यदि z एक सम्मिश्र संख्या है जो |z^3+z^{-3}| l | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. मान लीजिए $z = re^{i	heta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. त्रिभुज असमिक

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$2$

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(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. मान लीजिए $z = re^{i	heta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$. हालाँकि,हम जानते हैं कि $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$. $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$r^3 + r^{-3} \geq 2$. चूंकि $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ और $r^3+r^{-3} \geq 2$,इसलिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए $|z|=1$ होना आवश्यक है। यदि $|z|=1$,तो $z = e^{i	heta}$,अतः $|z+z^{-1}| = |e^{i	heta} + e^{-i	heta}| = |2\cos	heta|$. $|2\cos	heta|$ का अधिकतम मान $2$ है जब $\cos	heta = \pm 1$ हो।

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ को संतुष्ट करती है,तो $|z+z^{-1}|$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

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