જો $P(A)=0.25, P(B)=0.55$ અને $P(A \cup B)=0.65$ હોય,તો $P(B' \mid A) =$ . . . . . . .

$52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા ડેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે. નીચેના કયા કિસ્સામાં ઘટનાઓ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર છે?
$E:$ 'ખેંચેલું પત્તું કાળું છે'
$F:$ 'ખેંચેલું પત્તું રાજા (કિંગ) છે'

ધારો કે $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ એવી છે કે $P(B \mid A) = \frac{2}{5}$,$P(A \mid B) = \frac{1}{7}$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(S1) P(A' \cup B) = \frac{5}{6}$
$(S2) P(A' \cap B') = \frac{1}{18}$.
તો:

સાબિત કરો કે જો $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય,તો $E$ અને $F^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

બેગ $A$ માં $9$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા છે,જ્યારે બેગ $B$ માં $6$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે. બેગ $B$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેને બેગ $A$ ના દડાઓ સાથે ભેળવી દેવામાં આવે છે. ત્યારબાદ બેગ $A$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. જો કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ હોય તેની સંભાવના $p/q$ હોય (જ્યાં $gcd(p,q)=1$),તો $p+q$ ની કિંમત શોધો:

જો $A$ અને $B$ એવી ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$ હોય,તો $P(B)$ શોધો.