यदि $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ दो ऐसे आव्यूह हैं कि उनका गुणनफल $AB$ एक शून्य आव्यूह है,तो $\alpha - \beta$ है:

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3$ तीन समांतर श्रेणियाँ ($A$.$P$.) हैं जिनका सार्व अंतर $d$ समान है और उनके प्रथम पद क्रमशः $A, A+1, A+2$ हैं। मान लीजिए $a, b, c$ क्रमशः $A_1, A_2, A_3$ के $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ पद हैं,इस प्रकार कि $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $a=29$ है,तो उस समांतर श्रेणी के प्रथम $20$ पदों का योग,जिसका प्रथम पद $c-a-b$ और सार्व अंतर $\frac{d}{12}$ है,$........$ के बराबर है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix}$ और $I$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह है,तो सिद्ध कीजिए कि $I+A = (I-A) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं और $I$ एक $3 \times 3$ इकाई आव्यूह है,तो $(a + b)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ है और $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ है,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ क्या है?