फलन f(x) = log(1+x) - frac{2x}{2+x} किस अंतरा | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) -

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$(0, \infty)$

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(A) दिया गया है,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूंकि $x^2 \geq 0$ और $(2+x)^2 > 0$ है ($x > -1$ के लिए),इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(1+x)$ पर निर्भर करता है।अतः,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$.हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ की शर्त स्पष्ट रूप से संतुष्ट होती है।इसलिए,फलन $(0, \infty)$ पर वर्धमान है।

फलन $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है?

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \cos x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(\pi, 2\pi)$ में वर्धमान है।

माना $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$,जहाँ $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो,$f$ है $.....$

यदि $f(x) = \frac{x}{\log x}$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान (increasing) है?

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