यदि सदिश $\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}$,$-2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}-4 \overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$i \cdot (j \times k) + j \cdot (k \times i) + k \cdot (i \times j) = $

तीन सदिश $\hat{i}-\hat{k}$,$\lambda \hat{i}+\hat{j}+(1-\lambda) \hat{k}$,और $\mu \hat{i}+\lambda \hat{j}+(1+\lambda-\mu) \hat{k}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो समांतर षट्फलक का आयतन किस पर निर्भर करता है?

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - \lambda^2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + \hat{j} - \lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं?

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी सह-अंतिम भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ द्वारा दी गई हैं,$158$ घन इकाई है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?