JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) गोलों के टकराने में लगा समय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की कक्षीय अवधि के समानुपाती होता है,जो केप्लर के तीसरे नियम का पालन करता है: $T^2 \propto \frac{a^3}{M}$.
यहाँ,$a$ त्रिभुज की भुजा की लंबाई है और $M$ गोलों का द्रव्यमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $T_1 = 4 \text{ s}$,$a_1 = a$,और $M_1 = m$.
दूसरी स्थिति के लिए: $a_2 = 2a$ और $M_2 = 2m$.
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{\frac{a^3}{M}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{M_2} \cdot \frac{M_1}{a_1^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{(2a)^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{8a^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = 4 \times 2 = 8 \text{ s}$.

(D) एक सिरे पर बंद वायु स्तंभ की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ स्तंभ की लंबाई है।
$L_1 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ और $L_2 = 120 \ cm = 1.2 \ m$ लंबाई के दो स्तंभों के लिए,मूल आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{4L_1}$ और $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_1 - f_2| = 15 \ Hz$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v}{4} \left( \frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1.0} - \frac{1}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1.2 - 1.0}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{0.2}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{6} \right) = 15$.
$v = 15 \times 4 \times 6 = 360 \ m/s$.

(D) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य निकाय की स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है,$W = U_i - U_f$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = U_1 + U_2 = (m_1 g h_{cm1}) + (m_2 g h_{cm2})$.
यहाँ $A = 2 \ m^2$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
$U_i = (\rho A \times 10) g \times (10/2) + (\rho A \times 6) g \times (6/2) = \rho Ag (50 + 18) = 68 \rho Ag$.
जब पात्रों को जोड़ा जाता है,तो पानी का स्तर दोनों पात्रों में समान होकर $h = (10 + 6) / 2 = 8 \ m$ हो जाता है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = (\rho A \times 8) g \times (8/2) + (\rho A \times 8) g \times (8/2) = \rho Ag (32 + 32) = 64 \rho Ag$.
किया गया कार्य $W = U_i - U_f = 68 \rho Ag - 64 \rho Ag = 4 \rho Ag$.
$W = 4 \times 10^3 \times 2 \times 10 = 8 \times 10^4 \ J$.

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। इसलिए, विनिमय की गई कुल ऊष्मा $Q_T$ निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य $W$ के बराबर होती है, अर्थात $Q_T = W$.
$1$. $(P_0, V_0)$ से $(P_0/4, 4V_0)$ तक समतापीय प्रसार:
किया गया कार्य $W_1 = nRT \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4 = 2 P_0 V_0 \ln 2$.
$2$. $(P_0/4, 4V_0)$ से $(P_0/4, V_0)$ तक समदाबीय संपीड़न:
किया गया कार्य $W_2 = P \Delta V = (P_0/4)(V_0 - 4V_0) = (P_0/4)(-3V_0) = -0.75 P_0 V_0$.
$3$. $(P_0/4, V_0)$ से $(P_0, V_0)$ तक समआयतनिक तापन:
आयतन स्थिर होने के कारण किया गया कार्य $W_3 = 0$ है।
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 + W_3 = 2 P_0 V_0 \ln 2 - 0.75 P_0 V_0 = P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$.
चूंकि $Q_T = W$, इसलिए विनिमय की गई कुल ऊष्मा $P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,जब ब्लॉक एक साथ चलते हैं तो द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{cm}$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) v_{cm}$
$30 = 15 v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = 2 \ m/s$
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} kx^2 = K_i - K_f$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2$
$\frac{1}{2} (3000) x^2 = \frac{1}{2} (10) (3)^2 - \frac{1}{2} (15) (2)^2$
$1500 x^2 = 45 - 30$
$1500 x^2 = 15$
$x^2 = \frac{15}{1500} = \frac{1}{100}$
$x = 0.1 \ m$

(D) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R = 3H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
इसे सरल करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ का उपयोग करके,हमें $\sin \theta = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 (2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5})}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.
इसकी तुलना $\frac{n u^2}{25 g}$ से करने पर,हमें $n = 24$ प्राप्त होता है।

(D) टर्मिनल वेग $v_T$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{\eta}$,जहाँ $\rho_s$ स्टील का घनत्व है,$\rho_o$ तेल का घनत्व है,$r$ गेंद की त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
दिया गया है:
व्यास $d = 3.6 \ mm = 3.6 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
$v_T = 2.45 \times 10^{-2} \ m/s$.
$\rho_s = 7825 \ kg/m^3$.
$\rho_o = 925 \ kg/m^3$.
$g = 9.8 \ m/s^2$.
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{v_T}$.
मान रखने पर:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(7825 - 925) \times (1.8 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{6900 \times 3.24 \times 10^{-6} \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{21902.4 \times 10^{-6}}{2.45 \times 10^{-2}} \approx 1.99 \ Pa \cdot s$.

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2$.
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2] = 2c_0t + 2c(t - 2)$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[2c_0t + 2c(t - 2)] = 2c_0 + 2c = 2(c_0 + c)$.
अतः,कण का त्वरण $2(c + c_0)$ है।

(A) बोल्ट्ज़मान नियतांक $(k)$: $k = \frac{PV}{NT}$. विमीय सूत्र $[k] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[K]} = ML^2 T^{-2} K^{-1}$. ($III$ से मेल खाता है)
$(B)$ श्यानता गुणांक $(\eta)$: $F = 6\pi \eta rv$. विमीय सूत्र $[\eta] = \frac{[F]}{[r][v]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = ML^{-1} T^{-1}$. ($IV$ से मेल खाता है)
$(C)$ प्लांक नियतांक $(h)$: $E = hf$. विमीय सूत्र $[h] = \frac{[E]}{[f]} = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = ML^2 T^{-1}$. ($I$ से मेल खाता है)
$(D)$ ऊष्मीय चालकता $(k)$: $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{dT}{dx}$. विमीय सूत्र $[k] = \frac{[ML^2 T^{-3}][L]}{[L^2][K]} = MLT^{-3} K^{-1}$. ($II$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(C) एक बंद पात्र में आदर्श गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है,जो एक समआयतनिक प्रक्रिया (isochoric process) को दर्शाता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए,दाब $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$,या छोटे परिवर्तनों के लिए,$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है कि दाब में $0.4 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta P}{P} = \frac{0.4}{100}$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 1 \ K$ दिया गया है (क्योंकि $1^{\circ} C$ का परिवर्तन $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $v_{i} = 10 \ m/s$,बल $F = -kx$,जहाँ $k = 10 \ N/m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$a = \frac{F}{m} = -\frac{kx}{m} = -\frac{10x}{1} = -10x$।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$,इसलिए $v \frac{dv}{dx} = -10x$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{10}^{v} v \, dv = \int_{0.1}^{1.9} -10x \, dx$।
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{10}^{v} = -10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.1}^{1.9}$।
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 1.9^2 - 0.1^2 \right)$।
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 3.61 - 0.01 \right) = -5 \left( 3.60 \right) = -18$।
$v^2 - 100 = -36$।
$v^2 = 64$।
$v = 8 \ m/s$।

(B) त्रिज्या $R$ और पृष्ठ तनाव $T$ वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{R}$ है।
दिया गया है कि बुलबुले $A$ में अतिरिक्त दबाव,बुलबुले $B$ का आधा है,इसलिए $\Delta P_A = \frac{1}{2} \Delta P_B$ है।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{4T}{R_A} = \frac{1}{2} \left( \frac{4T}{R_B} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{2R_B}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $R_A = 2R_B$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
अतः,आयतनों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^3 = (2)^3 = 8$ है।
चूंकि $V_A = n V_B$ है,इसलिए $n = 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया संबंध: $C = p^1 q^2 r^{-3} s^{-1/2}$ है।
$C$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र:
$\frac{\Delta C}{C} = \left| 1 \frac{\Delta p}{p} \right| + \left| 2 \frac{\Delta q}{q} \right| + \left| 3 \frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{1}{2} \frac{\Delta s}{s} \right|$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियां: $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3\%$,$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 2\%$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta C}{C} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 2\%) + (3 \times 3\%) + (0.5 \times 2\%)$.
$= 1\% + 4\% + 9\% + 1\% = 15\%$.
अतः,$C$ में प्रतिशत त्रुटि $15\%$ है।

(C) टक्कर आवृत्ति $(f)$ को प्रति इकाई समय में होने वाली टक्करों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो औसत चाल $(v_{avg})$ और माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$f = \frac{v_{avg}}{\lambda}$
दिया गया है:
$v_{avg} = 600 \ m/s$
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$
मान रखने पर:
$f = \frac{600}{3 \times 10^{-7}}$
$f = 200 \times 10^7 \ s^{-1}$
$f = 2 \times 10^9 \ s^{-1}$

(C) अनुपात $K = \frac{\cos \theta_{A}}{\cos \theta_{B}}$ द्वारा दिया गया है।
$K$ के ऋणात्मक होने के लिए,$\cos \theta_{A}$ और $\cos \theta_{B}$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
यदि $\theta < 90^{\circ}$ है,तो $\cos \theta > 0$ (अवतल मेनिस्कस)।
यदि $\theta > 90^{\circ}$ है,तो $\cos \theta < 0$ (उत्तल मेनिस्कस)।
अतः,यदि $K < 0$ है,तो एक द्रव का मेनिस्कस अवतल $(\theta < 90^{\circ})$ और दूसरे का उत्तल $(\theta > 90^{\circ})$ होना चाहिए।

(C) टॉर्क $\vec{\tau}$ को कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
चूंकि $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$,इसलिए व्यंजक $B$ सही है: $\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$.
गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}) + (\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt})$.
चूंकि $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ और $\vec{p} = m\vec{v}$,इसलिए पद $(\vec{v} \times m\vec{v}) = 0$ हो जाता है। अतः,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$,जिससे व्यंजक $C$ सही सिद्ध होता है।
साथ ही,$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$ होने के कारण,व्यंजक $E$ सही है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले दृढ़ पिंड के लिए,$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ होता है,इसलिए व्यंजक $D$ भी सही है।
व्यंजक $A$ गलत है क्योंकि $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ होता है,न कि $\vec{r} \times \vec{L}$।
अतः,$B, C, D$ और $E$ सही हैं।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $V = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है और $\rho$ घनत्व है।
यह दिया गया है कि सभी गैसों के लिए अनुपात $\frac{P}{\rho}$ समान है,इसलिए ध्वनि की गति एडियाबेटिक इंडेक्स के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $V \propto \sqrt{\gamma}$।
$He$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है,इसलिए $\gamma_{He} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
$CH_4$ (बहु-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ है,इसलिए $\gamma_{CH_4} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
$CO_2$ (बहु-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ है,इसलिए $\gamma_{CO_2} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$।
अतः,गति का अनुपात $V_{He} : V_{CH_4} : V_{CO_2} = \sqrt{\gamma_{He}} : \sqrt{\gamma_{CH_4}} : \sqrt{\gamma_{CO_2}} = \sqrt{\frac{5}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}}$ है।

(D) विद्युत फ्लक्स $\phi_{E}$ और चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{M}$ का अनुपात $\frac{\phi_{E}}{\phi_{M}} = \frac{E \cdot A}{B \cdot A} = \frac{E}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E = c \cdot B$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है),इसलिए अनुपात $\frac{E}{B} = c$ होता है।
गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
इसे $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = 1$ और $R = -1$ है।

(A) दिया गया स्थिति सदिश $\vec{r} = a(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t)$ है।
बल ज्ञात करने के लिए,हम पहले त्वरण $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ की गणना करते हैं।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega(-\hat{i} \sin \omega t + \hat{j} \cos \omega t)$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t) = -\omega^2\vec{r}$ है।
चूंकि $\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{F} = -m\omega^2\vec{r}$ है।
यह दर्शाता है कि बल $\vec{F}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ के विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(B) पिंड के संतुलन में रहने के लिए,तनाव के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को बलों को संतुलित करना चाहिए।
क्षैतिज संतुलन: $T_1 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$.
दिया गया है $T_1 = \sqrt{3} T_2$,अतः $\sqrt{3} T_2 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$,जो सरल होकर $\sqrt{3} \cos \theta_1 = \cos \theta_2$ हो जाता है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = mg$.
$T_1 = \sqrt{3} T_2$ रखने पर: $T_2 (\sqrt{3} \sin \theta_1 + \sin \theta_2) = mg$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\theta_1 = 60^{\circ}$ और $\theta_2 = 30^{\circ}$.
क्षैतिज जाँच: $\sqrt{3} \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. यह समान है।
ऊर्ध्वाधर जाँच: $T_2 (\sqrt{3} \sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = T_2 (\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (2) = mg$.
अतः,$T_2 = \frac{mg}{2}$.

(A) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2gR) = mgR$ है।
चूंकि अभिकथन में ऊर्जा $\frac{1}{2}mgR$ बताई गई है,इसलिए अभिकथन $A$ गलत है।
अनंत पर किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा शून्य के रूप में परिभाषित की जाती है,जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड के लिए स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान है। अतः,कारण $R$ सही है।

(A) $\ell$ लंबाई की एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है।
जब पाइप को उसके आयतन के $\left(\frac{1}{5}\right)$ भाग तक पानी से भरा जाता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $\ell' = \ell - \frac{\ell}{5} = \frac{4\ell}{5}$ हो जाती है।
नई मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4\ell'} = \frac{v}{4(\frac{4\ell}{5})} = \frac{5v}{16\ell}$ है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{5v}{16\ell} - \frac{v}{4\ell} = \frac{5v - 4v}{16\ell} = \frac{v}{16\ell}$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f_1} \times 100 = \frac{\frac{v}{16\ell}}{\frac{v}{4\ell}} \times 100 = \frac{4}{16} \times 100 = 25 \%$ है।

(D) एक सरल लोलक के लिए,कोणीय त्वरण $\alpha$ को समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega^2 = \frac{g}{l}$ है।
चूंकि दोनों लोलकों का कोणीय त्वरण परिमाण में समान है,इसलिए हमारे पास $|\alpha_1| = |\alpha_2|$ है।
$\alpha$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{g}{l_1} \theta_1 = \frac{g}{l_2} \theta_2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से गुरुत्वीय त्वरण $g$ को हटाने पर,हमें $\frac{\theta_1}{l_1} = \frac{\theta_2}{l_2}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\theta_1 l_2 = \theta_2 l_1$ प्राप्त होता है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा निचले सिरे पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
वलय के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $k^2 = R^2$ और $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ और $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_{\text{ring}}}{v_{\text{sphere}}} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{10gh/7}} = \sqrt{\frac{7}{10}}$ है।
$\sqrt{\frac{x}{5}}$ के रूप में लिखने पर,$\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{\frac{3.5}{5}}$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,$x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) अपरूपण प्रतिबल (shear stress) $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगाए गए बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $l$ भुजा और $d$ मोटाई वाले स्लैब के लिए,उस फलक का क्षेत्रफल जिस पर बल लगाया गया है,$A = l \times d$ है।
अतः,दोनों स्लैब के लिए अपरूपण प्रतिबल:
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$ और $\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$ है।
अपरूपण मापांक $\eta$ को अपरूपण प्रतिबल और विरूपण कोण $\theta$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है (छोटे कोणों के लिए,$\theta \approx \tan \theta$):
$\eta = \frac{\sigma}{\theta} \Rightarrow \theta = \frac{\sigma}{\eta}$।
दिया गया है कि $\theta_2 = 2\theta_1$,हम व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\sigma_2}{\eta_2} = 2 \left( \frac{\sigma_1}{\eta_1} \right)$।
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$,$\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$,और $d_2 = 2d_1$ रखने पर:
$\frac{F}{l d_2 \eta_2} = 2 \left( \frac{F}{l d_1 \eta_1} \right)$।
$\frac{1}{2d_1 \eta_2} = \frac{2}{d_1 \eta_1} \Rightarrow \frac{1}{\eta_2} = \frac{4}{\eta_1} \Rightarrow \eta_2 = \frac{\eta_1}{4}$।
दिया गया है कि $\eta_1 = 4 \times 10^9 \ N/m^2$,इसलिए:
$\eta_2 = \frac{4 \times 10^9}{4} = 1 \times 10^9 \ N/m^2$।
इसे $x \times 10^9 \ N/m^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) शीट का प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_0 = l \times d = 9 \ cm \times 4 \ cm = 36 \ cm^2 = 36 \times 10^{-4} \ m^2$ है।
ऊष्मा के सूत्र $\Delta Q = m C_v \Delta T$ का उपयोग करके,हम तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ ज्ञात करते हैं:
$8.1 \times 10^2 = 0.1 \times 900 \times \Delta T$
$810 = 90 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{810}{90} = 9 \ K$.
ऊष्मीय प्रसार के कारण क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_0 \beta \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta = 2\alpha$ क्षेत्रीय प्रसार गुणांक है।
$\Delta A = A_0 (2\alpha) \Delta T$
$\Delta A = (36 \times 10^{-4} \ m^2) \times (2 \times 3.1 \times 10^{-5} \ K^{-1}) \times (9 \ K)$
$\Delta A = 36 \times 10^{-4} \times 6.2 \times 10^{-5} \times 9$
$\Delta A = 2008.8 \times 10^{-9} \ m^2 \approx 2.0 \times 10^{-6} \ m^2$.

(A) अपरूपण मापांक $G$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (छोटे कोणों के लिए कोणीय विस्थापन $\theta$) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\theta}$
अपरूपण प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$,जहाँ $F = 10^5 \ N$ और $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि $r = 4 \ cm = 0.04 \ m = 4 \times 10^{-2} \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16 \pi \times 10^{-4} \ m^2$ है।
अब,मानों को सूत्र में रखने पर:
$10^{10} = \frac{10^5 / (16 \pi \times 10^{-4})}{\theta}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^6} = \frac{1}{160 \pi} \text{ radian}$.

(B) चूंकि निकाय बंद है,इसलिए गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
माना छोटे पात्र का आयतन $V$ है और बड़े पात्र का आयतन $2V$ है।
बड़े पात्र में प्रारंभिक मोल: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{8 \times 2V}{R \times 1000} = \frac{16V}{1000R}$.
छोटे पात्र में प्रारंभिक मोल: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{7 \times V}{R \times 500} = \frac{14V}{1000R}$.
कुल प्रारंभिक मोल: $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{16V + 14V}{1000R} = \frac{30V}{1000R}$.
स्थिर अवस्था में,कुल आयतन $V_f = V + 2V = 3V$ है और तापमान $T_f = 600 \ K$ है।
अंतिम अवस्था के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $n_{total} = \frac{P_f V_f}{R T_f}$.
$\frac{30V}{1000R} = \frac{P_f \times 3V}{R \times 600}$.
दोनों पक्षों से $V$ और $R$ को हटाने पर:
$\frac{30}{1000} = \frac{3 P_f}{600}$.
$\frac{30}{1000} = \frac{P_f}{200}$.
$P_f = \frac{30 \times 200}{1000} = 6 \ kPa$.

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि वस्तु पृथ्वी पर वापस न आए,अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है।
पृथ्वी के केंद्र से वस्तु की दूरी $r = R + 3R = 4R$ है।
इस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{4R}$ है।
मान लीजिए प्रक्षेपण गति $v$ है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{4R}$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(D) औसत वेग $\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$ द्वारा दिया जाता है। तात्क्षणिक वेग $x-t$ ग्राफ का ढलान है,$v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $t = 0$ से $t = 3\ s$ तक: $x_i = 0$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 0}{3 - 0} = \frac{5}{3}\ m/s$. कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ $t = 3$ से $t = 5\ s$ तक: $x_i = 5$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 5}{5 - 3} = 0\ m/s$. कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t = 2\ s$ पर,ग्राफ $(1, -5)$ और $(3, 5)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। ढलान $= \frac{5 - (-5)}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5\ m/s$. कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ $t = 5$ से $t = 7\ s$ तक: $x_i = 5$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 5}{7 - 5} = -2.5\ m/s$. $t = 6.5\ s$ पर,ढलान $= \frac{0 - 10}{7 - 6} = -10\ m/s$. कथन $(D)$ गलत है।
$(E)$ $t = 0$ से $t = 9\ s$ तक: $x_i = 0$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 0}{9 - 0} = 0\ m/s$. कथन $(E)$ सही है।
अतः,$(B), (C), (E)$ सही हैं।

(A) समतल सतह पर लुढ़कते हुए पहिये के लिए,उच्चतम बिंदु $B$ का वेग $V_B = 2v$ होता है,जहाँ $v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है।
दिया गया है $V_B = 8 \ m/s$,इसलिए $2v = 8 \ m/s$,जिसका अर्थ है $v = 4 \ m/s$.
निचला बिंदु $A$ तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र है।
रिम पर किसी भी बिंदु $P$ का वेग $V_P = \omega r_P$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_P$ तात्क्षणिक केंद्र $A$ से दूरी है।
केंद्र $C$ के समान स्तर पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,दूरी $AP = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है,जहाँ $R$ पहिये की त्रिज्या है।
चूँकि $v = \omega R$,इसलिए $\omega = v/R$.
अतः,$V_P = (v/R) \times (R\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$.
$v = 4 \ m/s$ रखने पर,हमें $V_P = 4\sqrt{2} \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $300$ मुख्य पैमाना भाग $(MSD) = 15 \ cm$ है।
इसलिए,$1 \ MSD = \frac{15}{300} \ cm = 0.05 \ cm$ है।
यह दिया गया है कि $25$ वर्नियर पैमाना भाग $(VSD) = 24 \ MSD$ है।
इसलिए,$1 \ VSD = \frac{24}{25} \ MSD$ है।
ट्रैवलिंग माइक्रोस्कोप का अल्पतमांक $(LC)$ को $LC = 1 \ MSD - 1 \ VSD$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$LC = 1 \ MSD - \frac{24}{25} \ MSD = \frac{1}{25} \ MSD$ है।
अब,$1 \ MSD = 0.05 \ cm$ रखने पर,हमें $LC = \frac{1}{25} \times 0.05 \ cm = 0.002 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि ब्लॉक एक समान वेग से चलता है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है $(a = 0)$।
क्षैतिज रूप से बलों को हल करने पर: $F \cos 45^{\circ} = f_k$,जहाँ $f_k = \mu N$ है।
ऊर्ध्वाधर रूप से बलों को हल करने पर: $N + F \sin 45^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - \frac{F}{\sqrt{2}}$।
$N$ का मान घर्षण समीकरण में रखने पर: $\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \left( 25 \times 9.8 - \frac{F}{\sqrt{2}} \right)$।
$\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \times 245 - 0.25 \frac{F}{\sqrt{2}}$।
$1.25 \frac{F}{\sqrt{2}} = 61.25$।
$F = \frac{61.25 \times \sqrt{2}}{1.25} = 49 \sqrt{2} \ N$।
लागू बल द्वारा किया गया कार्य $W = F S \cos 45^{\circ}$ है।
$W = (49 \sqrt{2}) \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 49 \times 5 = 245 \ J$।

(C) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है,जहाँ $\Delta W = P \Delta V$ है।
$(A)$ समदाबी प्रक्रिया: दाब स्थिर $(P = C)$ रहता है। किया गया कार्य $P \Delta V$ है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$। यह $(IV)$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन स्थिर $(V = C)$ रहता है,इसलिए $\Delta V = 0$ और $\Delta W = 0$। अतः,$\Delta Q = \Delta U$। यह $(II)$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया: ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$। यह $(III)$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ समतापीय प्रक्रिया: तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta W$। यह $(I)$ के साथ मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$ है।

(C) तरंग के विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x(t) = 5 \cos \left(628 t + \frac{\pi}{2}\right)$ है।
इसे मानक रूप $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर, हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 628 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2 \pi f$, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
अतः, $2 \times 3.14 \times f = 628$.
$6.28 f = 628$.
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$.
वेग $(v)$, आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
यहाँ $v = 300 \text{ m/s}$ दिया गया है, इसलिए $300 = 100 \times \lambda$.
अतः, $\lambda = \frac{300}{100} = 3 \text{ m}$.

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $P_e = q \times d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है और $d$ दूरी है। इसकी विमा $[A T L]$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। इसकी विमा $[A L^2]$ है।
इनका अनुपात $\frac{P_e}{M} = \frac{[A T L]}{[A L^2]} = [M^0 L^{-1} T^1 A^0]$ है।
इसे $[M^P L^Q T^R A^S]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = 0$ और $Q = -1$ प्राप्त होता है।

(B) एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $\rho$ समान है,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$।
अतः,$M \propto R^3$।
जब त्रिज्या $R$ से बदलकर $R/2$ हो जाती है,तो द्रव्यमान $M$ से बदलकर $M' = M \cdot (1/2)^3 = M/8$ हो जाता है।
चूंकि गोले पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_1 = L_2$।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
मान रखने पर: $(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5}M'(R/2)^2)\omega_2$।
$(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{M}{8} \cdot \frac{R^2}{4})\omega_2$।
$MR^2 \omega_1 = (\frac{M R^2}{32}) \omega_2$।
$\omega_2 = 32 \omega_1$।
इसे $x\omega_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 32$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x = a \cos(1.5 t) \cos(50.5 t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करके,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{a}{2} [\cos(50.5 t + 1.5 t) + \cos(50.5 t - 1.5 t)]$
$x = \frac{a}{2} \cos(52 t) + \frac{a}{2} \cos(49 t)$.
यहाँ,कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 52 \ rad/s$ और $\omega_2 = 49 \ rad/s$ हैं।
बीट आवृत्ति $f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2| = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2 \pi}$ द्वारा दी जाती है।
$f_{\text{beat}} = \frac{52 - 49}{2 \pi} = \frac{3}{2 \pi} \ Hz$.
बीट आवर्तकाल $T_{\text{beat}} = \frac{1}{f_{\text{beat}}} = \frac{2 \pi}{3} \ s$ है।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर,हमें $T_{\text{beat}} = \frac{2 \times 3.14}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09 \ s$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,बीट आवर्तकाल $2 \ s$ है।

(D) माना छड़ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda$ है। कुल लंबाई $5L$ है,इसलिए कुल द्रव्यमान $M = 5L\lambda$ है। दो खंडों की लंबाई $2L$ और $3L$ है,जिनके द्रव्यमान $m_1 = 2L\lambda$ और $m_2 = 3L\lambda$ हैं।
$x$-अक्ष पर $2L$ लंबाई वाले क्षैतिज खंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (L, 0)$ पर है।
$y$-अक्ष पर $3L$ लंबाई वाले ऊर्ध्वाधर खंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (0, 1.5L)$ पर है।
$L = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $m_1 = 20\lambda$ और $m_2 = 30\lambda$ है। निर्देशांक $(x_1, y_1) = (10, 0)$ और $(x_2, y_2) = (0, 15)$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $x_{com} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(10) + 30\lambda(0)}{50\lambda} = \frac{200}{50} = 4 \ cm$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{com} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(0) + 30\lambda(15)}{50\lambda} = \frac{450}{50} = 9 \ cm$ है।
अतः,स्थिति सदिश $\vec{r}_{com} = 4 \hat{i} + 9 \hat{j}$ है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक गति $v$ है। प्रक्षेपण कोण $\theta_1 = 45^{\circ} + \alpha$ और $\theta_2 = 45^{\circ} - \alpha$ हैं।
उड़ान समय का सूत्र $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ है।
उड़ान समय $T_1$ और $T_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} - \alpha)}$.
त्रिकोणमितीय विस्तार $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 45^{\circ} \cos \alpha + \cos 45^{\circ} \sin \alpha}{\sin 45^{\circ} \cos \alpha - \cos 45^{\circ} \sin \alpha}$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.
अंश और हर को $\cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$.

$(A)$ विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
त्रि-परमाणुक दृढ़ गैस के लिए, $f = 6$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$. $(A-III)$
द्वि-परमाणुक अदृढ़ गैस के लिए, $f = 7$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. $(B-IV)$
एक-परमाणुक गैस के लिए, $f = 3$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. $(C-I)$
द्वि-परमाणुक दृढ़ गैस के लिए, $f = 5$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. $(D-II)$
अतः, सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(A) आनत तल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 60^{\circ}$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg \cos 60^{\circ}$ ऊपर की ओर हैं।
आनत तल के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} = ma$
यहाँ $a = \frac{g}{2}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = \frac{g}{2}$
$g$ से भाग देने पर:
$\sin 60^{\circ} - \mu \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu}{2} = \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3} - \mu = 1$
$\mu = \sqrt{3} - 1$

(D) दिया गया बल $\vec{F} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ N$ और द्रव्यमान $m = 1000 \ g = 1 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
चूंकि $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$,हम समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं (मानते हुए कि $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $\vec{v} = 0$ है):
$\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$ है।
शक्ति $P$ बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
$P = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j})$।
$P = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5 \ W$।

(B) दिया गया है: $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{d_A}{d_B} = 2$।
तार की लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ के बने हैं,इसलिए $Y_A = Y_B$। दिया गया है कि लगाया गया बल समान है,इसलिए $F_A = F_B$।
लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F_A L_A}{A_A Y_A} \times \frac{A_B Y_B}{F_B L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \left(\frac{A_B}{A_A}\right)$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ होने के कारण,क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_B}{A_A} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$।

(A) सभी पिंडों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है।
$A \rightarrow$ डिस्क,$B \rightarrow$ ठोस गोला,$C \rightarrow$ गोलीय कोश।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{4}$ है।
$PQ$ अक्ष डिस्क $A$ के केंद्र से गुजरती है और गोलों $B$ और $C$ को स्पर्श करती है।
डिस्क $A$ के लिए: $I_A = \frac{MR^2}{2}$.
ठोस गोले $B$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_B = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
गोलीय कोश $C$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_C = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{PQ} = I_A + I_B + I_C = \frac{MR^2}{4} + \frac{7}{5}MR^2 + \frac{5}{3}MR^2$.
$I_{PQ} = MR^2 \left( \frac{15 + 84 + 100}{60} \right) = \frac{199}{60} MR^2$.
चूंकि $I = \frac{MR^2}{4}$,इसलिए $MR^2 = 4I$.
$I_{PQ} = \frac{199}{60} (4I) = \frac{199}{15} I$.
अतः,$x = 199$.

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,व्यास $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,तापमान $T = 1727^{\circ} C = 1727 + 273 = 2000 \ K$,शक्ति $P = 94.2 \ W$,स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक $\sigma = 6.0 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
विकिरण के लिए स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम का उपयोग करते हुए: $P = \varepsilon \sigma A T^4$,जहाँ $A$ तार का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
तार का पृष्ठीय क्षेत्रफल (बेलनाकार) $A = \pi d L$ है।
$A = 3.14 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m) \times (0.1 \ m) = 1.57 \times 10^{-4} \ m^2$.
शक्ति समीकरण में मान रखने पर:
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (2000)^4$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (16 \times 10^{12})$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 1.57 \times 16) \times 10^0$.
$94.2 = \varepsilon \times (150.72)$.
$\varepsilon = \frac{94.2}{150.72} = 0.625$.
चूंकि $\varepsilon = \frac{x}{8}$,इसलिए $0.625 = \frac{x}{8} \implies x = 0.625 \times 8 = 5$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि ग्राफ एक वृत्त है,इसलिए क्षेत्रफल $W = \pi \times r_P \times r_V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_P$ और $r_V$ क्रमशः दबाव और आयतन अक्षों पर त्रिज्याएँ हैं।
दबाव अक्ष पर व्यास $d_P = (500 - 300) \text{ kPa} = 200 \times 10^3 \text{ Pa}$ है। अतः,$r_P = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$ है।
आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (350 - 150) \text{ cm}^3 = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,$r_V = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है।
किया गया कार्य $W = \pi \times r_P \times r_V = 3.14 \times (100 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) \text{ J}$ है।
$W = 3.14 \times 10^4 \times 10^{-6} \times 100 \text{ J} = 3.14 \times 10^0 \text{ J} = 3.14 \text{ J}$ है।
इसे $\times 10^{-1} \text{ J}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $W = 31.4 \times 10^{-1} \text{ J}$ लिखते हैं।
अतः,मान $31.4$ है।

(A) केप्लर का दूसरा नियम बताता है कि सूर्य से किसी ग्रह तक का त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है। इसका अर्थ है कि क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ स्थिर है।
क्षेत्रीय वेग का सूत्र $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूँकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ शून्य है $(\tau = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$।
चूँकि टॉर्क शून्य है,कोणीय संवेग $L$ समय के साथ स्थिर रहता है।
चूँकि $L$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ भी स्थिर रहता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सही है और कारण $(R)$ इसकी सही भौतिक व्याख्या प्रदान करता है।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा (प्रति अणु) का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि हीलियम $(He)$ और आर्गन $(Ar)$ दोनों एकपरमाणुक गैसें हैं,इसलिए उनकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) समान $(f = 3)$ है।
यह दिया गया है कि दोनों गैसें समान तापमान $(T = 300 \ K)$ पर हैं,इसलिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः,औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात: $\frac{K.E._{He}}{K.E._{Ar}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1: 1$ है।

(A) केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ को सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान हैं: $T = 70 \ dyn/cm$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,और $r = 0.1 \ mm = 0.01 \ cm$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{2 \times 70 \times \cos 0^{\circ}}{1 \times 980 \times 0.01} = \frac{140}{9.8} = \frac{1400}{98} = \frac{100}{7} \ cm$.
नली ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ पर झुकी हुई है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
नली के साथ पानी के स्तंभ की लंबाई $\ell$ का ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ से संबंध $\ell = \frac{h}{\sin \alpha}$ है।
$\alpha = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\ell = \frac{100/7}{\sin 60^{\circ}} = \frac{100/7}{\sqrt{3}/2} = \frac{200}{7\sqrt{3}} \approx 16.49 \ cm$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की वोल्टेज संवेदनशीलता $(S_V)$ का सूत्र है:
$S_V = \frac{\theta}{V} = \frac{NAB}{kR}$
जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$k$ मरोड़ स्थिरांक है,और $R$ प्रतिरोध है।
यह दिया गया है कि $k$ दोनों कॉइल्स के लिए समान है,इसलिए वोल्टेज संवेदनशीलता का अनुपात होगा:
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{N_1 A_1 B_1}{N_2 A_2 B_2} \times \frac{R_2}{R_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{15 \times 3.6 \times 10^{-3} \times 0.25}{21 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 0.50} \times \frac{7}{5}$
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{15 \times 3.6 \times 0.25}{21 \times 1.8 \times 0.50} \times \frac{7}{5}$
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{13.5}{18.9} \times 1.4 = \frac{13.5}{18.9} \times \frac{7}{5} = \frac{94.5}{94.5} = 1$
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ स्थिर रहती है।
जैसे ही चाल $v$ स्थिर रहती है,संवेग $p = mv$ भी स्थिर रहता है।
इसलिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बराबर होगी।

(D) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ वाले माध्यम में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{B^2}{2\mu_r\mu_0}$ है।
यहाँ $\mu_r = 2$ दिया गया है,इसलिए $u = \frac{B^2}{2(2)\mu_0} = \frac{B^2}{4\mu_0}$ होगा।
आयतन $V = Al$ में संचित कुल चुंबकीय ऊर्जा $U = u \times V$ है।
अतः,$U = \frac{B^2}{4\mu_0} \times Al = \frac{B^2 Al}{4\mu_0}$।

(B) दो बड़ी समानांतर चालक प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान होता है और इसे $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
यहाँ $d = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $E = \frac{V}{10 \ cm}$।
दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V = E \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta x$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में बिंदुओं के बीच विस्थापन सदिश का प्रक्षेप है।
विद्युत क्षेत्र धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर (क्षैतिज रूप से) होता है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की क्षैतिज दूरी (प्रक्षेप) वही है जो $C$ और $B$ के बीच की क्षैतिज दूरी है,जो $4 \ cm$ है।
इसलिए,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = E \cdot (4 \ cm) = \left( \frac{V}{10 \ cm} \right) \times 4 \ cm = \frac{4}{10} V = \frac{2}{5} V$ है।

(C) बोहर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है।
$Li^{++}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = a_0 \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3} a_0$.
दी गई अभिव्यक्ति $\frac{1}{X} a_0$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $X = 3$।

(C) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_1 H^2 + { }_1 H^2 \rightarrow { }_2 He^4$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा: $2 \times (2 \times 1.1 \ \text{MeV}) = 4.4 \ \text{MeV}$.
उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा: $4 \times 7.0 \ \text{MeV} = 28.0 \ \text{MeV}$.
मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है: $Q = BE_{\text{product}} - BE_{\text{reactants}}$.
$Q = 28.0 \ \text{MeV} - 4.4 \ \text{MeV} = 23.6 \ \text{MeV}$.

(B) $1$. पहले $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $1$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ है।
$2$. यह आउटपुट $0$,$AND$ गेट और $NOT$ गेट को दिया जाता है।
$3$. $AND$ गेट के इनपुट $0$ और $0$ हैं (क्योंकि $NAND$ गेट का आउटपुट $0$ है और यह $AND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है)। अतः,$P = 0 \cdot 0 = 0$ है।
$4$. $OR$ गेट के इनपुट प्रारंभिक इनपुट $1$ और $1$ से जुड़े दो $NOT$ गेट के आउटपुट हैं। $OR$ गेट के इनपुट $\overline{1} = 0$ और $\overline{1} = 0$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $0 + 0 = 0$ है।
$5$. $NOR$ गेट को दो इनपुट मिलते हैं: एक $NOT$ गेट से (जो $NAND$ आउटपुट $0$ को उलट कर $1$ कर देता है) और दूसरा $OR$ गेट के आउटपुट $0$ से। $NOR$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ है।
$6$. इसलिए,$P = 0$ और $Q = 0$ है।

(A) दिया गया है,वक्रता त्रिज्या $R = 12 \ cm$। फोकस दूरी $f = R / 2 = 6 \ cm$ है।
अवतल दर्पण के लिए,$f = -6 \ cm$ और वस्तु की दूरी $u = -18 \ cm$ है। आवर्धन सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$m_{concave} = -6 / (-6 - (-18)) = -6 / 12 = -1 / 2$। प्रतिबिंब का आकार $|m_{concave}| = 1 / 2$ है।
उत्तल दर्पण के लिए,$f = +6 \ cm$ और वस्तु की दूरी $u = -18 \ cm$ है। आवर्धन सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$m_{convex} = 6 / (6 - (-18)) = 6 / 24 = 1 / 4$। प्रतिबिंब का आकार $|m_{convex}| = 1 / 4$ है।
उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब और अवतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के आकार का अनुपात है:
अनुपात $= |m_{convex}| / |m_{concave}| = (1 / 4) / (1 / 2) = 1 / 2$.

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है,इसलिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \frac{2}{R}$।
यहाँ $R = 1/6 \ cm$ दिया गया है,इसलिए शक्ति $\frac{2}{R} = 2 \times 6 = 12 \ cm^{-1}$ के समानुपाती है।
नए लेंस के लिए,हमें $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 12$ की आवश्यकता है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $R_1 = 1/5 \ cm$ और $R_2 = 1/7 \ cm$,जिससे $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 5 + 7 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाली एक समान रूप से आवेशित रिंग की अक्ष पर $z$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान इस प्रकार है:
$E = \frac{kQz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र अधिकतम है,हम $E$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dz} = kQ \left[ \frac{(z^2 + R^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2z}{(z^2 + R^2)^3} \right] = 0$
$(z^2 + R^2)^{3/2} - 3z^2(z^2 + R^2)^{1/2} = 0$
$(z^2 + R^2) - 3z^2 = 0$
$R^2 - 2z^2 = 0$
$z = \frac{R}{\sqrt{2}}$
दी गई त्रिज्या $R = a\sqrt{2}$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a$
अतः,विद्युत क्षेत्र $z = a$ पर अधिकतम है।

(B) ट्रुथ टेबल से पता चलता है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब $A=1$ हो।
विशेष रूप से,जब $A=0$ होता है,तो $B$ कुछ भी हो,$Y=0$ प्राप्त होता है।
जब $A=1$ होता है,तो $B$ कुछ भी हो,$Y=1$ प्राप्त होता है।
यह बूलियन समीकरण $Y = A$ के अनुरूप है।
आइए सर्किट का विश्लेषण करें:
विकल्प $A$: $Y = (A+B) \cdot B$. यदि $A=0, B=1$ हो,तो $Y = (0+1) \cdot 1 = 1$. यह ट्रुथ टेबल से मेल नहीं खाता है।
विकल्प $B$: $Y = (A+B) \cdot A$.
यदि $A=0, B=0$ हो,तो $Y = (0+0) \cdot 0 = 0$.
यदि $A=0, B=1$ हो,तो $Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
यदि $A=1, B=0$ हो,तो $Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
यदि $A=1, B=1$ हो,तो $Y = (1+1) \cdot 1 = 1$.
यह दिए गए ट्रुथ टेबल से पूरी तरह मेल खाता है।

(C) पूर्णतः परावर्तक सतह पर विकिरण दबाव $P_{rad} = \frac{2I}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ है।
तीव्रता $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$,जहाँ $P = 450 \text{ W}$ और $r = 2 \text{ m}$ है।
$I = \frac{450}{4 \pi (2)^2} = \frac{450}{16\pi} \text{ W/m}^2$.
दबाव के सूत्र में मान रखने पर:
$P_{rad} = \frac{2 \times 450}{16\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{900}{48\pi \times 10^8} = \frac{150}{8\pi \times 10^8} \text{ Pa}$.
$P_{rad} \approx \frac{150}{25.13} \times 10^{-8} \approx 5.97 \times 10^{-8} \text{ Pa}$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $6 \times 10^{-8} \text{ Pa}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 25 \ m$,क्षेत्रफल $A = 5 \ mm^2 = 5 \times 10^{-6} \ m^2$,प्रतिरोधकता $\rho = 2 \times 10^{-6} \ \Omega \ m$.
सबसे पहले,तार का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 25}{5 \times 10^{-6}} = 10 \ \Omega$.
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो व्यास के विपरीत बिंदु तार को दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित करते हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \ \Omega$ होता है।
ये दो भाग व्यास के विपरीत बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{5} \implies R_{eq} = \frac{5}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(B) पहली विन्यास में,दो परावैद्युत श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_a = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d}$ और $C_b = \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_1 = \frac{C_a C_b}{C_a + C_b} = \frac{(\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d})(\frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d})}{\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d} + \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}$.
दूसरी विन्यास में,दो परावैद्युत समांतर क्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_c = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ और $C_d = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_2 = C_c + C_d = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$.
अब,अनुपात $\frac{C_1}{C_2}$ है:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} \times \frac{2d}{\varepsilon_0 A (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} = \frac{4 \varepsilon_1 \varepsilon_2}{(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2}$.

(B) . अभिक्रिया $_0^1 n + { }_{92}^{235} U \rightarrow { }_{54}^{140} Xe + { }_{38}^{94} Sr + 2_0^1 n$ नाभिकीय विखंडन का एक उत्कृष्ट उदाहरण है,जिसमें एक भारी नाभिक हल्के नाभिकों में विभाजित होता है। अतः,$A-III$.
$B$. अभिक्रिया $2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O$ एक सामान्य रासायनिक अभिक्रिया है जिसमें परमाणुओं का पुनर्विन्यास होता है। अतः,$B-I$.
$C$. अभिक्रिया $_1^2 H + _1^2 H \rightarrow _2^3 He + _0^1 n$ एक नाभिकीय संलयन अभिक्रिया है जो ऊर्जा मुक्त करती है ($+ve \ Q$ मान)। अतः,$C-II$.
$D$. अभिक्रिया $_1^1 H + _1^3 H \rightarrow _1^2 H + _1^2 H$ एक नाभिकीय प्रक्रिया है जिसमें ऊर्जा की आवश्यकता होती है (ऊष्माशोषी,$-ve \ Q$ मान)। अतः,$D-IV$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-II, D-IV$ है।

(A) एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर स्थिर-वैद्युत विभव स्थिर होता है और इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
दिया गया है: सतह पर विभव $V_{surface} = 120 \ V$ और त्रिज्या $R = 10 \ cm$ है।
$1$. केंद्र पर $(r = 0 \ cm)$: चूंकि $r < R$,विभव सतह के विभव के बराबर होगा,इसलिए $V_{centre} = 120 \ V$.
$2$. केंद्र से $r = 5 \ cm$ की दूरी पर: चूंकि $r < R$,विभव पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है,इसलिए $V_{r=5cm} = 120 \ V$.
$3$. केंद्र से $r = 15 \ cm$ की दूरी पर: चूंकि $r > R$,कोश एक बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है। विभव का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ है।
हम जानते हैं कि $V_{surface} = \frac{kQ}{R} = 120 \ V$,इसलिए $kQ = 120 \times 10 = 1200 \ V \cdot cm$.
अतः,$V_{r=15cm} = \frac{1200}{15} = 80 \ V$.
इसलिए,विभव $120 \ V, 120 \ V, 80 \ V$ होंगे।

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए शर्त यह है कि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक होनी चाहिए: $E = \frac{hc}{\lambda} > \phi$.
यहाँ कार्य फलन $\phi = 3 \ eV$ दिया गया है और $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर,देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ इस प्रकार है:
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV} \approx 413.3 \ nm$.
उत्सर्जन होने के लिए,आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होनी चाहिए: $\lambda < 413.3 \ nm$.
दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम लगभग $400 \ nm$ (बैंगनी/नीला) से $700 \ nm$ (लाल) तक होता है।
दिए गए विकल्पों में से,नीले प्रकाश की ऊर्जा अन्य विकल्पों (हरा,पीला,लाल) की तुलना में अधिक है,इसलिए यह उत्सर्जन के लिए सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +10 \ cm$ और $R_2 = -15 \ cm$ है।
फोकस दूरी $f = +12 \ cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$.
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$.
$\mu = 1.5$.

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में $(\delta_{\text{min}})$,आपतन कोण और निर्गत कोण बराबर होते हैं $(i = e)$।
इस स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
कथन $(A)$ सही है क्योंकि अंदर की किरण आधार के समानांतर होती है।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि न्यूनतम विचलन पर $i = e$ होता है।
कथन $(D)$ सही है क्योंकि किसी भी विचलन $\delta > \delta_{\text{min}}$ के लिए,आपतन कोण के दो मान $i_1$ और $i_2$ मौजूद होते हैं ताकि $i_1 = e$ और $i_2 = i$ हो,जिससे समान विचलन प्राप्त होता है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि बड़ा प्रिज्म कोण $A$ आमतौर पर न्यूनतम विचलन का बड़ा कोण प्रदान करता है।
कथन $(E)$ गलत है क्योंकि न्यूनतम विचलन पर $r_1 = r_2 = A/2$ होता है,इसलिए अपवर्तन कोण प्रिज्म कोण का आधा होता है,दोगुना नहीं।
अतः,सही कथन $(A), (C)$ और $(D)$ हैं।

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = I \ell B \sin(\theta)$ है।
दिया गया है:
धारा $I = 8 \ A$
लंबाई $\ell = 4.0 \ cm = 0.04 \ m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 90^{\circ}$ (चूंकि तार चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है),इसलिए $\sin(90^{\circ}) = 1$ है।
मान रखने पर:
$F = 8 \times 0.04 \times 0.15 \times 1$
$F = 0.32 \times 0.15 = 0.048 \ N$
$mN$ में बदलने के लिए,$1000$ से गुणा करें:
$F = 0.048 \times 1000 \ mN = 48 \ mN$.

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_{\max} = (\sqrt{4I} + \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$।
व्यतिकरण प्रतिरूप में न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_{\max} - I_{\min} = 25I - I = 24I$ है।
इसकी तुलना $xI$ से करने पर,हमें $x = 24$ प्राप्त होता है।

(D) सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि इन खंडों की कार्यरेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।
$R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले बाहरी अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ है (तल के अंदर की ओर)।
$R_2$ त्रिज्या वाले आंतरिक अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ है (तल के बाहर की ओर)।
$O$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = |B_2 - B_1| = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $I = 12 \ A$,$R_1 = 6 \pi \ m$,$R_2 = 4 \pi \ m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Tm \ A^{-1}$.
$B_0 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 12}{4} \left( \frac{1}{4 \pi} - \frac{1}{6 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{3 - 2}{12 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 1 \times 10^{-7} \ T$.
इसे $k \times 10^{-7} \ T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) एमीटर $(R_A = 240\ \Omega)$ और शंट $(R_S = 10\ \Omega)$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है:
$R_p = \frac{R_A \times R_S}{R_A + R_S} = \frac{240 \times 10}{240 + 10} = \frac{2400}{250} = 9.6\ \Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध है:
$R_{\text{eq}} = 150.4\ \Omega + 9.6\ \Omega = 160\ \Omega$
$20\ V$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{20}{160} = 0.125\ A$
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_A$ है:
$I_A = I \times \left( \frac{R_S}{R_A + R_S} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{240 + 10} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{250} \right) = 0.125 \times 0.04 = 0.005\ A$
मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$I_A = 0.005\ A = 5\ mA$.

(D) चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\tau = 80 \sqrt{3} \ N \ m$ और $\theta = 60^{\circ}$।
$80 \sqrt{3} = MB \sin 60^{\circ} = MB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$।
दोनों पक्षों को $\frac{2}{\sqrt{3}}$ से गुणा करने पर,हमें $MB = 160 \ J$ प्राप्त होता है।
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$U = -160 \cos 60^{\circ} = -160 \times \frac{1}{2} = -80 \ J$।

(B) स्लिट से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I$ उसकी चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I \propto w$ है।
मान लीजिए पहली स्लिट की चौड़ाई $w$ है और दूसरी की $2w$ है। तब $I_1 = I_0$ और $I_2 = 2I_0$ होगा।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 + \sqrt{2})^2 = I_0(3 + 2\sqrt{2})$।
इसी प्रकार,$I_{\min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 - \sqrt{2})^2 = I_0(3 - 2\sqrt{2})$।
अतः,अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$ होगा।

(D) दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1 : I_2 = 1 : 9$ है। मान लीजिए $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + \sqrt{9I})^2}{(\sqrt{I} - \sqrt{9I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4\sqrt{I})^2}{(-2\sqrt{I})^2} = \frac{16I}{4I} = \frac{4}{1}$
अतः,अनुपात $4 : 1$ है।

(C) बोहर मॉडल एक नाभिक के चारों ओर घूमने वाले एकल इलेक्ट्रॉन की धारणा पर आधारित है। यह केवल नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बल को ध्यान में रखता है। यह बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में होने वाले इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण को ध्यान में नहीं रखता है। इसलिए,यह मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं (एक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणु,जैसे $H$,$He^+$,$Li^{2+}$) पर ही सख्ती से लागू होता है। चूंकि कारण $R$ सही ढंग से बताता है कि यह मॉडल केवल एकल-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों तक ही सीमित क्यों है,इसलिए अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(B) पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश,$Q = C_1 V_1 = 100 \ pF \times 60 \ V = 6000 \ pC$ है।
जब दूसरे संधारित्र $C_2$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच वितरित हो जाता है।
अंतिम उभयनिष्ठ विभव $V_f$ का सूत्र $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ है।
दिया गया है $V_f = 20 \ V$,इसलिए $20 = \frac{6000}{100 + C_2}$ है।
$20(100 + C_2) = 6000$.
$2000 + 20C_2 = 6000$.
$20C_2 = 4000$.
$C_2 = 200 \ pF$.

(A) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करता है,तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। यहाँ आवृत्ति $f = 5 \times 10^{14} \ Hz$ दी गई है।
हवा में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ होती है।
हवा में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{air}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 600 \ nm$ है।
जब प्रकाश $2$ अपवर्तनांक $(\mu = 2)$ वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{medium}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ के अनुसार बदल जाती है।
मान रखने पर,$\lambda_{\text{medium}} = \frac{600 \ nm}{2} = 300 \ nm$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए परिपथ आरेख से,$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
यह आउटपुट इनपुट $A$ के साथ $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $C$ बूलियन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $C = A \cdot (A + B)$।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$C = (A \cdot A) + (A \cdot B)$।
चूंकि $A \cdot A = A$,इसलिए $C = A + (A \cdot B)$।
अवशोषण नियम (absorption law) के अनुसार,$C = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$।
इस प्रकार,आउटपुट $C$ इनपुट $A$ के बराबर है।
आइए इसे सत्यता सारणी के साथ सत्यापित करें:

$A$	$B$	$A+B$	$C = A \cdot (A+B)$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(A) बल्ब की पावर रेटिंग $P = 100 \ W$ है और वोल्टेज रेटिंग $V_{rms} = 220 \ V$ है।
$ac$ सर्किट में पावर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P = V_{rms} \times I_{rms}$।
इसलिए,$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{100}{220} \approx 0.4545 \ A$ है।
शिखर धारा $I_0$ और $rms$ धारा के बीच का संबंध $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms}$ है।
मान रखने पर,$I_0 = 1.414 \times 0.4545 \approx 0.64 \ A$ प्राप्त होता है।

(C) इनपुट शक्ति $P_{\text{input}} = V \times I = 100 \ V \times 1 \ A = 100 \ W$ है।
दी गई दक्षता $\eta = 91.6\% = 0.916$ है।
आउटपुट शक्ति $P_{\text{out}} = \eta \times P_{\text{input}} = 0.916 \times 100 \ W = 91.6 \ W$ है।
शक्ति की हानि $P_{\text{loss}} = P_{\text{input}} - P_{\text{out}} = 100 \ W - 91.6 \ W = 8.4 \ W$ है।
चूंकि $1 \ W = 1 \ J/s$ और $1 \ cal \approx 4.2 \ J$,इसलिए $cal/s$ में शक्ति की हानि $\frac{8.4 \ J/s}{4.2 \ J/cal} = 2 \ cal/s$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण की वक्रता त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है और $q$ आवेश का परिमाण है।
अभिकथन $A$ के लिए: दोनों आयनों का संवेग $p$ समान है। अतः,$r \propto \frac{1}{q}$। $O^{-2}$ का आवेश $2e$ है और $H^{+}$ का $1e$ है,इसलिए $O^{-2}$ के लिए वक्रता त्रिज्या $r_{O} = \frac{p}{2eB}$ और $H^{+}$ के लिए $r_{H} = \frac{p}{eB}$ है। चूँकि $r_{O} < r_{H}$ है,इसलिए $O^{-2}$ की वक्रता (जो $\frac{1}{r}$ है) $H^{+}$ से अधिक है। अतः,अभिकथन $A$ असत्य है।
कारण $R$ के लिए: समान संवेग $p$ वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,वक्रता त्रिज्या $r = \frac{p}{qB}$ है। चूँकि दोनों का आवेश $e$ समान है,इसलिए उनकी वक्रता त्रिज्या समान होगी $(r_{p} = r_{e} = \frac{p}{eB})$। अतः,कारण $R$ असत्य है।

(A) गोलाकार सतह पर अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = 1.5$ (कांच),$v = +200\ cm$ (प्रतिबिंब कांच के अंदर बनता है),$R = +50\ cm$ (उत्तल सतह),और $u = -x$ है।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{200} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{50}$।
$\frac{0.0075} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{50}$।
$\frac{1}{x} = 0.01 - 0.0075 = 0.0025$।
$x = \frac{1}{0.0025} = 400\ cm$।
मीटर में बदलने पर,$x = 4\ m$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिति $1$: श्रेणीक्रम संयोजन।
तुल्य emf,$\varepsilon_{eq} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 1 \ V + 2 \ V = 3 \ V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध,$r_{eq} = r_1 + r_2 = 2 \ \Omega + 1 \ \Omega = 3 \ \Omega$.
कुल प्रतिरोध,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$.
धारा $I_1 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{9 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$.
स्थिति $2$: समानांतर संयोजन।
तुल्य emf,$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3} \ V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध,$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \ \Omega$.
कुल प्रतिरोध,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + \frac{2}{3} \ \Omega = \frac{20}{3} \ \Omega$.
धारा $I_2 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{5/3}{20/3} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \ A$.
अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{4}{3}$.
दिया गया है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{x}{3}$,इसलिए $x = 4$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चौथी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n_1 = 5$ (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,...,चौथी उत्तेजित अवस्था $n=5$ है)।
$n_1$ से $n$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\Delta E = 2.86 \ eV$ और $n_1 = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$2.86 = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{2.86}{13.6} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{25}$
$0.2103 \approx \frac{1}{n^2} - 0.04$
$\frac{1}{n^2} = 0.2103 + 0.04 = 0.2503 \approx \frac{1}{4}$
$n^2 = 4 \implies n = 2$.

(D) पूर्ण परावर्तन मानते हुए,लेजर पल्स द्वारा दर्पण पर लगाया गया बल $F = \frac{2P}{c} = \frac{2}{c} \frac{dE}{dt}$ है,जहाँ $P$ शक्ति है।
पल्स की अवधि के दौरान इसका समाकलन करने पर,दर्पण के संवेग में परिवर्तन:
$mv = \int F dt = \frac{2}{c} \int dE = \frac{2E}{c} \implies v = \frac{2E}{mc}$.
अब,लोलक के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$W_g = \Delta K$
$-mg l(1 - \cos \theta) = 0 - \frac{1}{2}mv^2$
$mg l(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \approx 2(\frac{\theta}{2})^2 = \frac{\theta^2}{2}$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mg l \frac{\theta^2}{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{2E}{mc}\right)^2$
$mg l \theta^2 = \frac{4E^2}{m c^2}$
$\theta^2 = \frac{4E^2}{m^2 c^2 g l}$
$\theta = \frac{2E}{mc \sqrt{gl}}$

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
प्रारंभ में,$d_1 = 0.2 \ mm$ है। अंत में,$d_2 = 0.4 \ mm$ है।
चूँकि $d$ दोगुना हो जाता है $(d_2 = 2d_1)$,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ का मान $\frac{\beta_1}{2}$ हो जाता है।
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = \beta_1 - \frac{\beta_1}{2} = \frac{\beta_1}{2}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \beta}{\beta_1} \times 100\% = \frac{\beta_1/2}{\beta_1} \times 100\% = 50\%$ है।

(C) प्रत्यावर्ती धारा का मानक समीकरण $i = i_0 \sin(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $i = 100 \sqrt{2} \sin(100 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर धारा $i_0 = 100 \sqrt{2} \ A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
धारा का $\text{RMS}$ मान $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \ A$ होता है।
आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \ Hz$ है।
अतः,$\text{RMS}$ मान $100 \ A$ और आवृत्ति $50 \ Hz$ है।

(A) गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f-u}$ है।
दिया गया है $m = \frac{1}{2}$ और $u = -40\ cm$,अतः $\frac{1}{2} = \frac{f}{f - (-40)}$।
$f + 40 = 2f$,जिससे $f = 40\ cm$ प्राप्त होता है।
अब,$m = \frac{1}{3}$ आवर्धन प्राप्त करने के लिए,हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{3} = \frac{40}{40 - u'}$।
$40 - u' = 120$,इसलिए $u' = -80\ cm$।
वस्तु प्रारंभ में $40\ cm$ पर थी और अब दर्पण से $80\ cm$ पर है।
अतः,वस्तु को दर्पण से $80 - 40 = 40\ cm$ दूर स्थानांतरित करना होगा।

(B) निरोधी विभव $V_S$ आइंस्टीन के प्रकाश वैद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $V_S = \frac{h\nu - \phi}{e}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,$\phi$ कार्य फलन है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और सतह के पदार्थ (कार्य फलन) पर निर्भर करता है। यह आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,अभिकथन $A$ असत्य है।
प्रकाश की तीव्रता को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या के समानुपाती होती है। तीव्रता बढ़ाने से फोटॉनों की संख्या बढ़ जाती है,जिससे प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक हो। अतः,कारण $R$ सत्य है।

(D) तार से प्रवाहित होने वाला आवेश $q$,समय $t$ के सापेक्ष धारा $I$ के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \, dt$.
यहाँ $I(t) = 0.02t + 0.01$ दिया गया है,इसलिए $t = 1 \ s$ से $t = 2 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$q = \int_{1}^{2} (0.02t + 0.01) \, dt$
$q = \left[ 0.02 \frac{t^2}{2} + 0.01t \right]_{1}^{2}$
$q = \left[ 0.01t^2 + 0.01t \right]_{1}^{2}$
सीमाओं को रखने पर:
$q = (0.01(2)^2 + 0.01(2)) - (0.01(1)^2 + 0.01(1))$
$q = (0.04 + 0.02) - (0.01 + 0.01)$
$q = 0.06 - 0.02 = 0.04 \ C$.

(B) दिया गया बूलियन व्यंजक $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ है।
कॉन्फ़िगरेशन $A$ का विश्लेषण:
$3$-इनपुट $\text{AND}$ गेट का आउटपुट $A \bar{B} C$ है। $2$-इनपुट $\text{AND}$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{C}$ हैं,जिसके परिणामस्वरूप $\bar{A} \bar{C}$ प्राप्त होता है। ये दोनों आउटपुट एक $2$-इनपुट $\text{OR}$ गेट में जाते हैं,जिससे $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ प्राप्त होता है। अतः,कॉन्फ़िगरेशन $A$ सही है।

(C) $1$. एक अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है और उससे दूर की दिशा में होता है (धनात्मक आवेश के लिए)। मान लीजिए प्रत्येक शीट का क्षेत्र $E_s = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ है।
$2$. गोले के बाहर किसी बिंदु पर आवेशित गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{sphere} = \frac{kQ}{r^2}$ होता है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है।
$3$. $C$ और $D$ बिंदुओं पर,दो शीटों के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं)। इस प्रकार,$C$ और $D$ पर कुल क्षेत्र केवल आवेशित गोले के कारण है। चूँकि $C$,$D$ की तुलना में गोले से अधिक दूर है,इसलिए $E_C < E_D$,अतः $\overrightarrow{E}_C \neq \overrightarrow{E}_D$ है।
$4$. $A$ और $B$ बिंदुओं पर,दो शीटों के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक ही दिशा (बाईं ओर) में होते हैं। $A$ पर गोले का क्षेत्र बाईं ओर है,जबकि $B$ पर यह दाईं ओर है। इसलिए,$A$ पर कुल क्षेत्र शीट क्षेत्रों और गोले के क्षेत्र का योग है,जबकि $B$ पर यह उनका अंतर है। अतः,$\overrightarrow{E}_A > \overrightarrow{E}_B$ है।

(B) अनंत अचालक शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\sigma = 100 \ \mu C/m^2 = 100 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
$E = \frac{100 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-4}}{17.7 \times 10^{-12}} = \frac{10^8}{17.7} \ N/C \approx 5.65 \times 10^6 \ N/C$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.2 \ m) = 0.4 \times 10^{-6} \ Cm = 4 \times 10^{-7} \ Cm$.
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times 0.5 = 2 \times 10^{-7} \times 5.65 \times 10^6 = 1.13 \ Nm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1.12 \ Nm$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_1 = 3$ और कक्षा $n = 5$ है। अतः,$r_{Li^{2+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{3} = a_0 \cdot \frac{25}{3}$.
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_2 = 2$ और कक्षा $n = 5$ है। अतः,$r_{He^{+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{2} = a_0 \cdot \frac{25}{2}$.
त्रिज्याओं का अनुपात: $\frac{r_{Li^{2+}}}{r_{He^{+}}} = \frac{a_0 \cdot \frac{25}{3}}{a_0 \cdot \frac{25}{2}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{3}$.

(A) दिया गया आवर्धन $M = -\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $M = -\frac{v}{u}$,हमारे पास $-\frac{v}{u} = -\frac{1}{3}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{u}{3}$।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|u - v| = 30 \ cm$ दी गई है। चूँकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है (आवर्धन ऋणात्मक है),वस्तु और प्रतिबिंब दोनों दर्पण के एक ही तरफ हैं। अतः,$|u| - |v| = 30 \ cm$। मान लीजिए $u = -u_0$ और $v = -v_0$,तो $u_0 - v_0 = 30$।
$v_0 = \frac{u_0}{3}$ रखने पर,$u_0 - \frac{u_0}{3} = 30 \Rightarrow \frac{2u_0}{3} = 30 \Rightarrow u_0 = 45 \ cm$।
अतः,$u = -45 \ cm$ और $v = -15 \ cm$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{-45} = \frac{-3 - 1}{45} = -\frac{4}{45}$।
इसलिए,$f = -\frac{45}{4} \ cm$।
फोकस दूरी का परिमाण $\frac{45}{4} \ cm$ है। इसे $\frac{x}{4} \ cm$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 45$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम नोड्स को चिह्नित कर सकते हैं। मान लीजिए बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है।
कनेक्शनों को ट्रेस करने पर,हम देखते हैं कि चारों संधारित्र बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सभी संधारित्रों की धारिता समान $C = 16 \mu F$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$C_{eq} = 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F = 64 \mu F$.
अतः,बिंदु $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $64 \mu F$ है।

(A) गतिमान चालक में प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = B v L_{eff}$ है,जहाँ $L_{eff}$ वेग सदिश के लंबवत प्रभावी लंबाई है।
दिए गए तार $ABCDE$ के लिए,बिंदुओं $A$ और $E$ के बीच प्रभावी लंबाई उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है।
तार में $BC$ और $CD$ खंड हैं जो क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुके हैं,और $AB$ तथा $DE$ खंड क्षैतिज हैं।
$BC$ और $CD$ खंडों का ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप $10 \sin 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \ cm$ है।
अतः,कुल प्रभावी लंबाई $L_{eff} = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \ cm = 0.1\sqrt{2} \ m$ है।
दिया गया है $B = \frac{1}{\sqrt{2}} \ T$ और $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
$\varepsilon = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times (0.1) \times (0.1\sqrt{2}) = 0.01 \ V$.
मिलीवोल्ट में बदलने पर: $\varepsilon = 0.01 \times 1000 \ mV = 10 \ mV$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया $P \rightarrow Q \rightarrow R$ द्वारा दी गई है।
$1$. मूल रेडियोधर्मी पदार्थ $P$ का द्रव्यमान रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार समय के साथ घातीय रूप से घटता है: $N_P(t) = N_0 e^{-\lambda_1 t}$।
$2$. मध्यवर्ती पदार्थ $Q$,$P$ के क्षय से उत्पन्न होता है और साथ ही $R$ में क्षयित होता है। शुरुआत में,$Q$ की मात्रा शून्य होती है,फिर जैसे-जैसे $P$ का क्षय होता है,यह बढ़ती है,एक अधिकतम मान तक पहुँचती है,और अंत में जैसे-जैसे यह $R$ में क्षयित होती है,यह घटती जाती है।
$3$. गैर-रेडियोधर्मी पदार्थ $R$ अंतिम उत्पाद है। इसकी मात्रा शून्य से शुरू होती है और समय के साथ बढ़ती है जैसे-जैसे $Q$ का क्षय होता है,अंततः यह एक स्थिर मान के करीब पहुँच जाती है क्योंकि $P$ और $Q$ पूरी तरह से $R$ में परिवर्तित हो जाते हैं।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,चित्र $B$ सही ढंग से $P \rightarrow Q \rightarrow R$ क्षय श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ $P$ घातीय रूप से घटता है,$Q$ एक शिखर दर्शाता है,और $R$ एक स्थिर मान तक बढ़ता है।