फलन f(x) = [frac{x^2}{2}] - [sqrt{x}] के लिए | vedclass

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Question

(C) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ वहाँ असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं,बशर्ते उ

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$10$

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(C) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ वहाँ असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं,बशर्ते उनके जंप एक-दूसरे को निरस्त न करें।$g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x^2}{2} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x^2 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x^2 \in [0, 16]$। अतः,$x^2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$।$g(x)$ इन बिंदुओं पर असंतत है: $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$।$h(x) = [\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x \in \{1, 4, 9, 16\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x \in \{1, 4\}$।इन बिंदुओं को मिलाने पर,असंतत बिंदुओं का कुल समुच्चय $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$ प्राप्त होता है।मानों की जाँच करने पर,हमें $[0, 4]$ अंतराल में $10$ असंतत बिंदु प्राप्त होते हैं।

फलन $f(x) = [\frac{x^2}{2}] - [\sqrt{x}]$ के लिए $x \in [0, 4]$ अंतराल में असंतत बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x+a \sqrt{2} \sin x, & 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \\ 2x \cot x+b, & \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ a \cos 2x-b \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}$। यदि $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ के लिए सतत है,तो:

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|\cos x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

माना $f(x) = x^2 + x \sin x - \cos x$ है। तो

उन बिंदुओं की जाँच कीजिए जहाँ अचर फलन $f(x)=k$ संतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{जब } x \le 0 \\ 5x - 4, & \text{जब } 0 < x \le 1 \\ 4x^2 - 3x, & \text{जब } 1 < x < 2 \\ 3x + 4, & \text{जब } x \ge 2 \end{cases}$,तो:

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