मान लीजिए f(x) = frac{ax + b}{cx + d} है। तो, | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$।हमें दिया गया है कि $f \circ f(x) = x$ है।इसका अर्थ है $f(f(x)) = x$।$f(x)$ का मान फलन में रखने पर:$f\l

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$d = -a$

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(A) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$।हमें दिया गया है कि $f \circ f(x) = x$ है।इसका अर्थ है $f(f(x)) = x$।$f(x)$ का मान फलन में रखने पर:$f\left(\frac{ax + b}{cx + d}ight) = x$$\frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}ight) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}ight) + d} = x$अंश और हर को $(cx + d)$ से गुणा करने पर:$\frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{c(ax + b) + d(cx + d)} = x$$\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + cdx + d^2} = x$$\frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + cd)x + (bc + d^2)} = x$$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x((ac + cd)x + (bc + d^2))$$(a^2 + bc)x + b(a + d) = (ac + cd)x^2 + (bc + d^2)x$यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,गुणांक समान होने चाहिए। अचर पद की तुलना करने पर,हमें $b(a + d) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $b 
eq 0$ है,तो $a + d = 0$,जिसका अर्थ है $d = -a$। यदि $d = -a$ है,तो व्यंजक $\frac{ax + b}{cx - a}$ बन जाता है,और $f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx-a}) + b}{c(\frac{ax+b}{cx-a}) - a} = \frac{a^2x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$। अतः,$d = -a$ आवश्यक शर्त है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ है। तो,$f \circ f(x) = x$ किस शर्त के तहत होगा?

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