MHT CET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है ... $(i)$
डिस्क का आयतन $V = \pi R^2 \times \text{मोटाई} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ है।
जब डिस्क को $R_s$ त्रिज्या वाले ठोस गोले में बदला जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ होता है।
$R_s = \frac{R}{2}$ को $I_{\text{sphere}}$ के व्यंजक में रखने पर:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{4}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $R + h = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = 2R - R = R$.

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों कणों द्वारा उत्पन्न तीव्रता परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होनी चाहिए।
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G(9 m)}{r_2^2}$
जहाँ $r_1$ द्रव्यमान $m$ से दूरी है और $r_2$ द्रव्यमान $9m$ से दूरी है।
चूंकि $r_1 + r_2 = r$,हमारे पास $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow r_2 = 3 r_1$ है।
इसलिए,$r_1 + 3 r_1 = r \Rightarrow 4 r_1 = r \Rightarrow r_1 = \frac{r}{4}$ और $r_2 = \frac{3r}{4}$।
गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G(9 m)}{r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = -\frac{G m}{r/4} - \frac{9 G m}{3r/4} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{36 G m}{3r} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{12 G m}{r} = -\frac{16 G m}{r}$।

(B) दिया गया है,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$।
मेयर के संबंध से,$C_{P} - C_{V} = R$,इसलिए $C_{P} = C_{V} + R$।
$R = 0.4 C_{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ है।
अतः,गैस दृढ़ द्विपरमाणुक अणुओं से बनी है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $(u)$ का मान $u = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ होता है।
इसलिए,$\rho v_{rms}^2 = 2u$ होगा।
इस मान को दबाव के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{1}{3} (2u) = \frac{2}{3} u$ प्राप्त होता है।
अतः,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव गैस की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का $2/3$ होता है।

(C) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठ ऊर्जा $E = S \times A$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi R^2$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $512$ छोटी बूंदों का आयतन:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$।
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$ है।
$r = R/8$ रखने पर:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$।
चूंकि पृष्ठ ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R_{eff}}$ है,जहाँ $R_{eff}$ मेनिस्कस की प्रभावी त्रिज्या है।
इस मामले में,पानी $R$ त्रिज्या वाली केशिका नली और $r$ त्रिज्या वाले तार के बीच के वलयाकार स्थान में ऊपर चढ़ता है।
इस वलयाकार स्थान के लिए प्रभावी त्रिज्या दोनों त्रिज्याओं का अंतर है,यानी $R_{eff} = R - r$।
पानी और कांच/धातु के लिए संपर्क कोण $\theta = 0$ मानते हुए,$\cos \theta = 1$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $h = \frac{2T}{\rho g (R - r)}$ प्राप्त होता है।

(B) दोनों सिरों पर समर्थित और केंद्र पर भारित बीम का झुकाव (sag) $\delta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\delta = \frac{W l^3}{48 Y I}$।
यहाँ,$W$ भार है,$l$ लंबाई है,$Y$ यंग मापांक है और $I$ ज्यामितीय जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है।
$b$ चौड़ाई और $d$ गहराई वाले आयताकार अनुप्रस्थ काट के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{b d^3}{12}$ होता है।
$\delta$ के सूत्र में $I$ का मान रखने पर:
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y (\frac{b d^3}{12})}$
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y} \times \frac{12}{b d^3}$
$\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$।

(D) प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ है।
चूंकि $\text{stress} = \frac{F}{A}$ और $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$,इसलिए $u = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y}$ होता है।
यह दिया गया है कि तारों की लंबाई और पदार्थ समान हैं ($Y$ स्थिर है) और उन्हें समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,इसलिए ऊर्जा घनत्व $u$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के वर्ग $A^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $A \propto d^2$ (जहाँ $d$ व्यास है),अतः $u \propto \frac{1}{(d^2)^2} = \frac{1}{d^4}$ होता है।
इसलिए,छोटे व्यास वाले तार $(d_S)$ और बड़े व्यास वाले तार $(d_L)$ के लिए प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा का अनुपात $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{d_L}{d_S} \right)^4$ होगा।
व्यासों का अनुपात $d_S : d_L = 1 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{3}{1} \right)^4 = 81 : 1$ प्राप्त होता है।

(A) कण विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ है।
दो चक्करों में तय की गई कुल दूरी $s = 2 \times 2 \pi r = 4 \pi r$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a$ स्पर्शरेखीय त्वरण है:
$v^2 - 0^2 = 2 \times a \times (4 \pi r)$
$v^2 = 8 \pi r a$
अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण $a = \frac{v^2}{8 \pi r}$ है।

(D) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_l = \sqrt{5rg}$ होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_h = \sqrt{rg}$ होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_h = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(rg)$ है।
निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_l = \frac{1}{2}m(v_l)^2 = \frac{1}{2}m(5rg)$ है।
अतः,उच्चतम बिंदु और निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(K.E.)_h}{(K.E.)_l} = \frac{\frac{1}{2}m(rg)}{\frac{1}{2}m(5rg)} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण (एक संरक्षी बल) और तनाव (जो विस्थापन के लंबवत कार्य करता है) हैं। चूंकि तनाव द्वारा किया गया कार्य शून्य है और गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है,इसलिए कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग) पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है। अतः,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए समीकरण $x(t) = A e^{-bt/2m} \cos(\omega' t + \delta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रारंभिक आयाम है,$b$ अवमंदन स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है,$\omega'$ अवमंदित कोणीय आवृत्ति है और $\delta$ प्रारंभिक कला है।
अवमंदन के दौरान,आयाम $A e^{-bt/2m}$ समय के साथ घातीय रूप से घटता है।
अवमंदित कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ से भिन्न होती है,और आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ भी बदल जाता है।
प्रारंभिक कला $\delta$ प्रारंभिक स्थितियों (समय $t = 0$ पर स्थिति और वेग) द्वारा निर्धारित की जाती है और अवमंदन प्रक्रिया की परवाह किए बिना स्थिर रहती है।

(D) $SHM$ की पथ लंबाई $2A$ के बराबर होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दी गई पथ लंबाई $= 0.01 \ m$,इसलिए $2A = 0.01 \ m$,जिसका अर्थ है $A = 0.005 \ m$.
आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = m \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
मान रखने पर: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(A) माध्य स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $m_1$ का वेग $v = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$ है।
जब द्रव्यमान $m_2$ को $m_1$ पर रखा जाता है,तो संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि माध्य स्थिति पर स्प्रिंग बल शून्य होता है। मान लीजिए नया वेग $v'$ है:
$m_1 v = (m_1 + m_2) v'$
$v' = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 A \sqrt{k/m_1}}{m_1 + m_2} = A \sqrt{\frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2}}$.
निकाय की नई ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v')^2$ है।
$v'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( A^2 \frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2} \right)$.
$A_1^2 = A^2 \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.
अतः,$\frac{A_1}{A} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g$ होता है।
पानी में,गोलक पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल कार्य करता है। प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ होता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \ kg/m^3)$ है और $\sigma$ गोलक का घनत्व $(\frac{9}{8} \times 10^3 \ kg/m^3)$ है।
$g_{eff}' = g(1 - \frac{10^3}{\frac{9}{8} \times 10^3}) = g(1 - \frac{8}{9}) = g(\frac{1}{9})$.
अब,पानी में आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}}$ होगा।
$T_1 = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.

(B) एक पतली एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ जब वह अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपनी लंबाई के लंबवत अक्ष पर घूमती है,तो $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है,हमें $MK_1^2 = \frac{ML^2}{12}$ प्राप्त होता है,जिससे $K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$ मिलता है।
दूसरे मामले में,घूर्णन अक्ष छड़ के एक सिरे से होकर गुजरती है और लंबाई के लंबवत है। इस स्थिति में जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
पहले मामले और दूसरे मामले में घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ है।

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = R\omega$,इसलिए $\omega^2 = \frac{v^2}{R^2}$ होगा।
रिंग के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = mR^2$ है। अतः,$K.E._{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$।
दिया गया है कि $K.E._{ring} = 4 \ J$,इसलिए $mv^2 = 4 \ J$ प्राप्त होता है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = \frac{1}{2}mR^2$ है। अतः,$K.E._{disc} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
$mv^2 = 4 \ J$ का मान रखने पर,$K.E._{disc} = \frac{3}{4} \times 4 \ J = 3 \ J$ प्राप्त होता है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$E = \sigma A T_1^4$,जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
जब लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/3$ तक कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (l/3) \times (b/3) = A/9$ हो जाता है।
नया तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
नई उत्सर्जित ऊर्जा $E' = \sigma A' T_2^4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4$.
$\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(C) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 12 \sin(5t - 4x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 4 \ rad/cm$ प्राप्त होती है।
$\Delta x$ दूरी से अलग हुए दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta \phi$ को संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
हमें कलांतर $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \ rad$ दिया गया है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$।
अतः,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \times 4} = \frac{\pi}{8} \ cm$।

(A) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1 = 225 \ N$ तनाव पर आवृत्ति $f_1$ है और $T_2 = 256 \ N$ तनाव पर आवृत्ति $f_2$ है।
चूंकि $f \propto \sqrt{T}$,हमारे पास $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$,इसलिए $f_2 = \frac{16}{15} f_1$ है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में बीट आवृत्ति $6 \ Hz$ है,मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $x$ है।
पहली स्थिति के लिए: $f_1 = x - 6$ (मानते हुए कि $x > f_1$)।
दूसरी स्थिति के लिए: $f_2 = x + 6$ (चूंकि $f_2 > f_1$,आवृत्ति फोर्क की आवृत्ति से अधिक हो जाएगी)।
$f_1$ और $f_2$ का मान रखने पर: $x + 6 = \frac{16}{15} (x - 6)$।
$15(x + 6) = 16(x - 6) \implies 15x + 90 = 16x - 96$।
$x = 90 + 96 = 186 \ Hz$।

(B) स्थिर स्रोत द्वारा उत्सर्जित $f_0$ आवृत्ति की ध्वनि के लिए,$v_o$ वेग से गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा देखी गई आभासी आवृत्ति $F = \left( \frac{V \pm v_o}{V} \right) f_0$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $V_1$ वेग से गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1 = \left( \frac{V + V_1}{V} \right) f_0$ होती है $(i)$.
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर $V_1$ वेग से गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2 = \left( \frac{V - V_1}{V} \right) f_0$ होती है $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{F_1}{F_2} = 2$,इसलिए $2 = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(V - V_1) = V + V_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2V - 2V_1 = V + V_1$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2V - V = 2V_1 + V_1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V = 3V_1$.
अतः,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,अंत सुधार $\Delta L$ का आंतरिक त्रिज्या $r$ के साथ संबंध प्रत्येक सिरे पर $\Delta L = 0.6 \times r$ होता है। चूंकि एक खुली पाइप के दो सिरे होते हैं,इसलिए कुल अंत सुधार $\Delta L_{total} = 2 \times (0.6 \times r) = 1.2 \times r$ होता है।
दिया गया है कि कुल अंत सुधार $\Delta L = 0.8 \ cm$ है,इसलिए:
$0.8 = 1.2 \times r$
$r = \frac{0.8}{1.2} \ cm$
$r = \frac{8}{12} \ cm = \frac{2}{3} \ cm$.

(D) माना $f_0 = \frac{v}{2L}$ खुली पाइप की मूल आवृत्ति है।
इसका दूसरा ओवरटोन $3f_0 = \frac{3v}{2L}$ है।
माना $f_c = \frac{v}{4L}$ बंद पाइप की मूल आवृत्ति है।
बंद पाइप की आवृत्तियाँ $(2n-1)f_c$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n=1, 2, 3, \dots$ है।
तीसरा ओवरटोन $n=4$ के संगत है,इसलिए $(f_3)_{\text{closed}} = (2(4)-1)f_c = 7f_c = \frac{7v}{4L}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(f_3)_{\text{closed}} - (3f_0) = 150 \ Hz$ है।
मान रखने पर: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v}{4L} - \frac{6v}{4L} = 150$.
$\frac{v}{4L} = 150$.
चूँकि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ है,इसलिए $f_0 = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 150 = 300 \ Hz$ होगा।

(B) तनी हुई डोरी पर चलने वाली अनुप्रस्थ तरंग का वेग $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $r$ डोरी की त्रिज्या है,इसलिए $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ होता है।
यह दिया गया है कि पदार्थ समान है ($\rho$ स्थिर है) और तनाव $T$ समान है,इसलिए हम पाते हैं कि $V \propto \frac{1}{r}$।
अतः,चालों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिया गया है कि $r_A = 2r_B$,इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया है: शिखर धारा $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$,और अन्योन्य प्रेरण $M = 1 \ H$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ है।
प्राथमिक कुंडली में धारा $I = I_{0} \sin(\omega t)$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ है।
समय के सापेक्ष धारा का अवकलन करने पर,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
प्रेरित e.m.f. का शिखर मान $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ है।
मान रखने पर: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(A) $LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
यह एक ऐसी स्थिति उत्पन्न करता है जहाँ परिपथ की कुल प्रतिबाधा बहुत अधिक हो जाती है (आदर्श परिपथ में सैद्धांतिक रूप से अनंत)।
चूंकि प्रतिबाधा बहुत अधिक होती है,इसलिए स्रोत से ली गई धारा न्यूनतम होती है।
अतः,$LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ अनुनाद की स्थिति में उच्च प्रतिबाधा वाले परिपथ के रूप में कार्य करता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के अभिधारणाओं के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर विशिष्ट कक्षाओं में घूमता है जिन्हें स्थिर कक्षाएं कहा जाता है।
इन स्थिर कक्षाओं में,इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का उत्सर्जन नहीं करता है,भले ही वह अपनी वृत्तीय गति के कारण त्वरित हो (उसका वेग सदिश लगातार बदलता रहता है)।
इसलिए,स्थिर कक्षा में घूमते समय इलेक्ट्रॉन प्रकाश का उत्सर्जन नहीं करता है।

(A) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होना चाहिए।
मुख्य क्वांटम संख्या बढ़ने के साथ क्रमिक कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर: $(E_5 - E_4) < (E_4 - E_3) < (E_3 - E_2) < (E_2 - E_1)$.
अतः,$n=5$ से $p=4$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर सबसे कम है,जिसके परिणामस्वरूप तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C$ है। जब उन्हें $V$ emf की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों संधारित्रों पर आवेश $q$ समान होता है।
मान लीजिए $V_1$ वायु संधारित्र (धारिता $C$) के सिरों पर विभवांतर है और $V_2$ परावैद्युत-भरे संधारित्र (धारिता $KC$) के सिरों पर विभवांतर है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,$V_1 + V_2 = V$ होगा।
$q = CV$ का उपयोग करते हुए,$V_1 = \frac{q}{C}$ और $V_2 = \frac{q}{KC}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $\frac{q}{C} + \frac{q}{KC} = V$।
$\frac{q}{C} (1 + \frac{1}{K}) = V \Rightarrow \frac{q}{C} (\frac{K+1}{K}) = V$।
अतः,आवेश $q = \frac{CKV}{K+1}$।
वायु संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{q}{C} = \frac{KV}{K+1}$ होगा।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
विभव को $V_i$ से $V_f$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $\Delta U = \frac{1}{2} C (V_f^2 - V_i^2)$ है।
पहले मामले के लिए,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
दूसरे मामले के लिए,$W_2 = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
अतः,$W_2 = 1.67 W$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A'$ क्षेत्रफल है और $d'$ दूरी है।
चूंकि प्रत्येक संधारित्र का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{3}$ है,इसलिए व्यक्तिगत धारिताएं हैं:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
चूंकि संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$
$3, 6, 9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $18$ लेने पर:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18d}$

(C) आयनमंडल की क्रांतिक आवृत्ति $(f_c)$ रेडियो तरंगों की वह अधिकतम आवृत्ति है जिसे आयनमंडलीय परतों द्वारा पृथ्वी पर वापस परावर्तित किया जा सकता है।
यह सूत्र $f_c = 9 \sqrt{N_{max}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N_{max}$ आयनमंडल का प्रति घन मीटर $(m^{-3})$ अधिकतम इलेक्ट्रॉन घनत्व है।
इस संदर्भ में, स्थिरांक $9$ भौतिक स्थिरांकों से प्राप्त होता है, और व्यंजक $9 \sqrt{N}$ है।

(C) पूर्ण-स्केल विक्षेप ($20$ डिवीजन) के लिए धारा $I_1 = \frac{V}{R_g + R_1} = \frac{2}{30 + 1970} = \frac{2}{2000} = 1 \times 10^{-3} \text{ A} = 1 \text{ mA}$ है।
चूंकि विक्षेप $\theta$ धारा $I$ के सीधे आनुपातिक होता है $(\theta \propto I)$,विक्षेप को $20$ डिवीजन से $10$ डिवीजन तक कम करने के लिए,धारा को आधा होना चाहिए।
अतः,$I_2 = \frac{I_1}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ A}$।
मान लीजिए कि नया कुल श्रेणी प्रतिरोध $R_{total}$ है। तब $I_2 = \frac{V}{R_g + R_{total}}$।
$0.5 \times 10^{-3} = \frac{2}{30 + R_{total}}$।
$30 + R_{total} = \frac{2}{0.5 \times 10^{-3}} = 4000 \Omega$।
$R_{total} = 4000 - 30 = 3970 \Omega$।

(A) विभवमापी तार के सिरों पर विभव पतन $V = I \cdot R$ है, जहाँ $R = \rho \cdot \frac{L}{A}$ है। विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ का मान $k = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब विभवमापी तार की लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है, तो तार का कुल प्रतिरोध $R$ बढ़ जाता है।
चूंकि ड्राइविंग स्रोत का वोल्टेज और आंतरिक प्रतिरोध स्थिर रहते हैं, इसलिए विभवमापी तार से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप, विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L}$ कम हो जाती है।
संतुलन लंबाई $l$ का मान $E = k \cdot l$ संबंध द्वारा दिया जाता है, जहाँ $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है।
चूंकि $E$ स्थिर है और $k$ घटता है, इसलिए संतुलन लंबाई $l = \frac{E}{k}$ बढ़ जाएगी।

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित करने पर उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$M$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाले प्रोटॉन के लिए जब उसे $9V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2Me(9V)}} = \frac{h}{3\sqrt{2MeV}}$.
$\lambda'$ को $\lambda$ से विभाजित करने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{3\sqrt{2MeV}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.
अतः,$\lambda' = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(D) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e \left( \frac{V}{6} \right) = hc \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0}} = \frac{3(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 3\lambda}$
$6(\lambda_0 - 3\lambda) = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$6\lambda_0 - 18\lambda = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$3\lambda_0 = 15\lambda$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(A) प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$.
यहाँ,$V_s$ निरोधी विभव है और $\phi$ कार्य फलन है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
यदि उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन का वेग $v$ स्थिर रखा जाता है,तो गतिज ऊर्जा $K_{max}$ स्थिर रहती है।
हालाँकि,जैसे-जैसे आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कम होती है,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ बढ़ती है।
चूंकि $E = \phi + K_{max}$,और $K_{max}$ स्थिर है जबकि $E$ बढ़ता है,इसलिए समीकरण को संतुलित करने के लिए निरोधी विभव $V_s$ को बढ़ना चाहिए।

(C) प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स,$\phi_1 = 4 \times 10^{-4} \ Wb$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स,$\phi_2 = \phi_1 \text{ का } 10 \% = 0.1 \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
प्रेरित emf,$\varepsilon = 0.72 \ mV = 0.72 \times 10^{-3} \ V = 72 \times 10^{-5} \ V$.
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}|$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\Delta t = \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{|\varepsilon|}$.
$\Delta t = \frac{|4 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-4}|}{72 \times 10^{-5}}$.
$\Delta t = \frac{|0.4 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4}|}{72 \times 10^{-5}} = \frac{3.6 \times 10^{-4}}{7.2 \times 10^{-4}}$.
$\Delta t = \frac{3.6}{7.2} = 0.5 \ s$.

(D) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले एक कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
जब यह कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
$v$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{m}$,जिसका अर्थ है $r^2 \propto m$।
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_X}{m_Y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ है।

(A) वायु क्रोड वाली लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाला पदार्थ परिनालिका के अंदर रखा जाता है,तो पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi$ होती है।
क्रोड के साथ परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0$ हो जाता है।
मान रखने पर,हमें $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ को चुंबकीय प्रेरण $B$ और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\mu = \frac{B}{H}$ है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ होता है,इसलिए $B = \frac{\phi}{A}$ होगा।
इस मान को पारगम्यता के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$।
दिए गए मान:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ की गणना करने पर:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $(RP)$ को उन दो वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
इसलिए,जब प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ कम होती है,तो दूरबीन की विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) अपवर्तनांक $n$ को निर्वात में प्रकाश की गति और माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,$n = \frac{c}{v}$।
यह दिया गया है कि वेग $20 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नया वेग $v = c - 0.20c = 0.80c = \frac{4}{5}c$ है।
इस प्रकार,अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.8c} = \frac{1}{0.8} = 1.25$ या $\frac{5}{4}$ है।
छोटे कोणों के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$। चूंकि आपतित माध्यम हवा है $(n_1 = 1)$,हमारे पास $i = n r$ है,इसलिए $r = \frac{i}{n} = \frac{i}{1.25} = 0.8i = \frac{4i}{5}$ है।
विचलन कोण $\delta$ को $\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\delta = i - 0.8i = 0.2i = \frac{i}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रकाश उत्सर्जक डायोड $(LED)$ एक अत्यधिक डोपित $p-n$ जंक्शन डायोड है जो अग्र अभिनति (forward bias) में होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है।
$LED$ के योजनाबद्ध प्रतीक में,तीर डायोड से बाहर की ओर इंगित करते हैं,जो प्रकाश के उत्सर्जन को दर्शाते हैं।
विकल्प $A$ एक फोटोडायोड को दर्शाता है (तीर डायोड की ओर इंगित करते हैं)।
विकल्प $B$ एक $LED$ को दर्शाता है (तीर डायोड से बाहर की ओर इंगित करते हैं)।
विकल्प $C$ एक सामान्य $p-n$ जंक्शन डायोड को दर्शाता है।
विकल्प $D$ एक जेनर डायोड को दर्शाता है।
अतः,$LED$ के लिए सही योजनाबद्ध प्रतीक विकल्प $B$ में दिखाया गया है।

(C) बार्कहौसेन मानदंड के अनुसार,एक ऑसिलेटर में निरंतर दोलन उत्पन्न करने के लिए,फीडबैक एम्पलीफायर का लूप गेन इकाई (unity) के बराबर होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे $A \beta = 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $A$ फीडबैक के बिना एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन है और $\beta$ फीडबैक फैक्टर है।
इसके अतिरिक्त,लूप के चारों ओर कुल फेज शिफ्ट $0^\circ$ या $360^\circ$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, ध्रुवण कोण $(i_p)$ की स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ के बराबर होती है, अर्थात $\tan(i_p) = \mu$।
चूंकि किसी पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है (परिक्षेपण के कारण), इसलिए ध्रुवण कोण $(i_p)$ भी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करता है।
चूंकि अलग-अलग रंगों की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है, इसलिए ध्रुवण कोण भी अलग-अलग रंगों के लिए भिन्न होता है।

(B) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथान्तर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथान्तर $\Delta x = (n + \frac{1}{2})\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
$4^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $n = 4$ $(\Delta x = 4\lambda)$ के संगत है और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $n = 5$ $(\Delta x = 5\lambda)$ के संगत है।
$4^{\text{th}}$ और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज के बीच बनी अदीप्त फ्रिंज के लिए $n = 4$ लेने पर: $\Delta x = (4 + \frac{1}{2})\lambda = 4.5\lambda$.
दिया गया है $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$.
पथान्तर $\Delta x = 4.5 \times (6 \times 10^{-5} \text{ cm}) = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(C) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ दिया गया है।
बिंदु $P$ पर,कलांतर $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 10I + 6I(0) = 10I$.
बिंदु $Q$ पर,कलांतर $\phi_Q = \pi$ है।
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
बिंदु $P$ और $Q$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $\Delta I = I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$ है।