \tan 45^{\circ} = 1$ અને $m = \tan 135^{\circ} = -1$ છે.
દ્વિભાજકોના સમીકરણો:
$y - 3 = 1(x - 5) \Rightarrow y - x + 2 = 0$
$y - 3 = -1(x - 5) \Rightarrow y + x - 8 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - x + 2)(y + x - 8) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$ મળે છે.

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$,જે $x=0$ અને $x=1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $xy - x = 0 \implies x(y-1) = 0$,જે $x=0$ અને $y=1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $y^2 - x + 1 = 0$. આ એક પરવલય છે,રેખાઓની જોડી નથી,કારણ કે તેના બે રેખીય અવયવો પાડી શકાતા નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $xy + x + y + 1 = 0 \implies x(y+1) + 1(y+1) = 0 \implies (x+1)(y+1) = 0$,જે $x=-1$ અને $y=-1$ રેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,જે સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું નથી તે $y^2 - x + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $X = (a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$= c^2$ (કોસાઇનના નિયમ મુજબ).

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan^2 x = 1$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\tan x = \pm 1$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x = \tan \alpha$ હોય તો $x = n \pi + \alpha$ થાય.
$\tan x = 1$ માટે,$x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tan x = -1$ માટે,$x = n \pi - \frac{\pi}{4}$.
આ બંને પરિણામોને જોડતા,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin 2x + \cos 2x = 0$ છે.
$\cos 2x$ વડે ભાગતા,$\tan 2x = -1$ મળે.
$\tan \theta = -1$ હોવાથી $\theta = n\pi - \frac{\pi}{4}$ થાય,તેથી $2x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
આમ,$x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{(4n - 1)\pi}{8}$.
$\pi < x < 2\pi$ માટે:
જો $n = 3$ હોય,તો $x = \frac{11\pi}{8}$.
જો $n = 4$ હોય,તો $x = \frac{15\pi}{8}$.
બંને કિંમતો $(\pi, 2\pi)$ અંતરાલમાં આવેલી છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $6y = x^3 + 2$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે $y$-યામ એ $x$-યામ કરતાં $8$ ગણી ઝડપથી બદલાય છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,તેથી $16 = x^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$ અથવા $x = -4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $6y = (4)^3 + 2 = 64 + 2 = 66$,તેથી $y = 11$. બિંદુ $(4, 11)$ છે.
જો $x = -4$ હોય,તો $6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62$,તેથી $y = -31/3$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(4, 11)$ છે.

(A) રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)$.
અહીં,$x=1$ અને $h=0.1$ લો.
પ્રથમ,$f(1) = (1)^3 + 5(1)^2 - 7(1) + 9 = 1 + 5 - 7 + 9 = 8$ ગણો.
ત્યારબાદ,વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 10x - 7$ શોધો.
$f'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$f(1.1) \approx f(1) + 0.1 \times f'(1)$
$f(1.1) \approx 8 + 0.1 \times 6$
$f(1.1) \approx 8 + 0.6 = 8.6$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=e^x(\sin x-\cos x)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે રોલના પ્રમેયની શરતો તપાસીએ:
$1$. $f(x)$ એ $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ પર સતત છે અને $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ પર વિકલનીય છે.
$2$. $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4}(\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)) = e^{\pi/4}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$3$. $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{5\pi/4}(\sin(5\pi/4) - \cos(5\pi/4)) = e^{5\pi/4}(-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = 0$.
અહીં $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 0$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
હવે,$f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x) = 2e^x \sin x$.
$c \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ માટે $f'(c) = 0$ લેતા:
$2e^c \sin c = 0$.
$e^c \neq 0$ હોવાથી,$\sin c = 0$ મળે.
અંતરાલ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ માં,$\sin c = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $c = \pi$ હોય.

(B) વક્ર $y=2x-x^2$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન ($L$.$P$.$P$.) માટે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x_1+x_2 \leq 10$,$-2x_1+3x_2 \leq 15$,$x_1 \leq 6$,અને $x_1, x_2 \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$E(6,0)$,$F(6,4)$,$G(3,7)$,અને $D(0,5)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x_1+x_2$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:
$z(O) = 0+0 = 0$
$z(E) = 6+0 = 6$
$z(F) = 6+4 = 10$
$z(G) = 3+7 = 10$
$z(D) = 0+5 = 5$
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે,જે શિરોબિંદુઓ $F(6,4)$ અને $G(3,7)$ બંને પર મળે છે.
જ્યારે હેતુલક્ષી વિધેય બે અલગ-અલગ શિરોબિંદુઓ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે,ત્યારે તે બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર સમાન મહત્તમ કિંમત ધરાવશે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x) \cdot \sin x^{\circ}}{x^2} = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x^{\circ} = \sin(\frac{\pi x}{180})$.
તેથી,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{x} = k$.
$2$ અને $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\text{log}(1 + 2x)}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \right) = k$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\text{log}(1+u)}{u} = 1$ અને $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{180} \cdot 1 = k$.
આમ,$k = \frac{\pi}{90}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,શરત $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \neq 0$ માટે,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ થાય.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$ મળે છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ $-|x|$ અને $|x|$ બંને $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$.
અહીં $f(0) = k$ હોવાથી,$k = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/n}}{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}} dx \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n}}{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n} + (\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n}} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\operatorname{cosec} x)^{1/n}}{(\operatorname{cosec} x)^{1/n} + (\sec x)^{1/n}} dx \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}}{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x$.
વિધેય $f(x) = \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
હવે,$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસો:
$f(-x) = \log \left(\frac{2-\sin(-x)}{2+\sin(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin x}{2-\sin x}\right)$.
કારણ કે $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$,તેથી:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}\right]^3 = \left[7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)\right]^3$
$\Rightarrow \left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^7 = 343\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે,જે $3$ છે.
આમ,પરિમાણ $3$ છે અને કક્ષા $2$ છે.

(B) વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ. ધારો કે કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ ... $(i)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2a$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ છે.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સંકલ્યકારક અવયવ $\sin x$ છે,તેથી:
$e^{\int P dx} = \sin x$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\int P dx = \ln(\sin x)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]$
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$P = \cot x$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$
ચલને અલગ કરતા:
$y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$
ધારો કે $v = x \log x$,તો $dv = (1 + \log x) dx$
$\int \frac{dv}{v} = \int \frac{dy}{y}$
$\log(x \log x) = \log y + \log C$
$\log(x \log x) = \log(Cy)$
$x \log x = Cy$
આપેલ છે કે $x = e$ અને $y = e^2$:
$e \log e = C(e^2)$
$e(1) = Ce^2 \Rightarrow C = \frac{1}{e}$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \log x = \frac{y}{e}$
$y = ex \log x$

(C) આપેલ છે,$y = e^{m \sin^{-1} x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(m \sin^{-1} x) = y \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{m^2 y^2}{1 - x^2}$.
બંને બાજુ $(1 - x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = m^2 y^2$.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = A y^2$ સાથે કરતા,આપણને $A = m^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\log _{10}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=2$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 10^2 = 100$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$x^2 - y^2 = 100(x^2 + y^2)$.
$x^2 - y^2 = 100x^2 + 100y^2$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - 100x^2 = 100y^2 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $-99x^2 = 101y^2$ થાય છે.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(-99x^2) = \frac{d}{dx}(101y^2)$.
$-99(2x) = 101(2y) \frac{dy}{dx}$.
$-198x = 202y \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{198x}{202y} = -\frac{99x}{101y}$.

(B) ધારો કે $y_1 = \log (\sec \theta + \tan \theta)$.
તેથી,$\frac{dy_1}{d\theta} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} \cdot (\sec \theta \tan \theta + \sec^2 \theta)$.
$\frac{dy_1}{d\theta} = \frac{\sec \theta (\tan \theta + \sec \theta)}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta$.
ધારો કે $y_2 = \sec \theta$.
તેથી,$\frac{dy_2}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta$.
આપણે $\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/d\theta}{dy_2/d\theta} = \frac{\sec \theta}{\sec \theta \tan \theta} = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ શોધવાનું છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\frac{dy_1}{dy_2} = \cot \frac{\pi}{4} = 1$.

(D) ધારો કે $u = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ અને $v = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લો,જ્યાં $\theta = \sin ^{-1} x$.
તેથી $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^2 \theta}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \tan ^{-1}(\tan \theta) = \theta$.
અને $v = \sin ^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin ^3 \theta) = \sin ^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta$.
આપણે $\frac{du}{dv}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $u = \theta$ અને $v = 3 \theta$,તેથી $\frac{du}{d\theta} = 1$ અને $\frac{dv}{d\theta} = 3$.
તેથી,$\frac{du}{dv} = \frac{du/d\theta}{dv/d\theta} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d}{d x} \left( \int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x \right) = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x] + c)$.
ડાબી બાજુએ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{f(x)}{\log (\sin x)} = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x])$.
જમણી બાજુએ સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{d x} (\log [\log \sin x]) = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{d}{d x} (\log \sin x)$.
કારણ કે $\frac{d}{d x} (\log \sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{f(x)}{\log \sin x} = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \cot x$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $f(x) = \cot x$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(x^2+2) a^{(x+\tan^{-1} x)}}{x^2+1} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( \frac{x^2+1+1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx = \int \left( 1 + \frac{1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx$.
ધારો કે $u = x + \tan^{-1} x$.
તેથી,$du = (1 + \frac{1}{1+x^2}) dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int a^u du$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{a^u}{\ln a} + C$.
$u = x + \tan^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{a^{x+\tan^{-1} x}}{\ln a} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \left( \frac{4 e^x - 25}{2 e^x - 5} \right) dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$4 e^x - 25 = 10 e^x - 25 - 6 e^x = 5(2 e^x - 5) - 6 e^x$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{5(2 e^x - 5) - 6 e^x}{2 e^x - 5} \right) dx$.
$I = \int 5 dx - \int \frac{6 e^x}{2 e^x - 5} dx$.
$u = 2 e^x - 5$ લેતા,$du = 2 e^x dx$ મળે,તેથી $e^x dx = \frac{du}{2}$.
$I = 5x - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = 5x - 3 \log |u| + C$.
$I = 5x - 3 \log |2 e^x - 5| + C$.
આમ,$A = 5$ અને $B = -3$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$8+2x-x^2 = -(x^2-2x-8) = -(x^2-2x+1-9) = -( (x-1)^2 - 9 ) = 9 - (x-1)^2$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-(x-1)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-(x-1)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+c$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \csc x)$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{2 \theta}{1 - \theta^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x} \right) = \tan^{-1} (2 \csc x)$.
કારણ કે $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
ધારો કે $\sin x \neq 0$,તો આપણે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1 \Rightarrow \cot x = 1$.
આમ,$x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$\sin x + \cos x$ ની કિંમત શોધો:
$\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાઓ $x=0$ ($Y$-અક્ષ),$y=0$ ($X$-અક્ષ),$x=5$,$y=3$ અને $(0,0)$ તથા $(3,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$2$. $(0,0)$ અને $(3,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=x$ છે,જેને $x-y=0$ તરીકે લખી શકાય. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે આવેલો હોવાથી,અવરોધ $x-y \geq 0$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x=5$ પ્રદેશને જમણી બાજુએ મર્યાદિત કરે છે,તેથી $x \leq 5$.
$4$. આડી રેખા $y=3$ પ્રદેશને ઉપરની બાજુએ મર્યાદિત કરે છે,તેથી $y \leq 3$.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$6$. આ બધાને જોડતા,અવરોધો $x, y \geq 0, x-y \geq 0, x \leq 5, y \leq 3$ મળે છે.

(B) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેની અનુરૂપ સહઅવયવ (cofactor) સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય આપે છે,પરંતુ કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો અન્ય કોઈ હાર (અથવા સ્તંભ) ના સહઅવયવ સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા $0$ થાય છે.
અહીં,આપણે $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ ની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ,જે પ્રથમ હારના ઘટકો અને બીજી હારના સહઅવયવોનો ગુણાકાર છે.
તેથી,આ સરવાળો $0$ થશે.
ચકાસણી:
$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{13} = 0$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-0) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-1) = -1$
$a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23} = 1(-1) + 1(1) + 0(-1) = -1 + 1 + 0 = 0$.

(A) આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો ગુણધર્મ વાપરીએ છીએ: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$.
આપેલ પદાવલિ માટે આ લાગુ પાડતા:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$
કારણ કે $(M^{-1})^{-1} = M$,તેથી:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = A B$
હવે,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2)(0) + (3)(1) & (2)(-1) + (3)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 3 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(C) આપેલ છે કે $AX = I$,તેથી $X = A^{-1}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (1 \times 3) - (2 \times 4) = 3 - 8 = -5$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (adjoint) શોધો:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A$ ની ગણતરી કરો:
$X = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 10$ અને સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે (કારણ કે તે "True"/"False" કસોટી છે). નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ શોધવાની જરૂર છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
$P(X=7) = {}^{10}C_{7} (\frac{1}{2})^{7} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = {}^{10}C_{8} (\frac{1}{2})^{8} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = {}^{10}C_{9} (\frac{1}{2})^{9} (\frac{1}{2})^{1} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = {}^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} (\frac{1}{2})^{0} = \frac{1}{1024}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \geq 7) = \frac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=5$ અને $p=\frac{1}{3}$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $P(2 < X < 4)$ શોધવાનું છે,જે $P(X=3)$ ની બરાબર છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-3}$
$P(X=3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{27}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9}$
$P(X=3) = \frac{40}{243}$

(C) સંચયી સંભાવના વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = P(X \leq x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$x = 0$ માટે,આપણી પાસે $F(0) = P(X \leq 0)$ છે.
આપેલ સંભાવના વિતરણ કોષ્ટક પરથી:
$P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$
$P(X \leq 0) = 0.2 + 0.5 + 0.15 = 0.85$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે જાણીએ છીએ કે બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$.
તેથી,$F(0) = P(X \leq 0) = 1 - P(X > 0)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = \frac{1}{5}$ જ્યાં $0 \leq x \leq 5$ અને અન્યથા $0$ આપેલ છે.
આપણે રાહ જોવાનો સમય $X$ એ $4$ મિનિટથી વધુ ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \leq 4)$ છે.
આ સંભાવનાની ગણતરી સંભાવના ઘનતા વિધેયનું $0$ થી $4$ સુધી સંકલન કરીને કરવામાં આવે છે:
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} f(x) \, dx$
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} \frac{1}{5} \, dx$
$P(X \leq 4) = \left[ \frac{x}{5} \right]_{0}^{4}$
$P(X \leq 4) = \frac{4}{5} - \frac{0}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$
તેથી,સંભાવના $0.8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 5$ અને વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.5$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2.5}{5} = 0.5 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$ થાય.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 5$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{2} = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.
આપણે $P(X < 1)$ શોધવાનું છે,જે $P(X = 0)$ ની બરાબર છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(-1, 2, 2)$ અને $(0, 2, 1)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$-a + 2b + 2c = 0$ $(i)$
$0a + 2b + c = 0$ (ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$c = -2b$ મળે.
$c = -2b$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-a + 2b + 2(-2b) = 0$
$-a + 2b - 4b = 0$
$-a - 2b = 0 \implies a = -2b$.
હવે,$a = -2b$ અને $c = -2b$ છે.
જો $b = 1$ લઈએ,તો $a = -2$ અને $c = -2$ મળે.
તેથી દિકગુણોત્તર $(-2, 1, -2)$ મળે,જે $(2, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સદિશો $\vec{n_1} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-2, 1, -2)$ અથવા $(2, -1, 2)$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-5}{3}, z = -1$ છે.
સૌ પ્રથમ,રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{x+2}{2} = \frac{y - 5/2}{3/2} = \frac{z+1}{0}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (2, 3/2, 0)$ છે.
સરળતા માટે,$2$ વડે ગુણતા: $(4, 3, 0)$ મળે.
દિક સદિશનું માન $\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0 \right)$ મળે છે.

(A) બિંદુ $Q$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
$Q(a, b, c)$ માંથી $yz$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબપાદ $A$ ના યામ $(0, b, c)$ છે.
$Q(a, b, c)$ માંથી $zx$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબપાદ $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
$O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$,અને $B(a, 0, c)$ કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા $(abc \neq 0)$:
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(A) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ છે અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ છે.
આપેલ રેખા $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ માટે,દિશા સદિશ $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન શોધો: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(B) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યો જાણીએ છીએ:
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$,લંબકેન્દ્ર $(H)$ અને પરિકેન્દ્ર $(P)$ સમરેખ હોય છે,જે આઈલર રેખા બનાવે છે.
$G$ એ રેખાખંડ $PH$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{g}$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{h} + 2 \cdot \vec{p}}{1 + 2}$
$\vec{g} = \frac{\vec{h} + 2\vec{p}}{3}$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$3\vec{g} = \vec{h} + 2\vec{p}$
પદોને $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2\vec{p} + 1\vec{h} - 3\vec{g} = 0$
આને $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$,$y = 1$,અને $z = -3$ મળે છે.
આમ,$(x, y, z) = (2, 1, -3)$.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $AB$ ને $\lambda : 1$ અને $CD$ ને $\mu : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$AB$ પરના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\lambda(-4 \vec{c}) + 1(6 \vec{a}-4 \vec{b}+4 \vec{c})}{\lambda+1} = \frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1}$ છે.
$CD$ પરના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\mu(\vec{a}+2 \vec{b}-5 \vec{c}) + 1(-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c})}{\mu+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$ છે.
$\vec{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{6}{\lambda+1} = \frac{\mu-1}{\mu+1}$ અને $\frac{-4}{\lambda+1} = \frac{2 \mu-2}{\mu+1}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6}{-4} = \frac{\mu-1}{2(\mu-1)} \Rightarrow -\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$,જે સૂચવે છે કે $\mu=1$.
$\mu=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $B$ મળે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$M$ એ વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે.
$N$ એ વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે.
હવે,પદાવલિ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$= (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c})$
$= 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$= 2[(\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{c})]$
$= 4 \left[ \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right]$
$= 4(\vec{n} - \vec{m})$
$= 4 \overrightarrow{MN}$

(C) આપેલ છે કે $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = m(\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + n(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (m - n) \hat{j} + (-2m + n) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m + 2n = 3 \quad (i)$
$m - n = 0 \quad (ii)$
$-2m + n = -1 \quad (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$m = n$ મળે છે.
$m = n$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$m + 2m = 3 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1$.
તેથી $n = 1$ મળે.
આમ,$m + n = 1 + 1 = 2$.

(A) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ એ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & \lambda & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 10$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(4\lambda - (-1)) - 1(8 - 1) + 1(-2 - \lambda) = 10$
$1(4\lambda + 1) - 1(7) + 1(-2 - \lambda) = 10$
$4\lambda + 1 - 7 - 2 - \lambda = 10$
$3\lambda - 8 = 10$
$3\lambda = 18$
$\lambda = 6$