मान लीजिए कि फलन f(x) = frac{x}{3} + frac{3}{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} + 3$,$x 
eq 0$. वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{3

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$36$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} + 3$,$x 
eq 0$. वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{3x^2}$. $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 3$ और $x = -3$ प्राप्त होता है। क्रांतिक बिंदु $x = -3, 0, 3$ हैं। अंतरालों की जाँच करने पर: $x \in (-\infty, -3)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है। $x \in (-3, 0)$ के लिए,$f'(x) $x \in (0, 3)$ के लिए,$f'(x) $x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है। दिए गए अंतरालों से तुलना करने पर: वर्धमान अंतराल $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \Rightarrow \alpha_1 = -3, \alpha_2 = 3$. ह्रासमान अंतराल $(-3, 0) \cup (0, 3) \Rightarrow \alpha_3 = -3, \alpha_4 = 0, \alpha_5 = 3$. अतः,$\sum_{i=1}^5 \alpha_i^2 = (-3)^2 + (3)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 = 9 + 9 + 9 + 0 + 9 = 36$.

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