AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બળ સદિશ $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
બળનું માન $|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બળનો ઘટક $F_x = 4$ છે.
ખૂણા $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{F_x}{|\vec{F}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$.
છેદ અને અંશને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જ્યાં $|\vec{A}|$ એ નાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ છે: $|\vec{A}| + |\vec{B}| = 18$ અને $|\vec{R}| = 12$.
ધારો કે $|\vec{A}| = x$,તો $|\vec{B}| = 18 - x$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ નાના સદિશ $\vec{A}$ સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,સંબંધ મળે: $|\vec{R}|^2 + |\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 + x^2 = (18 - x)^2$.
$144 + x^2 = 324 + x^2 - 36x$.
$36x = 324 - 144$.
$36x = 180$.
$x = 5$.
આમ,$|\vec{A}| = 5$ અને $|\vec{B}| = 18 - 5 = 13$.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{R} \perp \vec{A}$,તેથી ડોટ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{R} = 0$ થાય.
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = 0 \implies A^2 + AB \cos \theta = 0 \implies AB \cos \theta = -A^2$ ... $(i)$
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \frac{B}{2}$ આપેલ છે,તેથી $R^2 = \frac{B^2}{4}$ થાય.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2(-A^2) = B^2 - A^2$.
તેથી $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,એટલે કે $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$.
હવે $A$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B(\frac{\sqrt{3}}{2}B) \cos \theta = -(\frac{\sqrt{3}}{2}B)^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} B^2 \cos \theta = -\frac{3}{4} B^2$.
$\cos \theta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = 150^{\circ}$.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
અહીં આપેલ છે કે બંને સદિશોના મૂલ્યો સમાન છે,ધારો કે $A = B = x$.
તેમજ આપેલ છે કે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય પણ તે બંને સદિશોના મૂલ્ય જેટલું જ છે,તેથી $R = x$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આ ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ દર્શાવે છે.

(B) સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = 45^{\circ}$ છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{a}$ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan(\phi) = \frac{|\vec{b}| \sin(\theta)}{|\vec{a}| + |\vec{b}| \cos(\theta)}$
આપેલ કિંમતો $|\vec{b}| = 2$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $\phi = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{2 \sin(60^{\circ})}{|\vec{a}| + 2 \cos(60^{\circ})}$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$1 = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{|\vec{a}| + 2 \times (\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{|\vec{a}| + 1}$
$|\vec{a}| + 1 = \sqrt{3}$
$|\vec{a}| = \sqrt{3} - 1$ એકમ.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક હોય છે.
વધુમાં,દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્ય સાર્થક ગણાય છે.
સંખ્યા $4.870$ માં,અંકો $4, 8, 7$ શૂન્યતર છે અને દશાંશ ચિહ્ન પછી આવતું અંતિમ શૂન્ય પણ સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે: $V = 50 \text{ V}$,$\Delta V = 3 \text{ V}$ અને $I = 5 \text{ A}$,$\Delta I = 0.1 \text{ A}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
અવરોધ $R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{3}{50} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.06 + 0.02 = 0.08$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.08 \times 100 = 8 \%$ થાય.

(B) બે સદિશો $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર (cross product) નિશ્ચાયકની રીત દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$
અહીં $\overrightarrow{r} = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ m}$ અને $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 10 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ N}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((-5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((-5)(-10) - (-3)(4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(50 - (-12))$
$= \hat{k}(50 + 12) = 62 \hat{k} \text{ Nm}$.

(C) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બે સમાંતર સદિશો માટે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin(0^\circ) \hat{n} = AB(0) \hat{n} = \vec{0}$.
આમ,બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) બર્નુલીના સમીકરણ પરથી મેળવેલા ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
અહીં $g = 10 \,m/s^2$ અને $h = 10 \,m$ આપેલ છે, તેથી $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 14.14 \,m/s$.
છિદ્રનો વ્યાસ $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3} \,m$ થાય.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6} \,m^2$ મળે.
પાણીનો પ્રવાહ દર $Q = A \times v$ દ્વારા મળે છે.
$Q = (12.56 \times 10^{-6} \,m^2) \times (14.14 \,m/s) \approx 177.6 \times 10^{-6} \,m^3/s = 1.776 \times 10^{-4} \,m^3/s$.

(A) માથા અને પગ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, $\rho = 1.1 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $h = 1.65 \,m$ છે।
$\Delta P = 1.1 \times 10^3 \times 10 \times 1.65 = 1.815 \times 10^4 \,Pa$.
રક્તવાહિની પર આ દબાણને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે, જ્યાં $A$ એ રક્તવાહિનીનું પૃષ્ઠફળ છે।
રક્તવાહિની એ $L = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$ લંબાઈ અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-3} \,m$) ધરાવતો નળાકાર છે।
પૃષ્ઠફળ $A$ (પાર્શ્વીય પૃષ્ઠફળ) $A = 2 \pi r L$ છે।
$A = 2 \times 3.14159 \times 0.5 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 3.14159 \times 10^{-5} \,m^2$.
$F = (1.815 \times 10^4) \times (3.14159 \times 10^{-5}) \approx 0.57 \,N$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ ગેજ દબાણ $P_g$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $P_g = \rho g h$ છે.
આપેલ છે:
દરિયાના પાણીની ઘનતા $\rho = 1025 \,kg \,m^{-3}$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$
ઊંડાઈ $h = 50 \,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P_g = 1025 \times 10 \times 50$
$P_g = 1025 \times 500$
$P_g = 512500 \,Pa$.

(A) પ્રવાહીના સ્તંભના તળિયે ગેજ દબાણ $P_g$ શોધવાનું સૂત્ર: $P_g = \rho gh$ છે.
અહીં,તેલની ઘનતા $\rho = 850 \,kg \,m^{-3}$,તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 4 \,m$,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_g = 850 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 4 \,m$
$P_g = 34000 \,Pa$
કારણ કે $1 \,kPa = 1000 \,Pa$,તેથી $P_g = 34 \,kPa$ મળે છે.

(B) રીજેલેશન (Regelation) એ એક ભૌતિક ઘટના છે જેમાં દબાણ લાગુ કરવાથી પાણીનું ઠારબિંદુ ઘટે છે. જ્યારે દબાણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ફરીથી થીજી જાય છે. આ જ કારણ છે કે બરફને દબાવીને વિવિધ આકારોમાં ઢાળી શકાય છે,કારણ કે દબાણ હેઠળ બરફ પીગળે છે અને દબાણ દૂર થતાં ફરીથી થીજી જાય છે.

(D) આપેલ છે:
ઊંડાઈ, $h = 3 \,m$
પાણીની ઘનતા, $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3} = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m \,s^{-2}$
પાણીના સ્તંભને કારણે પૂલના તળિયે દબાણ $P$ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P = \rho g h$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P = 10^3 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 3 \,m$
$P = 30 \times 10^3 \,Pa$
આમ, તળિયે દબાણ $30 \times 10^3 \,Pa$ છે.

(B) આપેલ છે: કેશનળીની ત્રિજ્યા $r = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m$.
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.072 \,N/m$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \,kg/m^3$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
કેશનળીમાં પાણીના ચઢાણનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ છે.
$\cos \theta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\cos \theta = \frac{h \rho g r}{2T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{(2 \times 10^{-2}) \times (10^3) \times (10) \times (0.1 \times 10^{-3})}{2 \times 0.072}$.
$\cos \theta = \frac{2 \times 10^{-2} \times 10^4 \times 0.1 \times 10^{-3}}{0.144} = \frac{0.02}{0.144} = \frac{20}{144} = \frac{1}{7.2}$.
તેથી, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7.2}\right)$.

(D) પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi r^2 + 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 + 16 \pi r^2 = 20 \pi r^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_i = A_i S = 20 \pi r^2 S$.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi r^3 + \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$r^3 + 8r^3 = R^3 \implies R^3 = 9r^3 \implies R = 9^{1/3} r$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (9^{1/3} r)^2 = 4 \pi (9^{2/3}) r^2$.
આપેલ છે કે $9^{2/3} = 4.326$,તેથી $A_f = 4 \pi (4.326) r^2 = 17.304 \pi r^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_f = 17.304 \pi r^2 S$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = 20 \pi r^2 S - 17.304 \pi r^2 S = 2.696 \pi r^2 S \approx 2.7 \pi r^2 S$.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.05 \,cm = 0.05 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-4} \,m$.
સ્ટીલની ઘનતા $\rho = 7.8 \,g/cm^3 = 7800 \,kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \,g/cm^3 = 1000 \,kg/m^3$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 0.001 \,Pa \cdot s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(5 \times 10^{-4})^2 \times 9.8 \times (7800 - 1000)}{0.001}$.
ગણતરી કરતા $v_T = 3.77 \,m/s$ મળે છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $V \frac{dP}{dV} = -P$.
તેથી, સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ $B_{\text{isothermal}} = -(-P) = P$ થાય છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ,$V = 2000 \text{ cm}^3 = 2000 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
કદમાં ફેરફાર,$\Delta V = 5 \times 10^{-2} \text{ cm}^3 = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$.
દબાણ,$P = 15 \text{ atm} = 15 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)} = \frac{P \times V}{\Delta V}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{15 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-8}}$
$B = \frac{30 \times 10^2}{5 \times 10^{-8}}$
$B = 6 \times 10^{10} \text{ Nm}^{-2}$.

(B) કાચના સ્લેબ પર લાગતું હાઇડ્રોલિક દબાણ $P = 14 \,atm$ છે. તેને પાસ્કલ $(Pa)$ માં ફેરવતા:
$P = 14 \times 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 14.182 \times 10^5 \,Pa$.
આપેલ બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 40 \times 10^9 \,N/m^2$ છે।
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ છે, જ્યાં $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર છે।
તેથી, કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{14 \times 1.013 \times 10^5}{40 \times 10^9} = \frac{14.182 \times 10^5}{40 \times 10^9} = 0.35455 \times 10^{-4} = 3.5455 \times 10^{-5}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, જવાબ $3.54 \times 10^{-5}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V = 4000 \ cc$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.05 \% = \frac{0.05}{100} = 0.0005$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2.2 \times 10^9 \ N/m^2$.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ છે,જ્યાં $P$ એ લાગુ પાડેલ દબાણ છે.
મૂલ્ય લેતા,$P = B \times \frac{\Delta V}{V}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = (2.2 \times 10^9) \times (0.0005)$.
$P = 2.2 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-4} = 11 \times 10^5 = 1.1 \times 10^6 \ N/m^2$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
એડિઆબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^\gamma \frac{dP}{dV} = 0$.
$V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $\gamma P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$ મળે છે.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસની વ્યાખ્યામાં મૂકતા,$K = -(-\gamma P) = \gamma P$ મળે છે.

(B) પર્વતના પોતાના વજનને કારણે તેના પાયા પર લાગતું દબાણ ખડકની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા કરતાં વધવું જોઈએ નહીં,જેથી તે વિકૃત ન થાય.
ધારો કે $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાયા પર લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ખડકની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા સાથે સરખાવતા:
$h \rho g = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$h \times (3 \times 10^3 \ kg m^{-3}) \times (10 \ m s^{-2}) = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
$h \times (3 \times 10^4) = 30 \times 10^7$.
$h = \frac{30 \times 10^7}{3 \times 10^4} = 10 \times 10^3 \ m$.
$h = 10,000 \ m = 10 \ km$.

(D) સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ હૂકના નિયમ મુજબ $K = \frac{F}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
સ્પ્રિંગ $A$ માટે આપેલ છે: $F_A = 20 \,N$, $x_A = 8 \,cm$.
સ્પ્રિંગ $B$ માટે આપેલ છે: $F_B = 10 \,N$, $x_B = 16 \,cm$.
સ્પ્રિંગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{F_A / x_A}{F_B / x_B} = \frac{F_A}{x_A} \times \frac{x_B}{F_B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{20}{8} \times \frac{16}{10} = 2.5 \times 1.6 = 4$
તેથી, ગુણોત્તર $K_A : K_B = 4 : 1$ છે.

(B) આપેલ છે: સળિયાની ત્રિજ્યા $r = 20 \ mm = 20 \times 10^{-3} \ m$,લંબાઈ $L = 2 \ m$,બળ $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
પ્રતિબળ (Stress) = $\frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Stress} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times 400 \times 10^{-6}} = 3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
વિકૃતિ (Strain) = $\frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8}{2 \times 10^{11}} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.
આમ,પ્રતિબળ અને વિકૃતિના મૂલ્યો $3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ અને $0.16 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \,m$, વ્યાસ $d = 10 \,cm = 0.1 \,m$, ત્રિજ્યા $r = 0.05 \,m$, બળ $F = 100 \,kN = 10^5 \,N$, યંગ મોડ્યુલસ $Y = 70 \,GPa = 70 \times 10^9 \,Pa$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$, જ્યાં $A = \pi r^2$.
લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta l$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta l = \frac{10^5 \times 1}{3.14159 \times (0.05)^2 \times 70 \times 10^9}$.
$\Delta l = \frac{10^5}{3.14159 \times 0.0025 \times 70 \times 10^9} = \frac{10^5}{549.78 \times 10^6} \approx 1.81 \times 10^{-4} \,m$.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 50 \text{ kN} = 50 \times 10^3 \text{ N}$.
પરિમાણ: $40 \text{ mm} \times 20 \text{ mm} = 40 \times 10^{-3} \text{ m} \times 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 800 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
શીયર મોડ્યુલસ $G = 40 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$.
સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3}{800 \times 10^{-6}} = \frac{50 \times 10^9}{800} = 0.0625 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2} = 6.25 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2}$.
વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{G} = \frac{6.25 \times 10^7}{40 \times 10^9} = \frac{6.25}{40} \times 10^{-2} = 0.15625 \times 10^{-2} = 1.5625 \times 10^{-3}$.
આમ,વિકૃતિ આશરે $1.56 \times 10^{-3}$ છે.

(C) જ્યારે '$l$' લંબાઈ,'$b$' પહોળાઈ અને '$d$' જાડાઈ ધરાવતા બીમ (સળિયા) ને બંને છેડે ટેકવીને તેના કેન્દ્ર પર '$W$' જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું નમન (sag) '$\delta$' નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = \frac{W l^3}{4 Y b d^3}$
અહીં,'$W$' એ ભાર છે,'$l$' એ લંબાઈ છે,'$Y$' એ યંગ મોડ્યુલસ છે,'$b$' એ પહોળાઈ છે અને '$d$' એ જાડાઈ છે.
આ સૂત્રને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ '$C$' સાચો જવાબ છે.

(D) બ્લોકનું દળ, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
પ્રારંભિક લંબાઈમાં વધારો, $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
સંતુલન સ્થિતિમાં, સ્પ્રિંગ બળ તેના વજન જેટલું હોય છે: $kx = mg$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.02 \times 10}{0.01} = 20 \,N/m$.
જ્યારે બ્લોક પાણીમાં ડૂબે છે, ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_w V g$ લાગે છે, જ્યાં $V = \frac{m}{\rho_c}$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $kx' + F_B = mg$ છે, જ્યાં $x'$ એ નવો વધારો છે。
$kx' = mg - \rho_w \left(\frac{m}{\rho_c}\right) g = mg \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right)$.
$x' = \frac{mg}{k} \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right) = x \left(1 - \frac{1000}{9000}\right)$.
$x' = 0.01 \times \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 0.01 \times \frac{8}{9} \approx 0.00888 \,m$.
$x' \approx 0.89 \,cm$.

(B) આપેલ છે: તણાવ બળ $F = 1000 \,N$, લંબાઈ $L = 1 \,m$, લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.25 \,cm = 0.25 \times 10^{-2} \,m$, યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^{11} \,Pa$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2$.
$r^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r^2 = \frac{FL}{Y \Delta L \pi}$.
કિંમતો મૂકતા: $r^2 = \frac{1000 \times 1}{10^{11} \times 0.25 \times 10^{-2} \times \pi} = \frac{1000}{10^9 \times 0.25 \times \pi} = \frac{1}{0.25 \times \pi \times 10^6} = \frac{4}{\pi \times 10^6}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \frac{2}{\sqrt{\pi} \times 10^3} = \frac{2}{1.77 \times 10^3} \approx 1.13 \times 10^{-3} \,m = 1.13 \,mm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 1.13 \,mm = 2.26 \,mm$.

(C) શરૂઆતના વેગ $v_{i}$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થનો વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{f} = v_{i} - gt$
જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
$1$. શરૂઆતમાં,વેગ ધન $(v_{i})$ હોય છે અને જેમ પદાર્થ ઉપર જાય છે તેમ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
$2$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,$t = \frac{v_{i}}{g}$ સમયે વેગ શૂન્ય $(v_{f} = 0)$ થઈ જાય છે.
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,પદાર્થ નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,તેથી વેગ ઋણ બને છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય રેખીય રીતે વધે છે.
આ વર્તણૂક એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેનો ઢાળ અચળ ઋણ $(-g)$ છે,જે ધન $v$-અક્ષમાંથી પસાર થાય છે,$t = \frac{v_{i}}{g}$ સમયે $t$-અક્ષને છેદે છે અને ઋણ $v$-વિસ્તારમાં આગળ વધે છે. આલેખ $C$ વેગમાં ધન મૂલ્યથી ઋણ મૂલ્ય સુધીના આ રેખીય ઘટાડાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
પદાર્થોને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ લેતા.
પ્રથમ પદાર્થ માટે,$h_1 = \frac{1}{2}gt_1^2$,જેનો અર્થ થાય છે $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
બીજા પદાર્થ માટે,$h_2 = \frac{1}{2}gt_2^2$,જેનો અર્થ થાય છે $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ થાય છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v_b$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v_s$ છે。
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $v_b + v_s = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ છે。
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $v_b - v_s = \frac{16 \, km}{4 \, h} = 4 \, km/h$ છે。
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_b + v_s) + (v_b - v_s) = 8 + 4$。
$2v_b = 12 \, km/h$。
તેથી, સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v_b = 6 \, km/h$ છે。

(D) ધારો કે એસ્કેલેટરનું અંતર $D$ છે.
બંધ પડેલા એસ્કેલેટર પર વ્યક્તિની ચાલવાની ઝડપ $v_p = \frac{D}{80}$ છે.
ચાલુ એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e = \frac{D}{20}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
$v_{eff} = \frac{D}{80} + \frac{D}{20} = \frac{D + 4D}{80} = \frac{5D}{80} = \frac{D}{16}$.
ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલીને ઉપર જવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v_{eff}} = \frac{D}{D/16} = 16 \,s$ થાય.

(C) કણનો વેગ $v = \sqrt{196 - 16x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $v^2 = 196 - 16x$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(196 - 16x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -16 \frac{dx}{dt}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ છે, તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2v \cdot a = -16v$
બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા (ધારો કે $v \neq 0$):
$a = -8 \text{ m/s}^2$.
આમ, કણનો પ્રવેગ $-8 \text{ m/s}^2$ જેટલો અચળ છે.

(C) ધારો કે કુલ અંતર $d$ છે.
પ્રથમ અડધા અંતર $(d/2)$ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d/2}{V_1} = \frac{d}{2V_1}$ છે.
બીજા અડધા અંતર $(d/2)$ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d/2}{V_2} = \frac{d}{2V_2}$ છે.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ અને $t_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
સરેરાશ વેગ $= \frac{d}{\frac{d}{2V_1} + \frac{d}{2V_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} \left( \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{V_1 + V_2}{V_1 V_2} \right)} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$.
અહીં $\frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$ એ $\frac{2}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}$ ને સમાન છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ધારો કે બંને વાહનોનું વેગમાન $p$ છે. બ્રેકિંગ બળ $F$ બંને માટે સમાન છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot S = \frac{p^2}{2m}$
આમ,સ્થિર થવા માટે કાપેલું અંતર $S = \frac{p^2}{2mF}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $p$ અને $F$ બંને વાહનો માટે અચળ હોવાથી,$S \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,ટ્રક દ્વારા કાપેલ અંતર $(S_T)$ અને કાર દ્વારા કાપેલ અંતર $(S_C)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{S_T}{S_C} = \frac{m_C}{m_T} = \frac{M/10}{M} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 10$ છે.

(B) $\text{શિરોલંબ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય } T = \frac{2u}{g} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે.}
\text{અહીં } T = 8 \,s \text{ અને } g = 10 \,m/s^2 \text{ આપેલ છે,તેથી } 8 = \frac{2u}{10},\text{જેનાથી પ્રારંભિક વેગ } u = 40 \,m/s \text{ મળે છે.}
\text{સમય } t = 6 \,s \text{ પછી પથ્થરનું સ્થાન } h \text{ એ ગતિના સમીકરણ } h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{કિંમતો મૂકતા: } h = (40 \times 6) - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2.
h = 240 - 5 \times 36.
h = 240 - 180 = 60 \,m.
\text{આમ, } 6 \,s \text{ પછી પથ્થરનું સ્થાન } 60 \,m \text{ છે।}$

(C) ધારો કે ટ્રક $v_t = 12 \,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે અને કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u_c = 0)$ $a_c = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે.
ધારો કે કારને ટ્રક સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
સમય $t$ માં, ટ્રક દ્વારા કાપેલું અંતર $s_t = v_t \times t = 12t$ છે.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_c = u_c t + \frac{1}{2} a_c t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ છે.
કાર ટ્રકને પસાર કરે તે માટે, બંને દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન હોવું જોઈએ: $s_c = s_t$.
તેથી, $t^2 = 12t$.
અહીં $t \neq 0$ હોવાથી, $t = 12 \,s$ મળે છે.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_c = t^2 = (12)^2 = 144 \,m$ થશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $2 \,s$ માટે,$S_1 = 200 \,m$:
$200 = u(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 \implies 200 = 2u + 2a \implies u + a = 100$ ...$(1)$
પ્રથમ $6 \,s$ માટે (પ્રથમ $2 \,s$ + પછીના $4 \,s$),કુલ અંતર $S_2 = 200 + 220 = 420 \,m$:
$420 = u(6) + \frac{1}{2}a(6)^2 \implies 420 = 6u + 18a \implies u + 3a = 70$ ...$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(u + 3a) - (u + a) = 70 - 100 \implies 2a = -30 \implies a = -15 \,m/s^2$
સમીકરણ $(1)$ માં $a$ ની કિંમત મુકતા:
$u - 15 = 100 \implies u = 115 \,m/s$
$t = 7 \,s$ પછીનો વેગ $v = u + at$ દ્વારા મળે છે:
$v = 115 + (-15)(7) = 115 - 105 = 10 \,m/s$.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$.
ધારો કે ટ્રેનની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
જ્યારે એન્જિન ઝાડને પસાર કરે છે ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. જ્યારે છેલ્લો ડબ્બો ઝાડને પસાર કરે છે,ત્યારે ટ્રેને તેની લંબાઈ $L$ જેટલું અંતર કાપ્યું હોય છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v$ હોય છે.
તેથી,$v^2 - u^2 = 2aL$,જે આપણને $a = \frac{v^2 - u^2}{2L}$ આપે છે ....$(1)$
હવે,મધ્યમ ડબ્બાનો વિચાર કરો. તે એન્જિનથી $\frac{L}{2}$ અંતરે છે.
ધારો કે $v_m$ એ મધ્યમ ડબ્બાનો વેગ છે જ્યારે તે ઝાડને પસાર કરે છે.
$\frac{L}{2}$ અંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_m^2 - u^2 = 2a(\frac{L}{2}) = aL$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_m^2 = u^2 + (\frac{v^2 - u^2}{2L}) \times L$
$v_m^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{v^2 + u^2}{2}$
તેથી,$v_m = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$.

(B) કણનો વેગ $v = 4t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણ દ્વારા કપાયેલું અંતર $S$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$S = \int_{0}^{t} v \ dt$
$v$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$S = \int_{0}^{4} 4t \ dt$
$S = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$S = 2 \times [t^2]_{0}^{4}$
$S = 2 \times (4^2 - 0^2)$
$S = 2 \times 16 = 32 \ m$
વૈકલ્પિક રીતે,ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = 4t$ ને $v = 0 + at$ સાથે સરખાવતા પ્રવેગ $a = 4 \ m s^{-2}$ મળે છે.
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 0(4) + \frac{1}{2}(4)(4)^2 = 2 \times 16 = 32 \ m$.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ખૂણા $\theta$ માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
ખૂણા $(90^{\circ}-\theta)$ માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$H_1$ અને $H_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$H_1 H_2 = \left(\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\right) \left(\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}\right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $H_1 H_2 = \frac{(2u^2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{R^2}{16}$.
તેથી,$R^2 = 16 H_1 H_2$,જેનું સાદું રૂપ $R = 4 \sqrt{H_1 H_2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $2Y = 6t - gt^2$ અને $X = 4t$ છે.
પ્રથમ, શિરોલંબ સ્થાનાંતરના સમીકરણને સરળ બનાવતા: $Y = 3t - \frac{1}{2}gt^2$.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $V_x = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \,m/s$ છે.
શિરોલંબ વેગનો ઘટક $V_y = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - \frac{1}{2}gt^2) = 3 - gt$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષણે $t = 0$ પર, શિરોલંબ વેગ $V_{y0} = 3 - g(0) = 3 \,m/s$ થાય.
પ્રારંભિક વેગ $V_i$ એ $t = 0$ પર વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે: $V_i = \sqrt{V_x^2 + V_{y0}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$.

(C) પહોળાઈ ધરાવતી નદીને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{V \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તરવૈયા દ્વારા નદીના પ્રવાહને લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
સમય $t$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,છેદ $V \cos \theta$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta$ મહત્તમ હોય,જે $\theta = 0^{\circ}$ પર મળે છે.
તેથી,નદીને ઓછામાં ઓછા સમયમાં ઓળંગવા માટે તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરવું જોઈએ.

(D) બળ $\vec{F}$ દ્વારા $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતો પાવર $P$ એ બળ અને વેગ સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
આપેલ છે:
$\vec{v} = 7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k} \text{ m/s}$
$\vec{F} = 9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$P = (9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$P = (9 \times 7) + (3 \times 2) + (-3 \times -5)$
$P = 63 + 6 + 15$
$P = 84 \text{ W}$

(B) ફ્લાયવ્હીલનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ, $\omega_0 = 150 \text{ rev/minute}$.
તેને $\text{rad/s}$ માં ફેરવતા:
$\omega_0 = \frac{150 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 5\pi \text{ rad/s}$.
જ્યારે વ્હીલ સ્થિર થાય ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગ, $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
અચળ પ્રતિપ્રવેગ, $\alpha = -\pi \text{ rad/s}^2$ (ઋણ નિશાની ધીમા પડવાની સૂચક છે).
કોણીય ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$0 = 5\pi + (-\pi)t$.
$t = \frac{5\pi}{\pi} = 5 \text{ s}$.

(C) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 10 \,g = 10 \times 10^{-3} \,kg = 0.01 \,kg$.
દોરીની લંબાઈ (ત્રિજ્યા),$r = 0.4 \,m$.
પદાર્થની ઝડપ,$v = 6 \,m/s$.
સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિમાં,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે।
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $T = \frac{mv^2}{r}$ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{0.01 \times (6)^2}{0.4}$
$T = \frac{0.01 \times 36}{0.4}$
$T = \frac{0.36}{0.4} = 0.9 \,N$.
આમ,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $0.9 \,N$ છે।

(C) પદાર્થની ઝડપ $v = 20 \,m/s$ છે.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં, વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = v \hat{j}$ (ઉત્તર દિશા તરફ) છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી, પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે, તેથી અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ (દક્ષિણ દિશા તરફ) થશે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v}$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$
$\Delta \vec{v} = (-v \hat{j}) - (v \hat{j}) = -2v \hat{j}$
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય:
$|\Delta \vec{v}| = |-2v| = 2v$
$v = 20 \,m/s$ ની કિંમત મૂકતા:
$|\Delta \vec{v}| = 2 \times 20 = 40 \,m/s$.

(B) બે કોષો સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે બે કોષોના $EMF$ $E_1 = 12 \,V$ અને $E_2 = 6 \,V$ છે અને તેમના આંતરિક અવરોધો અનુક્રમે $r_1 = 3 \,\Omega$ અને $r_2 = 6 \,\Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ નું સૂત્ર વાપરતા:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = 10 \,V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = 2 \,\Omega$
બાહ્ય અવરોધ $R = 4 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{10}{4 + 2} = 1.67 \,A$.
પરંતુ,જો કોષો શ્રેણીમાં હોય તેમ ગણીએ તો $E_{net} = 12-6 = 6 \,V$ અને $R_{net} = 3+6+4 = 13 \,\Omega$ મળે,જેથી $I = 6/13 \approx 0.5 \,A$ થાય. તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(C) સમતુલ્ય emf,$E_{eq} = E + E = 2E$
સમતુલ્ય અવરોધ,$R_{eq} = r_1 + r_2 + R$
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ,$i = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$
પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - ir_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી:
$0 = E - ir_1$
$E = ir_1$
$i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$
$r_1 + r_2 + R = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(C) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 2 \, A$, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 3.4 \, V$, દળ $m = 8.92 \times 10^{-3} \, kg$, ઘનતા $d = 8.92 \times 10^3 \, kg/m^3$, અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega m$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, અવરોધ $R$:
$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \, \Omega$.
તારનું કદ $V_{ol}$:
$V_{ol} = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6} \, m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$. કારણ કે $V_{ol} = A \times L$, તેથી $A = \frac{V_{ol}}{L}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = \rho \frac{L}{(V_{ol}/L)} = \frac{\rho L^2}{V_{ol}}$.
$L^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$L^2 = \frac{R \times V_{ol}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
તેથી, તારની લંબાઈ $L = 10 \, m$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{L}{\sigma A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ વાહકતા છે.
બે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય છે.
સંયુક્ત તારની કુલ લંબાઈ $2L$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહે છે.
અવરોધ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A}$.
બંને બાજુથી $L$ અને $A$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$.
તેથી,અસરકારક વાહકતા $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્લેટ $A$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ છે। તો પ્લેટ $B$ ની બાજુની લંબાઈ $2L$ થશે।
બંને પ્લેટો $t$ જાડાઈની ચોરસ પ્લેટો હોવાથી, જેમાંથી પ્રવાહ વહે છે તે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{cs} = \text{બાજુ} \times t$ દ્વારા મળે છે।
પ્લેટ $A$ માટે: $L_A = L$ (પ્રવાહની દિશામાં લંબાઈ), $A_{cs,A} = L \times t$.
પ્લેટ $B$ માટે: $L_B = 2L$ (પ્રવાહની દિશામાં લંબાઈ), $A_{cs,B} = 2L \times t$.
અવરોધના સૂત્ર $R = \frac{\rho L}{A_{cs}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_A = \frac{\rho L}{Lt} = \frac{\rho}{t}$
$R_B = \frac{\rho (2L)}{(2L)t} = \frac{\rho}{t}$
તેથી, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1$.

(B) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. મૂળ અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ છે.
ધારો કે લંબાઈનો $x$ ભાગ $n = 1.5$ ના ગુણાંકથી ખેંચાય છે.
કુલ લંબાઈ $L_{total} = (1-x)L + xLn = L(1 - x + 1.5x) = L(1 + 0.5x)$.
આપેલ છે કે $L_{total} = 1.5L$,તેથી $1 + 0.5x = 1.5 \implies x = 1$.
અવરોધ માટે: $R_{total} = R_s + R_u = n^2(xR) + (1-x)R = 2.25xR + (1-x)R = R(1 + 1.25x)$.
$R_{total} = 4R$ માટે,$1 + 1.25x = 4 \implies 1.25x = 3 \implies x = 2.4$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{1}{8}$ છે.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L}{100-L}$ છે.
આપેલ છે કે $L = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
આ સૂચવે છે કે $R_2 = 4R_1$. તેથી $R_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $15 \ \Omega$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = R_1 + 15$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $L' = 40 \ cm$ છે.
ફરીથી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
સમીકરણમાં $R_2 = 4R_1$ મૂકતા: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(R_1 + 15) = 2(4R_1)$.
$3R_1 + 45 = 8R_1$.
$5R_1 = 45$,તેથી $R_1 = 9 \ \Omega$.

(C) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુઓ $A, B, C, D$ છે. આપણે $B$ અને $D$ વચ્ચેનો અવરોધ શોધવાનો છે.
અહીં,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ અને $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ થાય છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્યના $6 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપણે પરિપથમાંથી $6 \Omega$ ના અવરોધને દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે,પરિપથમાં સમાંતરમાં બે શાખાઓ છે: એક શાખામાં બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(3+3 = 6 \Omega)$ અને બીજી શાખામાં પણ બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(3+3 = 6 \Omega)$.
$B$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ બે $6 \Omega$ ની શાખાઓના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{6 \Omega \times 6 \Omega}{6 \Omega + 6 \Omega} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{mv}$.
આપેલ છે: $v_{A} = 3 v_{p}$ અને $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{3}{2}$.
સંબંધ $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} v_{A}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આપેલી કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} (3 v_{p})}$.
અંશ અને છેદમાંથી $v_{p}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p}}{3 m_{A}}$.
$m_{A}$ ને કર્તા બનાવતા:
$m_{A} = \frac{2}{9} m_{p}$.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $21 \%$ વધારવામાં આવે છે,તેથી નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V^{\prime}$ થશે:
$V^{\prime} = V + 0.21V = 1.21V$
ધારો કે નવી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime}$ છે. તો:
$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{V^{\prime}}} = \sqrt{\frac{V}{1.21V}} = \sqrt{\frac{1}{1.21}} = \frac{1}{1.1} = \frac{10}{11}$
તેથી,$\lambda^{\prime} = \frac{10}{11} \lambda$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h \nu = \phi + K.E._{max}$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m v^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{h}{m \lambda}$.
$v$ ની કિંમત ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{m \lambda} \right)^2$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{m^2 \lambda^2} \right)$
$h \nu = \phi + \frac{h^2}{2 m \lambda^2}$
બંને બાજુ $h$ વડે ભાગતા:
$\nu = \frac{\phi}{h} + \frac{h}{2 m \lambda^2}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\nu$ આવૃત્તિ માટે,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $E$ છે,તેથી:
$E = h\nu - \phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિ વધારીને $3\nu$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K'_{max}$ નીચે મુજબ થશે:
$K'_{max} = h(3\nu) - \phi = 3h\nu - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $h\nu$ ને $h\nu = E + \phi$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$K'_{max} = 3(E + \phi) - \phi$
$K'_{max} = 3E + 3\phi - \phi$
$K'_{max} = 3E + 2\phi$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
$K_{max} = \frac{P^2}{2m}$ હોવાથી,$\frac{P^2}{2m} = h\nu - h\nu_0$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\nu = 2v$ અને $\nu_0 = v$:
$\frac{P^2}{2m} = h(2v) - hv = hv$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,ધારો કે નવી આવૃત્તિ $\nu'$ છે અને નવું વેગમાન $2P$ છે:
$\frac{(2P)^2}{2m} = h\nu' - hv$
$\frac{4P^2}{2m} = h\nu' - hv$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{P^2}{2m}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$4(hv) = h\nu' - hv$
$4hv + hv = h\nu'$
$h\nu' = 5hv$
$\nu' = 5v$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$,
જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો ઘટાડો થાય,ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda - 0.5\lambda = 0.5\lambda = \frac{\lambda}{2}$ થાય.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $E' = 3E$ છે.
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $3E = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(C) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો એક ક્વોન્ટમ છે. સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,ફોટોનનું સ્થિર દળ $0$ હોય છે. ફોટોન શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ થી ગતિ કરે છે અને તેની પાસે ઉર્જા $E = h\nu$ અને વેગમાન $p = h/\lambda$ હોય છે,પરંતુ તેનું સ્થિર દળ હોતું નથી.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_s = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$V_s$ ને $\nu$ ના વિધેય તરીકે ગોઠવતા: $V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_s$ અને $x = \nu$,$X$-અક્ષ સાથેનો આલેખનો ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ મળે છે.
જો કે,પ્રશ્નમાં ઉલ્લેખ છે કે ખૂણો $\theta$ એ $Y$-અક્ષ સાથે બને છે. રેખા $y = mx + c$ માટે,ઢાળ $m = \tan(\alpha)$ છે જ્યાં $\alpha$ એ $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. $Y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $X$-અક્ષ સાથેના ખૂણા $\alpha$ સાથે $\theta = 90^\circ - \alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\tan \theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{h/e} = \frac{e}{h}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $f_1 = 3f$,$\phi = 2hf$,અને $v_1 = v$.
$\frac{1}{2}mv^2 = 3hf - 2hf = hf$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $f_2 = 4.25f$,$\phi = 2hf$,અને $v_2 = ?$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 4.25hf - 2hf = 2.25hf$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{2.25hf}{hf}$
$\frac{v_2^2}{v^2} = 2.25$
$v_2^2 = 2.25v^2$
$v_2 = \sqrt{2.25}v = 1.5v$.

(C) બામર શ્રેણીની $H_{\alpha}$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu_0 = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5Rc}{36}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે.
બામર શ્રેણીની $H_{\beta}$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3Rc}{16}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = h(\frac{3Rc}{16}) - h(\frac{5Rc}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{3}{16} - \frac{5}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{27 - 20}{144}) = \frac{7 Rhc}{144}$.

(D) સપાટી પર એકમ સમયમાં આપાત થતી ઉર્જા $U = I \times A$ છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા (ઉર્જા ફ્લક્સ) છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $I = 75 \times 10^4 \ W m^{-2}$,$A = 40 \ cm^2 = 40 \times 10^{-4} \ m^2$,અને $t = 1 \ s$.
જે સપાટી વિકિરણને સંપૂર્ણપણે શોષી લે છે,તેના માટે મળતું વેગમાન $p = \frac{U}{c} = \frac{I \times A \times t}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{75 \times 10^4 \times 40 \times 10^{-4} \times 1}{3 \times 10^8}$
$p = \frac{75 \times 40}{3 \times 10^8} = \frac{3000}{3 \times 10^8} = 1000 \times 10^{-8} = 10^{-5} \ kg m s^{-1}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$, અવરોધ $R = 2 \, \Omega$, સમય $t = 0.25 \, s$, પ્રેરિત emf $E = 3.8 \times 10^{-3} \, V$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times 10^{-5} \, T$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \, m^2$.
જ્યારે ગૂંચળું $180^{\circ}$ ફરે છે ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે। પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = B A \cos(0^{\circ}) = B A$ અને અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = B A \cos(180^{\circ}) = -B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -B A - B A = -2 B A$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|E| = N \frac{|\Delta \phi|}{t} = N \frac{2 B A}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $3.8 \times 10^{-3} = N \frac{2 \times (3 \times 10^{-5}) \times (0.01 \pi)}{0.25}$.
$3.8 \times 10^{-3} = N \frac{6 \times 10^{-7} \times 3.14}{0.25}$.
$3.8 \times 10^{-3} = N \times 7.536 \times 10^{-6}$.
$N = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{7.536 \times 10^{-6}} \approx 504$ આંટા.

(C) માત્ર ઇન્ડક્ટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટ માટે:
$I = I_0 \sin(\omega t)$
$V = V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = V_0 \cos(\omega t)$
તત્કાલીન પાવર $P = V \cdot I$
$P = (V_0 \cos(\omega t)) \cdot (I_0 \sin(\omega t))$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} \sin(2\omega t)$
પાવરની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે. કારણ કે $\omega = 2\pi f$,પાવરની આવૃત્તિ $f' = 2f$ થાય.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી તત્કાલીન પાવરની આવૃત્તિ $f' = 2 \times 50 \ Hz = 100 \ Hz$ થશે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon$ એ સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા, આપણને મળે છે $L = \frac{|\varepsilon|}{\frac{di}{dt}}$.
આપેલ છે: પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta i = 6 \,A - 2 \,A = 4 \,A$, સમયગાળો $\Delta t = 2 \,s$, અને ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon = 3 \,V$.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{4 \,A}{2 \,s} = 2 \,A/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{3 \,V}{2 \,A/s} = 1.5 \,H$.

(C) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઇમ્પિડન્સ છે。
આપેલ છે કે, $\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, જ્યાં $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે。
તેથી, $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{4}$ મળે છે。
$4R^2 = R^2 + X_L^2$.
$3R^2 = X_L^2$.
વર્ગમૂળ લેતા, $\sqrt{3}R = X_L$.
તેથી, અવરોધ અને રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{R}{X_L} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય。

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
જો પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારમાં મદદ કરતો હોત,તો તે શાશ્વત ગતિના યંત્ર તરફ દોરી જાત,જે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ ચુંબકને ખસેડવામાં કરવામાં આવેલ કાર્યનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે,જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,એક આંટામાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d \phi_{B}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળા માટે,ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $N \phi_{B}$ થાય છે.
તેથી,કુલ પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ કુલ ફ્લક્સ સાંકળણના ફેરફારના દર દ્વારા મળે છે:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (N \phi_{B}) = -N \frac{d \phi_{B}}{dt}$.

(A) ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સતત બંધ લૂપ બનાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
જ્યાં $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $d\vec{s}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.

(A) સમય $t$ પર ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega = 2 \pi v$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે。
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે。
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} [NBA \cos(\omega t)] = -NBA \frac{d}{dt} [\cos(\omega t)]$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $e = -NBA [-\omega \sin(\omega t)] = NBA \omega \sin(\omega t)$.
$\omega = 2 \pi v$ મૂકતા, આપણને $e = NBA(2 \pi v) \sin(2 \pi v t)$ મળે છે.

(D) $AC$ જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. તે ટર્બાઇન અથવા એન્જિન દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી યાંત્રિક ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને ફેરવે છે. આ પરિભ્રમણ કોઈલ સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે,જેનાથી વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે અને વિદ્યુત પ્રવાહ મળે છે. તેથી,તે યાંત્રિક ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.

(A) ભૌતિક રીતે,આત્મ-પ્રેરકત્વ એ વિદ્યુત પરિપથમાં જડત્વની ભૂમિકા ભજવે છે.
તે યાંત્રિકીમાં દળનું વિદ્યુતચુંબકીય સમકક્ષ છે.
જેમ દળ પદાર્થની ગતિની અવસ્થામાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,તેમ આત્મ-પ્રેરકત્વ પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,પ્રવાહને સ્થાપિત કરવા અથવા બદલવા માટે પ્રેરિત બેક ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઈડના એક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ છે.
$l$ લંબાઈના સોલેનોઈડમાં કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \cdot l$ છે.
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ (magnetic flux linkage) $\Phi = N \cdot \phi = (nl) \cdot (\mu_0 n I A) = \mu_0 n^2 I A l$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\Phi}{I}$ હોવાથી,$L = \mu_0 n^2 A l$ મળે છે.

(B) બોલોમીટર એ એક એવું સાધન છે જે તાપમાન પર આધારિત વિદ્યુત અવરોધ ધરાવતી સામગ્રીને ગરમ કરીને આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની શક્તિ માપવા માટે વપરાય છે. તેનો ઉપયોગ ખાસ કરીને ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોને શોધવા માટે થાય છે.

(C) જ્યારે ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો બીમ ધાતુના લક્ષ્ય પર અથડાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનના અચાનક વેગમાં ઘટાડાને કારણે ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો ઉત્સર્જિત થાય છે,જેને $X$-રે તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
પરમિટિવિટી અને પરમીબિલિટીના ગુણાકારને શોધવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$
તેથી, સાચો સંબંધ $\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે અને એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,ઉર્જાના પ્રસરણની દિશા (પોઇન્ટિંગ સદિશ $\vec{S}$ ની દિશા) વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 36 \sqrt{\pi} \ V/m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \times (36 \sqrt{\pi})^2$
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 1296 \pi$
$U_{av} = \frac{1296}{144 \times 10^9} = 9 \times 10^{-9} \ J/m^3$.
નોંધ: જો આપણે $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,તો જવાબ $18 \times 10^{-9} \ J/m^3$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) પ્રકાશના તરંગની આવૃત્તિ તેના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે, પરંતુ તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
તેથી, $1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશના કિરણની આવૃત્તિ તેની શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં રહેલી આવૃત્તિ જેટલી જ રહેશે, જે $6 \times 10^{14} \,Hz$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો અનુસાર,$f$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરતો વિદ્યુતભાર તે જ આવૃત્તિ $f$ ના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $750 kHz$ ની આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,તેથી ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ પણ $750 kHz$ હશે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_o$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_o$ ના મૂલ્યો વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_o = c B_o$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$c = \frac{E_o}{B_o}$.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{E_o}{B_o} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$E_o \sqrt{\varepsilon_0} = \frac{B_o}{\sqrt{\mu_0}}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ એ સાચો સંબંધ છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $\overrightarrow{F} = \frac{K q_1 q_2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q_1 = -e$ છે અને હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) નો વિદ્યુતભાર $q_2 = +e$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{F} = \frac{K (-e)(e)}{r^3} \overrightarrow{r} = -\frac{K e^2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
આમ,બળ ન્યુક્લિયસની દિશામાં (આકર્ષી પ્રકારનું) લાગે છે.

(C) વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ પદાર્થ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $e$ (જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$) નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,$Q = ne$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $n = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2$ (પૂર્ણાંક).
વિકલ્પ $B$ માટે: $n = \frac{6.4 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4$ (પૂર્ણાંક).
વિકલ્પ $C$ માટે: $n = \frac{9.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} = 0.6$ (પૂર્ણાંક નથી).
વિકલ્પ $D$ માટે: $n = \frac{9.6 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 60$ (પૂર્ણાંક).
આમ,$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $9.6 \times 10^{-20} \ C$ જેટલો વિદ્યુતભાર અસ્તિત્વ ધરાવી શકે નહીં.

(B) બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ પરની ડાયપોલ $+x$-દિશામાં $(\theta_A = 0^{\circ})$ અને $B$ પરની ડાયપોલ $+y$-દિશામાં $(\theta_B = 90^{\circ})$ ગોઠવાયેલી છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા: $U_i = (-pE \cos 0^{\circ}) + (-pE \cos 90^{\circ}) = -pE + 0 = -pE$.
બંને ડાયપોલને ઘડિયાળની દિશામાં $90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી:
$A$ પરની ડાયપોલ (શરૂઆતમાં $0^{\circ}$ પર) $-90^{\circ}$ (અથવા $270^{\circ}$) પર ફરે છે.
$B$ પરની ડાયપોલ (શરૂઆતમાં $90^{\circ}$ પર) $0^{\circ}$ પર ફરે છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા: $U_f = (-pE \cos(-90^{\circ})) + (-pE \cos 0^{\circ}) = 0 - pE = -pE$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = (-pE) - (-pE) = 0$.

(A) અનંત રેખીય વીજભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $E = \frac{2k\lambda}{r}$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$ અને $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 0.02}{2 \times 9 \times 10^9}$.
$\lambda = \frac{1800}{18 \times 10^9} = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જે $Q$ થી $x$ અંતરે અને $4Q$ થી $(6-x)$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
અંતર $x$ એ $Q$ વિદ્યુતભારથી છે. પ્રશ્નમાં $4Q$ થી અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $(6-x)$ છે.
$4Q$ થી અંતર $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.

(B) આપેલ છે: ગોળાનો વ્યાસ $d = 2.4 \, m$.
ગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.2 \, m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 80.0 \, \mu C m^{-2} = 80 \times 10^{-6} \, C m^{-2}$.
ગોળાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા અને પૃષ્ઠફળ $A$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$Q = \sigma \times A = \sigma \times (4 \pi r^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2$.
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times 1.44$.
$Q \approx 1.4476 \times 10^{-3} \, C$.
નજીકની કિંમત લેતા, $Q \approx 1.45 \times 10^{-3} \, C$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} \ N C^{-1}$ છે.
ચોરસ ક્ષેત્રફળ $y-z$ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2 \ m) \times (2 \ m) = 4 \ m^2$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = 4 \hat{i} \ m^2$ થશે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (3 \times 4) \hat{i} \cdot \hat{i} + (5 \times 4) \hat{j} \cdot \hat{i}$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી:
$\phi = 12 \times 1 + 20 \times 0 = 12 \ N C^{-1} \ m^2$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને તે $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{i} \text{ N/C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બંધ સપાટી (સમઘન) માટે,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ગૌસના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\phi_{\text{net}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,એક બાજુમાંથી પ્રવેશતું ફ્લક્સ અને તેની સામેની બાજુમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે,પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
ખાસ કરીને,$x$-અક્ષને લંબ બે બાજુઓ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશો $\vec{A}_1 = -A \hat{i}$ અને $\vec{A}_2 = A \hat{i}$ છે.
આ બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = -EA$ અને $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = EA$ છે.
બાકીની ચાર બાજુઓ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશો વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ છે $(\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0)$,તેથી તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $0$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 + 0 + 0 + 0 + 0 = -EA + EA = 0$ થાય છે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
$\overrightarrow{E} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$
$\overrightarrow{A} = 10 \hat{i} \text{ m}^2$
સૂત્ર $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ હોવાથી:
$\phi = (2 \times 10) \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1} = 20 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_{0}$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
અહીં આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર એકમ ધન વિદ્યુતભાર છે,તેથી $q = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{1}{\varepsilon_{0}} = \left(\varepsilon_{0}\right)^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે સ્વીચ બંધ કર્યા પછી અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. અંદરનું કવચ અર્થિંગ (ground) કરેલું હોવાથી તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના કવચ પર તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q$ અને $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના કવચ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે સ્થિતિમાન:
$V_{\text{inner}} = \frac{Kq}{R} + \frac{KQ}{2R} = 0$
$q$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{Kq}{R} = -\frac{KQ}{2R}$
$q = -\frac{Q}{2}$
આમ,અંદરના કવચનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે,તેથી વિધાન $(a)$ સાચું છે.
અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $-\frac{Q}{2}$ છે,તેથી વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
તેથી,$(a)$ સાચું છે અને $(b)$ ખોટું છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,જેમ આપણે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ વધીએ છીએ તેમ વિદ્યુતસ્થિતિમાન ઘટે છે.
કારણ કે $BC$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ને સમાંતર છે અને બિંદુ $C$ એ બિંદુ $B$ કરતા ક્ષેત્રની દિશામાં આગળ છે,તેથી $V_B > V_C$ મળે.
વળી,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાને લંબ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ રહે છે.
કારણ કે $AB$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ને લંબ છે,તેથી $A$ પરનું સ્થિતિમાન $B$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય,એટલે કે $V_A = V_B$.
આ બંને પરિણામોને જોડતા,આપણને $V_A = V_B > V_C$ મળે છે.