JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) द्रव्यमान घनत्व $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{M}{L^3} = [ML^{-3}T^0]$। यह $(IV)$ से मेल खाता है।
$(B)$ आवेग $= \text{बल} \times \text{समय} = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$। यह $(II)$ से मेल खाता है।
$(C)$ शक्ति $= \frac{\text{कार्य}}{\text{समय}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$। यह $(I)$ से मेल खाता है।
$(D)$ जड़त्व आघूर्ण $= \text{द्रव्यमान} \times (\text{दूरी})^2 = [M] \times [L^2] = [ML^2T^0]$। यह $(III)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(I), (D)-(III)$ है।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = \sin(20 \pi x + 10 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 20 \pi \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ m = 10 \ cm$ है।
तरंग में समान दोलन गति वाले बिंदु $\frac{\lambda}{2}$ (या उसके गुणज) की दूरी पर स्थित होते हैं।
अतः,न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$ है।

(C) स्थितिज ऊर्जा केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित की जाती है।
संरक्षी बल वे बल हैं जिनके लिए दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
संरक्षी बलों के उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल,स्थिर-वैद्युत (कूलम्ब) बल और स्प्रिंग (प्रत्यानयन) बल शामिल हैं।
घर्षण बल एक असंरक्षी बल है क्योंकि इसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है।
इसलिए,घर्षण बल के लिए स्थितिज ऊर्जा को परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

(C) समतापीय प्रक्रिया: तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। अतः,$(A)-(IV)$.
$(B)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया: परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है। अतः,$(B)-(II)$.
$(C)$ समदाबी प्रक्रिया: दबाव स्थिर रहता है। तापमान बदलने के साथ आंतरिक ऊर्जा बदलती है,इसलिए $\Delta U \neq 0$ होता है। अतः,$(C)-(III)$.
$(D)$ समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = 0$ होता है। अतः,$(D)-(I)$.

(D) दिया गया है:
हेलीकॉप्टर की क्षैतिज गति,$u = 360 \ km/h = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \ m/s$.
ऊंचाई,$H = 2 \ km = 2000 \ m$.
जमीन से टकराने में लगा समय,$t = 20 \ s$.
चरण $1$: वस्तु का क्षैतिज विस्थापन $(x)$ ज्ञात करें।
$x = u \times t = 100 \ m/s \times 20 \ s = 2000 \ m = 2 \ km$.
चरण $2$: ऊर्ध्वाधर विस्थापन ऊंचाई $H = 2 \ km$ है।
चरण $3$: छोड़े गए बिंदु से बिंदु $O$ तक का कुल विस्थापन $(D)$ ज्ञात करें।
$D = \sqrt{x^2 + H^2} = \sqrt{(2 \ km)^2 + (2 \ km)^2} = \sqrt{4 + 4} \ km = \sqrt{8} \ km = 2\sqrt{2} \ km$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$ है।
वेग $v = 4 \sqrt{x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v^2 = 16x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2v \frac{dv}{dx} = 16$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v \frac{dv}{dx} = 8$ मिलता है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है। अतः,$a = 8 \ m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma = 0.5 \ kg \times 8 \ m/s^2 = 4 \ N$।

(C) एक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
श्रेणीक्रम में जुड़ी दो छड़ों के लिए,स्थिर अवस्था में ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ समान होती है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R} = \frac{400 - T}{R_A} = \frac{T - 200}{R_B}$
$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \left( \frac{K_B}{K_A} \right) \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
दिया गया है $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$,$\frac{K_A}{K_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{K_B}{K_A} = 2$,और $\frac{r_A}{r_B} = 2 \implies \frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2) \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
अब,$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{1}{4}$
$4(400 - T) = T - 200$
$1600 - 4T = T - 200$
$5T = 1800$
$T = 360 \ K$

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पूर्ण डिस्क का उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$r = R/3$ त्रिज्या वाली हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान $m = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/3)^2 = \frac{M}{9}$ है।
$O$ से गुजरने वाली उसी अक्ष के परितः हटाई गई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: $I_2 = I_{cm} + md^2$,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ और $d = R - r = R - R/3 = 2R/3$ है।
$I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{R}{3}\right)^2 + \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{MR^2}{162} + \frac{4MR^2}{81} = \frac{MR^2 + 8MR^2}{162} = \frac{9MR^2}{162} = \frac{MR^2}{18}$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{1}{18} MR^2 = \frac{9-1}{18} MR^2 = \frac{8}{18} MR^2 = \frac{4}{9} MR^2$ है।
इसे $\frac{4}{x} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ की लंबाई $L$ है और इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है। अतः,छड़ का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या के वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2 \pi R = L$,जिससे $R = \frac{L}{2 \pi}$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
सूत्र में $M$ और $R$ के मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$I = \frac{\lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है।
यहाँ,$F = mg = 50 \times 3 \pi \ N$,$L = 3 \ m$,$r = 3 \times 10^{-3} \ m$,और $\Delta L = 0.1 \times 10^{-3} \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9 \pi \times 10^{-6} \ m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{(50 \times 3 \pi) \times 3}{(9 \pi \times 10^{-6}) \times (0.1 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{450 \pi}{0.9 \pi \times 10^{-9}} = \frac{450}{0.9} \times 10^9 = 500 \times 10^9 = 5 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
इसे $P \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = 5$ प्राप्त होता है।

(D) $h$ ऊँचाई पर स्थित पानी की स्थितिज ऊर्जा जब वह कुंड में गिरता है तो ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = ms \Delta T$
यहाँ,$m$ पानी का द्रव्यमान है,$g = 10 \ m/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h = 200 \ m$ ऊँचाई है,और $s = 4200 \ J/(kg \ K)$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$gh = s \Delta T$
$\Delta T = \frac{gh}{s}$
मान रखने पर:
$\Delta T = \frac{10 \times 200}{4200} = \frac{2000}{4200} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21} \ K$
$\Delta T \approx 0.476 \ K \approx 0.48 \ K$

(C) राशि $Q = X^{-2} Y^{\frac{3}{2}} Z^{-\frac{2}{5}}$ द्वारा दी गई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,$Q$ में अधिकतम भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta Q}{Q} = |-2| \frac{\Delta X}{X} + |\frac{3}{2}| \frac{\Delta Y}{Y} + |-\frac{2}{5}| \frac{\Delta Z}{Z}$
दी गई भिन्नात्मक त्रुटियां $\frac{\Delta X}{X} = 0.1$,$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.2$,और $\frac{\Delta Z}{Z} = 0.5$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 2(0.1) + \frac{3}{2}(0.2) + \frac{2}{5}(0.5)$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.2 + 0.3 + 0.2$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.7$

(C) चूंकि गैस एक ऊष्मारोधी कंटेनर में है और अचानक संकुचित होती है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ है।
यहाँ,$V_f = \frac{1}{8} V_i$,जिसका अर्थ है $\frac{V_i}{V_f} = 8$।
अंतिम दबाव और प्रारंभिक दबाव का अनुपात $\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^\gamma$ है।
मान रखने पर,$\frac{P_f}{P_i} = (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,अंतिम दबाव और प्रारंभिक दबाव का अनुपात $32$ है।

(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है। यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_1}{R_2}$।
यहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = R/2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \frac{R}{R/2} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$, प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \ ms^{-1}$, बल $\overrightarrow{F} = 6 \hat{k} \ N$, समय $t = \frac{5}{3} \ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6 \hat{k}}{2} = 3 \hat{k} \ ms^{-2}$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t$।
मान रखने पर: $\overrightarrow{v} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) + (3 \hat{k}) \times \left(\frac{5}{3}\right)$।
$\overrightarrow{v} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \ ms^{-1}$।

(A) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि $(H_{\max})_1 = 8 \times (H_{\max})_2$,इसलिए:
$\frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 8 \times \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
इसे सरल करने पर,$\sin^2 \theta_1 = 8 \sin^2 \theta_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_1 = \sqrt{8} \sin \theta_2 = 2\sqrt{2} \sin \theta_2$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,उड़ान के समय का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2u \sin \theta_1 / g}{2u \sin \theta_2 / g} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ है।
$\sin \theta_1$ का मान रखने पर,हमें $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\sqrt{2} \sin \theta_2}{\sin \theta_2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(D) परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$A_1 = 4$ और $A_2 = 2$ आयाम वाली और $\Delta\phi = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$ का कलांतर रखने वाली दो तरंगों के लिए फेजर योग विधि का उपयोग करते हुए,परिणामी आयाम $A$ है:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$A = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2(4)(2) \cos(120^{\circ})}$
$A = \sqrt{16 + 4 + 16(-0.5)} = \sqrt{20 - 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
परिणामी तरंग का कला कोण $\phi$ इस प्रकार दिया गया है:
$\tan \phi = \frac{A_2 \sin(\Delta\phi)}{A_1 + A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$\tan \phi = \frac{2 \sin(120^{\circ})}{4 + 2 \cos(120^{\circ})} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{4 + 2(-0.5)} = \frac{\sqrt{3}}{4 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\phi = \frac{\pi}{6}$.

(B) दिया गया है:
स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L = 2 \ m$
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 2 \ kg$
स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \ N/m$
प्रारंभिक संपीड़न $x_i = L - 1 = 2 - 1 = 1 \ m$
दीवार से $x$ दूरी पर अंतिम संपीड़न $x_f = L - x = (2 - x) \ m$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
चूंकि ब्लॉक को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,$K_i = 0$ है।
$0 + \frac{1}{2} k x_i^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x_f^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (x_i^2 - x_f^2)$
$m v^2 = k (x_i^2 - x_f^2)$
मान रखने पर:
$2 \times v^2 = 200 \times [1^2 - (2 - x)^2]$
$v^2 = 100 \times [1 - (2 - x)^2]$
$v = 10 \sqrt{1 - (2 - x)^2} \ m/s$
$v = 10 [1 - (2 - x)^2]^{1/2} \ m/s$

(B) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $(P_i) = 1 \ atm$,अंतिम दाब $(P_f) = 5 \ atm$.
दाब में परिवर्तन $(dP) = P_f - P_i = 4 \ atm = 4 \times 10^5 \ Pa$.
आयतन में परिवर्तन $(dV) = -0.8 \ cm^3 = -0.8 \times 10^{-6} \ m^3$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B) = 2 \ GPa = 2 \times 10^9 \ Pa$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र $B = -\frac{dP}{dV/V}$ है,जिसका अर्थ है $V = -\frac{B \cdot dV}{dP}$.
मान रखने पर: $V = -\frac{2 \times 10^9 \times (-0.8 \times 10^{-6})}{4 \times 10^5}$.
$V = \frac{1.6 \times 10^3}{4 \times 10^5} = 0.4 \times 10^{-2} \ m^3 = 4 \times 10^{-3} \ m^3$.
चूंकि $1 \ m^3 = 1000 \ litres$,इसलिए $V = 4 \times 10^{-3} \times 1000 = 4 \ litres$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$.
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{i} = 1800 \ rpm = 1800 \times \frac{2 \pi}{60} = 60 \pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_{f} = 2100 \ rpm = 2100 \times \frac{2 \pi}{60} = 70 \pi \ rad/s$.
बाहरी टॉर्क $\tau_{ext} = 25 \pi \ Nm$.
समय $t = 40 \ s$.
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega_{f} = \omega_{i} + \alpha t$:
$70 \pi = 60 \pi + \alpha(40) \implies 10 \pi = 40 \alpha \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \ rad/s^2$.
व्यास के परितः घूमती डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mR^2}{4}$ होता है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$25 \pi = \left( \frac{1 \times R^2}{4} \right) \times \frac{\pi}{4}$.
$25 = \frac{R^2}{16} \implies R^2 = 400 \implies R = 20 \ m$.
डिस्क का व्यास $D = 2R = 2 \times 20 = 40 \ m$ है।

(A) दिया गया है: घन की भुजा $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$. घन का आयतन $V = a^3 = (0.1)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
मान लीजिए घन का द्रव्यमान $m$ है और इसका घनत्व $\rho$ है। अतः,$m = \rho V = \rho \times 10^{-3} \ kg$.
वेज से अज्ञात द्रव्यमान की दूरी $2 \ cm = 0.02 \ m$ है,और वेज से $200 \ g$ $(0.2 \ kg)$ द्रव्यमान की दूरी $25 \ cm = 0.25 \ m$ है।
जब घन का आधा आयतन डूबा हुआ हो,तो उस पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ इस प्रकार है: $F_B = \rho_{water} \times V_{submerged} \times g = 1000 \ kg/m^3 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m^3) \times 10 \ m/s^2 = 5 \ N$.
छड़ के वेज बिंदु $O$ के परितः घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$\tau_{net} = (mg - F_B) \times 0.02 \ m - (0.2 \ kg \times 10 \ m/s^2) \times 0.25 \ m = 0$
$(m \times 10 - 5) \times 0.02 = 2 \times 0.25$
$(10m - 5) \times 0.02 = 0.5$
$10m - 5 = 0.5 / 0.02 = 25$
$10m = 30$
$m = 3 \ kg$.

(C) मान लीजिए कि मुख्य आपूर्ति का वोल्टेज $V$ है। प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R = V^2/P$ है।
जब $n$ समान बल्बों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = nR$ होता है।
श्रेणीक्रम संयोजन द्वारा खींची गई कुल शक्ति $P_s = V^2 / R_{eq}$ द्वारा दी जाती है।
$R_{eq} = nR$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P_s = V^2 / (nR)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R = V^2/P$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर: $P_s = V^2 / (n(V^2/P))$।
इसे सरल करने पर,हमें $P_s = P/n$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $(I):$ फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है। प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[h] = [E]/[f] = [ML^2T^{-2}]/[T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। कोणीय संवेग $L = mvr$ की विमाएँ $[L] = [M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II):$ बोहर की अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,$h/(2\pi)$ का एक पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $L = nh/(2\pi)$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। कथन में दावा किया गया है कि यह $h$ का पूर्णांक गुणज है,जो गलत है क्योंकि इसमें $1/(2\pi)$ कारक अनुपस्थित है। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

(A) $6 \ \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,हम चित्र $A$ में दिखाए गए सर्किट का विश्लेषण करते हैं:
ऊपरी शाखा में,$R_1$ और $R_2$ श्रेणी में हैं,इसलिए $R_{up} = R_1 + R_2 = 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
निचली शाखा में,$R_3$ और $R_4$ श्रेणी में हैं,इसलिए $R_{low} = R_3 + R_4 = 5 \ \Omega + 10 \ \Omega = 15 \ \Omega$.
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_P$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_{up}} + \frac{1}{R_{low}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \ \Omega^{-1}$.
अतः,$R_P = 6 \ \Omega$.
इस प्रकार,चित्र $A$ में दिखाया गया सर्किट आवश्यक तुल्य प्रतिरोध प्रदान करता है।

(B) केंद्र पर आवेशित चाप के कारण विद्युत क्षेत्र उसके कोण समद्विभाजक (angle bisector) की दिशा में होता है। चाप $AB$ (एक चौथाई वृत्त) के लिए,$O$ पर विद्युत क्षेत्र $E$,त्रिज्याओं $OA$ और $OB$ से $45^\circ$ के कोण पर होता है।
इस क्षेत्र $E$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: $E_x = E \cos(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में,$D$ की ओर) और $E_y = E \sin(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में,$C$ की ओर)।
चाप $ABC$ दो समान चौथाई चापों $AB$ और $BC$ से मिलकर बना है।
चाप $AB$ के लिए,क्षेत्र $\vec{E}_{AB} = (-E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ है।
चाप $BC$ के लिए,क्षेत्र $\vec{E}_{BC} = (E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ है।
इनका सदिश योग करने पर,$x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और $y$-घटक जुड़ जाते हैं:
$\vec{E}_{ABC} = \vec{E}_{AB} + \vec{E}_{BC} = 0 \hat{i} + (-2E/\sqrt{2}) \hat{j} = -\sqrt{2} E \hat{j}$।
अतः,इसका परिमाण $\sqrt{2} E$ है।

(C) प्रारंभ में,सभी संधारित्रों की धारिता $C = 5 \mu F$ है।
जब $C_1$ में $K = 4$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो इसकी नई धारिता $C_1' = K \times C = 4 \times 5 \mu F = 20 \mu F$ हो जाती है।
संधारित्र $C_2$ और $C_3$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए $C_2 = 5 \mu F$ और $C_3 = 5 \mu F$।
परिपथ आरेख से,$C_1'$ और $C_2$ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनकी तुल्य धारिता $C_{12}$ है।
$C_{12} = \frac{C_1' \times C_2}{C_1' + C_2} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4 \mu F$।
यह संयोजन $C_{12}$,$C_3$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
अतः,प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_{12} + C_3 = 4 \mu F + 5 \mu F = 9 \mu F$ होगी।

(A) मान लीजिए $P_1$ पर आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। चूँकि $P_1$ और $P_2$ परस्पर लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।
मान लीजिए $P_1$ और $P_3$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $P_3$ और $P_2$ के बीच का कोण $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ होगा।
मेलस के नियम के अनुसार,$P_3$ से गुजरने के बाद तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$ होती है।
$P_2$ से गुजरने के बाद तीव्रता $I_{\text{net}} = I_1 \cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ होगी।
$I_{\text{net}} = I_0 (\sin \theta \cos \theta)^2 = I_0 (\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(2\theta)$।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\sin^2(2\theta) = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$।
अतः $P_3$ और $P_2$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक वाहक होते हैं और होल्स अल्पसंख्यक वाहक होते हैं। यह कथन सही है।
$(B)$ $n$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए,एक पंचसंयोजी परमाणु (डोनर) मिलाया जाता है। यह कथन सही है।
$(C)$ द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार,दिए गए तापमान पर इलेक्ट्रॉन और होल सांद्रता का गुणनफल स्थिर रहता है,$n_e n_h = n_i^2$। इसलिए,$n_e n_h \neq n_i^2$ कथन गलत है।
$(D)$ चूंकि $n_e n_h = n_i^2$ होता है,इसलिए $n_e n_h \geq n_i^2$ कथन तकनीकी रूप से सत्य है,लेकिन अर्धचालक गुणों के संदर्भ में $(A), (B)$ और $(E)$ मानक विशेषताएं हैं।
$(E)$ $n$-प्रकार के अर्धचालक में,होल्स मुख्य रूप से थर्मल उत्तेजना (thermal excitation) के कारण उत्पन्न होते हैं,न कि डोनर परमाणुओं के कारण। यह कथन सही है।
अतः,सही कथन $(A), (B)$ और $(E)$ हैं।

(C) उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु की दूरी $u = -30 \ cm$ और फोकस दूरी $f = +30 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
अतः,$v = +15 \ cm$। यह प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के पीछे $15 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु से इस प्रतिबिंब की दूरी $30 \ cm + 15 \ cm = 45 \ cm$ है।
समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब को उत्तल दर्पण के प्रतिबिंब के साथ संपाती होने के लिए,समतल दर्पण को इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि समतल दर्पण से वस्तु की दूरी और प्रतिबिंब की दूरी समान हो।
माना समतल दर्पण उत्तल दर्पण से $d$ दूरी पर है। वस्तु समतल दर्पण से $(30 - d)$ दूरी पर है। समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $(30 - d)$ दूरी पर बनता है।
इस प्रतिबिंब की उत्तल दर्पण से दूरी $d + (30 - d) = 30 \ cm$ होती है।
प्रतिबिंबों के संपाती होने के लिए,समतल दर्पण का प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के प्रतिबिंब के स्थान पर होना चाहिए।
गणना करने पर,$d = 22.5 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
आवेश $q = 1.6 \ \mu C = 1.6 \times 10^{-6} \ C$
द्रव्यमान $m = 16 \ \mu g = 16 \times 10^{-9} \ kg$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 6.28 \ T$
चूंकि कण को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए यह एकसमान वृत्तीय गति करेगा।
एक पूर्ण चक्कर के लिए आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = \frac{2 \pi m}{qB}$
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{6.28 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6}}$
$T = 10 \times 10^{-3} \ s = 0.01 \ s$
अतः,मूल स्थान पर लौटने के लिए आवश्यक समय $0.01 \ s$ है।

(C) माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\mu = \mu_0 \mu_r$ और $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$,इसलिए $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
निर्वात में प्रकाश का वेग $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ होता है,इसलिए हम लिख सकते हैं $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
यहाँ $\mu_r = \frac{10}{\pi}$ और $\epsilon_r = \frac{1}{0.0885}$ दिया गया है,इसलिए $\mu_r \epsilon_r = \frac{10}{\pi} \times \frac{1}{0.0885} \approx 36$.
अतः,$v = \frac{c}{\sqrt{36}} = \frac{c}{6}$.
इसलिए,$c = 6v$. निर्वात में प्रकाश का वेग माध्यम में प्रकाश के वेग से $6$ गुना अधिक है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में क्रमागत उच्चिष्ठों के बीच की दूरी फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
$20$ उच्चिष्ठों द्वारा घेरी गई कुल चौड़ाई (जो $20$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है) $20 \times \beta = \frac{20 \lambda D}{d}$ है।
यह दिया गया है कि ये $20$ उच्चिष्ठ विवर्तन पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ के भीतर समाहित हैं:
$\frac{20 \lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{a}$
$\frac{10}{d} = \frac{1}{a}$
$a = \frac{d}{10}$
यहाँ $d = 1.5 \ mm = 0.15 \ cm = 1.5 \times 10^{-1} \ cm$ है।
$a = \frac{1.5 \times 10^{-1}}{10} \ cm = 15 \times 10^{-3} \ cm$।
इसे $x \times 10^{-3} \ cm$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 15$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 1 \ H$,प्रतिरोध $R = 100 \pi \ \Omega$,वोल्टेज $V_{rms} = 100 \pi \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$ की गणना करें।
$LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{(100 \pi)^2 + (100 \pi)^2} = \sqrt{2 \times (100 \pi)^2} = 100 \pi \sqrt{2} \ \Omega$ है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100 \pi}{100 \pi \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ A$ है।
अधिकतम धारा $I_{max} = I_{rms} \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1 \ A$ प्राप्त होती है।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$।
यहाँ,$A_1 = E_0$,$A_2 = E_0$,और $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2(E_0)(E_0) \cos(\frac{\pi}{3})}$
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$,इसलिए:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(0.5)}$
$A = \sqrt{2E_0^2 + E_0^2} = \sqrt{3E_0^2}$
$A = \sqrt{3} E_0 \approx 1.732 E_0$।

(D) मान लीजिए कि $6$ खंडों में से प्रत्येक का प्रतिरोध $r$ है। चूंकि तार का कुल प्रतिरोध $R$ है,इसलिए $6r = R$,जिसका अर्थ है $r = R / 6$।
परिपथ को देखने पर,हम पहचान सकते हैं कि यह संरचना व्हीटस्टोन ब्रिज के समान है। शीर्ष नोड से जुड़े दो प्रतिरोधक और केंद्रीय नोड से जुड़े दो प्रतिरोधक बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच एक संतुलित ब्रिज बनाते हैं।
विशेष रूप से,$A$ से $B$ तक के पथ में तीन समानांतर शाखाएं हैं:
$1$. श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधकों वाली शाखा: $r + r = 2r$।
$2$. श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधकों वाली दूसरी शाखा: $r + r = 2r$।
$3$. $A$ और $B$ के बीच सीधा प्रतिरोध $r$।
इस प्रकार,तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$।
$r = R / 6$ रखने पर:
$R_{AB} = \frac{r}{2} = \frac{R / 6}{2} = \frac{R}{12}$।
इसे $R / n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 12$ प्राप्त होता है।

(D) चूँकि वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए आवेशित कण $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
क्षेत्र $2$ में,कण $R_2 = \frac{mv}{qB_2}$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त पूरा करता है और बिंदु $D$ पर इंटरफ़ेस पर वापस आ जाता है। दूरी $AD = 2R_2 = \frac{2mv}{qB_2}$ है।
इसके बाद,कण क्षेत्र $1$ में प्रवेश करता है और $R_1 = \frac{mv}{qB_1}$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त पूरा करता है और बिंदु $C$ पर इंटरफ़ेस पर वापस आ जाता है। दूरी $AC = 2R_1 = \frac{2mv}{qB_1}$ है।
इंटरफ़ेस पर कुल विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $C$ के बीच की दूरी है। इंटरफ़ेस पर कण का विस्थापन $AC = 2R_1 - 2R_2 = \frac{2mv}{qB_1} - \frac{2mv}{qB_2} = \frac{2mv}{qB_1} \left(1 - \frac{B_1}{B_2}\right)$ होगा।

(D) एम्पीयर के नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार,विस्थापन धारा $i_d$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$i_d = \varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}$
चूंकि $i_d$ एक धारा को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमाएँ विद्युत धारा की विमाओं के समान होती हैं।
अतः,$\left(\varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}\right)$ की विमाएँ विद्युत धारा की विमाओं के बराबर हैं।

(A) वायु-क्रोड परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 n I$ होता है।
जब क्रोड को $\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = B - B_0 = \mu_0 (\mu_r - 1) n I$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = (\mu_r - 1) \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1$ होती है,इसलिए प्रतिशत वृद्धि $\chi \times 100 \%$ है।
दिया गया है $\chi_{mg} = 1.2 \times 10^{-5}$,अतः प्रतिशत वृद्धि $(1.2 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 1.2 \times 10^{-3} \%$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
हवा के लिए,$\mu_m = 1$ और $f = 12 \ cm$:
$\frac{1}{12} = (1.6 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$\frac{1}{12} = 0.6(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = \frac{1}{12 \times 0.6} = \frac{1}{7.2} \ cm^{-1}$.
पानी के लिए,$\mu_m = 1.28$:
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1.6}{1.28} - 1)(\frac{1}{7.2})$
$\frac{1}{f_w} = (1.25 - 1)(\frac{1}{7.2}) = 0.25 \times \frac{1}{7.2} = \frac{1}{4 \times 7.2} = \frac{1}{28.8} \ cm^{-1}$.
अतः,$f_w = 28.8 \ cm = 288 \ mm$.

(C) दी गई धारा $i = 5 \sqrt{2} + 10 \cos \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right)$ है।
$r.m.s$ मान ज्ञात करने के लिए,हम $I_{rms} = \sqrt{\langle i^2 \rangle}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$i^2 = \left(5 \sqrt{2} + 10 \cos \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ की गणना करें।
$i^2 = (5 \sqrt{2})^2 + (10 \cos \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right))^2 + 2(5 \sqrt{2})(10 \cos \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right))$.
$i^2 = 50 + 100 \cos^2 \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right) + 100 \sqrt{2} \cos \left(650 \pi t + \frac{\pi}{6}\right)$.
पूर्ण चक्र पर औसत लेने पर,$\langle \cos \theta \rangle = 0$ और $\langle \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{2}$ होता है।
$\langle i^2 \rangle = 50 + 100 \left(\frac{1}{2}\right) + 0 = 50 + 50 = 100$.
अतः,$I_{rms} = \sqrt{100} = 10 \text{ A}$।

(D) दी गई फोकस दूरियाँ $f_1 = 30 \ cm = 0.3 \ m$ और $f_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ हैं।
लेंसों के बीच की दूरी $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों के लिए समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
मीटर में मान रखने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.3 \times 0.1}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - \frac{0.01}{0.03}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - 0.33 = 13 \ D$
पुनः गणना करने पर: $P = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.03} = 3.33 + 10 - 3.33 = 10 \ D$.
अतः,संयोजन की शक्ति $10 \ D$ है।

(C) सबसे पहले,हम यह जांचते हैं कि क्या जेनर डायोड ब्रेकडाउन में है,इसके लिए जेनर डायोड के बिना समानांतर शाखा में वोल्टेज की गणना करते हैं:
$V_{open} = \frac{400 \ \Omega}{100 \ \Omega + 400 \ \Omega} \times 12 \ V = \frac{400}{500} \times 12 \ V = 0.8 \times 12 \ V = 9.6 \ V$.
चूंकि गणना किया गया वोल्टेज $9.6 \ V$,जेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z = 4 \ V$ से अधिक है,इसलिए जेनर डायोड ब्रेकडाउन क्षेत्र में कार्य करता है।
अतः,$400 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज जेनर वोल्टेज $4 \ V$ के बराबर स्थिर हो जाता है।
एमीटर से प्रवाहित धारा $I$ ओम के नियम के अनुसार है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{4 \ V}{400 \ \Omega} = 0.01 \ A = 10 \ mA$.

(D) हाइड्रोजन-समान आयन में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$ है। $2^{\text{nd}}$ उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 3$ है (क्योंकि $1^{\text{st}}$ उत्तेजित अवस्था $n=2$ है और $2^{\text{nd}}$ उत्तेजित अवस्था $n=3$ है)।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $108.8 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
$108.8 = 13.6 Z^2 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 Z^2 \left( \frac{8}{9} \right)$.
$Z^2 = \frac{108.8 \times 9}{13.6 \times 8} = 8 \times 9 = 9$.
$Z = 3$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
लायमैन श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_i = 2$ से $n_f = 1$ के संक्रमण के अनुरूप होती है:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के अनुरूप होती है:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_B = \frac{36}{5R}$.
लायमैन श्रेणी की सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
अतः,अनुपात $5: 27$ है।

(D) चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$mv = qBr$
$r = \frac{mv}{qB}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ है।
$r$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$
इस प्रकार,$r = \left( \frac{\sqrt{2m}}{qB} \right) \sqrt{E}$
यह दर्शाता है कि $r \propto \sqrt{E}$.
$r$ बनाम $E$ का ग्राफ $E$-अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(A) आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण बिंदु $C$ पर विभव:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
यहाँ $AC = 40\ cm = 0.4\ m$ दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\ m$.
अतः,$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right)$.
बिंदु $D$ पर विभव:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
यहाँ $AD = 40\ cm = 0.4\ m$ और $BD = AD - AB = 40\ cm - 30\ cm = 10\ cm = 0.1\ m$.
अतः,$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$:
$\Delta U = q_3 (V_D - V_C) = q_3 \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right) - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right) \right]$
$\Delta U = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} (10 q_2 - 2 q_2) = \frac{8 q_2 q_3}{4 \pi \epsilon_0}$.
इस प्रकार,$K = 8 q_2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए इनपुट वोल्टेज $V_{\text{in}}$ है। परिपथ में समानांतर में दो विभव विभाजक (potential dividers) हैं।
बाईं शाखा के लिए,निचले नोड के सापेक्ष बिंदु $A$ पर वोल्टेज $V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{-jX_C}{R - jX_C}$ है।
दाईं शाखा के लिए,निचले नोड के सापेक्ष बिंदु $B$ पर वोल्टेज $V_B = V_{\text{in}} \cdot \frac{R}{R - jX_C}$ है।
अतः,विभवांतर $(V_B - V_A)$ इस प्रकार है:
$V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$.
मान लीजिए $Z = R - jX_C$ है। तब $V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$।
$V_{\text{in}}$ के सापेक्ष $(V_B - V_A)$ का कलांतर $\frac{R + jX_C}{R - jX_C}$ का कलांतर है।
मान लीजिए $\tan \theta = \frac{X_C}{R}$ है। तब $(R + jX_C)$ का कलांतर $\theta$ है और $(R - jX_C)$ का कलांतर $-\theta$ है।
अनुपात का कलांतर $\theta - (-\theta) = 2\theta$ है।
दिया गया है कि कलांतर $90^{\circ}$ है,इसलिए $2\theta = 90^{\circ}$,अर्थात $\theta = 45^{\circ}$।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{R} \implies 1 = \frac{1}{\omega RC} \implies \omega = \frac{1}{RC}$।
मान रखने पर: $R = 10^5 \ \Omega$,$C = 100 \times 10^{-12} \ F = 10^{-10} \ F$।
$\omega = \frac{1}{10^5 \times 10^{-10}} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5 \ rad/sec$।
$10^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) जब ऊपर से कई द्रवों की परतों के माध्यम से देखा जाता है,तो पात्र के तल की आभासी गहराई $d'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d' = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
यहाँ,$h_1 = 60 \ cm$,$\mu_1 = 1.2$,$h_2 = H$,और $\mu_2 = 1.6$ है।
अतः,$d' = \frac{60}{1.2} + \frac{H}{1.6} = 50 + \frac{H}{1.6}$।
तल की वास्तविक गहराई $d = 60 + H$ है।
आभासी विस्थापन वास्तविक गहराई और आभासी गहराई के बीच का अंतर है:
$\text{Shift} = d - d'$
$40 = (60 + H) - (50 + \frac{H}{1.6})$
$40 = 10 + H - \frac{H}{1.6}$
$30 = H(1 - \frac{1}{1.6})$
$30 = H(\frac{1.6 - 1}{1.6}) = H(\frac{0.6}{1.6})$
$30 = H(\frac{6}{16}) = H(\frac{3}{8})$
$H = 30 \times \frac{8}{3} = 80 \ cm$।

(A) इस घटना को इलेक्ट्रोस्टैटिक शील्डिंग के रूप में जाना जाता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,एक बंद धात्विक कोटर के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है,चाहे बाहरी विद्युत क्षेत्र या आवेश वितरण कुछ भी हो। जब विमान पर बिजली गिरती है,तो धातु का ढांचा फैराडे पिंजरे (Faraday cage) के रूप में कार्य करता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अंदर का विद्युत क्षेत्र शून्य रहे और यात्री सुरक्षित रहें। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सही है क्योंकि यह सुरक्षात्मक प्रभाव का वर्णन करता है,और कारण $(R)$ इस घटना के लिए सही वैज्ञानिक व्याख्या है।

(B) नाभिक का घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_n$ न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है।
चूँकि नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है,इसे घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर $\rho = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,सभी नाभिकों का घनत्व लगभग स्थिर होता है और यह तत्व पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ गलत है क्योंकि घनत्व समान होते हैं,जबकि कारण $(R)$ नाभिकीय त्रिज्या और द्रव्यमान संख्या के बीच संबंध के बारे में एक सही कथन है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ को $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_0$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
इस सूत्र को $E_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $E_0^2 = \frac{2 I}{\varepsilon_0 c}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $E_0 = \sqrt{\frac{2 I}{\varepsilon_0 c}}$।
चूंकि $E_0$ विद्युत क्षेत्र को दर्शाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक विद्युत क्षेत्र के मात्रक के समान होता है,जो कि $\text{वोल्ट प्रति मीटर}$ $(V/m)$ या $\text{न्यूटन प्रति कूलम्ब}$ $(N/C)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मात्रक $N/C$ है।

(D) निर्वात में प्रकाश की चाल $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,मुक्त आकाश की अभिलक्षणिक प्रतिबाधा (characteristic impedance) $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिबाधा का मात्रक $\text{ओम} (\Omega)$ होता है,जो प्रतिरोध के मात्रक के समान है।
अतः,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ की विमा प्रतिरोध की विमा के समान है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है: $K.E. = E - W$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda_i}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W = \frac{hc}{\lambda_0}$ पदार्थ का कार्य फलन है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $K.E. = \frac{hc}{\lambda_i} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$K.E.$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_c = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$,जिसका अर्थ है $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2}$.
$K.E.$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$\lambda_c$ के लिए हल करने पर: $\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2mhc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)} = \frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}$.
अतः,$\lambda_c = \sqrt{\frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}}$.

(C) दिया गया आवर्धन $m = \frac{1}{4}$ है। चूंकि प्रतिबिंब वस्तु से छोटा है और दर्पण द्वारा बनाया गया है,हम मानते हैं कि अवतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना रहा है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -\frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,इसलिए $u = 4v$.
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|u - v| = 40 \ cm$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $u$ और $v$ एक ही तरफ होते हैं,इसलिए $u - v = 40 \ cm$.
$u = 4v$ प्रतिस्थापित करने पर,$4v - v = 40 \implies 3v = 40 \implies v = \frac{40}{3} \ cm$.
तब $u = 4 \times \frac{40}{3} = \frac{160}{3} \ cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर (चिह्न परिपाटी के अनुसार $u = -\frac{160}{3} \ cm$,$v = -\frac{40}{3} \ cm$):
$\frac{1}{f} = -\frac{3}{40} - \frac{3}{160} = \frac{-12 - 3}{160} = -\frac{15}{160} = -\frac{3}{32}$.
$f = -\frac{32}{3} \approx -10.7 \ cm$.
फोकस दूरी का परिमाण $10.7 \ cm$ है।

(A) संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V = 5 \ V$ और $d = 0.5 \ mm = 5 \times 10^{-4} \ m$ है।
$E = \frac{5}{5 \times 10^{-4}} = 10^4 \ V/m$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ और $a = 0.5 \ \mu m = 5 \times 10^{-7} \ m$ है।
$p = 2 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-12} \ C \cdot m$.
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है।
$\tau = (1 \times 10^{-12} \ C \cdot m) \times (10^4 \ V/m) \times \sin(30^{\circ})$.
$\tau = 10^{-8} \times 0.5 = 5 \times 10^{-9} \ N \cdot m$.

(A) सर्किट आरेख से,$AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $B$ और $\overline{A}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{A} + B$ है।
ये दोनों आउटपुट $Y_1$ और $Y_2$ एक $NAND$ गेट में दिए गए हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (\overline{A} + B)}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $Y = \overline{A \cdot B \cdot \overline{A} + A \cdot B \cdot B} = \overline{0 + A \cdot B} = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$Y = 0$ के लिए,हमें $\overline{A \cdot B} = 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $A \cdot B = 1$ होना चाहिए।
यह केवल तब होता है जब $A = 1$ और $B = 1$ हो।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक इस बात का माप है कि निर्वात की तुलना में उस माध्यम में प्रकाश की गति कितनी कम हो जाती है। कांच हवा की तुलना में प्रकाशीय रूप से सघन है,इसलिए इसका अपवर्तनांक अधिक होता है। अतः अभिकथन $(A)$ सही है।
किसी माध्यम का प्रकाशीय घनत्व उसके द्रव्यमान घनत्व से सीधे संबंधित नहीं होता है। उदाहरण के लिए,तारपीन का द्रव्यमान घनत्व पानी से अधिक होता है लेकिन यह प्रकाशीय रूप से कम सघन होता है। इसलिए,यह कथन कि प्रकाशीय घनत्व द्रव्यमान घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है,गलत है। अतः कारण $(R)$ गलत है।
इस प्रकार,$(A)$ सही है लेकिन $(R)$ सही नहीं है।

(C) अभिकथन $(A)$ सही है क्योंकि, चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार, किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है $( \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0)$। इसका तात्पर्य यह है कि कोई पृथक चुंबकीय आवेश (मोनोपोल) अस्तित्व में नहीं होते हैं।
कारण $(R)$ भी सही है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं, जो चुंबक के बाहर उत्तरी ध्रुव से शुरू होकर दक्षिणी ध्रुव पर समाप्त होती हैं और चुंबक के अंदर दक्षिण से उत्तर की ओर जारी रहती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं, इसलिए उनका कोई प्रारंभिक या अंतिम बिंदु (स्रोत या सिंक) नहीं होता है, जो सीधे तौर पर यह बताता है कि चुंबकीय मोनोपोल अस्तित्व में क्यों नहीं हो सकते हैं। इसलिए, $(R)$, $(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) ऊपरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,उस सतह पर आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण $\theta_C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
ब्लॉक के अंदर बने त्रिभुज की ज्यामिति से,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ और ऊपरी सतह पर आपतन कोण $\theta_C$ के लिए $r + \theta_C = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $r = 90^{\circ} - \theta_C$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$।
$r = 90^{\circ} - \theta_C$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sin \theta = \frac{\mu_2}{\mu_1} \sin(90^{\circ} - \theta_C) = \frac{\mu_2}{\mu_1} \cos \theta_C$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$\sin \theta_C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1.0}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\cos \theta_C = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_C} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$।
इस मान को $\sin \theta$ के समीकरण में रखने पर: $\sin \theta = \frac{1.25}{1.0} \times \frac{3}{5} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$।
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}(3/4)$।

(A) विद्युत क्षेत्र में रखे गए परावैद्युत स्लैब पर प्रेरित आवेश $Q_{in}$ को सूत्र $Q_{in} = Q \left(1 - \frac{1}{K}\right)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q$ संधारित्र की प्लेटों पर आवेश है और $K$ परावैद्युतांक है。
दिया गया है: $Q = 5 \times 10^{-6} \ C$ और $Q_{in} = 4 \times 10^{-6} \ C$.
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
$0.8 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$
$K = \frac{1}{0.2} = 5$.
अतः, स्लैब का परावैद्युतांक $5$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 50 \ \Omega$, $X_L = 100 \ \Omega$, और $X_C = 50 \ \Omega$ दिए गए हैं।
$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होती है, जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक है।
$P = V_{rms} \times \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$.
यहाँ $V_{rms} = 10 \ V$ दिया गया है।
$P = \frac{10^2 \times 50}{(50\sqrt{2})^2} = \frac{100 \times 50}{2500 \times 2} = \frac{5000}{5000} = 1 \ W$.

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \ N/C$ है।
चूंकि सतह $x-z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x-z$ तल के लंबवत होगा,जिसका अर्थ है कि यह $y$-अक्ष की दिशा में है। अतः,$\vec{A} = A \hat{j}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को डॉट प्रोडक्ट $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\phi = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \cdot (A \hat{j}) = 4 \times 10^3 \times A$।
दिया गया है $\phi = 6.0 \ N m^2 C^{-1}$,इसलिए $6.0 = 4 \times 10^3 \times A$।
$A$ के लिए हल करने पर: $A = \frac{6.0}{4 \times 10^3} = 1.5 \times 10^{-3} \ m^2$।
$cm^2$ में बदलने पर: $A = 1.5 \times 10^{-3} \times (10^2 \ cm)^2 = 1.5 \times 10^{-3} \times 10^4 \ cm^2 = 15 \ cm^2$।

(B) $1$. $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश के लिए,कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
$2$. चूंकि अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. कोश के अंदर दो बिंदुओं $1$ और $2$ के बीच एक परीक्षण आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W$,$W = q(V_2 - V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि कोश के अंदर किन्हीं भी दो बिंदुओं पर $V_1 = V_2$ होता है,इसलिए $W = q(0) = 0$ होता है।
$5$. इस प्रकार,अभिकथन $A$ सत्य है क्योंकि विभव स्थिर है,और कारण $R$ सत्य है और यह सही व्याख्या प्रदान करता है कि कार्य शून्य क्यों है।

(C) एक आवेशित चालक के लिए,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ उस बिंदु पर वक्रता त्रिज्या $(ROC)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$।
चित्र से,सबसे नुकीले बिंदु (ऊपर) पर वक्रता त्रिज्या सबसे कम है,और जैसे-जैसे हम सपाट किनारों की ओर बढ़ते हैं,यह बढ़ती जाती है।
बिंदुओं की तुलना:
$1$. $\sigma_1$ वाले बिंदु पर वक्रता त्रिज्या सबसे कम है।
$2$. $\sigma_3$ वाले बिंदु पर वक्रता त्रिज्या $\sigma_1$ से अधिक है लेकिन किनारों से कम है।
$3$. $\sigma_2$ और $\sigma_4$ वाले बिंदु सपाट किनारों पर हैं,जहाँ वक्रता त्रिज्या सबसे बड़ी और समान है।
अतः,वक्रता त्रिज्या का क्रम $(ROC)_1 < (ROC)_3 < (ROC)_2 = (ROC)_4$ है।
चूंकि $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$,पृष्ठीय आवेश घनत्व का क्रम $\sigma_1 > \sigma_3 > \sigma_2 = \sigma_4$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) यह प्रणाली एक द्रव लेंस (समतल-अवतल) और एक कांच के लेंस (अवतल-उत्तल) से बनी है।
द्रव लेंस के लिए: $\mu_l = 1.3$,$R_1 = \infty$,$R_2 = -30 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.3 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-30} \right) = 0.3 \times \frac{1}{30} = \frac{0.3}{30} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
कांच के लेंस के लिए: $\mu_g = 1.5$,$R_1 = -30 \ cm$,$R_2 = -20 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_g} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-30} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{-2 + 3}{60} \right) = 0.5 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{120} \ cm^{-1}$.
कुल फोकस दूरी $f$ के लिए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_g} = \frac{1}{100} + \frac{1}{120} = \frac{6 + 5}{600} = \frac{11}{600} \ cm^{-1}$.
अतः,$f = \frac{600}{11} \ cm$.

(D) गाउस के नियम के अनुसार, एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
तार घन के दो अधिकतम दूरी वाले कोनों से गुजरता है, जिसका अर्थ है कि यह घन के मुख्य विकर्ण (body diagonal) के अनुदिश गुजरता है।
$a$ भुजा वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई $L = \sqrt{3}a$ होती है।
यहाँ $a = \sqrt{3} \ cm = \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$ दिया गया है, इसलिए घन के अंदर तार की लंबाई $L = \sqrt{3} \times (\sqrt{3} \times 10^{-2} \ m) = 3 \times 10^{-2} \ m$ होगी।
घन द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{enc} = \lambda \cdot L = (2 \times 10^{-9} \ C/m) \times (3 \times 10^{-2} \ m) = 6 \times 10^{-11} \ C$ है।
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{\varepsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ प्राप्त होता है।
अतः, फ्लक्स $\phi = q_{enc} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0} = (6 \times 10^{-11}) \times (36 \pi \times 10^9) = 216 \pi \times 10^{-2} = 2.16 \pi \ Nm^2 C^{-1}$ है।
इस प्रकार, $x = 2.16 \pi$।

(B) दिए गए परिपथ में,डायोड $D_1$ का एनोड $+5 \ V$ से और कैथोड $V_{\text{out}}$ से जुड़ा है। डायोड $D_2$ का एनोड $V_{\text{out}}$ से और कैथोड ग्राउंड $(0 \ V)$ से जुड़ा है।
यदि हम मान लें कि $D_2$ फॉरवर्ड बायस में है,तो $V_{\text{out}}$ का मान $0 \ V$ पर क्लैंप हो जाएगा (क्योंकि डायोड आदर्श है)।
यदि $V_{\text{out}} = 0 \ V$ है,तो $D_1$ के लिए एनोड $+5 \ V$ पर और कैथोड $0 \ V$ पर है। इस प्रकार,$D_1$ फॉरवर्ड बायस में है।
हालाँकि,यदि $D_1$ फॉरवर्ड बायस में है,तो $V_{\text{out}}$ का मान $+5 \ V$ होना चाहिए। यदि $V_{\text{out}} = +5 \ V$ है,तो $D_2$ का एनोड $+5 \ V$ पर और कैथोड $0 \ V$ पर होगा,जिससे $D_2$ फॉरवर्ड बायस में आ जाएगा।
चूंकि $D_2$ फॉरवर्ड बायस में है,यह आउटपुट वोल्टेज को अपने कैथोड के विभव पर खींच लेता है,जो $0 \ V$ है।
इसलिए,आउटपुट वोल्टेज $V_{\text{out}} = 0 \ V$ है।

(D) $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व वाले $r$ त्रिज्या के एक चालक गोले का विभव $V = \frac{\sigma r}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो उनके बीच आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं,अर्थात $V_1 = V_2$।
विभव के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sigma_1 r_1}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 r_2}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
यह $\sigma_1 r_1 = \sigma_2 r_2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $r_1 = R$ और $r_2 = 3R$ दिया गया है,इसलिए $\sigma_1 R = \sigma_2 (3R)$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{3R}{R} = 3$ है।

(D) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +30 \ cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$ है।
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए,तुल्य फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$
अतः,$f = -60 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{-60}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{60}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{60} - \frac{1}{20} = \frac{-1 - 3}{60} = -\frac{4}{60} = -\frac{1}{15}$
इसलिए,$v = -15 \ cm$ है।
लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $15 \ cm$ है।

(C) कुल धारा $I$ दो समानांतर पथों $\text{ABC}$ और $\text{ADC}$ में विभाजित हो जाती है।
चूँकि $\text{ABC}$ का प्रतिरोध $r$ है और $\text{ADC}$ का $2r$ है,धाराएँ $i_1$ और $i_2$ प्रतिरोधों के व्युत्क्रमानुपाती होंगी:
$i_1 = I \cdot \frac{2r}{r + 2r} = \frac{2I}{3}$ ($\text{ABC}$ के माध्यम से)
$i_2 = I \cdot \frac{r}{r + 2r} = \frac{I}{3}$ ($\text{ADC}$ के माध्यम से)
$d = a/2$ दूरी पर $a$ लंबाई के तार के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ होता है। वर्ग के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,इसलिए $B = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$।
$\text{ABC}$ के कारण क्षेत्र ($2I/3$ धारा) $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 (2I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
$\text{ADC}$ के कारण क्षेत्र ($I/3$ धारा) $B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 (I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
परिणामी क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} - \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$।

(B) व्यतिकरण पैटर्न देखे जाने के लिए,दोनों स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोतों को समान आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित करना चाहिए।
लाल फिल्टर केवल लाल प्रकाश (तरंगदैर्घ्य $\lambda_R \approx 650 \ nm$) को गुजरने देता है,जबकि हरा फिल्टर केवल हरे प्रकाश (तरंगदैर्घ्य $\lambda_G \approx 550 \ nm$) को गुजरने देता है।
चूंकि दोनों झिरियाँ अब अलग-अलग आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित कर रही हैं,इसलिए स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ तेजी से बदलेगा।
अतः,स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं और स्क्रीन पर कोई स्थिर व्यतिकरण पैटर्न नहीं बनेगा।