एक फलन f: R rightarrow R को f(x) = max {|x|, | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.हमें $\int_0^{2n} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।अंतराल $[0, 2n]$ के लिए,समुच्चय $\{|x|, |

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$3n^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.हमें $\int_0^{2n} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।अंतराल $[0, 2n]$ के लिए,समुच्चय $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ का अधिकतम मान अंतराल के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित होता है।विशेष रूप से,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$ है।हम समाकलन को $x = n$ पर विभाजित करते हैं:$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$$x \in [0, n]$ के लिए,$|x-2n| \geq |x|$,इसलिए $f(x) = |x-2n| = 2n-x$ है।$x \in [n, 2n]$ के लिए,$|x| \geq |x-2n|$,इसलिए $f(x) = |x| = x$ है।अतः,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$ है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।दोनों को जोड़ने पर: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$ प्राप्त होता है।

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