JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = 2 \ s$,आयाम $A = 1 \ cm$,कुल समय $t = 12.5 \ s$.
चक्रों की संख्या $n = \frac{t}{T} = \frac{12.5}{2} = 6.25$ चक्र।
एक पूर्ण चक्र में,तय की गई कुल दूरी $4A = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ है।
$6$ पूर्ण चक्रों के लिए,दूरी $D_1 = 6 \times 4 \ cm = 24 \ cm$ है।
शेष $0.25$ चक्र के लिए (जो $\frac{T}{4}$ है),कण माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक गति करता है,जो $A = 1 \ cm$ की दूरी तय करता है।
कुल दूरी $D = 24 \ cm + 1 \ cm = 25 \ cm$ है।
$6$ पूर्ण चक्रों के बाद,कण माध्य स्थिति पर वापस आ जाता है। शेष $0.25$ चक्र में,यह माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक गति करता है $(A = 1 \ cm)$।
अतः,विस्थापन $d = 1 \ cm$ है।
इसलिए,$\frac{D}{d} = \frac{25 \ cm}{1 \ cm} = 25$।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दोनों पक्षों का लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \frac{\Delta R}{R}$.
त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = 1.03 R - R = 0.03 R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = 0.03$.
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \times 0.03$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन है: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3 \times 0.03}{2} \times 100 = 4.5 \%$.

(C) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = \alpha + \beta x^2$ दिया गया है,इसलिए $x = 0$ से $x = 1 \ m$ के विस्थापन के लिए किया गया कार्य:
$W = \int_{0}^{1} (\alpha + \beta x^2) \, dx = 5 \ J$.
पद का समाकलन करने पर:
$W = [\alpha x + \frac{\beta x^3}{3}]_{0}^{1} = 5$.
सीमाओं को रखने पर:
$(\alpha(1) + \frac{\beta(1)^3}{3}) - (0) = 5$.
चूंकि $\alpha = 1 \ N$ दिया गया है:
$1 + \frac{\beta}{3} = 5$.
$\frac{\beta}{3} = 4$.
$\beta = 12 \ N/m^2$.

(B) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
दिया गया है कि दबाव $P$ तापमान $T$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए $P = kT$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में रखने पर: $(kT)V = nRT$।
इसे सरल करने पर $V = \frac{nR}{k} = \text{स्थिर}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है।
$1.$ किया गया कार्य $W = \int P dV = 0$ क्योंकि $dV = 0$ है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2.$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$ है। चूंकि $W = 0$ है,इसलिए $Q = \Delta U$ है। अतः,कथन $B$ गलत है।
$3.$ चूंकि आयतन स्थिर है,इसलिए कथन $C$ गलत है।
$4.$ जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,आंतरिक ऊर्जा $\Delta U = nC_v \Delta T$ बढ़ती है। अतः,कथन $D$ सही है।
$5.$ चूंकि आयतन स्थिर है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक है। अतः,कथन $E$ सही है।
अतः,कथन $A, D,$ और $E$ सही हैं।

(B) स्क्रू गेज का अल्पतमांक $(LC)$ इस प्रकार परिभाषित है: $LC = \frac{\text{Pitch}}{N}$,जहाँ $N$ वृत्ताकार पैमाने पर विभाजनों की संख्या है।
दिया गया प्रारंभिक $LC = 0.01 \ mm = \frac{P}{N}$ है।
नई पिच $P' = P(1 + 0.75) = 1.75P$ है।
विभाजनों की नई संख्या $N' = N(1 - 0.50) = 0.50N$ है।
नया अल्पतमांक $LC' = \frac{P'}{N'} = \frac{1.75P}{0.50N} = \frac{1.75}{0.50} \times \frac{P}{N}$ है।
$LC' = 3.5 \times 0.01 \ mm = 0.035 \ mm$ है।
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $0.035 \ mm = 35 \times 10^{-3} \ mm$ है।
अतः,मान $35$ है।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,जोड़ी गई ऊष्मा $E_1 = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $E_2 = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{9}$,इसलिए $\frac{5}{3} = \frac{x}{9}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{5 \times 9}{3} = 15$ प्राप्त होता है।

(B) द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गतिज ऊर्जा $K_{linear} = \frac{1}{2} mv_{cm}^2$ द्वारा दी जाती है।
गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए हमारे पास $v_{cm} = \omega R$ की स्थिति है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{K_{linear}}{K_{rotational}} = \frac{\frac{1}{2} mv_{cm}^2}{\frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2} = \frac{mv_{cm}^2}{\frac{2}{5} m(v_{cm}^2)} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.
अतः,अनुपात $5/2$ है।

(C) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के आधे तक सिकोड़ा जाता है,तो $V_2 = V_1 / 2$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = T_1 (2)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी गैसों के लिए $\gamma > 1$ होता है,इसलिए $T_2 > T_1$ होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान बढ़ता है,घटता नहीं है। अतः,अभिकथन $(A)$ असत्य है।
एक आदर्श गैस का मुक्त विस्तार शून्य बाहरी दबाव $(P_{ext} = 0)$ के विरुद्ध होता है,इसलिए कोई कार्य नहीं होता है $(W = 0)$। चूंकि कंटेनर इंसुलेटेड है,इसलिए $Q = 0$ है। ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W = 0$,जिसका अर्थ है कि तापमान स्थिर रहता है। यह एक अपरिवर्तनीय एडियाबेटिक प्रक्रिया है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(C) स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 5t^2 \hat{i} - 5t \hat{j}$ है।
वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10t \hat{i} - 5 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर,वेग सदिश $\overrightarrow{v} = 10(2) \hat{i} - 5 \hat{j} = 20 \hat{i} - 5 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \text{ m/s}$ है।
दिशा ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\theta$ ऋणात्मक $\text{Y}$-अक्ष के साथ कोण है। सदिश घटकों से,$\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{20}{5} = 4$. अतः,$\theta = \tan^{-1} 4$ ऋणात्मक $\text{Y}$-अक्ष के साथ है।

(A) नत समतल पर $\ell$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2\ell}{a_{cm}}}$ द्वारा दिया जाता है।
नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$ होता है।
ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5g \sin \theta}{7}$।
खोखले गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$,इसलिए $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3g \sin \theta}{5}$।
त्वरणों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{5}{7}g \sin \theta \approx 0.714 g \sin \theta$ और $a_2 = \frac{3}{5}g \sin \theta = 0.6 g \sin \theta$। अतः,$a_1 > a_2$।
चूंकि $t \propto \frac{1}{\sqrt{a_{cm}}}$,इसलिए अधिक त्वरण का अर्थ है कम समय। अतः,$t_1 < t_2$।

(B) सेल्सियस $(C)$ और फ़ारेनहाइट $(F)$ पैमानों के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर (जहाँ $y = C$ और $x = F$):
$C = \frac{5}{9}F - \frac{160}{9}$
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = \frac{5}{9}$ धनात्मक है और $y$-अंतःखंड $c = -\frac{160}{9}$ ऋणात्मक है।
धनात्मक ढाल और ऋणात्मक $y$-अंतःखंड वाला ग्राफ एक ऐसी रेखा को दर्शाता है जो चौथे चतुर्थांश से होकर गुजरती है और जिसकी ढाल धनात्मक है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $B$ एक धनात्मक ढाल और ऋणात्मक $y$-अंतःखंड वाली रेखा को दर्शाता है।

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए $Q = W$ होता है। किया गया कार्य $W$,$PV$ आरेख में $ABCA$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रिया $ABCA$ $r$ त्रिज्या के एक अर्धवृत्त और एक सीधी रेखा $CA$ से बनी है।
$P$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 200 \text{ kPa}$ है। अतः,त्रिज्या $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ है।
$V$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ cc} - 200 \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,त्रिज्या $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r_P r_V = \frac{1}{2} \times \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \frac{1}{2} \times \pi \times 10 = 5 \pi \text{ J}$ है।
चूंकि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है,लेकिन विनिमय की गई ऊष्मा का परिमाण $5 \pi \text{ J}$ है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left[ \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right]$ है।
दिया गया है: $T_1 = 40^{\circ} \text{C}$,$T_2 = 24^{\circ} \text{C}$,$t = 4 \text{ min}$,$T_s = 16^{\circ} \text{C}$.
मान रखने पर: $\frac{40 - 24}{4} = K \left[ \frac{40 + 24}{2} - 16 \right]$.
$\frac{16}{4} = K [32 - 16] \implies 4 = K(16) \implies K = \frac{1}{4}$.
अब,अगले $4 \text{ मिनट}$ के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है। यहाँ $T_1 = 24^{\circ} \text{C}$,$T_2 = T$,$t = 4 \text{ min}$.
$\frac{24 - T}{4} = \frac{1}{4} \left[ \frac{24 + T}{2} - 16 \right]$.
$24 - T = \frac{24 + T - 32}{2} = \frac{T - 8}{2}$.
$48 - 2T = T - 8 \implies 3T = 56 \implies T = \frac{56}{3}^{\circ} \text{C}$.

(A) दिया गया है $x(t) = x_0 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(t) = x_0 \left(\frac{1 - \cos t}{2}\right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos t$.
चूंकि $x_0 = 1 \text{ m}$ है,$x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos t$.
यह $x = \frac{1}{2} \text{ m}$ की माध्य स्थिति के परितः $A = \frac{1}{2} \text{ m}$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sin t$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{4} \sin^2 t\right) = \frac{m}{8} \sin^2 t$.
$x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos t$ से,हमें $\cos^2 t = 4(x - \frac{1}{2})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$,हमें $K = \frac{m}{8} [1 - 4(x - \frac{1}{2})^2]$ प्राप्त होता है।
यह $x$ के सापेक्ष नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का समीकरण है,जो $x = 0$ और $x = 1$ पर शून्य है,और $x = \frac{1}{2}$ पर अधिकतम है। अतः,ग्राफ $(A)$ सही है।

(B) $M$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = Mg$ $............(1)$
$T \sin \theta = M \omega^2 R$ $............(2)$
निकाय की ज्यामिति से,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
समीकरण $(2)$ में $R$ का मान रखने पर:
$T \sin \theta = M \omega^2 (L \sin \theta)$
$T = M \omega^2 L$
घूर्णन की आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left(\frac{3}{\pi}\right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
तनाव के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$T = M (6)^2 L = 36 ML$.
अतः,डोरी में तनाव $36 ML$ है।

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
दिया गया है:
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2.15 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = -0.2\% = -0.002$
सूत्र में मान रखने पर:
$2.15 \times 10^9 = -\frac{\Delta P}{-0.002}$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 0.002$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-3}$
$\Delta P = 4.3 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$
हमें इसे $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है:
$4.3 \times 10^6 = 43 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$
इसे $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\text{P} = 43$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R_e^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि व्यास को उसके मूल मान का $1/3$ कर दिया जाता है,इसलिए त्रिज्या $R_e$ भी अपने मूल मान की $1/3$ हो जाती है,अर्थात $R' = R_e / 3$।
द्रव्यमान $M$ अपरिवर्तित रहता है।
गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $g'$ इस प्रकार होगा:
$g' = \frac{GM}{(R_e/3)^2} = \frac{GM}{R_e^2 / 9} = 9 \left( \frac{GM}{R_e^2} \right) = 9g$
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $9g$ होगा।

(B) $R$ त्रिज्या और $d$ घनत्व वाली एक गोलाकार गेंद का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V_T = \frac{2}{9} R^2 \frac{g}{\eta} (d - \rho)$ द्वारा दिया जाता है।
कथन $A$ सही है क्योंकि $V_T \propto R^2$,जो एक परवलय को दर्शाता है।
कथन $B$ गलत है क्योंकि $V_T$ का मान $R^2$ पर निर्भर करता है; इसलिए,अलग-अलग व्यास के कारण टर्मिनल वेग अलग-अलग होते हैं।
कथन $C$ सही है क्योंकि श्यानता $\eta$ तापमान पर अत्यधिक निर्भर करती है।
कथन $D$ सही है क्योंकि $V_T$ को मापकर और $\eta$ को जानकर,द्रव के घनत्व $\rho$ का निर्धारण किया जा सकता है।
कथन $E$ गलत है क्योंकि $\eta$ द्रव का एक गुण है और यह गेंद की प्रारंभिक गति के आधार पर नहीं बदलता है।
अतः,कथन $A, C$ और $D$ सही हैं।

(B) कथन $A$ गलत है क्योंकि पृष्ठ तनाव सतह पर मौजूद अणुओं की आंतरिक भाग के अणुओं की तुलना में अतिरिक्त ऊर्जा के कारण उत्पन्न होता है, न कि इसके विपरीत।
कथन $B$ गलत है क्योंकि तापमान बढ़ने पर तरल पदार्थों की श्यानता कम हो जाती है।
कथन $C$ सही है क्योंकि गैसों में तापमान बढ़ने पर आणविक टकराव बढ़ने के कारण श्यानता बढ़ जाती है।
कथन $D$ सही है क्योंकि रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ यह निर्धारित करती है कि प्रवाह लैमिनर है या टर्बुलेंट।
कथन $E$ सही है क्योंकि यदि दो स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे को काटती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर तरल कण के पास दो अलग-अलग वेग होंगे, जो स्थिर प्रवाह में भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए, कथन $C, D,$ और $E$ सही हैं।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
इंजन $E$ के लिए: $\eta_{12} = 1 - \frac{273}{473} = \frac{200}{473} \approx 0.423$.
इंजन $E_1$ के लिए: $\eta_1 = 1 - \frac{373}{473} = \frac{100}{473} \approx 0.211$.
इंजन $E_2$ के लिए: $\eta_2 = 1 - \frac{273}{373} = \frac{100}{373} \approx 0.268$.
योग करने पर: $\eta_1 + \eta_2 = 0.211 + 0.268 = 0.479$.
मानों की तुलना करने पर: $0.423 < 0.479$,अतः $\eta_{12} < \eta_1 + \eta_2$.

(D) किसी माध्यम में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ बल्क मॉडुलस है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
गैसों की तुलना में ठोस पदार्थों का बल्क मॉडुलस $(B)$ बहुत अधिक होता है,जो उनके उच्च घनत्व $(\rho)$ के प्रभाव से कहीं अधिक प्रभावी होता है।
इसलिए,ध्वनि की गति गैसों की तुलना में ठोस पदार्थों में अधिक होती है। अतः,अभिकथन $A$ सत्य है।
हालाँकि,कारण $R$ कहता है कि गैसों का बल्क मॉडुलस ठोस पदार्थों से अधिक होता है,जो कि गलत है। ठोस पदार्थों का बल्क मॉडुलस गैसों की तुलना में बहुत अधिक होता है।
इसलिए,$A$ सत्य है लेकिन $R$ असत्य है।

(A) गैस के अणुओं का माध्य वर्ग मूल वेग $(V_{rms})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें माध्य वर्ग वेग $(V_{rms}^2)$ प्राप्त होता है:
$V_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
चूंकि एक विशिष्ट आदर्श गैस के लिए $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (गैस का मोलर द्रव्यमान) नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$V_{rms}^2 \propto T$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = V_{rms}^2$,$x = T$,और $m = \frac{3R}{M}$ ढाल (slope) है।
इसलिए,माध्य वर्ग वेग और तापमान के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(D) मान लीजिए कि हूप का शीर्ष गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(U_g = 0)$ है।
शीर्ष पर,स्प्रिंग $x_i = 2R - R = R$ खिंची हुई है। प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = U_{g,i} + U_{s,i} + K_i = 0 + \frac{1}{2}kR^2 + 0 = \frac{1}{2}kR^2$ है।
जब स्प्रिंग की लंबाई $R$ होती है,तो मनका ऊर्ध्वाधर से $\theta = 60^\circ$ के कोण पर होता है,क्योंकि नीचे से दूरी $R$ है और त्रिज्या $R$ है,जो एक समबाहु त्रिभुज बनाती है।
शीर्ष से मनके की ऊँचाई $h = R + R \cos 60^\circ = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
इस बिंदु पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{g,f} = -mg(\frac{3R}{2})$ है।
स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है,इसलिए $U_{s,f} = 0$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $E_i = E_f \implies \frac{1}{2}kR^2 = -\frac{3mgR}{2} + \frac{1}{2}mv^2$।
$2/m$ से गुणा करने पर: $\frac{kR^2}{m} = -3gR + v^2$।
अतः,$v = \sqrt{3gR + \frac{kR^2}{m}}$।

(B) अभिकथन $A$ सत्य है क्योंकि एक केंद्रीय बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्थिर वैद्युत बल) एक संरक्षी बल होता है। परिभाषा के अनुसार,एक संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र होता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
कारण $R$ भी सत्य है क्योंकि असंरक्षी बलों (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) के साथ कोई स्थितिज ऊर्जा फलन जुड़ा नहीं होता है।
हालाँकि,यह तथ्य कि कुछ बलों के पास स्थितिज ऊर्जा नहीं होती है,यह कारण नहीं है कि केंद्रीय बल पथ से स्वतंत्र होते हैं। पथ स्वतंत्रता संरक्षी बलों का एक मौलिक गुण है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$,$y$-दिशा में स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = b / 2$ होगा।
$x$-निर्देशांक के लिए,हम मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी पर विचार करते हैं।
इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \left(\frac{\sigma_0 x}{ab}\right) (b dx) = \frac{\sigma_0}{a} x dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_0^a x \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}{\int_0^a \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}$
$x_{cm} = \frac{\int_0^a x^2 dx}{\int_0^a x dx} = \frac{[x^3 / 3]_0^a}{[x^2 / 2]_0^a} = \frac{a^3 / 3}{a^2 / 2} = \frac{2}{3} a$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$ पर स्थित है।

(A) स्क्रू गेज का अल्पतमांक $(LC)$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$LC = \frac{\text{पिच}}{\text{वृत्ताकार पैमाने पर विभाजनों की संख्या}} = \frac{0.75 \ mm}{15} = 0.05 \ mm$.
यहाँ लंबाई $L = 5 \ mm$ और चौड़ाई $W = 2.5 \ mm$ दी गई है।
आयताकार शीट का क्षेत्रफल $A = L \times W$ है।
क्षेत्रफल में अधिकतम भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta W}{W}$.
यहाँ,माप में निरपेक्ष त्रुटि अल्पतमांक के बराबर है,इसलिए $\Delta L = \Delta W = 0.05 \ mm$.
मान रखने पर:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{0.05}{5} + \frac{0.05}{2.5} = 0.01 + 0.02 = 0.03 = \frac{3}{100}$.
इसकी तुलना $\frac{x}{100}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक निकाय का द्रव्यमान $M$ है। डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{MR_1^2}{4}$ है।
रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR_2^2}{2}$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{2MR_1^2}{5}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = 2.5 I_2$.
$\frac{MR_1^2}{4} = 2.5 \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{R_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5R_2^2}{4} \Rightarrow R_1^2 = 5R_2^2$.
अब,हमें दिया गया है $I_3 = n I_2$.
$\frac{2MR_1^2}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2}$.
समीकरण में $R_1^2 = 5R_2^2$ रखने पर:
$\frac{2M(5R_2^2)}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow 2MR_2^2 = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow n = 4$.

(C) प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ की विमा प्रतिबल (stress) के समान होती है,जो $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
टॉर्क $( au)$ की विमा बल $\times$ दूरी होती है,जो $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
मापी जाने वाली राशि $\frac{Y}{\tau}$ है।
$\frac{Y}{\tau}$ की विमा = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
इसे $[M^a L^b T^c]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 0$,$b = -3$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न में $b = 3$ दिया गया है,जो परिमाण की तुलना को दर्शाता है। मानक विमीय विश्लेषण के अनुसार,$c$ का मान $0$ ही रहता है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक ठोस डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
चूंकि डिस्क एक ही पदार्थ (लोहे) से बनी हैं और उनकी मोटाई नगण्य है,इसलिए उनका पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ समान है।
अतः,डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \times \text{क्षेत्रफल} = \sigma \times \pi R^2$ होगा।
पहली डिस्क के लिए: $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ और $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_1^2) R_1^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4$.
दूसरी डिस्क के लिए: $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ और $I_2 = \frac{1}{2} M_2 R_2^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_2^2) R_2^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_2^4$.
दिया गया है कि $R_2 = 2 R_1$,इसे $I_2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (2 R_1)^4 = \frac{1}{2} \sigma \pi (16 R_1^4) = 16 \times (\frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4) = 16 I_1$.
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{16 I_1} = \frac{1}{16}$.
इसकी तुलना $1/x$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. कोणीय आवेग कोणीय संवेग में परिवर्तन है,जिसका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-1}]$ है। अतः,$(A)-(III)$।
$2$. गुप्त ऊष्मा प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा है,$L = Q/m$,जिसका विमीय सूत्र $[M^0 L^2 T^{-2}]$ है। अतः,$(B)-(I)$।
$3$. विद्युत प्रतिरोधकता $\rho$ को $R = \rho l/A$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\rho = RA/l$। इसका विमीय सूत्र $[M L^3 T^{-3} A^{-2}]$ है। अतः,$(C)-(IV)$।
$4$. विद्युत वाहक बल प्रति इकाई आवेश किया गया कार्य है,$V = W/q$,जिसका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है। अतः,$(D)-(II)$।

(C) गैस का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वाष्प घनत्व $d$,मोलर द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होता है $(d = \frac{M}{2})$,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ होता है।
वाष्प घनत्व का दिया गया अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{25}$ है।
$r.m.s.$ वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$।

(B) $N$ अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} n R T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 50 \text{ g}$,$\text{CO}_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 44 \text{ g/mol}$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{50}{44} \approx 1.136 \text{ mol}$ है।
तापमान $T = 17 + 273.15 = 290.15 \text{ K}$ है।
$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$ का उपयोग करने पर:
$K = \frac{3}{2} \times \left( \frac{50}{44} \right) \times 8.314 \times 290.15$.
$K = 1.5 \times 1.13636 \times 8.314 \times 290.15 \approx 4108.6 \text{ J}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $4102.8 \text{ J}$ है।

(A) किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 0 \; s$ और $t = 4 \; s$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 4$ तक ग्राफ के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालते हैं।
इस क्षेत्र में $t = 0$ से $t = 2$ तक एक त्रिभुज और $t = 2$ से $t = 4$ तक एक आयत शामिल है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ($t = 0$ से $t = 2$ तक) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \; s \times 10 \; m/s = 10 \; m$.
आयत का क्षेत्रफल ($t = 2$ से $t = 4$ तक) $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (4 - 2) \; s \times 10 \; m/s = 2 \; s \times 10 \; m/s = 20 \; m$.
कुल दूरी $= 10 \; m + 20 \; m = 30 \; m$.

(B) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिया गया है: $M_E = 8M_P$ और $R_E = 2R_P$,जहाँ $E$ पृथ्वी को दर्शाता है और $P$ ग्रह को दर्शाता है।
अतः,पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{M_E} \times \frac{R_E}{R_P}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{8M_P} \times \frac{2R_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$V_P = \frac{1}{2} V_E = \frac{1}{2} \times 11.2 \ km/s = 5.6 \ km/s$.

(D) सरल आवर्त गति के लिए,स्थिति $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$t = 0$ पर,$x_0 = A \sin \phi$ $..........(1)$
संवेग $p(t) = m \frac{dx}{dt} = m A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$p_0 = m A \omega \cos \phi$ $..........(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हम प्रारंभिक स्थितियों $x_0$ और $p_0$ का उपयोग करके दो अज्ञात,आयाम $A$ और कला स्थिरांक $\phi$ के लिए हल कर सकते हैं।
विशेष रूप से,$\tan \phi = \frac{m \omega x_0}{p_0}$ और $A = \sqrt{x_0^2 + (p_0 / m \omega)^2}$ है।
चूंकि $A$ और $\phi$ को $x_0$ और $p_0$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर निकाय की स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,बल $\overrightarrow{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ N$,विस्थापन $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (6-3) \hat{i} + (10-4) \hat{j} = (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) \ m$,समय $t = 4 \ s$.
किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) = (2 \times 3) + (3 \times 6) = 6 + 18 = 24 \ J$.
औसत शक्ति $\langle P \rangle = \frac{W}{t} = \frac{24}{4} = 6 \ W$.
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j}}{4} = (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \ m/s^2$.
$t = 4 \ s$ पर वेग $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t = 0 + (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \times 4 = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ m/s$.
तात्क्षणिक शक्ति $P_{ins} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 4 + 9 = 13 \ W$.
औसत शक्ति और तात्क्षणिक शक्ति का अनुपात $\frac{\langle P \rangle}{P_{ins}} = \frac{6}{13}$ है।

(B) छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु ($40 \ cm$ के निशान पर) के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $90 \ cm$ के निशान पर लटकाया जाने वाला द्रव्यमान $m$ है।
छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $50 \ cm$ के निशान पर है।
धुरी से $400 \ g$ द्रव्यमान की दूरी $40 \ cm - 10 \ cm = 30 \ cm$ है।
धुरी से छड़ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $50 \ cm - 40 \ cm = 10 \ cm$ है।
धुरी से अज्ञात द्रव्यमान $m$ की दूरी $90 \ cm - 40 \ cm = 50 \ cm$ है।
धुरी को संदर्भ बिंदु के रूप में लेते हुए,टॉर्क संतुलन समीकरण है:
$(400 \ g \times 30 \ cm) = (250 \ g \times 10 \ cm) + (m \times 50 \ cm)$
$12000 = 2500 + 50m$
$50m = 12000 - 2500$
$50m = 9500$
$m = \frac{9500}{50} = 190 \ g$

(D) घन का द्रव्यमान $M = 400 \ g = 0.4 \ kg$ है। भुजा की लंबाई $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है। घन का कुल आयतन $V_{total} = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 0.001 \ m^3 = 1000 \ cm^3$ है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है: $Mg = \rho_{water} V_{displaced} g$.
$0.4 = 1000 \times V_{displaced}$.
$V_{displaced} = 0.4 / 1000 = 0.0004 \ m^3 = 400 \ cm^3$.
पानी के बाहर का आयतन $V_{outside} = V_{total} - V_{displaced} = 1000 \ cm^3 - 400 \ cm^3 = 600 \ cm^3$ है।

(C) मान लीजिए कि $F$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,गति का समीकरण है:
$F - Mg = Ma$
$F = M(a + g)$
मान लीजिए कि गुब्बारे से $x$ द्रव्यमान हटाया जाता है। गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(M - x)$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,गति का समीकरण है:
$F - (M - x)g = (M - x)(3a)$
पहले समीकरण से $F$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$M(a + g) - (M - x)g = (M - x)(3a)$
$Ma + Mg - Mg + xg = 3Ma - 3xa$
$Ma + xg = 3Ma - 3xa$
$xg + 3xa = 3Ma - Ma$
$x(g + 3a) = 2Ma$
$x = \frac{2Ma}{g + 3a}$

(B) बल्क मापांक $B$ का सूत्र $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है,$V$ प्रारंभिक आयतन है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
दिया गया है: भुजा की लंबाई $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$. प्रारंभिक आयतन $V = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 7 \times 10^6 \ Pa$.
बल्क मापांक $B = 1.4 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
आयतन संकुचन $\Delta V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta V = \frac{\Delta P \times V}{B}$.
मान रखने पर: $\Delta V = \frac{7 \times 10^6 \times 10^{-3}}{1.4 \times 10^{11}} = \frac{7 \times 10^3}{1.4 \times 10^{11}} = 5 \times 10^{-8} \ m^3$.
चूंकि $1 \ m^3 = 10^9 \ mm^3$,इसलिए आयतन को परिवर्तित करने पर: $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^9 \ mm^3 = 50 \ mm^3$.

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों के लिए प्रारंभिक गति $u$ समान है,इसलिए उनकी अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(45^{\circ}-\alpha)}{\sin^2(45^{\circ}+\alpha)}$.
त्रिकोणमितीय विस्तार $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\sin(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
$\sin(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
इन व्यंजकों का वर्ग करने पर:
$\sin^2(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 - \sin 2\alpha)$.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 + \sin 2\alpha)$.
अतः,अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$ है।

(B) समान विमाओं वाले युग्म को निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$1$. आघूर्ण $( \tau)$ और ऊर्जा $(E)$: दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-2}]$ हैं।
$2$. पृष्ठ तनाव $(\sigma)$ और आवेग $(I)$: पृष्ठ तनाव की विमाएँ $[MT^{-2}]$ हैं,जबकि आवेग की विमाएँ $[MLT^{-1}]$ हैं। ये समान नहीं हैं।
$3$. कोणीय संवेग $(L)$ और प्लांक नियतांक $(h)$: दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ हैं।
$4$. दाब $(P)$ और यंग मापांक $(Y)$: दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
अतः,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह पृष्ठ तनाव और आवेग है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}},$ जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $g$ बढ़ता है,आवर्तकाल घटता है और जैसे-जैसे $g$ घटता है,आवर्तकाल बढ़ता है।
पहाड़ की चोटी पर,पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h$ धनात्मक होती है,और गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g_h < g_0$ (जहाँ $g_0$ आधार/सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है),पहाड़ की चोटी पर $g$ का मान कम होता है।
क्योंकि चोटी पर $g$ कम है,इसलिए पहाड़ की चोटी पर आवर्तकाल $T$ आधार की तुलना में अधिक होगा।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया समीकरण $v = At^2 + \frac{Bt}{C+t}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े गए प्रत्येक पद की विमा वेग की विमा $[LT^{-1}]$ के समान होनी चाहिए।
पद $\frac{Bt}{C+t}$ के लिए,$C$ की विमा $t$ की विमा के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[C] = [T]$।
अब,पद $\frac{Bt}{C+t}$ की विमा $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ है। चूंकि यह $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[B] = [LT^{-1}]$ प्राप्त होता है।
पद $At^2$ के लिए,विमा $[A][T^2]$ है। चूंकि यह भी $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[A] = [LT^{-3}]$ प्राप्त होता है।
अंत में,$ABC$ की विमा $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ है।

(A) $1$. गोलक $B$ से टकराने से ठीक पहले गोलक $A$ का वेग:
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, ऊँचाई में परिवर्तन $h = R - R \cos(60^{\circ}) = R - R/2 = R/2$ है।
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(R/2)} = \sqrt{gR}$.
$2$. मान लीजिए $u = \sqrt{gR}$ टक्कर से ठीक पहले $A$ का वेग है।
मान लीजिए $v_1$ और $v_2$ प्रत्यास्थ टक्कर के बाद क्रमशः $A$ और $B$ के वेग हैं।
$3$. संवेग संरक्षण के नियम $(COM)$ के अनुसार:
$mu = mv_1 + (m/2)v_2$
$u = v_1 + v_2/2$
$2u = 2v_1 + v_2$ --- $(i)$
$4$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = (v_2 - v_1) / u = 1$
$v_2 - v_1 = u$ --- (ii)
$5$. समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से, $v_2 = u + v_1$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2u = 2v_1 + (u + v_1)$
$2u = 3v_1 + u$
$u = 3v_1$
$v_1 = u/3 = \frac{1}{3} \sqrt{gR}$.

(D) $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B} = \frac{\rho gh}{B}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\rho = 10^3 \ kg m^{-3}$,$g = 10 \ m s^{-2}$,$h = 2.5 \ km = 2.5 \times 10^3 \ m$,और $B = 2 \times 10^9 \ N m^{-2}$।
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{10^3 \times 10 \times 2.5 \times 10^3}{2 \times 10^9} = \frac{2.5 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 1.25 \times 10^{-2}$।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 1.25 \times 10^{-2} \times 100 = 1.25 \%$।

(D) मान लीजिए शीर्ष पर वेग $v_t = n\sqrt{gR}$ है। शीर्ष पर गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv_t^2 = \frac{1}{2}m(n^2gR)$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए शीर्ष और निचले बिंदुओं के बीच: $K_t + U_t = K_b + U_b$.
निचले बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा को $0$ मानते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $mg(2R)$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mn^2gR + 2mgR = \frac{1}{2}mv_b^2$.
दोनों पक्षों को $\frac{2}{m}$ से गुणा करने पर,$n^2gR + 4gR = v_b^2$,अर्थात $v_b^2 = (n^2+4)gR$.
निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_b = \frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{1}{2}m(n^2+4)gR$ है।
निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा और शीर्ष पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_b}{K_t} = \frac{\frac{1}{2}m(n^2+4)gR}{\frac{1}{2}mn^2gR} = \frac{n^2+4}{n^2}$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$ प्राप्त होता है।
एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,किया गया कार्य $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ है।
यह दर्शाता है कि रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य केवल तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ पर निर्भर करता है।

(A) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ m$ और $\vec{F} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ N$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - 2\hat{k} \ N \cdot m$
$z$-दिशा में टॉर्क $\hat{k}$ इकाई सदिश से जुड़ा घटक है,जो $-2 \ N \cdot m$ है।
इस घटक का परिमाण $|-2| = 2 \ N \cdot m$ है।

(B) निश्चित आयतन वाले पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दाब $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है ($P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$)।
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
हम अंतिम दाब $P_2 = 2P$ चाहते हैं।
संबंध $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{P}{300} = \frac{2P}{T_2}$
$T_2 = 2 \times 300 = 600 \ K$।
तापमान को वापस सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^{\circ} C) = 600 - 273 = 327^{\circ} C$।

(C) दिए गए परिपथ में, दोनों डायोड समानांतर क्रम में जुड़े हैं और अग्र अभिनत (forward biased) हैं क्योंकि उनके p-सिरे बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़े हैं।
चूंकि डायोड आदर्श हैं, इसलिए प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध $20 \Omega$ है।
समानांतर में जुड़े दो $20 \Omega$ प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
अतः, $R_{\text{eq}} = 10 \Omega$।
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{5 \text{V}}{10 \Omega} = 0.5 \text{A}$।

(D) मुक्त आकाश में विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाण के बीच का संबंध $E = Bc$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1})$।
यहाँ $E_y = 9.3 \ Vm^{-1}$ दिया गया है।
संबंध $B_z = \frac{E_y}{c}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$B_z = \frac{9.3}{3 \times 10^8} \ T$.
$B_z = 3.1 \times 10^{-8} \ T$.
चूंकि तरंग $+x$ दिशा में यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $+y$ दिशा में है, इसलिए प्रसार की दिशा ($\vec{E} \times \vec{B}$ दिशा) को संतुष्ट करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र को $+z$ दिशा में होना चाहिए।

(D) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी का सूत्र $f = \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $R$ दर्पण की वक्रता त्रिज्या है।
यह सूत्र केवल दर्पण की सतह की ज्यामिति पर निर्भर करता है।
लेंस के विपरीत,दर्पण की फोकस दूरी उसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,जब दर्पण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो उसकी फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है।
अतः,द्रव में इसकी फोकस दूरी $f$ ही होगी।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ दो प्रतिरोधों ($10 \ \Omega$ और $15 \ \Omega$) के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है जो $5 \ \text{V}$ की बैटरी से जुड़े हैं।
$1$. परिपथ में कुल धारा की गणना करें:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ \text{V}}{10 \ \Omega + 15 \ \Omega} = \frac{5}{25} \ \text{A} = 0.2 \ \text{A}$.
$2$. $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $(V_c)$ की गणना करें,जो संधारित्र पर भी विभवांतर है:
$V_c = I \times R = 0.2 \ \text{A} \times 10 \ \Omega = 2 \ \text{V}$.
$3$. $Q = CV$ सूत्र का उपयोग करके संधारित्र पर आवेश $(Q)$ की गणना करें:
$Q = (8 \ \mu \text{F}) \times (2 \ \text{V}) = 16 \ \mu \text{C}$.

(D) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I_d = C \frac{dV}{dt}$.
यहाँ,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$ और $I_d = 0.25 \text{ mA} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25}{2.5} \times 10^{3} = 0.1 \times 1000 = 100 \text{ V s}^{-1}$.
अतः,विभवांतर के परिवर्तन की दर का परिमाण $100 \text{ V s}^{-1}$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में अधिकतम धारा के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है: $L = 100 \ \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \ \text{H} = 0.1 \ \text{H}$ और $C = 25 \ \text{nF} = 25 \times 10^{-9} \ \text{F}$।
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 25 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-10}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-5}}$
$\omega = 0.2 \times 10^5 \ \text{rad s}^{-1} = 2 \times 10^4 \ \text{rad s}^{-1}$।
अतः,मान $2$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ में संचित ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच के स्थान का कुल आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और पृथक्करण $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$.
संधारित्र में संचित कुल स्थितिज ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है: $U = u \times V$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $U = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (Ad)$.
अतः,संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$ है।

(A) प्रारंभिक ऑप्टिकल पावर $P = 2.5 \ D$ है। प्रारंभिक फोकल लंबाई $F = \frac{1}{P} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \ m$ है।
जब पावर में $0.1 \ D$ की वृद्धि होती है,तो नई पावर $P' = 2.5 + 0.1 = 2.6 \ D$ हो जाती है।
नई फोकल लंबाई $F' = \frac{1}{P'} = \frac{1}{2.6} \ m$ है।
फोकल लंबाई में सापेक्ष कमी $\frac{F - F'}{F} = 1 - \frac{F'}{F}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $1 - \frac{1/2.6}{1/2.5} = 1 - \frac{2.5}{2.6} = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$ प्राप्त होता है।
इस मान की गणना करने पर,$\frac{1}{26} \approx 0.03846$,जो लगभग $0.04$ है।

(A) दो अवस्थाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
अवस्था $A$ से अवस्था $C$ में संक्रमण के लिए:
$E_A - E_C = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} \quad \dots (i)$
अवस्था $B$ से अवस्था $C$ में संक्रमण के लिए:
$E_B - E_C = \frac{hc}{6000 \ \mathring A} \quad \dots (ii)$
अवस्था $A$ से अवस्था $B$ में संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर है:
$E_A - E_B = (E_A - E_C) - (E_B - E_C)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{AB}} = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} - \frac{hc}{6000 \ \mathring A}$
$\frac{1}{\lambda_{AB}} = \frac{3 - 1}{6000 \ \mathring A} = \frac{2}{6000 \ \mathring A} = \frac{1}{3000 \ \mathring A}$
अतः,$\lambda_{AB} = 3000 \ \mathring A$।

(D) कथन $A$ गलत है क्योंकि सौर सेल का जंक्शन क्षेत्रफल अधिक प्रकाश एकत्र करने के लिए बड़ा बनाया जाता है,जबकि फोटोडायोड का क्षेत्रफल तीव्र प्रतिक्रिया के लिए छोटा होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि सौर सेल बिना किसी बाहरी बायस के फोटोवोल्टिक मोड में कार्य करता है।
कथन $C$ गलत है क्योंकि $\text{LED}$ एक भारी डोपित $p-n$ जंक्शन से बनी होती है ताकि कुशल वाहक इंजेक्शन (carrier injection) हो सके।
कथन $D$ गलत है क्योंकि $\text{LED}$ की प्रकाश तीव्रता फॉरवर्ड करंट के साथ केवल एक निश्चित सीमा तक ही बढ़ती है,जिसके बाद यह संतृप्त हो जाती है।
कथन $E$ सही है क्योंकि $\text{LED}$ केवल तभी प्रकाश उत्सर्जित करती है जब वह फॉरवर्ड बायस में होती है,जिससे जंक्शन पर इलेक्ट्रॉनों और होल्स का पुनर्संयोजन होता है।
अतः,कथन $B$ और $E$ सही हैं।

(D) दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,पर्दे पर एक ही स्थान पर दोनों तरंगदैर्ध्य के लिए पथांतर समान होना चाहिए।
मान लीजिए $\lambda_1 = 480 \ nm$ के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_1$ है और $\lambda_2 = 600 \ nm$ के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_2$ है।
संपाती होने की शर्त: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिए गए मान रखने पर: $n_1 \times 480 = n_2 \times 600$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{600}{480} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4}$.
अतः,$n_1$ के लिए न्यूनतम पूर्णांक मान $5$ है और $n_2$ के लिए $4$ है।
इसलिए,पहली बार संपाती होने के लिए $480 \ nm$ प्रकाश की आवश्यक दीप्त फ्रिंजों की न्यूनतम संख्या $5$ है।

(B) सिल्वर किए गए लेंस निकाय की शक्ति $P = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,शक्ति $P_L = \frac{1}{f_L} = (\mu_g/\mu_l - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$.
यहाँ,$\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 1.2$,$R_1 = R$,और $R_2 = \infty$.
अतः,$P_L = (1.5/1.2 - 1)(1/R - 0) = (1.25 - 1)/R = 0.25/R$.
दर्पण समतल सतह है,इसलिए इसकी शक्ति $P_M = -1/f_M$. चूँकि यह एक समतल दर्पण है,$f_M = \infty$,इसलिए $P_M = 0$.
निकाय की प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $1/F = -(2P_L + P_M)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = -0.2 \ m$ (अवतल दर्पण),इसलिए $1/(-0.2) = -(2 \times (0.25/R) + 0)$.
$-5 = -0.5/R$.
$R = 0.5/5 = 0.1 \ m$.

(B) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है। समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ होता है।
हवा में पहले लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
$f_1 = 4 \ cm$.
द्रव में दूसरे लेंस के लिए $(\mu_l = 1.2)$:
$\frac{1}{f_2} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - 0 \right) = \left( \frac{1.5}{1.2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} \right)$
$\frac{1}{f_2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{3} = 0.25 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$f_2 = 12 \ cm$.
अतः,$f_1 : f_2 = 4 : 12 = 1 : 3$.

(C) दी गई धारा $I = I_A \sin \omega t + I_B \cos \omega t$ है।
हम इसे $I = \sqrt{I_A^2 + I_B^2} \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $\tan \phi = \frac{I_B}{I_A}$ है।
यह अधिकतम मान $I_0 = \sqrt{I_A^2 + I_B^2}$ वाली एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) धारा को दर्शाता है।
ज्यावक्रीय धारा $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ का r.m.s. मान $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_0$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{\sqrt{I_A^2 + I_B^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{I_A^2 + I_B^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) इलेक्ट्रॉन का प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}_i = v_0 \hat{i}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ है।
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ है।
$t$ समय पर वेग $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ है।
$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = l \times b$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\epsilon_0 (3 \ cm \times 1 \ cm)}{3 \ \mu m} = \epsilon_0 \times 10^4 \ cm^2/m$.
हम नई धारिता $C_f = 10 C_i$ प्राप्त करना चाहते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $C_A = \frac{\epsilon_0 (30 \times 1)}{1} = 30 C_i$ (गलत)।
विकल्प $B$ के लिए: $C_B = \frac{\epsilon_0 (3 \times 1)}{30} = 0.1 C_i$ (गलत)।
विकल्प $C$ के लिए: $C_C = \frac{\epsilon_0 (6 \times 5)}{3} = 10 C_i$ (सही)।
विकल्प $D$ के लिए: $C_D = \frac{\epsilon_0 (1 \times 1)}{10} = 0.033 C_i$ (गलत)।
विकल्प $E$ के लिए: $C_E = \frac{\epsilon_0 (5 \times 2)}{1} = 10 C_i$ (सही)।
अतः,विकल्प $C$ और $E$ धारिता को $10$ के गुणक से बढ़ाते हैं।

(A) आवेश $q$ को $a$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र से $a/2$ की दूरी पर रखा गया है।
समरूपता द्वारा,हम आवेश $q$ को $a$ भुजा वाले एक घन में इस प्रकार बंद कर सकते हैं कि वर्गाकार लूप घन के एक फलक का निर्माण करे।
पूरे घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि घन में $6$ समान फलक होते हैं,इसलिए वर्गाकार लूप (जो एक फलक है) से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{square} = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
वर्गाकार लूप को केंद्र से कोनों और भुजाओं के मध्य बिंदुओं तक रेखाएं खींचकर $8$ समान त्रिभुजाकार भागों में विभाजित किया जा सकता है।
समरूपता के कारण,इन $8$ समान त्रिभुजाकार भागों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स समान है।
इसलिए,प्रत्येक त्रिभुजाकार भाग से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{triangle} = \frac{1}{8} \Phi_{square} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
आकृति में छायांकित क्षेत्र ऐसे $5$ समान त्रिभुजाकार भागों से बना है।
अतः,छायांकित क्षेत्र से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{shaded} = 5 \times \Phi_{triangle} = 5 \times \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि $q = 1 \ C$ दिया गया है,फ्लक्स $\frac{5}{48} \frac{1}{\varepsilon_0}$ है।
इसकी तुलना $\frac{5}{p} \times \frac{1}{\varepsilon_0}$ से करने पर,हमें $p = 48$ प्राप्त होता है।

(C) तार का कुल प्रतिरोध $9 \ \Omega$ है। चूंकि इसे एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा गया है,इसलिए तार को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = 9 \ \Omega / 3 = 3 \ \Omega$ है।
जब हम किन्हीं दो शीर्षों (मान लीजिए $B$ और $C$) के बीच समतुल्य प्रतिरोध पर विचार करते हैं,तो $B$ और $C$ के बीच का प्रतिरोध अन्य दो प्रतिरोधों (जो $A-B$ और $A-C$ के बीच हैं) के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर होता है।
$AB$ और $AC$ शाखा का श्रेणी प्रतिरोध $R_{series} = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है।
अब,यह $6 \ \Omega$ का प्रतिरोध $B$ और $C$ के बीच सीधे जुड़े $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर है।
समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R_{eq} = 2 \ \Omega$।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = \frac{1}{\sqrt{2}} \; m$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d = \frac{a}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \; m$ है।
केंद्र पर भुजा के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_1 = 45^\circ$ और $\theta_2 = 45^\circ$ हैं।
मान रखने पर: $B_{\text{side}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{4 \pi \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$.
$B_{\text{side}} = \frac{10^{-7} \times 5}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 10^{-7} \times 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-6} \; T$.
सभी $4$ भुजाओं के कारण केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times 2 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-6} \; T$ है।
इसे $p \times 10^{-6} \; T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 8$ प्राप्त होता है।

(A) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज-चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda_m D}{d}$, जहाँ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ है।
दिए गए मान हैं: $\lambda_0 = 690 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $\mu = 1.44$, $D = 0.72\ \text{m}$, और $d = 1.5 \times 10^{-3}\ \text{m}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \left( \frac{690 \times 10^{-9}}{1.44} \right) \times \frac{0.72}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.72}{1.44 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.5}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{345 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 230 \times 10^{-6}\ \text{m} = 0.23\ \text{mm}$।

(A) तरंगदैर्ध्य के बढ़ते क्रम में विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम इस प्रकार है:
$X-$किरणें < पराबैंगनी $(UV)$ किरणें < अवरक्त $(IR)$ किरणें < सूक्ष्म तरंगें।
दी गई तरंगदैर्ध्य:
$(A)$ सूक्ष्म तरंगें: $\lambda_1$
$(B)$ पराबैंगनी किरणें: $\lambda_2$
$(C)$ अवरक्त किरणें: $\lambda_3$
$(D)$ $X-$किरणें: $\lambda_4$
इनकी तुलना करने पर,हमें $\lambda_4 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही बढ़ता क्रम $\lambda_4 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_1$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
इलेक्ट्रॉन के स्थिर वेग के साथ सीधी रेखा में गति करने के लिए,उस पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{F} = 0$.
चूंकि $\vec{F} = qvB \sin \theta$,$\vec{F} = 0$ के लिए,वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि चुंबकीय क्षेत्र को इलेक्ट्रॉन के वेग की दिशा के समानांतर या प्रति-समानांतर होना चाहिए।
इसलिए,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सही हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) त्रिज्या वाले और समान रूप से वितरित धारा $I$ का वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$। चूंकि धारा समान है,$I_{\text{enclosed}} = I \cdot (\pi r^2 / \pi a^2) = I(r^2/a^2)$। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I (r^2/a^2)$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto r$।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto 1/r$।
$3$. सतह पर $(r = a)$: चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया आलेख इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) विन्यास $(1)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1$ सभी आवेश युग्मों की अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है। $a$ दूरी पर $4$ युग्म और $a\sqrt{2}$ दूरी पर $2$ युग्म हैं।
$U_1 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a\sqrt{2}} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
विन्यास $(2)$ के लिए,आवेश मध्य बिंदुओं पर हैं। युग्मों के बीच की दूरियां हैं: $a/\sqrt{2}$ दूरी पर $4$ युग्म (आसन्न भुजाएं),और $a$ दूरी पर $2$ युग्म (विपरीत भुजाएं)।
$U_2 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a/\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2)$.
अंतर $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2 - 4 - \sqrt{2}) = \frac{Kq_0^2}{a} (3\sqrt{2} - 2)$.

(C) घूमते हुए आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ घूर्णन का आवर्तकाल है। आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
लूप $A$ के लिए,यह एक आवेश $q$ को घेरता है। अतः,धारा $I_A = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ है।
लूप $B$ के लिए,यह सभी $N$ आवेशों को घेरता है। एक आवर्तकाल $T$ में लूप $B$ से गुजरने वाला कुल आवेश $Nq$ है। अतः,धारा $I_B = \frac{Nq}{T} = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ है।
यदि हम लूप $B$ को पूरे वृत्त को घेरने वाला मानते हैं,तो कुल धारा $I_B = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ है। लूप $A$ के लिए $I_A = \frac{q\omega}{2\pi}$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $C$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = \phi_0 + KE_{\max}$।
चूंकि $KE_{\max} = eV_0$,हमें प्राप्त होता है $eV_0 = h\nu - \phi_0$।
$V_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{\phi_0}{e})$।
$(A)$ यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक रैखिक ग्राफ को दर्शाता है। अतः,$(A)$ सही है।
$(B)$ $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{h}{e}$ है,न कि $\frac{\phi_0}{h}$। अतः,$(B)$ गलत है।
$(C)$ चूंकि ढाल $\frac{h}{e}$ है,इसलिए $h$ ढाल से संबंधित है। अतः,$(C)$ सही है।
$(D)$ ढाल से $h$ ज्ञात करने के लिए,हमें $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) के मान की आवश्यकता होती है। अतः,$(D)$ गलत है।
$(E)$ $V_0$ अक्ष पर अंतःखंड से (जहां $\nu = 0$),अंतःखंड $-\frac{\phi_0}{e}$ है। $h$ या $e$ को जाने बिना,हम केवल अंतःखंड से $\phi_0$ निर्धारित नहीं कर सकते। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $(A), (C)$ और $(E)$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया है:
ड्रोन की ऊँचाई,$H = 18 \ \text{km} = 18 \times 10^3 \ \text{m}$.
लैंडस्केप का क्षेत्रफल,$A_{\text{landscape}} = 400 \ \text{km}^2 = (20 \ \text{km}) \times (20 \ \text{km})$.
अतः,लैंडस्केप की भुजा की लंबाई $x = 20 \ \text{km} = 20 \times 10^3 \ \text{m}$ है।
कैमरा फिल्म का आकार $2 \ \text{cm} \times 2 \ \text{cm}$ है,इसलिए प्रतिबिंब की भुजा की लंबाई $y = 2 \ \text{cm} = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए,वस्तु की भुजा की लंबाई और प्रतिबिंब की भुजा की लंबाई का अनुपात वस्तु की दूरी और फोकल लंबाई के अनुपात के बराबर होता है (क्योंकि दूर की वस्तु के लिए प्रतिबिंब फोकल तल पर बनता है):
$\frac{x}{y} = \frac{H}{f}$
$\frac{20 \ \text{km}}{2 \ \text{cm}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$\frac{20 \times 10^3 \ \text{m}}{2 \times 10^{-2} \ \text{m}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$10^6 = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$f = \frac{18 \ \text{km}}{10^6} = 18 \times 10^{-6} \ \text{km} = 18 \times 10^{-6} \times 10^5 \ \text{cm} = 1.8 \ \text{cm}$.
अतः,लेंस की फोकल लंबाई $1.8 \ \text{cm}$ है।

(C) दिया गया परिपथ एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट से बना है। मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $Z = X + Y$ है। यह $Z$ $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Out = \overline{Z + Z} = \overline{Z}$ है।
$Z = X + Y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Out = \overline{X + Y}$ प्राप्त होता है। यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
परिपथ के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

$X$	$Y$	$X+Y$	$Out = \overline{X+Y}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

सारणी से,आउटपुट स्थितियों $(B)$,$(C)$ और $(D)$ के लिए निम्न (शून्य) है।

(D) आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर द्रव्यमान $m$ और संवेग $p$ वाले कण की कुल ऊर्जा $E$ को सापेक्ष ऊर्जा-संवेग संबंध द्वारा दिया जाता है।
कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थिर द्रव्यमान ऊर्जा का योग है,जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$
इसका विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
विमीय विश्लेषण इसकी पुष्टि करता है:
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
$[pc] = [M^1 L^1 T^{-1}] \cdot [L^1 T^{-1}] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
$[mc^2] = [M^1] \cdot [L^2 T^{-2}] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
चूंकि सभी पदों की विमाएँ समान हैं,इसलिए समीकरण $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ विमीय रूप से सुसंगत और भौतिक रूप से सही है।

(A) जब दो समान चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है, तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है।
प्रारंभिक आवेश $Q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$ है।
संपर्क के बाद, प्रत्येक गोले पर आवेश $q = \frac{Q}{2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ C}$ होता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, $r$ दूरी पर उनके बीच प्रतिकर्षण बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
यहाँ $F = 9 \times 10^{-3} \text{ N}$ और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ दिया गया है।
$9 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-8})}{r^2}$
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-16}}{9 \times 10^{-3}}$
$r^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$r = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$.

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवक से गुजरता है,तो संचरित तीव्रता $\frac{I_0}{2}$ होती है।
अतः,$P_1$ और $P_2$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}$ है।
जब यह प्रकाश $P_3$ से गुजरता है (जिसका अक्ष $P_1$ और $P_2$ दोनों के साथ $45^{\circ}$ पर है),तो प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I' = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$ हो जाती है।
उस बिंदु पर जहाँ पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ है,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I_{res}$ का सूत्र $I_{res} = I' + I' + 2\sqrt{I' I'} \cos(\Delta \phi) = 2I' + 2I' \cos(\frac{2\pi}{3})$ है।
$I' = \frac{I_0}{4}$ और $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$I_{res} = 2(\frac{I_0}{4}) + 2(\frac{I_0}{4})(-\frac{1}{2}) = \frac{I_0}{2} - \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{4}$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
एक लंबी परिनालिका के लिए,अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति मीटर फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
आवर्तकाल के सूत्र में $B$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi m}{q \mu_0 n I}$.
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{2\pi m}{q \mu_0 I T}$.
दिए गए मान: $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$I = 1.5 \text{ A}$,$T = 75 \times 10^{-9} \text{ s}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$.
इन मानों को रखने पर:
$n = \frac{2\pi \times 9 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 1.5 \times 75 \times 10^{-9}}$.
$n = \frac{18\pi \times 10^{-31}}{9.6\pi \times 10^{-35} \times 75}$.
$n = \frac{18 \times 10^4}{720} = 250 \text{ फेरे/मीटर}$.

(C) स्रोत द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$ प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{N \cdot E_{photon}}{t} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$,जहाँ $n$ प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है।
शक्तियों का दिया गया अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = 2$ है।
सूत्र $\frac{P_1}{P_2} = \frac{n_1 \cdot (hc / \lambda_1)}{n_2 \cdot (hc / \lambda_2)} = \frac{n_1 \lambda_2}{n_2 \lambda_1}$ का उपयोग करने पर।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = \frac{(2 \times 10^{15}) \times 300}{n_2 \times 600}$.
$2 = \frac{2 \times 10^{15}}{2 \cdot n_2}$.
$2 = \frac{10^{15}}{n_2}$.
$n_2 = \frac{10^{15}}{2} = 0.5 \times 10^{15} = 5 \times 10^{14}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(D) चूंकि संधारित्र एक ही बैटरी के समानांतर जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों के बीच विभवांतर $V$ समान रहता है।
आवेश-समय ग्राफ से,हम संधारित्रों पर संचित अधिकतम आवेश $q$ देखते हैं। जैसे $t \to \infty$,संधारित्र पर आवेश अपने अधिकतम मान $q = CV$ तक पहुँच जाता है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि संधारित्र $C_2$ के लिए स्थिर-अवस्था आवेश $q_2$,संधारित्र $C_1$ के आवेश $q_1$ से अधिक है (अर्थात $q_2 > q_1$)।
चूंकि $q = CV$ और $V$ स्थिर है,इसलिए $q \propto C$ होता है। अतः,$C_2 > C_1$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है। वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} qV$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $V$ स्थिर है और $q_2 > q_1$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $U_2 > U_1$ है।
अतः,$C_2 > C_1$ और $U_2 > U_1$ सत्य है।

(C) अनंत लंबाई के आवेशित तार से $r$ दूरी पर विभव $V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\int \frac{2k\lambda}{r} dr = -2k\lambda \ln r + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x, y$ और $z$ अक्षों पर रखे गए तीन तारों के लिए,बिंदु $(x, y, z)$ से तारों की दूरियाँ क्रमशः $r_x = \sqrt{y^2+z^2}$,$r_y = \sqrt{x^2+z^2}$ और $r_z = \sqrt{x^2+y^2}$ हैं।
कुल विभव $V$ प्रत्येक तार के कारण विभव का योग है:
$V = -2k\lambda \ln(\sqrt{y^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+y^2}) + C$.
$V = -k\lambda \ln[(y^2+z^2)(x^2+z^2)(x^2+y^2)] + C$.
समविभव पृष्ठ के लिए,$V = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है कि गुणनफल $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$ स्थिर होना चाहिए।

(C) बिंदु $O$ पर स्थित सिक्के को बिंदु $E$ से देखने के लिए,प्रकाश किरण को द्रव की सतह पर बिंदु $B$ से बाहर निकलना चाहिए।
मान लीजिए कि अर्धगोलाकार पात्र की त्रिज्या $R$ है। किरण $O$ से $B$ तक यात्रा करती है।
सतह पर आपतन कोण $\theta$,$B$ पर अभिलंब और किरण $OB$ के बीच का कोण है।
चूंकि ऊपरी सतह का केंद्र,$O$ और $B$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
किरण के सतह से बाहर निकलने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $c$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\theta \leq c$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \leq \sin c$।
चूंकि $\sin c = \frac{1}{\mu}$,हमारे पास $\sin 45^{\circ} \leq \frac{1}{\mu}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\mu} \implies \mu \leq \sqrt{2}$।
हालाँकि,किरण के सतह को छूकर $E$ तक पहुँचने के लिए,हमें क्रांतिक स्थिति $\sin c = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$ की आवश्यकता है।
इसलिए,$\mu = \sqrt{2}$।

(D) तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k})$ है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,उस पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ कार्य करता है। चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए गति $v_0$ स्थिर रहती है।
मान लीजिए वेग $\vec{v} = -v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है। बल $\vec{F} = q(-v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi r} (-v_x \hat{j} - v_y \hat{i})$ है।
त्वरण के घटक $a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ और $a_y = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_x$ हैं।
$\frac{v_x dv_x}{dr} = a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ और $v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\int_{0}^{v_0} \frac{v_x dv_x}{\sqrt{v_0^2 - v_x^2}} = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \int_{a}^{x_1} \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $v_0 = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \ln(\frac{a}{x_1})$ मिलता है,इसलिए $x_1 = a e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$।
समरूपता के कारण,कण $x = x_1 e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}} = a e^{-\frac{4 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$ दूरी पर वापस मुड़ जाता है।

(A) $\beta^{-}$ क्षय में, नाभिक के भीतर का एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन, इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है।
यह अभिक्रिया इस प्रकार है: $n \rightarrow p + e^{-} + \overline{v}$.
यह प्रक्रिया आवेश, बेरियोन संख्या और लेप्टॉन संख्या का संरक्षण करती है।

(A) मान लीजिए कि पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं। आउटपुट $P = A \cdot \overline{B}$ है।
मान लीजिए कि दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। आउटपुट $Q = A \cdot B$ है।
ये आउटपुट $P$ और $Q$ एक $NOR$ गेट में दिए गए हैं।
अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{P + Q} = \overline{(A \cdot \overline{B}) + (A \cdot B)}$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{A \cdot (\overline{B} + B)}$
चूंकि $\overline{B} + B = 1$,इसलिए $Y = \overline{A \cdot 1} = \overline{A}$ प्राप्त होता है।
यह $A$ इनपुट वाले एक $NOT$ गेट के समान है। एक $NAND$ गेट जिसके दोनों इनपुट $A$ से जुड़े हों,वह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है,क्योंकि इसका आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) परिपथ के नोड्स को नामांकित करके,हम प्रत्येक बिंदु पर विभव की पहचान कर सकते हैं। मान लीजिए कि बायां सिरा $A$ है और दायां सिरा $B$ है।
कनेक्शनों को ट्रेस करने पर,हम देखते हैं कि तीनों प्रतिरोधक,जिनमें से प्रत्येक का मान $\frac{r}{3}$ है,बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{r}{3}$ रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} = \frac{3}{r} + \frac{3}{r} + \frac{3}{r} = \frac{9}{r}$
अतः,$R_{eq} = \frac{r}{9}$।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto \ell$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/3$ है। एक भुजा के दो सिरों के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते समय,हमारे पास $R/3$ का एक प्रतिरोध बाकी दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों (जिनका योग $2R/3$ है) के साथ समानांतर क्रम में होता है।
$(R_{eq})_1 = \frac{(R/3) \times (2R/3)}{(R/3) + (2R/3)} = \frac{2R^2/9}{R} = \frac{2R}{9}$।
वर्ग के लिए,प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/4$ है। एक भुजा के दो सिरों के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते समय,हमारे पास $R/4$ का एक प्रतिरोध बाकी तीन श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों (जिनका योग $3R/4$ है) के साथ समानांतर क्रम में होता है।
$(R_{eq})_2 = \frac{(R/4) \times (3R/4)}{(R/4) + (3R/4)} = \frac{3R^2/16}{R} = \frac{3R}{16}$।
समतुल्य प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{(R_{eq})_1}{(R_{eq})_2} = \frac{2R/9}{3R/16} = \frac{2}{9} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{27}$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग का ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले बेलन में निहित कुल ऊर्जा $U = u \times V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \times (\pi R^2 L)$ है।
यह दिया गया है कि दोनों बेलनों के लिए ऊर्जा $U$ समान रहती है,इसलिए $U_1 = U_2$।
$\frac{1}{2} \epsilon_0 E_1^2 \pi R_1^2 L_1 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_2^2 \pi R_2^2 L_2$।
चूंकि $L_1 = L_2$ और $R_2 = \frac{R_1}{2}$ है,समीकरण $E_1^2 R_1^2 = E_2^2 (\frac{R_1}{2})^2$ में सरल हो जाता है।
$E_1^2 R_1^2 = E_2^2 \frac{R_1^2}{4}$।
$E_2^2 = 4 E_1^2$,जिसका अर्थ है $E_2 = 2 E_1$।
$E_1 = 100 \ NC^{-1}$ दिया गया है,इसलिए हमें $E_2 = 2 \times 100 = 200 \ NC^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $200 \sin(\omega t - kx) \ NC^{-1}$ है।

(C) डोरी के बंधन के कारण कण $O$ केंद्र वाले $\ell$ त्रिज्या के वृत्तापीय पथ पर गति करता है।
प्रारंभ में,कण $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। प्रारंभिक $x$-निर्देशांक $x_i = \ell \cos(60^{\circ}) = \frac{\ell}{2}$ है।
जब कण $x$-अक्ष को पार करता है,तो उसका अंतिम $x$-निर्देशांक $x_f = \ell$ होता है।
विद्युत क्षेत्र की दिशा में कण का विस्थापन $\Delta x = x_f - x_i = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2}$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,$W_{\text{electric}} = \Delta K$।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = qE \Delta x = qE \left(\frac{\ell}{2}\right)$ है।
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $K_i = 0$ और $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,$qE \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{qE\ell}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{qE\ell}{m}}$।

(C) मान लीजिए कि प्रोटॉन और फोटॉन दोनों की ऊर्जा $E$ है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$।
प्रोटॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ है। प्रोटॉन का संवेग $p = \sqrt{2 m_p E}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और फोटॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$।

(B) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,दो पतले प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
कुल विचलन $\delta_{\text{net}} = \delta_1 - \delta_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
अतः,$(\mu_1 - 1)A_1 - (\mu_2 - 1)A_2 = 0$।
दिया गया है $\mu_1 = 1.54$,$A_1 = 4^{\circ}$,और $\mu_2 = 1.72$।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} - (1.72 - 1) \times A_2 = 0$।
$0.54 \times 4 = 0.72 \times A_2$।
$2.16 = 0.72 \times A_2$।
$A_2 = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$।

(A) $YDSE$ में,केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
यहाँ,समान फ्रिंज क्रम के लिए $n$,$D$ और $d$ स्थिर हैं।
अतः,स्थिति $y$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती है $(y \propto \lambda)$।
दिया गया है:
$y_1 = 10 \ mm$,$\lambda_1 = 600 \ nm$
$\lambda_2 = 660 \ nm$
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
$\frac{y_2}{10 \ mm} = \frac{660 \ nm}{600 \ nm}$
$y_2 = 10 \times \frac{660}{600} \ mm$
$y_2 = 10 \times 1.1 \ mm = 11 \ mm$
इस प्रकार,$10^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $11 \ mm$ होगी।

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.4 \ \text{T}$,त्रिज्या $R = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$,कोणीय वेग $\omega = 10 \pi \ \text{rad s}^{-1}$।
चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई डिस्क के केंद्र और रिम के बीच उत्पन्न प्रेरित $EMF$ या विभवांतर का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (10 \pi) \times (0.2)^2$
$E = 0.2 \times 10 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 2 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 6.28 \times 0.04 = 0.2512 \ \text{V}$
अतः,उत्पन्न विभवांतर $0.2512 \ \text{V}$ है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 1 \ \mu F = 10^{-6} \ F$,विभवांतर $V = 20 \ V$,दूरी $d = 1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$.
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{20}{10^{-6}} = 20 \times 10^6 \ V/m$ है।
ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है।
मान रखने पर: $u = \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (20 \times 10^6)^2$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{12}$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 400 = 1770.8 \ J/m^3 \approx 1.8 \times 10^3 \ J/m^3$.

(C) दिया गया है: $n_1 = 1.3$,$n_2 = 1.4$,$u = -13 \ \text{cm}$,$m = -2$. मेनिस्कस $A$ की ओर उत्तल है,इसलिए वक्रता केंद्र $B$ में है,जिससे $R$ धनात्मक हो जाता है $(R > 0)$.
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
मान रखने पर: $\frac{1.4}{v} - \frac{1.3}{-13} = \frac{1.4 - 1.3}{R} \implies \frac{1.4}{v} + 0.1 = \frac{0.1}{R} \implies \frac{1.4}{v} = \frac{0.1}{R} - 0.1 = \frac{0.1(1-R)}{R}$.
अतः,$v = \frac{1.4R}{0.1(1-R)} = \frac{14R}{1-R}$.
गोलीय अपवर्तक सतह के लिए आवर्धन का सूत्र $m = \frac{n_1 v}{n_2 u}$ है।
$m = -2$ रखने पर: $-2 = \frac{1.3 \times v}{1.4 \times (-13)} \implies -2 = \frac{1.3 \times v}{-18.2} \implies v = \frac{-2 \times -18.2}{1.3} = \frac{36.4}{1.3} = 28 \ \text{cm}$.
अब,$v$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $28 = \frac{14R}{1-R} \implies 28(1-R) = 14R \implies 2 - 2R = R \implies 3R = 2 \implies R = \frac{2}{3} \ \text{cm}$.

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto 1/n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$ को $f = v / (2 \pi r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$ प्राप्त होता है।
अतः,परिक्रमण की आवृत्ति $1/n^3$ के अनुसार बदलती है।