मान लीजिए कि x 0 एक निश्चित वास्तविक संख्या | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. चूंकि $x > 0$,हम समाकलन को $t = x$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t)

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$x+2 e^{-x}-1$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. चूंकि $x > 0$,हम समाकलन को $t = x$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t + \int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t$ पहले समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t = [-(x-t)e^{-t}]_0^x - \int \limits_0^x e^{-t} d t = (0 - (-x)) - [-e^{-t}]_0^x = x - (1 - e^{-x}) = x - 1 + e^{-x}$ दूसरे समाकलन के लिए: $\int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t = [-(t-x)e^{-t}]_x^{\infty} + \int \limits_x^{\infty} e^{-t} d t = (0 - 0) + [-e^{-t}]_x^{\infty} = 0 - (0 - e^{-x}) = e^{-x}$ दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (x - 1 + e^{-x}) + e^{-x} = x + 2e^{-x} - 1$.

मान लीजिए कि $x > 0$ एक निश्चित वास्तविक संख्या है। तो,समाकलन $\int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$ का मान ज्ञात कीजिए।

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