MHT CET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે ... $(i)$
તકતીનું કદ $V = \pi R^2 \times \text{જાડાઈ} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ થાય.
જ્યારે તકતીને $R_s$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ છે.
$R_s = \frac{R}{2}$ ને $I_{\text{sphere}}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{4}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $R + h = 2R$ મળે છે.
તેથી,$h = 2R - R = R$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે,બંને કણો દ્વારા ઉત્પન્ન થતી તીવ્રતા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવી જોઈએ.
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G(9 m)}{r_2^2}$
જ્યાં $r_1$ એ $m$ થી અંતર છે અને $r_2$ એ $9m$ થી અંતર છે.
$r_1 + r_2 = r$ હોવાથી,$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow r_2 = 3 r_1$.
તેથી,$r_1 + 3 r_1 = r \Rightarrow 4 r_1 = r \Rightarrow r_1 = \frac{r}{4}$ અને $r_2 = \frac{3r}{4}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G(9 m)}{r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = -\frac{G m}{r/4} - \frac{9 G m}{3r/4} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{36 G m}{3r} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{12 G m}{r} = -\frac{16 G m}{r}$.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_{P} - C_{V} = R$,તેથી $C_{P} = C_{V} + R$.
$R = 0.4 C_{V}$ મૂકતા,આપણને $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ થાય છે.
આમ,વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $(u)$ એ $u = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\rho v_{rms}^2 = 2u$ થાય.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{1}{3} (2u) = \frac{2}{3} u$.
આમ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ એ વાયુની એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાના $2/3$ ગણું હોય છે.

(C) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પૃષ્ઠઊર્જા $E = S \times A$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi R^2$.
મોટા ટીપાનું કદ = $512$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$.
$r = R/8$ મૂકતા:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$.
પૃષ્ઠઊર્જા એ પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R_{eff}}$ છે,જ્યાં $R_{eff}$ એ મેનિસ્કસની અસરકારક ત્રિજ્યા છે.
આ કિસ્સામાં,પાણી $R$ ત્રિજ્યાની કેશનળી અને $r$ ત્રિજ્યાના તાર વચ્ચેની જગ્યામાં ઉપર ચઢે છે.
આ વલયાકાર જગ્યા માટે અસરકારક ત્રિજ્યા એ બંને ત્રિજ્યાઓનો તફાવત છે,એટલે કે $R_{eff} = R - r$.
પાણી અને કાચ/ધાતુ માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0$ લેતા,$\cos \theta = 1$ થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $h = \frac{2T}{\rho g (R - r)}$ મળે છે.

(B) બંને છેડે ટેકવેલા અને કેન્દ્ર પર ભારિત બીમનો ઝુકાવ (sag) $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\delta = \frac{W l^3}{48 Y I}$.
અહીં,$W$ એ ભાર છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $I$ એ ભૌમિતિક જડત્વની ક્ષણ (moment of inertia) છે.
$b$ પહોળાઈ અને $d$ ઊંડાઈ ધરાવતા લંબચોરસ આડછેદ માટે,જડત્વની ક્ષણ $I = \frac{b d^3}{12}$ છે.
$\delta$ ના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y (\frac{b d^3}{12})}$
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y} \times \frac{12}{b d^3}$
$\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$.

(D) એકમ કદ દીઠ વિકૃતિ ઉર્જા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ છે.
કારણ કે $\text{stress} = \frac{F}{A}$ અને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$,તેથી $u = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y}$ થાય.
આપેલ છે કે તારની લંબાઈ અને દ્રવ્ય સમાન છે ($Y$ અચળ છે) અને સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી ઉર્જા ઘનતા $u$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળના વર્ગ $A^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ (જ્યાં $d$ વ્યાસ છે),તેથી $u \propto \frac{1}{(d^2)^2} = \frac{1}{d^4}$ થાય.
તેથી,નાના વ્યાસવાળા તાર $(d_S)$ અને મોટા વ્યાસવાળા તાર $(d_L)$ માટે એકમ કદ દીઠ વિકૃતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{d_L}{d_S} \right)^4$ થશે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_S : d_L = 1 : 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{3}{1} \right)^4 = 81 : 1$ મળે.

(A) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2 \pi r$ છે.
બે પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $s = 2 \times 2 \pi r = 4 \pi r$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ છે:
$v^2 - 0^2 = 2 \times a \times (4 \pi r)$
$v^2 = 8 \pi r a$
તેથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{8 \pi r}$ મળે છે.

(D) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
વર્ટિકલ સર્ક્યુલર મોશન પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_l = \sqrt{5rg}$ હોવો જોઈએ.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_h = \sqrt{rg}$ હોય છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ ગતિઊર્જા $(K.E.)_h = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(rg)$ થાય.
સૌથી નીચા બિંદુએ ગતિઊર્જા $(K.E.)_l = \frac{1}{2}m(v_l)^2 = \frac{1}{2}m(5rg)$ થાય.
તેથી,સૌથી ઊંચા બિંદુએ અને સૌથી નીચા બિંદુએ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_h}{(K.E.)_l} = \frac{\frac{1}{2}m(rg)}{\frac{1}{2}m(5rg)} = \frac{1}{5} = 0.2$ થાય.

(A) વર્ટિકલ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (જે સંરક્ષી બળ છે) અને તણાવ બળ (જે સ્થાનાંતરને લંબ રૂપે લાગે છે) છે. તણાવ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોવાથી અને ગુરુત્વાકર્ષણ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો) ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. તેથી,કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

(C) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટેનું સમીકરણ $x(t) = A e^{-bt/2m} \cos(\omega' t + \delta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે,$b$ એ અવમંદન અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે,$\omega'$ એ અવમંદિત કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\delta$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
અવમંદન દરમિયાન,કંપવિસ્તાર $A e^{-bt/2m}$ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
અવમંદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ એ કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ કરતા અલગ હોય છે,અને આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ પણ બદલાય છે.
પ્રારંભિક કળા $\delta$ એ પ્રારંભિક શરતો (સમય $t = 0$ પર સ્થાન અને વેગ) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને અવમંદન પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લીધા વિના તે અચળ રહે છે.

(D) $SHM$ ની પથ લંબાઈ $2A$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ પથ લંબાઈ $= 0.01 \ m$,તેથી $2A = 0.01 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $A = 0.005 \ m$.
આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ માં કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = m \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(A) મધ્યમાન સ્થિતિ પર,સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે. મધ્યમાન સ્થિતિ પર દળ $m_1$ નો વેગ $v = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$ છે.
જ્યારે દળ $m_2$ ને $m_1$ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થિતિ પર સ્પ્રિંગ બળ શૂન્ય હોય છે. ધારો કે નવો વેગ $v'$ છે:
$m_1 v = (m_1 + m_2) v'$
$v' = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 A \sqrt{k/m_1}}{m_1 + m_2} = A \sqrt{\frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2}}$.
તંત્રની નવી ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v')^2$ છે.
$v'$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( A^2 \frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2} \right)$.
$A_1^2 = A^2 \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.
તેથી,$\frac{A_1}{A} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે.
પાણીમાં,ગોળા પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff}' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3 \ kg/m^3)$ છે અને $\sigma$ એ ગોળાની ઘનતા $(\frac{9}{8} \times 10^3 \ kg/m^3)$ છે.
$g_{eff}' = g(1 - \frac{10^3}{\frac{9}{8} \times 10^3}) = g(1 - \frac{8}{9}) = g(\frac{1}{9})$.
હવે,પાણીમાં આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}}$ થાય.
$T_1 = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.

(B) પાતળા સમાન સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ જ્યારે તે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરી પર ફરે છે,ત્યારે $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ થાય છે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I = MK^2$ હોવાથી,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે,આપણને $MK_1^2 = \frac{ML^2}{12}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
બીજા કિસ્સામાં,પરિભ્રમણની ધરી સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે. આ કિસ્સામાં જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega^2 = \frac{v^2}{R^2}$ થાય.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{ring} = mR^2$ છે. તેથી,$K.E._{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{ring} = 4 \ J$,તેથી $mv^2 = 4 \ J$ મળે.
ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = \frac{1}{2}mR^2$ છે. તેથી,$K.E._{disc} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$mv^2 = 4 \ J$ કિંમત મૂકતા,$K.E._{disc} = \frac{3}{4} \times 4 \ J = 3 \ J$ મળે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (l/3) \times (b/3) = A/9$ થાય છે.
નવું તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ છે.
નવી ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E' = \sigma A' T_2^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4$.
$\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(C) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 12 \sin(5t - 4x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 4 \ rad/cm$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપણને કળા તફાવત $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \ rad$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
તેથી,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \times 4} = \frac{\pi}{8} \ cm$.

(A) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 225 \ N$ તણાવ પર આવૃત્તિ $f_1$ છે અને $T_2 = 256 \ N$ તણાવ પર આવૃત્તિ $f_2$ છે.
$f \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$,તેથી $f_2 = \frac{16}{15} f_1$.
બંને કિસ્સામાં બીટ આવૃત્તિ $6 \ Hz$ આપેલ છે,ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $f_1 = x - 6$ (ધારીએ કે $x > f_1$).
બીજા કિસ્સા માટે: $f_2 = x + 6$ (કારણ કે $f_2 > f_1$,આવૃત્તિ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા વધી જશે).
$f_1$ અને $f_2$ ની કિંમત મૂકતા: $x + 6 = \frac{16}{15} (x - 6)$.
$15(x + 6) = 16(x - 6) \implies 15x + 90 = 16x - 96$.
$x = 90 + 96 = 186 \ Hz$.

(B) સ્થિર ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત $f_0$ આવૃત્તિના અવાજ માટે,$v_o$ વેગથી ગતિ કરતા અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આભાસી આવૃત્તિ $F = \left( \frac{V \pm v_o}{V} \right) f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ $V_1$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_1 = \left( \frac{V + V_1}{V} \right) f_0$ છે $(i)$.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમથી દૂર $V_1$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_2 = \left( \frac{V - V_1}{V} \right) f_0$ છે $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{F_1}{F_2} = 2$,તેથી $2 = \frac{V + V_1}{V - V_1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(V - V_1) = V + V_1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2V - 2V_1 = V + V_1$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$2V - V = 2V_1 + V_1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V = 3V_1$.
તેથી,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,અંતિમ સુધારો $\Delta L$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ સાથે દરેક છેડે $\Delta L = 0.6 \times r$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. ખુલ્લી પાઇપના બે છેડા હોવાથી,કુલ અંતિમ સુધારો $\Delta L_{total} = 2 \times (0.6 \times r) = 1.2 \times r$ થાય છે.
આપેલ છે કે કુલ અંતિમ સુધારો $\Delta L = 0.8 \ cm$ છે,તેથી:
$0.8 = 1.2 \times r$
$r = \frac{0.8}{1.2} \ cm$
$r = \frac{8}{12} \ cm = \frac{2}{3} \ cm$.

(D) ધારો કે $f_0 = \frac{v}{2L}$ એ ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
તેનો બીજો ઓવરટોન $3f_0 = \frac{3v}{2L}$ છે.
ધારો કે $f_c = \frac{v}{4L}$ એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
બંધ પાઇપની આવૃત્તિઓ $(2n-1)f_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=1, 2, 3, \dots$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન $n=4$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $(f_3)_{\text{closed}} = (2(4)-1)f_c = 7f_c = \frac{7v}{4L}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$(f_3)_{\text{closed}} - (3f_0) = 150 \ Hz$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v}{4L} - \frac{6v}{4L} = 150$.
$\frac{v}{4L} = 150$.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ હોવાથી,$f_0 = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 150 = 300 \ Hz$ થાય.

(B) ખેંચાયેલી દોરી પર ગતિ કરતા લંબગત તરંગનો વેગ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ દોરીની ત્રિજ્યા છે,તેથી $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ મળે.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે ($\rho$ અચળ છે) અને તણાવબળ $T$ સમાન છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $V \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_A = 2r_B$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: પીક કરંટ $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$,અને મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 1 \ H$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ છે.
પ્રાયમરી કોઈલમાં કરંટ $I = I_{0} \sin(\omega t)$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ છે.
સમયની સાપેક્ષમાં કરંટનું વિકલન કરતા,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$.
ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. નું પીક મૂલ્ય $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(A) $LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
આ સ્થિતિમાં સર્કિટનો કુલ ઈમ્પિડન્સ ખૂબ જ વધી જાય છે (આદર્શ સર્કિટમાં સૈદ્ધાંતિક રીતે અનંત).
ઈમ્પિડન્સ ખૂબ જ ઉચ્ચ હોવાને કારણે,સ્ત્રોતમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,$LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટ રેઝોનન્સ સમયે ઉચ્ચ ઈમ્પિડન્સ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના અભિધારણાઓ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ચોક્કસ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરે છે જેને સ્થાયી કક્ષાઓ કહેવામાં આવે છે.
આ સ્થાયી કક્ષાઓમાં,ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી,ભલે તે તેની વર્તુળાકાર ગતિને કારણે પ્રવેગિત હોય (તેનો વેગ સદિશ સતત બદલાતો રહે છે).
તેથી,સ્થાયી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતી વખતે ઇલેક્ટ્રોન પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
આમ,$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ કક્ષાઓ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક વધવાની સાથે ક્રમિક કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘટતો જાય છે.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા: $(E_5 - E_4) < (E_4 - E_3) < (E_3 - E_2) < (E_2 - E_1)$.
તેથી,$n=5$ થી $p=4$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જા તફાવત સૌથી ઓછો હોવાથી તરંગલંબાઇ મહત્તમ હશે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે તેમને $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
ધારો કે $V_1$ એ હવાવાળા કેપેસિટર (કેપેસિટન્સ $C$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $V_2$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા કેપેસિટર (કેપેસિટન્સ $KC$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,$V_1 + V_2 = V$.
$q = CV$ નો ઉપયોગ કરતા,$V_1 = \frac{q}{C}$ અને $V_2 = \frac{q}{KC}$ મળે.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{q}{C} + \frac{q}{KC} = V$.
$\frac{q}{C} (1 + \frac{1}{K}) = V \Rightarrow \frac{q}{C} (\frac{K+1}{K}) = V$.
તેથી,વિદ્યુતભાર $q = \frac{CKV}{K+1}$.
હવાવાળા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{q}{C} = \frac{KV}{K+1}$ થશે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોટેન્શિયલને $V_i$ થી $V_f$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $\Delta U = \frac{1}{2} C (V_f^2 - V_i^2)$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$W_2 = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
તેથી,$W_2 = 1.67 W$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A'$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d'$ એ અંતર છે.
દરેક કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{3}$ હોવાથી,વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$
$3, 6, 9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $18$ લેતા:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18d}$

(C) આયનોસ્ફિયરની ક્રિટિકલ ફ્રીક્વન્સી $(f_c)$ એ રેડિયો તરંગોની મહત્તમ આવૃત્તિ છે જે આયનોસ્ફિયરના સ્તરો દ્વારા પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત થઈ શકે છે.
તે $f_c = 9 \sqrt{N_{max}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N_{max}$ એ આયનોસ્ફિયરની પ્રતિ ઘન મીટર $(m^{-3})$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે.
આ સંદર્ભમાં, અચળાંક $9$ એ ભૌતિક અચળાંકો પરથી મેળવવામાં આવે છે, અને અભિવ્યક્તિ $9 \sqrt{N}$ છે.

(C) પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન ($20$ કાપા) માટેનો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_g + R_1} = \frac{2}{30 + 1970} = \frac{2}{2000} = 1 \times 10^{-3} \text{ A} = 1 \text{ mA}$ છે.
આવર્તન $\theta$ એ પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\theta \propto I)$,આવર્તનને $20$ કાપાથી ઘટાડીને $10$ કાપા કરવા માટે,પ્રવાહ અડધો થવો જોઈએ.
તેથી,$I_2 = \frac{I_1}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ A}$.
ધારો કે નવો કુલ શ્રેણી અવરોધ $R_{total}$ છે. તો $I_2 = \frac{V}{R_g + R_{total}}$.
$0.5 \times 10^{-3} = \frac{2}{30 + R_{total}}$.
$30 + R_{total} = \frac{2}{0.5 \times 10^{-3}} = 4000 \Omega$.
$R_{total} = 4000 - 30 = 3970 \Omega$.

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \cdot R$ છે, જ્યાં $R = \rho \cdot \frac{L}{A}$ છે। પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ $L$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે વાયરનો કુલ અવરોધ $R$ વધે છે।
ડ્રાઇવિંગ સ્ત્રોતનો વોલ્ટેજ અને આંતરિક અવરોધ અચળ રહેતા હોવાથી, પોટેન્શિયોમીટર વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે।
પરિણામે, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ ઘટે છે।
બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l$ સંબંધ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $E$ એ કોષનું $EMF$ છે।
$E$ અચળ હોવાથી અને $k$ ઘટતું હોવાથી, બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l = \frac{E}{k}$ વધશે।

(C) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$M$ દળ અને $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પ્રોટોન માટે જ્યારે તેને $9V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2Me(9V)}} = \frac{h}{3\sqrt{2MeV}}$.
$\lambda'$ ને $\lambda$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{3\sqrt{2MeV}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e \left( \frac{V}{6} \right) = hc \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0}} = \frac{3(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 3\lambda}$
$6(\lambda_0 - 3\lambda) = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$6\lambda_0 - 18\lambda = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$3\lambda_0 = 15\lambda$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$.
અહીં,$V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ અચળ રાખવામાં આવે,તો ગતિઊર્જા $K_{max}$ અચળ રહે છે.
જો કે,જેમ આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ વધે છે.
કારણ કે $E = \phi + K_{max}$,અને $K_{max}$ અચળ છે જ્યારે $E$ વધે છે,તેથી સમીકરણને સંતુલિત કરવા માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માં વધારો થવો જોઈએ.

(C) પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_1 = 4 \times 10^{-4} \ Wb$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_2 = \phi_1 \text{ ના } 10 \% = 0.1 \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
પ્રેરિત emf,$\varepsilon = 0.72 \ mV = 0.72 \times 10^{-3} \ V = 72 \times 10^{-5} \ V$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\Delta t = \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{|\varepsilon|}$.
$\Delta t = \frac{|4 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-4}|}{72 \times 10^{-5}}$.
$\Delta t = \frac{|0.4 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4}|}{72 \times 10^{-5}} = \frac{3.6 \times 10^{-4}}{7.2 \times 10^{-4}}$.
$\Delta t = \frac{3.6}{7.2} = 0.5 \ s$.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
જ્યારે આ કણ તેના વેગને લંબરૂપે રહેલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \sqrt{m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r^2 \propto m$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થાય.

(A) હવા ગર્ભ ધરાવતા લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\chi$ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતો પદાર્થ સોલેનોઈડની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ થાય છે.
ગર્ભ સાથે સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\mu = \frac{B}{H}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી,$B = \frac{\phi}{A}$ મળે.
આ કિંમતને પરમીએબિલિટીના સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$.
આપેલ કિંમતો:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ ની ગણતરી કરતા:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ એ બે પદાર્થો વચ્ચેના લઘુત્તમ કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટે છે,ત્યારે ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.

(B) વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર છે,$n = \frac{c}{v}$.
આપેલ છે કે વેગ $20 \%$ ઘટે છે,તેથી નવો વેગ $v = c - 0.20c = 0.80c = \frac{4}{5}c$ થાય.
આમ,વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.8c} = \frac{1}{0.8} = 1.25$ અથવા $\frac{5}{4}$ મળે.
નાના ખૂણાઓ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$. આપાત માધ્યમ હવા હોવાથી $(n_1 = 1)$,આપણને $i = n r$ મળે,તેથી $r = \frac{i}{n} = \frac{i}{1.25} = 0.8i = \frac{4i}{5}$ થાય.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\delta = i - 0.8i = 0.2i = \frac{i}{5}$ મળે છે.

(B) લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ $(LED)$ એ હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે.
$LED$ ની યોજનાકીય સંજ્ઞામાં,તીર ડાયોડથી દૂરની દિશામાં હોય છે,જે પ્રકાશના ઉત્સર્જનને દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $A$ ફોટોડાયોડ દર્શાવે છે (તીર ડાયોડ તરફ હોય છે).
વિકલ્પ $B$ $LED$ દર્શાવે છે (તીર ડાયોડથી દૂર હોય છે).
વિકલ્પ $C$ સામાન્ય $p-n$ જંકશન ડાયોડ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $D$ ઝેનર ડાયોડ દર્શાવે છે.
તેથી,$LED$ માટેની સાચી યોજનાકીય સંજ્ઞા વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) બાર્કહૌસેન માપદંડ મુજબ,ઓસિલેટરમાં સ્થાયી ઓસિલેશન ઉત્પન્ન કરવા માટે,ફીડબેક એમ્પ્લીફાયરનો લૂપ ગેઈન એકમ (unity) હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $A \beta = 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ફીડબેક વગરનો એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઈન છે અને $\beta$ એ ફીડબેક ફેક્ટર છે.
વધુમાં,લૂપની આસપાસનો કુલ ફેઝ શિફ્ટ $0^\circ$ અથવા $360^\circ$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ, પોલરાઇઝિંગ એંગલ $(i_p)$ નો ટેન્જેન્ટ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ જેટલો હોય છે, એટલે કે $\tan(i_p) = \mu$.
કારણ કે પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે (વિક્ષેપનને કારણે), તેથી પોલરાઇઝિંગ એંગલ $(i_p)$ પણ તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી, પોલરાઇઝિંગ એંગલ પણ દરેક રંગ માટે અલગ-અલગ હોય છે.

(B) સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n + \frac{1}{2})\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
$4^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા $n = 4$ $(\Delta x = 4\lambda)$ ને અનુરૂપ છે અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા $n = 5$ $(\Delta x = 5\lambda)$ ને અનુરૂપ છે.
$4^{\text{th}}$ અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાની વચ્ચે રચાતી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 4$ લેતા: $\Delta x = (4 + \frac{1}{2})\lambda = 4.5\lambda$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$.
પથ તફાવત $\Delta x = 4.5 \times (6 \times 10^{-5} \text{ cm}) = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(C) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 10I + 6I(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે.
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $\Delta I = I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$ થાય.