MHT CET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $S_1 \equiv p$ और $S_2 \equiv q$ है। तब $S_1' \equiv \sim p$ और $S_2' \equiv \sim q$ होगा।
सर्किट में दो समानांतर शाखाएँ हैं।
पहली शाखा में $S_1$ और $S_2'$ श्रेणी (series) में हैं,जो $(p \wedge \sim q)$ के बराबर है।
दूसरी शाखा में $S_1'$ और $S_2$ श्रेणी में हैं,जो $(\sim p \wedge q)$ के बराबर है।
चूंकि शाखाएं समानांतर हैं,इसलिए कुल व्यंजक $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ होगा।
यह व्यंजक $\sim(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(C) किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,उसका वर्ग $x^2$ हमेशा $0$ या उससे बड़ा होता है $(x^2 \geq 0)$।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि $x=0$ के लिए,$x^2=0$ होता है,जो धनात्मक नहीं है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
विकल्प $C$ सत्य है क्योंकि $x=0$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जिसका वर्ग $0$ है,जो धनात्मक नहीं है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि $\sqrt{2}$ जैसी अपरिमेय संख्याएँ मौजूद हैं।

(D) चरण $1$: कथन $p$ का सत्य मान निर्धारित करें। प्रत्येक वर्ग एक आयत है,यह एक सत्य कथन है,इसलिए $p = T$ है।
चरण $2$: कथन $q$ का सत्य मान निर्धारित करें। प्रत्येक समचतुर्भुज एक पतंग है,यह एक सत्य कथन है,इसलिए $q = T$ है।
चरण $3$: $p \rightarrow q$ का मूल्यांकन करें। चूंकि $T \rightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्य मान $T$ है।
चरण $4$: $p \leftrightarrow q$ का मूल्यांकन करें। चूंकि $T \leftrightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्य मान $T$ है।
अतः,सत्य मान $T, T$ हैं।

(A) प्रथम चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष $(0^\circ)$ और धनात्मक $y$-अक्ष $(90^\circ)$ के बीच का क्षेत्र है।
प्रथम चतुर्थांश को समत्रिभाजित करने वाली रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं के समीकरण $y = \tan(30^\circ)x$ और $y = \tan(60^\circ)x$ हैं।
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(B) रेखाएँ $x=5$ और $y=3$ बिंदु $(5, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूंकि ये रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए कोण समद्विभाजक $(5, 3)$ से गुजरते हैं और $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ और $135^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।
इन समद्विभाजकों की ढाल $m = \tan 45^{\circ} = 1$ और $m = \tan 135^{\circ} = -1$ है।
समद्विभाजकों के समीकरण हैं:
$y - 3 = 1(x - 5) \Rightarrow y - x + 2 = 0$
$y - 3 = -1(x - 5) \Rightarrow y + x - 8 = 0$
संयुक्त समीकरण $(y - x + 2)(y + x - 8) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) एक सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$,जो रेखाओं $x=0$ और $x=1$ को निरूपित करता है।
विकल्प $B$ के लिए: $xy - x = 0 \implies x(y-1) = 0$,जो रेखाओं $x=0$ और $y=1$ को निरूपित करता है।
विकल्प $C$ के लिए: $y^2 - x + 1 = 0$। यह एक परवलय है,रेखाओं का युग्म नहीं,क्योंकि इसे दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
विकल्प $D$ के लिए: $xy + x + y + 1 = 0 \implies x(y+1) + 1(y+1) = 0 \implies (x+1)(y+1) = 0$,जो रेखाओं $x=-1$ और $y=-1$ को निरूपित करता है।
अतः,वह समीकरण जो रेखाओं के युग्म को निरूपित नहीं करता है,वह $y^2 - x + 1 = 0$ है।

(B) माना $X = (a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$= c^2$ (कोसाइन नियम के अनुसार)।

(C) दिया गया समीकरण $\tan^2 x = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\tan x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan x = \tan \alpha$ का अर्थ है $x = n \pi + \alpha$।
$\tan x = 1$ के लिए,$x = n \pi + \frac{\pi}{4}$।
$\tan x = -1$ के लिए,$x = n \pi - \frac{\pi}{4}$।
इन दोनों परिणामों को मिलाने पर,व्यापक हल $x = n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(C) दिया गया समीकरण $\sin 2x + \cos 2x = 0$ है।
$\cos 2x$ से भाग देने पर,$\tan 2x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = -1$ का अर्थ है $\theta = n\pi - \frac{\pi}{4}$,इसलिए $2x = n\pi - \frac{\pi}{4}$।
अतः,$x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{(4n - 1)\pi}{8}$।
$\pi < x < 2\pi$ के लिए:
यदि $n = 3$ है,तो $x = \frac{11\pi}{8}$।
यदि $n = 4$ है,तो $x = \frac{15\pi}{8}$।
दोनों मान $(\pi, 2\pi)$ अंतराल में स्थित हैं।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $6y = x^3 + 2$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $y$-निर्देशांक $x$-निर्देशांक की तुलना में $8$ गुना तेजी से बदल रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ है।
इस मान को अवकल समीकरण में रखने पर: $2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$।
यह मानते हुए कि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,हमें $16 = x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4$ या $x = -4$।
यदि $x = 4$ है,तो $6y = (4)^3 + 2 = 64 + 2 = 66$,इसलिए $y = 11$। बिंदु $(4, 11)$ है।
यदि $x = -4$ है,तो $6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62$,इसलिए $y = -31/3$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही बिंदु $(4, 11)$ है।

(A) रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए: $f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)$.
यहाँ,$x=1$ और $h=0.1$ लें।
सबसे पहले,$f(1) = (1)^3 + 5(1)^2 - 7(1) + 9 = 1 + 5 - 7 + 9 = 8$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 10x - 7$ ज्ञात करें।
$f'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ की गणना करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$f(1.1) \approx f(1) + 0.1 \times f'(1)$
$f(1.1) \approx 8 + 0.1 \times 6$
$f(1.1) \approx 8 + 0.6 = 8.6$.

(D) दिया गया फलन $f(x)=e^x(\sin x-\cos x)$ है।
सबसे पहले,हम रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करते हैं:
$1$. $f(x)$,$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ पर सतत है और $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ पर अवकलनीय है।
$2$. $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4}(\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)) = e^{\pi/4}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$3$. $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{5\pi/4}(\sin(5\pi/4) - \cos(5\pi/4)) = e^{5\pi/4}(-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = 0$.
चूंकि $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x) = 2e^x \sin x$.
$c \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ के लिए $f'(c) = 0$ रखने पर:
$2e^c \sin c = 0$.
चूंकि $e^c \neq 0$,इसलिए $\sin c = 0$ प्राप्त होता है।
अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ में,$\sin c = 0$ तब होता है जब $c = \pi$ हो।

(B) वक्र $y=2x-x^2$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,जिससे $x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए रैखिक प्रोग्रामन समस्या ($L$.$P$.$P$.) के लिए सुसंगत क्षेत्र,प्रतिबंधों $x_1+x_2 \leq 10$,$-2x_1+3x_2 \leq 15$,$x_1 \leq 6$,और $x_1, x_2 \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$E(6,0)$,$F(6,4)$,$G(3,7)$,और $D(0,5)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=x_1+x_2$ का मान इस प्रकार है:
$z(O) = 0+0 = 0$
$z(E) = 6+0 = 6$
$z(F) = 6+4 = 10$
$z(G) = 3+7 = 10$
$z(D) = 0+5 = 5$
$z$ का अधिकतम मान $10$ है,जो कोणीय बिंदुओं $F(6,4)$ और $G(3,7)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
चूंकि उद्देश्य फलन दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,इसलिए यह उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर समान अधिकतम मान रखेगा।

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x) \cdot \sin x^{\circ}}{x^2} = k$।
हम जानते हैं कि $\sin x^{\circ} = \sin(\frac{\pi x}{180})$।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{x} = k$।
$2$ और $\frac{\pi}{180}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\text{log}(1 + 2x)}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \right) = k$।
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\text{log}(1+u)}{u} = 1$ और $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{180} \cdot 1 = k$।
अतः,$k = \frac{\pi}{90}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x \to 0$ होता है,$-|x|$ और $|x|$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
अतः,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$।
चूंकि $f(0) = k$ है,इसलिए $k = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/n}}{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}} dx \dots (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n}}{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n} + (\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x))^{1/n}} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\operatorname{cosec} x)^{1/n}}{(\operatorname{cosec} x)^{1/n} + (\sec x)^{1/n}} dx \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}}{(\sec x)^{1/n} + (\operatorname{cosec} x)^{1/n}} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना कि $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x$.
फलन $f(x) = \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right)$ पर विचार करें।
अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{2-\sin(-x)}{2+\sin(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin x}{2-\sin x}\right)$.
चूंकि $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$,इसलिए:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ लेकर भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}\right]^3 = \left[7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)\right]^3$
$\Rightarrow \left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^7 = 343\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जो समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद प्राप्त होती है,जो $3$ है।
अतः,घात $3$ है और कोटि $2$ है।

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए। मान लीजिए केंद्र $(a, 0)$ है और त्रिज्या $a$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ ... $(i)$ हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ ... $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान $(i)$ में रखने पर,$x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ हो जाता है।
अतः,अवकल समीकरण $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समाकलन गुणक $\sin x$ है,इसलिए:
$e^{\int P dx} = \sin x$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\int P dx = \ln(\sin x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$P = \cot x$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$
चरों को पृथक करने पर:
$y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$
माना $v = x \log x$,तब $dv = (1 + \log x) dx$
$\int \frac{dv}{v} = \int \frac{dy}{y}$
$\log(x \log x) = \log y + \log C$
$\log(x \log x) = \log(Cy)$
$x \log x = Cy$
दिया गया है कि $x = e$ और $y = e^2$:
$e \log e = C(e^2)$
$e(1) = Ce^2 \Rightarrow C = \frac{1}{e}$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x \log x = \frac{y}{e}$
$y = ex \log x$

(C) दिया गया है,$y = e^{m \sin^{-1} x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(m \sin^{-1} x) = y \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{m^2 y^2}{1 - x^2}$.
दोनों पक्षों को $(1 - x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = m^2 y^2$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = A y^2$ से करने पर,हमें $A = m^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\log _{10}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=2$.
लघुगणक की परिभाषा लागू करने पर,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 10^2 = 100$.
वज्र-गुणन करने पर,$x^2 - y^2 = 100(x^2 + y^2)$.
$x^2 - y^2 = 100x^2 + 100y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - 100x^2 = 100y^2 + y^2$,जो सरल होकर $-99x^2 = 101y^2$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(-99x^2) = \frac{d}{dx}(101y^2)$.
$-99(2x) = 101(2y) \frac{dy}{dx}$.
$-198x = 202y \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{198x}{202y} = -\frac{99x}{101y}$.

(B) माना $y_1 = \log (\sec \theta + \tan \theta)$ है।
अतः,$\frac{dy_1}{d\theta} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} \cdot (\sec \theta \tan \theta + \sec^2 \theta)$ है।
$\frac{dy_1}{d\theta} = \frac{\sec \theta (\tan \theta + \sec \theta)}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta$ है।
माना $y_2 = \sec \theta$ है।
अतः,$\frac{dy_2}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta$ है।
हमें $\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/d\theta}{dy_2/d\theta} = \frac{\sec \theta}{\sec \theta \tan \theta} = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ ज्ञात करना है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dy_1}{dy_2} = \cot \frac{\pi}{4} = 1$ है।

(D) माना $u = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $v = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \sin ^{-1} x$ है।
तब $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^2 \theta}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \tan ^{-1}(\tan \theta) = \theta$ होगा।
और $v = \sin ^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin ^3 \theta) = \sin ^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta$ होगा।
हमें $\frac{du}{dv}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $u = \theta$ और $v = 3 \theta$ है,इसलिए $\frac{du}{d\theta} = 1$ और $\frac{dv}{d\theta} = 3$ होगा।
अतः,$\frac{du}{dv} = \frac{du/d\theta}{dv/d\theta} = \frac{1}{3}$।

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$.
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{d x} \left( \int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x \right) = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x] + c)$.
बाईं ओर कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\frac{f(x)}{\log (\sin x)} = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x])$.
दाईं ओर श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{d x} (\log [\log \sin x]) = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{d}{d x} (\log \sin x)$.
चूंकि $\frac{d}{d x} (\log \sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(x)}{\log \sin x} = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \cot x$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cot x$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{(x^2+2) a^{(x+\tan^{-1} x)}}{x^2+1} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{x^2+1+1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx = \int \left( 1 + \frac{1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx$.
माना $u = x + \tan^{-1} x$.
तब,$du = (1 + \frac{1}{1+x^2}) dx$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int a^u du$.
मानक समाकल सूत्र $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{a^u}{\ln a} + C$.
$u = x + \tan^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{a^{x+\tan^{-1} x}}{\ln a} + C$.

(B) माना $I = \int \left( \frac{4 e^x - 25}{2 e^x - 5} \right) dx$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$4 e^x - 25 = 10 e^x - 25 - 6 e^x = 5(2 e^x - 5) - 6 e^x$.
अतः,$I = \int \left( \frac{5(2 e^x - 5) - 6 e^x}{2 e^x - 5} \right) dx$.
$I = \int 5 dx - \int \frac{6 e^x}{2 e^x - 5} dx$.
$u = 2 e^x - 5$ लेने पर,$du = 2 e^x dx$ प्राप्त होता है,इसलिए $e^x dx = \frac{du}{2}$.
$I = 5x - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = 5x - 3 \log |u| + C$.
$I = 5x - 3 \log |2 e^x - 5| + C$.
इस प्रकार,$A = 5$ और $B = -3$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$8+2x-x^2 = -(x^2-2x-8) = -(x^2-2x+1-9) = -( (x-1)^2 - 9 ) = 9 - (x-1)^2$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-(x-1)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-(x-1)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+c$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \csc x)$.
सूत्र $2 \tan^{-1} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{2 \theta}{1 - \theta^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x} \right) = \tan^{-1} (2 \csc x)$.
चूंकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
मान लीजिए $\sin x \neq 0$,तो हम सरल कर सकते हैं:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1 \Rightarrow \cot x = 1$.
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$.
अब,$\sin x + \cos x$ का मान ज्ञात करें:
$\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) $1$. छायांकित क्षेत्र रेखाओं $x=0$ ($Y$-अक्ष),$y=0$ ($X$-अक्ष),$x=5$,$y=3$ और $(0,0)$ तथा $(3,3)$ से गुजरने वाली रेखा द्वारा घिरा हुआ है।
$2$. $(0,0)$ और $(3,3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=x$ है,जिसे $x-y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे स्थित है,इसलिए अवरोध $x-y \geq 0$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x=5$ क्षेत्र को दाईं ओर सीमित करती है,इसलिए $x \leq 5$.
$4$. क्षैतिज रेखा $y=3$ क्षेत्र को ऊपर की ओर सीमित करती है,इसलिए $y \leq 3$.
$5$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$.
$6$. इन सबको मिलाने पर,अवरोध $x, y \geq 0, x-y \geq 0, x \leq 5, y \leq 3$ प्राप्त होते हैं।

(B) सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंड (cofactor) के साथ गुणनफल का योग सारणिक का मान देता है,लेकिन किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा $0$ होता है।
यहाँ,हम $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ की गणना कर रहे हैं,जो पहली पंक्ति के अवयवों और दूसरी पंक्ति के सहखंडों का गुणनफल है।
अतः,यह योग $0$ होगा।
सत्यापन:
$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{13} = 0$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-0) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-1) = -1$
$a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23} = 1(-1) + 1(1) + 0(-1) = -1 + 1 + 0 = 0$.

(A) हम आव्यूह व्युत्क्रम के गुण का उपयोग करते हैं: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$
चूंकि $(M^{-1})^{-1} = M$,इसलिए:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = A B$
अब,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2)(0) + (3)(1) & (2)(-1) + (3)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 3 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(C) दिया गया है कि $AX = I$,अतः $X = A^{-1}$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (1 \times 3) - (2 \times 4) = 3 - 8 = -5$।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$X = A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A$ की गणना करें:
$X = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$।

(A) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 10$ और सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है (क्योंकि यह "True"/"False" परीक्षा है)। विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
हमें $P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ ज्ञात करना है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
$P(X=7) = {}^{10}C_{7} (\frac{1}{2})^{7} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = {}^{10}C_{8} (\frac{1}{2})^{8} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = {}^{10}C_{9} (\frac{1}{2})^{9} (\frac{1}{2})^{1} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = {}^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} (\frac{1}{2})^{0} = \frac{1}{1024}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \geq 7) = \frac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=5$ और $p=\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(2 < X < 4)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=3)$ के बराबर है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-3}$
$P(X=3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{27}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9}$
$P(X=3) = \frac{40}{243}$

(C) संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 0$ के लिए,हमारे पास $F(0) = P(X \leq 0)$ है।
दी गई प्रायिकता वितरण तालिका से:
$P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$
$P(X \leq 0) = 0.2 + 0.5 + 0.15 = 0.85$.
वैकल्पिक रूप से,हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$.
अतः,$F(0) = P(X \leq 0) = 1 - P(X > 0)$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{1}{5}$ दिया गया है जहाँ $0 \leq x \leq 5$ और अन्यथा $0$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि प्रतीक्षा समय $X$,$4$ मिनट से अधिक न हो,जो $P(X \leq 4)$ है।
इसकी गणना प्रायिकता घनत्व फलन का $0$ से $4$ तक समाकलन करके की जाती है:
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} f(x) \, dx$
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} \frac{1}{5} \, dx$
$P(X \leq 4) = \left[ \frac{x}{5} \right]_{0}^{4}$
$P(X \leq 4) = \frac{4}{5} - \frac{0}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$
अतः,प्रायिकता $0.8$ है।

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
द्विपद वितरण के लिए,माध्य $E(X) = np = 5$ और प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.5$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2.5}{5} = 0.5 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 5$ में रखने पर,हमें $n \times \frac{1}{2} = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 10$ है।
हमें $P(X < 1)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 0)$ के बराबर है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $(-1, 2, 2)$ और $(0, 2, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$-a + 2b + 2c = 0$ $(i)$
$0a + 2b + c = 0$ (ii)
समीकरण (ii) से,$c = -2b$ प्राप्त होता है।
$c = -2b$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-a + 2b + 2(-2b) = 0$
$-a + 2b - 4b = 0$
$-a - 2b = 0 \implies a = -2b$.
अब,$a = -2b$ और $c = -2b$ है।
यदि हम $b = 1$ लें,तो $a = -2$ और $c = -2$ प्राप्त होता है।
अतः दिक्-अनुपात $(-2, 1, -2)$ हैं,जो $(2, -1, 2)$ के समानुपाती हैं।
वैकल्पिक रूप से,सदिशों $\vec{n_1} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ का क्रॉस गुणनफल करने पर:
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(-2, 1, -2)$ या $(2, -1, 2)$ प्राप्त होते हैं।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-5}{3}, z = -1$ है।
सबसे पहले,रेखा को मानक सममित रूप में लिखें:
$\frac{x+2}{2} = \frac{y - 5/2}{3/2} = \frac{z+1}{0}$।
रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) $(a, b, c) = (2, 3/2, 0)$ हैं।
सरलीकरण के लिए,$2$ से गुणा करने पर: $(4, 3, 0)$ प्राप्त होता है।
दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ का सूत्र $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$ है।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0 \right)$ हैं।

(A) बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
$Q(a, b, c)$ से $yz$-समतल $(x=0)$ पर खींचे गए लंबपाद $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ हैं।
$Q(a, b, c)$ से $zx$-समतल $(y=0)$ पर खींचे गए लंबपाद $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ है।
तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
$O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$,और $B(a, 0, c)$ का मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर $(abc \neq 0)$:
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(A) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\bar{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\bar{n}$ है,के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ है।
दी गई रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ के लिए,दिशा सदिश $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
दिए गए समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के लिए,अभिलंब सदिश $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है।
परिमाण ज्ञात कीजिए: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान जानते हैं:
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$

(B) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $(G)$,लंबकेंद्र $(H)$ और परिकेंद्र $(P)$ संरेख होते हैं,जो यूलर रेखा बनाते हैं।
$G$,रेखाखंड $PH$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
केंद्रक $G$ के स्थिति सदिश $\vec{g}$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{h} + 2 \cdot \vec{p}}{1 + 2}$
$\vec{g} = \frac{\vec{h} + 2\vec{p}}{3}$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3\vec{g} = \vec{h} + 2\vec{p}$
पदों को $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2\vec{p} + 1\vec{h} - 3\vec{g} = 0$
इसे $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = 1$,और $z = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x, y, z) = (2, 1, -3)$।

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ को $\lambda : 1$ और $CD$ को $\mu : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$AB$ पर एक बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\lambda(-4 \vec{c}) + 1(6 \vec{a}-4 \vec{b}+4 \vec{c})}{\lambda+1} = \frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1}$ है।
$CD$ पर एक बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\mu(\vec{a}+2 \vec{b}-5 \vec{c}) + 1(-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c})}{\mu+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$ है।
$\vec{r}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$.
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{6}{\lambda+1} = \frac{\mu-1}{\mu+1}$ और $\frac{-4}{\lambda+1} = \frac{2 \mu-2}{\mu+1}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{6}{-4} = \frac{\mu-1}{2(\mu-1)} \Rightarrow -\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$,जो दर्शाता है कि $\mu=1$.
$\mu=1$ को पहले समीकरण में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ प्राप्त होता है।

(C) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $M$ विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है।
चूंकि $N$ विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है।
अब,व्यंजक $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ पर विचार करें:
$= (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c})$
$= 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$= 2[(\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{c})]$
$= 4 \left[ \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right]$
$= 4(\vec{n} - \vec{m})$
$= 4 \overrightarrow{MN}$

(C) दिया गया है कि $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$।
सदिशों का मान रखने पर:
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = m(\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + n(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (m - n) \hat{j} + (-2m + n) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$m + 2n = 3 \quad (i)$
$m - n = 0 \quad (ii)$
$-2m + n = -1 \quad (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,$m = n$ प्राप्त होता है।
$m = n$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$m + 2m = 3 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1$।
चूंकि $m = n$,इसलिए $n = 1$ होगा।
अतः,$m + n = 1 + 1 = 2$।

(A) अदिश त्रिगुणित गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ को सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दर्शाया जाता है।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & \lambda & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 10$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4\lambda - (-1)) - 1(8 - 1) + 1(-2 - \lambda) = 10$
$1(4\lambda + 1) - 1(7) + 1(-2 - \lambda) = 10$
$4\lambda + 1 - 7 - 2 - \lambda = 10$
$3\lambda - 8 = 10$
$3\lambda = 18$
$\lambda = 6$