यदि क्षेत्र {(x, y): 1+x^2 leq y leq min {x+7 | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 1+x^2$ और रेखाओं $y = x+7$ तथा $y = 11-3x$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $1+x^2 = x+7 \Rightar

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$50$

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(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 1+x^2$ और रेखाओं $y = x+7$ तथा $y = 11-3x$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $1+x^2 = x+7 \Rightarrow x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$. चूँकि क्षेत्र $[-2, 2]$ अंतराल में है,हम $x = -2$ लेते हैं। $1+x^2 = 11-3x \Rightarrow x^2+3x-10 = 0 \Rightarrow (x+5)(x-2) = 0$. हम $x = 2$ लेते हैं। $x+7 = 11-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$. क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है: $A = \int_{-2}^{1} ((x+7) - (1+x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((11-3x) - (1+x^2)) dx$ $A = \int_{-2}^{1} (6+x-x^2) dx + \int_{1}^{2} (10-3x-x^2) dx$ $A = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} + [10x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2}$ गणना करने पर,$A = \frac{50}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$3A = 3 	imes \frac{50}{3} = 50$.

यदि क्षेत्र $\{(x, y): 1+x^2 \leq y \leq \min \{x+7, 11-3x\}\}$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $3A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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