समीकरणों $x+2y+3z=1$,$2x+y+3z=2$ और $5x+5y+9z=4$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y+z=5$,$x+2y+\lambda^2 z=9$,और $x+3y+\lambda z=\mu$ पर विचार करें,जहाँ $\lambda, \mu \in R$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

समीकरण निकाय $kx + y + z = 1$,$x + ky + z = k$,और $x + y + kz = k^2$ का कोई हल नहीं है यदि $k$ का मान ... है।

समीकरणों के निकाय की संगति की जाँच कीजिए: $x+3y=5$ और $2x+6y=8$.

मान लीजिए $\beta$ एक वास्तविक संख्या है। आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यदि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $9\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरण निकाय $2x + 3y - 3z = 3$,$x + 2y + \alpha z = 1$,और $2x - y + z = \beta$ के अनंत हल हैं,तो $\frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} =$ ज्ञात कीजिए।