मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है जो | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f'(x) + x f(

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$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -2$

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(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f'(x) + x f(x) + 2x = 0$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $f'(x) = -x(f(x) + 2)$। यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x) + 2} = -x$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x) + 2| = -\frac{x^2}{2} + C$। अतः,$f(x) + 2 = A e^{-x^2/2}$,या $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$। मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $f(0) + \int_{0}^{0} t f(t) dt + 0^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$। $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$ में $x = 0$ रखने पर: $0 = A(1) - 2 \Rightarrow A = 2$। इसलिए,$f(x) = 2 e^{-x^2/2} - 2$। अब,सीमाओं का मान ज्ञात करने पर: $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$। $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in R$ के लिए $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$ को संतुष्ट करता है। तो:

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