AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે: પથ્થરનું દળ, $m = 2 \,kg$.
દોરીની લંબાઈ (ત્રિજ્યા), $r = 2 \,m$.
મહત્તમ તણાવ, $T_{\max} = 64 \,N$.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ દ્વારા મળે છે: $T_{\max} = \frac{m v_{\max}^2}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $64 = \frac{2 \times v_{\max}^2}{2}$.
$v_{\max}$ માટે ઉકેલતા: $v_{\max}^2 = 64$, તેથી $v_{\max} = 8 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = r \omega$, જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ અને $f$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
તેથી, $v_{\max} = r (2 \pi f) \implies 8 = 2 \times 2 \pi f$.
$4 \pi f = 8 \implies f = \frac{2}{\pi}$ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણની સંખ્યા $(N)$ શોધવા માટે, આપણે આવૃત્તિને $60$ વડે ગુણીએ છીએ: $N = f \times 60 = \frac{2}{\pi} \times 60 = \frac{120}{\pi}$.
આમ, પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણની મહત્તમ સંખ્યા $\frac{120}{\pi}$ છે.

(D) આપેલ છે: કારનો વેગ, $v = 30 \,ms^{-1}$. વર્તુળાકાર રસ્તાની ત્રિજ્યા, $r = 300 \,m$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ, $a_t = 4 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ ની ગણતરી $a_c = \frac{v^2}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીએ.
$a_c = \frac{30^2}{300} = \frac{900}{300} = 3 \,ms^{-2}$.
કુલ પ્રવેગ $(a)$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે, જે એકબીજાને લંબ હોય છે.
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-2}$.

(A) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,$t$ સમયે કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર છે અને $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,$A_1 = A_0 e^{-2b} \implies \frac{A_1}{A_0} = e^{-2b}$.
$t = 4 \ s$ સમયે,$A_2 = A_0 e^{-4b} \implies \frac{A_2}{A_0} = e^{-4b}$.
આપણે $e^{-4b} = (e^{-2b})^2$ લખી શકીએ છીએ.
$e^{-2b}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{A_2}{A_0} = \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2$.
$\frac{A_2}{A_0} = \frac{A_1^2}{A_0^2}$.
$A_2 = \frac{A_1^2}{A_0}$.
$A_1^2 = A_0 A_2 \implies A_1 = \sqrt{A_0 A_2}$.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t$ સમયે $A(t) = 0.25 A_0 = \frac{A_0}{4}$,તેથી:
$\frac{A_0}{4} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}} \implies \frac{1}{4} = e^{-\frac{bt}{2m}} \implies 4 = e^{\frac{bt}{2m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(4) = \frac{bt}{2m} \implies 2\ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{4m \ln(2)}{b} \quad ... (1)$
ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-\frac{bt}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t'$ સમયે $E(t') = 0.5 E_0 = \frac{E_0}{2}$,તેથી:
$\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-\frac{bt'}{m}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\frac{bt'}{m}} \implies 2 = e^{\frac{bt'}{m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(2) = \frac{bt'}{m} \implies t' = \frac{m \ln(2)}{b} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{t'}{t} = \frac{m \ln(2) / b}{4m \ln(2) / b} = \frac{1}{4} \implies t' = \frac{t}{4}$.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,$E = E_0/2$.
તેથી,$E_0/2 = E_0 e^{-4b/m} \Rightarrow e^{-4b/m} = 1/2 \Rightarrow e^{4b/m} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$4b/m = \ln 2$,તેથી $b/m = (\ln 2)/4$.
સમય $T = 4 + t$ પર,ઉર્જા $12.5 \% E_0 = (1/8) E_0$ છે.
તેથી,$E_0/8 = E_0 e^{-b(4+t)/m} \Rightarrow e^{-b(4+t)/m} = 1/8 \Rightarrow e^{b(4+t)/m} = 8 = 2^3$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$b(4+t)/m = 3 \ln 2$.
$b/m = (\ln 2)/4$ મૂકતા,આપણને $[(\ln 2)/4] \times (4+t) = 3 \ln 2$ મળે છે.
$\ln 2$ વડે ભાગતા,$(4+t)/4 = 3 \Rightarrow 4+t = 12 \Rightarrow t = 8 \ s$ મળે છે.

(C) ડૅમ્પિંગ ફોર્સ $F_d$ એ સંબંધ $F_d = -bv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ ડૅમ્પિંગ અચળાંક છે અને $v$ એ ઓસિલેટરનો વેગ છે.
ઋણ નિશાનીને કારણે,ડૅમ્પિંગ ફોર્સ હંમેશા પદાર્થના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,એવું વિધાન કે ડૅમ્પિંગ ફોર્સ વેગની દિશામાં કાર્ય કરે છે તે ખોટું છે.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = e^{-0.1 t} \cos(10 \pi t + \varphi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-0.1 t}$ મળે છે,જ્યાં $A_0 = 1$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થાય,એટલે કે $A(t) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમતને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-0.1 t}$.
બંને બાજુ $A_0$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} = e^{-0.1 t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(0.5) = -0.1 t$.
કારણ કે $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,તેથી: $-0.693 = -0.1 t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \ s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$t \approx 7 \ s$ મળે છે.

(D) બ્લોકનું વજન $W = mg = 20 \,N$ છે. આપેલ છે કે $g = 10 \,ms^{-2}$, તેથી બ્લોકનું દળ $m = \frac{20}{10} = 2 \,kg$ થાય.
લીસા ઢળતા સમતલ પરના બ્લોક-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે, ગુરુત્વાકર્ષણનો સમતલની દિશામાંનો ઘટક માત્ર સંતુલન સ્થિતિને બદલે છે અને તે દોલનોની આવૃત્તિ કે આવર્તકાળને અસર કરતું નથી.
દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K = 8 \pi^2 \,Nm^{-1}$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
$\omega = \sqrt{\frac{8 \pi^2}{2}} = \sqrt{4 \pi^2} = 2 \pi \,rad/s$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1 \,s$ મળે છે.
તેથી, દોલનોનો આવર્તકાળ $1 \,s$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 8 \,kg$ અને સ્થાનાંતર $x = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
હૂકના નિયમ મુજબ, $mg = kx$, તેથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{8 \times 10}{0.2} = 400 \,N/m$.
સ્પ્રિંગ પર દોલન કરતા $M$ દળ માટે, આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ છે.
આપેલ $T = \frac{\pi}{5} \,s$ હોવાથી, $\frac{\pi}{5} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{400}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા, $\frac{1}{5} = 2 \sqrt{\frac{M}{400}} = 2 \frac{\sqrt{M}}{20} = \frac{\sqrt{M}}{10}$.
તેથી, $\sqrt{M} = \frac{10}{5} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $M = 4 \,kg$ મળે છે.

(C) જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગ સાથે લટકે છે,ત્યારે નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$Mg = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્પ્રિંગમાં થયેલું વિસ્તરણ છે.
તેથી,વિસ્તરણ $x = \frac{Mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{k}{M}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = M\omega^2$.
$k$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{Mg}{M\omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$.
આમ,જ્યારે બ્લોકને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $\frac{g}{\omega^2}$ જેટલી ટૂંકી થાય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 3 \,kg$, કંપવિસ્તાર $A = \frac{2}{\pi} \,m$, મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K_{max} = 6 \,J$.
મધ્યમાન સ્થાન પર, ગતિઊર્જા એ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે: $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 6 \,J$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા, આપણને મળે છે: $\frac{1}{2} m (\frac{2\pi}{T})^2 A^2 = 6$.
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times (\frac{2}{\pi})^2 = 6$.
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times \frac{4}{\pi^2} = 6$.
$6 \times \frac{4}{T^2} = 6$.
$T^2 = 4$, જેનો અર્થ છે કે $T = 2 \,s$.

(D) ગતિનું સમીકરણ $x=3 \sin \left(6 t+\frac{\pi}{6}\right)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A=3 \ m$ છે.
$t=0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x=3 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \ m$ થાય.
સ્થિતિ ઊર્જા $V = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{V}{K} = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{x^2}{A^2 - x^2}$ થાય.
કિંમતો $x=1.5$ અને $A=3$ મૂકતા:
$\frac{V}{K} = \frac{(1.5)^2}{3^2 - (1.5)^2} = \frac{2.25}{9 - 2.25} = \frac{2.25}{6.75} = \frac{1}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) આપેલ બળનું સમીકરણ $F = -75 y$ છે। તેને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -ky$ સાથે સરખાવતા, બળ અચળાંક $k = 75 \,N/m$ મળે છે।
આપેલ દળ $m = 3 \,kg$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાને વેગ એ મહત્તમ વેગ $V_{\max} = 2.5 \,m/s$ છે.
$V_{\max} = A\omega$ હોવાથી, કંપવિસ્તાર $A = \frac{V_{\max}}{\omega} = \frac{2.5}{5} = 0.5 \,m$ મળે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $a_{\max} = (5)^2 \times 0.5 = 25 \times 0.5 = 12.5 \,m/s^2$ થાય.

(B) જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ પર બાહ્ય આવર્તક બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રણોદિત દોલનો અનુભવે છે.
આ પ્રણોદિત દોલનોનો કંપવિસ્તાર બાહ્ય બળની આવૃત્તિ $\omega_d$ અને સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ જેમ બાહ્ય આવૃત્તિ $\omega_d$ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ દોલનોનો કંપવિસ્તાર વધે છે.
જ્યારે $\omega_d = \omega$ થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં પહોંચે છે,જ્યાં દોલનોનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે.
તેથી,મહત્તમ કંપવિસ્તાર માટેની શરત $\omega_d = \omega$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનેથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\omega = \frac{\pi}{4} \text{ rad s}^{-1}$ આપેલ છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે સ્થાનાંતર $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે સ્થાનાંતર $y_2 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$.
પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = y_1 = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
બીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = y_2 - y_1 = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{2}+1): 1$ છે.

(D) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાને પસાર કરે છે,ત્યારે $x_1 = x_2 = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કણ $1$ માટે,જે મધ્યમાન સ્થિતિથી દૂર જઈ રહ્યો છે,$\sin(\omega t + \phi_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે કળા $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
કણ $2$ માટે,જે સમાન સ્થાનાંતરે મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ આવી રહ્યો છે,$\sin(\omega t + \phi_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,તેની કળા બીજા ચરણમાં હોવી જોઈએ,તેથી $\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\theta_2 - \theta_1| = |\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
ડિગ્રીમાં ફેરવતા,$\frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $4 \frac{d^2 y}{dt^2} + \pi^2 y = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\pi^2}{4} y = 0$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\omega^2 = \frac{\pi^2}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ s$ મળે છે.

(C) કણ માટે અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(x=A/2)$ સુધી જવા માટે:
$x = A \cos(\omega t_1) \implies A/2 = A \cos(\omega t_1) \implies \cos(\omega t_1) = 1/2$.
આથી,$\omega t_1 = \pi/3$,જે $t_1 = \pi / (3\omega)$ આપે છે.
કણ માટે મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(x=A/2)$ સુધી જવા માટે:
$x = A \sin(\omega t_2) \implies A/2 = A \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = 1/2$.
આથી,$\omega t_2 = \pi/6$,જે $t_2 = \pi / (6\omega)$ આપે છે.
બંને સમયની સરખામણી કરતા: $t_1 / t_2 = (\pi / 3\omega) / (\pi / 6\omega) = 6/3 = 2$.
તેથી,$t_1 = 2 t_2$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g / (1 + \frac{h}{R})^2}} = T(1 + \frac{h}{R})$ મળે છે.
આપેલ છે કે $T' = 2T$, તેથી $2T = T(1 + \frac{h}{R})$.
$2 = 1 + \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{h}{R} = 1$.
તેથી, $h = R = 6400 \text{ km}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, ઢાળ $\theta = \sin^{-1}(3/5)$, તેથી $\sin \theta = 3/5$ અને $\cos \theta = 4/5$. અંતર $s = 80 \,cm = 0.8 \,m$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 420 \,J kg^{-1} K^{-1}$. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
બ્લોક અચળ ઝડપે સરકતો હોવાથી, ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું હોય છે। ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_f = f_k \cdot s$, જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$. ઝડપ અચળ હોવાથી, $mg \sin \theta = f_k$.
તેથી, ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા $Q = W_f = (mg \sin \theta) \cdot s$.
ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્માને શોષાયેલી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $Q = mc \Delta T$.
$mc \Delta T = (mg \sin \theta) s$.
$\Delta T = \frac{g \sin \theta \cdot s}{c} = \frac{10 \times (3/5) \times 0.8}{420}$.
$\Delta T = \frac{10 \times 0.6 \times 0.8}{420} = \frac{4.8}{420} \approx 0.0114^{\circ} C$.

(C) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે,પદાર્થના જથ્થા કે દળ પર નહીં.
અહીં પદાર્થ કોપર જ રહે છે,તેથી દળમાં ફેરફાર કરવા છતાં તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અચળ રહેશે.
તેથી,જો દળ બમણું કરવામાં આવે,તો પણ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ જ રહેશે.

(B) પ્રમાણભૂત ફેઝ ડાયાગ્રામ (દબાણ વિરુદ્ધ તાપમાન) માં:
$1$. ઘન અને પ્રવાહી અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ ફ્યુઝન (ગલન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$AO$ ઘન અને પ્રવાહી પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $AO$ એ ફ્યુઝન વક્ર છે.
$2$. ઘન અને બાષ્પ અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ સબ્લિમેશન (ઉર્ધ્વપાતન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$BO$ ઘન અને બાષ્પ પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $BO$ એ સબ્લિમેશન વક્ર છે.
$3$. પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ વેપોરાઈઝેશન (બાષ્પીભવન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$CO$ પ્રવાહી અને બાષ્પ પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $CO$ એ વેપોરાઈઝેશન વક્ર છે.
તેથી,$AO =$ ફ્યુઝન વક્ર,$BO =$ સબ્લિમેશન વક્ર,અને $CO =$ વેપોરાઈઝેશન વક્ર.

(C) ઉછળતી વખતે દડા દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા એ બે ઊંચાઈઓ પરની સ્થિતિ ઉર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે।
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta E = mg(h_1 - h_2)$.
આપેલ છે: $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, $h_1 = 20 \,m$, $h_2 = 10.8 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $c = 460 \,Jkg^{-1} K^{-1}$.
ધારો કે ગુમાવેલી ઉર્જા દડા દ્વારા શોષાય છે, તેથી $\Delta E = mc \Delta T$.
બંનેને સરખાવતા: $mg(h_1 - h_2) = mc \Delta T$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $g(h_1 - h_2) = c \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times (20 - 10.8) = 460 \times \Delta T$.
$10 \times 9.2 = 460 \times \Delta T$.
$92 = 460 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{92}{460} = 0.2^{\circ} C$.

(D) આપેલ છે: પાણીનું દળ,$m = 2 \,kg$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 10^{\circ} C$
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા,$c = 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$
મુક્ત થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$Q = m c \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 2 \,kg \times 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times 10 \,K$
$Q = 84000 \,J$

(B) પગલું $1$: $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી બરફને લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 50 \times 0.5 \times 10 = 250 \,cal$.
પગલું $2$: $0^{\circ} C$ પર $50 \,g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_i L_f = 50 \times 80 = 4000 \,cal$.
બરફને $0^{\circ} C$ પર પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q_{total} = 250 + 4000 = 4250 \,cal$.
પગલું $3$: $30^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડા થતા $200 \,g$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{release} = m_w c_w \Delta T = 200 \times 1 \times 30 = 6000 \,cal$.
અહીં $Q_{release} > Q_{total}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને અંતિમ તાપમાન $T_f$ એ $0^{\circ} C$ થી વધુ હશે.
પગલું $4$: કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$200 \times 1 \times (30 - T_f) = 4250 + 50 \times 1 \times (T_f - 0)$.
$6000 - 200 T_f = 4250 + 50 T_f$.
$1750 = 250 T_f$.
$T_f = 7^{\circ} C$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $E$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E = \sigma T^4$
આપેલ છે કે અંતિમ ઉત્સર્જકતા $E_2$ એ પ્રારંભિક ઉત્સર્જકતા $E_1$ કરતા $16$ ગણી છે:
$E_2 = 16 E_1$
ગુણોત્તરમાં સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$16 = \left( \frac{T_2}{T} \right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$\sqrt[4]{16} = \frac{T_2}{T}$
$2 = \frac{T_2}{T}$
$T_2 = 2 \,T$

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જનની મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ એ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જે $\lambda_m T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
જેમ જેમ લોખંડના સળિયાનું તાપમાન વધે છે, તેમ ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ ઘટે છે.
શરૂઆતમાં, નીચા તાપમાને, ઉત્સર્જિત વિકિરણ દ્રશ્ય વર્ણપટના લાલ ભાગમાં હોય છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધુ વધે છે, તેમ મહત્તમ તરંગલંબાઇ ટૂંકી તરંગલંબાઇઓ (પીળો, પછી વાદળી અને અંતે સફેદ) તરફ ખસે છે, જે તમામ દ્રશ્ય તરંગલંબાઇઓનું મિશ્રણ છે.
આમ, રંગમાં થતો ફેરફાર વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

(D) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને સળિયાની લંબાઈ $L_0$ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તાપમાન $T$ પર લંબાઈનું સૂત્ર $L_T = L_0(1 + \alpha T)$ છે.
$10^{\circ} C$ તાપમાને લંબાઈ: $L_{10} = L_0(1 + 10\alpha)$.
$40^{\circ} C$ તાપમાને લંબાઈ: $L_{40} = L_0(1 + 40\alpha)$.
આપેલ છે કે $L_{40} - L_{10} = 0.05 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $L_0(1 + 40\alpha) - L_0(1 + 10\alpha) = 0.05$.
$L_0(40\alpha - 10\alpha) = 0.05$.
$30 L_0 \alpha = 0.05$.
$L_0 = \frac{0.05}{30 \alpha}$.
$\alpha = 1.5 \times 10^{-5} \ {}^{\circ} C^{-1}$ કિંમત મૂકતા:
$L_0 = \frac{0.05}{30 \times 1.5 \times 10^{-5}} = \frac{0.05}{45 \times 10^{-5}} = \frac{5000}{45} \approx 111.1 \ cm$.

(A) ધારો કે $27^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલની પટ્ટીની લંબાઈ $L_0 = 300 \,cm$ છે।
$50^{\circ} C$ તાપમાને, પટ્ટીની લંબાઈ $L_T = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે।
અહીં, $\Delta T = 50^{\circ} C - 27^{\circ} C = 23^{\circ} C$.
$L_T = 300(1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 23) = 300(1 + 0.000276) = 300.0828 \,cm$.
સળિયાની માપેલ લંબાઈ $L_m = 110 \,cm$ છે।
સાચી લંબાઈ $L_a$ એ $L_a = L_m \times \frac{L_T}{L_0}$ દ્વારા મળે છે।
$L_a = 110 \times \frac{300.0828}{300} = 110 \times (1 + 0.000276) = 110 + 0.03036 = 110.03036 \,cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, સાચી લંબાઈ $110.03 \,cm$ મળે છે।

(A) આપેલ છે: અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા, $Q_P = 210 \,J$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_P = n C_P \Delta T = 210 \,J$.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા, $n (\frac{7}{2}R) \Delta T = 210$ મળે.
તેથી, $n R \Delta T = 210 \times \frac{2}{7} = 60 \,J$.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $W = 60 \,J$.

(A) એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે.
$C_p = \frac{5}{2}R$ અને $C_v = \frac{3}{2}R$.
અચળ દબાણે પૂરી પાડવામાં આવતી કુલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $\Delta U = n C_v \Delta T = \frac{3}{2} nR \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માની ટકાવારી $= \frac{\Delta U}{Q} \times 100 = \frac{\frac{3}{2} nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 60\%$.
બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે વપરાતી ઉષ્માની ટકાવારી $= \frac{W}{Q} \times 100 = \frac{nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 40\%$.
આમ,ટકાવારી અનુક્રમે $40\%$ અને $60\%$ છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે અને $\Delta W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
ધારો કે આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર $\Delta U_{total} = \Delta U_a + \Delta U_b + \Delta U_c = -20 \,J$ છે.
સમતાપી તબક્કાઓ $(a)$ અને $(c)$ માટે,$\Delta U_a = 0$ અને $\Delta U_c = 0$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર સમોષ્મી તબક્કા $(b)$ ને કારણે છે: $\Delta U_b = -20 \,J$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U_b = -W$ હોવાથી,આપણને $-W = -20 \,J$ મળે છે.
આમ,$W = 20 \,J$.

(B) મોલની સંખ્યા,$n = 3$.
પ્રારંભિક કદ,$V_i = V$.
અંતિમ કદ,$V_f = 3V$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
અચળ દબાણે,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{T} = \frac{3V}{T_2}$,જે $T_2 = 3T$ આપે છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_2 - T_1 = 3T - T = 2T$.
હવે,આ કિંમતોને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = 3 \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (2T) = \frac{6RT}{\gamma - 1}$.

(B) પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા,$U_i = 80 cal = 80 \times 4.2 J = 336 J$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય,$W = -18 cal = -18 \times 4.2 J = -75.6 J$ (તંત્ર પર થતું કાર્ય $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ઋણ લેવાય છે).
વાયુ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા,$Q = -42 J$ (મુક્ત થતી ઉષ્મા ઋણ લેવાય છે).
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$-42 = (U_f - 336) + (-75.6)$.
$-42 = U_f - 336 - 75.6$.
$-42 = U_f - 411.6$.
$U_f = 411.6 - 42 = 369.6 J$.

(C) સિંકનું તાપમાન, $T_2 = 300 \,K$. એન્જિનની કાર્યક્ષમતા, $\eta_1 = 0.25$.
કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \,K$.
જ્યારે સોર્સનું તાપમાન $100 \,K$ વધારવામાં આવે, ત્યારે નવું સોર્સ તાપમાન $T_1' = 400 + 100 = 500 \,K$ થાય.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{T_1'} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.40$.
કાર્યક્ષમતામાં વધારો $\Delta\eta = \eta_2 - \eta_1 = 0.40 - 0.25 = 0.15$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનમાં,સિંકને થર્મલ એનર્જી રિઝર્વોયર (ઉષ્માના સંગ્રાહક) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. થર્મલ રિઝર્વોયર એ અનંત ઉષ્મા ધારિતા ધરાવતી સિસ્ટમ છે,જેનો અર્થ છે કે તે તેના તાપમાનમાં ફેરફાર કર્યા વિના કોઈપણ માત્રામાં ઉષ્મા શોષી શકે છે અથવા મુક્ત કરી શકે છે. તેથી,જેમ વાયુ સિંકને ઉષ્મા ઉર્જા આપે છે,તેમ સિંકનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન એક આદર્શ પ્રતિવર્તી ચક્ર પર કાર્ય કરે છે. સ્ત્રોતને અનંત ઉષ્મા ધારિતા ધરાવતા થર્મલ રિઝર્વોયર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,જ્યારે કાર્યકારી પદાર્થ (વાયુ) સમતાપી વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે $(T_1 > T_2)$.
જ્યારે બંને તાપમાનમાં $100 \ K$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,ત્યારે નવા તાપમાન $T_1' = T_1 - 100$ અને $T_2' = T_2 - 100$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2 - 100}{T_1 - 100} = \frac{(T_1 - 100) - (T_2 - 100)}{T_1 - 100} = \frac{T_1 - T_2}{T_1 - 100}$ છે.
કારણ કે $T_1 - 100 < T_1$,નવી કાર્યક્ષમતાનો છેદ મૂળ કાર્યક્ષમતા કરતા નાનો છે,જ્યારે અંશ સમાન રહે છે.
તેથી,$\eta_2 > \eta_1$,જેનો અર્થ છે કે એન્જિનની કાર્યક્ષમતા વધે છે.

(D) અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર $Q = n C_v \Delta T$ છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
અહીં $n_1 = 2 \text{ mol}$,$\Delta T_1 = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10 \text{ K}$ છે.
તેથી,$Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 10 = 30 R$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
અહીં $n_2 = 4 \text{ mol}$,$\Delta T_2 = 33^{\circ} C - 28^{\circ} C = 5 \text{ K}$ છે.
ધારો કે જરૂરી ઉષ્મા $Q'$ છે.
$Q' = n_2 C_v \Delta T_2 = 4 \times \frac{5}{2} R \times 5 = 50 R$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q'}{Q} = \frac{50 R}{30 R} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$Q' = \frac{5}{3} Q$.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P$,$V_1 = V$.
પગલું $1$: $V_2 = 27 V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{P \times V}{27 V} = \frac{P}{27}$.
પગલું $2$: $V_3 = V$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = \frac{5}{3}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^\gamma = \frac{P}{27} \left( \frac{27 V}{V} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times (27)^{5/3} = \frac{P}{27} \times (3^3)^{5/3} = \frac{P}{27} \times 3^5$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times 243 = 9 P$.
વાયુનું અંતિમ દબાણ $9 P$ છે.

(D) એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f=3$ છે।
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ થાય।
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે।
અહીં $T_1 = 630 \,K$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 27V$ આપેલ છે।
આ કિંમતો મૂકતા:
$630 \times V^{\frac{5}{3}-1} = T_2 \times (27V)^{\frac{5}{3}-1}$
$630 = T_2 \times (27)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times (3^3)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times 3^2$
$630 = T_2 \times 9$
$T_2 = \frac{630}{9} = 70 \,K$.

(C) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
$V_1$ થી $V_2$ સુધીના કદમાં ફેરફાર માટે,સંકલનનું મૂલ્ય મહત્તમ કરવા માટે સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન દબાણ $P$ શક્ય તેટલું ઊંચું હોવું જોઈએ.
સમદાબ પ્રક્રિયામાં,દબાણ તેના પ્રારંભિક મહત્તમ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.
સમતાપી અથવા એડિયાબેટિક જેવી અન્ય પ્રક્રિયાઓમાં,જેમ કદ વધે છે તેમ દબાણ ઘટે છે.
તેથી,$P-V$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમદાબ વિસ્તરણ માટે સૌથી મોટું હોય છે,જેના કારણે થતું કાર્ય મહત્તમ બને છે.

(D) આપેલ $P-V$ આકૃતિ પરથી,ચક્રીય પ્રક્રિયા એક લંબગોળ (ellipse) બનાવે છે.
$V$-અક્ષ પરની ધરીની લંબાઈ $2b = V_2 - V_1$ છે,તેથી $b = \frac{V_2 - V_1}{2}$.
$P$-અક્ષ પરની ધરીની લંબાઈ $2a = P_2 - P_1$ છે,તેથી $a = \frac{P_2 - P_1}{2}$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આકૃતિમાં લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi ab$.
તેથી,થયેલ કાર્ય = $\pi \times \left(\frac{P_2 - P_1}{2}\right) \times \left(\frac{V_2 - V_1}{2}\right) = \frac{\pi}{4}(P_2 - P_1)(V_2 - V_1)$.

(B) તંત્ર પર થયેલ કાર્ય,$W = 166.28 \ J$.
તાપમાનમાં વધારો,$\Delta T = 8^{\circ} C = 8 \ K$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \ mol$ અને $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $166.28 = \frac{1 \times 8.314 \times 8}{\gamma - 1}$.
$\gamma - 1 = \frac{66.512}{166.28} = 0.4$.
$\gamma = 1.4$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે હોય છે,તેથી વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,જેનો અર્થ છે કે $V = \frac{nRT}{P}$.
$V$ માટેના આ પદને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$.
અહીં $n$ અને $R$ અચળાંક હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{અચળ}$.
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ અને તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $(\Delta W)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \Delta U + \Delta W$
તેથી,$\Delta U = -\Delta W$.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(dQ = 0)$.
આદર્શ વાયુ માટે રિવર્સિબલ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $C_p/C_v$) છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે દબાણને $P = \frac{nRT}{V}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિયાબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
અહીં $nR$ અચળ હોવાથી,આપણને $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = (nR/V)T$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$ અને $x = T$ છે,આલેખનો ઢાળ $m = nR/V$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $m \propto 1/V$.
આપેલા આલેખ પરથી,$V_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ છે અને $V_4$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,$m_1 > m_2 > m_3 > m_4$.
જેમ કે $V \propto 1/m$,તેથી $V_1 < V_2 < V_3 < V_4$ થાય છે.

(D) વાયુનું દળ,$m = 20 \,g$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10^{\circ} C$.
અચળ કદ પર વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા,$C_{v} = 0.2 \,cal \,g^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$.
પ્રક્રિયા અચળ કદ પર થતી હોવાથી,કાર્ય $W = 0$ થશે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $W = 0$,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q = m C_{v} \Delta T$ થશે.
રૂપાંતરણ અચળાંક $1 \,cal = 4.2 \,J$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta U = 20 \,g \times 0.2 \,cal \,g^{-1} {}^{\circ} C^{-1} \times 10^{\circ} C \times 4.2 \,J/cal$.
$\Delta U = 40 \times 4.2 \,J = 168 \,J$.

(D) પ્રકાશની ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
આપેલ છે $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ ... $(1)$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે $g = 10 \,m/s^2$ ... $(2)$
સમયનો એકમ $[T]$ શોધવા માટે, આપણે ઝડપના પરિમાણને પ્રવેગના પરિમાણ વડે ભાગીશું:
$\frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-2}]} = [T]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$[T] = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \,s$
તેથી, આ પદ્ધતિમાં સમયનો એકમ $3 \times 10^7 \,s$ છે.

(B) વિદ્યુતભારીત પોલા ગોળા માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી $(q_{enclosed} = 0)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$E = -\frac{dV}{dr}$.
અહીં $E = 0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dV}{dr} = 0$,જે દર્શાવે છે કે ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $(V)$ અચળ રહે છે.
આ અચળ સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય ગોળાની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$.
આપેલ છે $V = \frac{1}{2} y^2 - 2x$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = y$
આ કિંમતોને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
બિંદુ $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ પર:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ Vm}^{-1}$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = k \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1 \text{ m}$ બાજુવાળા ત્રિકોણ માટે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i$:
$U_i = k \left[ \frac{1 \times 2}{1} + \frac{2 \times 3}{1} + \frac{3 \times 1}{1} \right] = k [2 + 6 + 3] = 11k$.
$r_2 = 0.5 \text{ m}$ બાજુવાળા ત્રિકોણ માટે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f$:
$U_f = k \left[ \frac{1 \times 2}{0.5} + \frac{2 \times 3}{0.5} + \frac{3 \times 1}{0.5} \right] = k [4 + 12 + 6] = 22k$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_f - U_i = 22k - 11k = 11k$.
અહીં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ લેતા,
$W = 11 \times 9 \times 10^9 = 99 \times 10^9 \text{ J}$.

(B) $+q$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A(+q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x}$ અને $-q$ ને કારણે $V_{A(-q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x+y}$ છે.
તેથી,$V_A = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x+y} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x} \right) = -V_A$.
તેથી,$V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A = 2 \times \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
અહીં $q = 10^{-6} \text{ C}$,$x = 0.02 \text{ m}$,$y = 0.03 \text{ m}$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ આપેલ છે.
$V_A - V_B = 2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \frac{0.03}{0.02(0.02+0.03)} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.02 \times 0.05} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.001} = 18 \times 10^3 \times 30 = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ. આ બધામાં,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ સૌથી શક્તિશાળી બળ છે,જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેથી,પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળ ન્યુક્લિયર બળ છે.

(D) ગોળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ માટે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો જમણા હાથની આંગળીઓને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં વાળવામાં આવે,તો અંગૂઠો લૂપની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.
જો ઉપરથી જોતા વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં વહેતો હોય,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉપરની તરફ (નિરીક્ષક તરફ) નિર્દેશ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળતી હોવાથી,લૂપની જે બાજુએ વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી દેખાય છે તે ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,જો વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી હોય તો લૂપની ઉપરની બાજુ ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.

(A) જ્યારે બે સમાંતર વાહકો સ્થાયી પ્રવાહ વહન કરે છે, ત્યારે દરેક વાહક તેની આસપાસની જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે, જે બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ આ પ્રવાહો બીજા વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ચુંબકીય બળનો અનુભવ કરે છે, જે લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ $(F = I \vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પ્રથમ વાહક દ્વારા બીજા વાહક પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે જે બીજા વાહક દ્વારા પ્રથમ વાહક પર લાગતા બળની વિરુદ્ધ હોય છે.
આમ, બાયો-સાવર્ટનો નિયમ અને લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમનું સંયોજન ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર સમાંતર વાહકો વચ્ચેની આંતરક્રિયાને સમજાવે છે.

(B) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું રેખા સંકલન,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\oint B \cdot dl = \mu_0 I$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $F$ એ હંમેશા $v$ અને $B$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ બંનેને લંબ હોય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = iB \sin \theta$.
અહીં,પ્રવાહ $i = 1 \,A$ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ વહે છે।
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ પણ દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે।
પ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે।
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ: $\frac{F}{l} = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin(0^\circ) = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times 0 = 0 \,N/m$.

(B) પ્રવાહ સંવેદિતા એટલે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતા એકમ વિદ્યુતપ્રવાહ દીઠ મળતું કોણાવર્તન.
તેનું સૂત્ર: $I_{S} = \frac{\theta}{I}$ છે.
જ્યાં $\theta$ એ કાપામાં કોણાવર્તન છે અને $I$ એ એમ્પીયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $\theta = 25 \ div$ અને $I = 0.1 \ A$.
તેથી,$I_{S} = \frac{25}{0.1} = 250 \ div/A$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે।
આપેલ છે:
$N = 30$
$r = 8 \,cm = 0.08 \,m$
$i = 6 \,A$
$B = 1.0 \,T$
$\theta = 20^{\circ}$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.08)^2 = 0.020096 \,m^2$
ટોર્કની ગણતરી:
$\tau = 30 \times 6 \times 0.020096 \times 1.0 \times \sin(20^{\circ})$
$\tau = 180 \times 0.020096 \times 0.342$
$\tau \approx 1.236 \,Nm$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો અને પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના દાખલાઓ મુજબ, જ્યાં $\theta$ સામાન્ય રીતે $30^{\circ}$ હોય છે, જો $\theta = 30^{\circ}$ લેવામાં આવે તો $\tau = 30 \times 6 \times 3.14 \times (0.08)^2 \times 1.0 \times 0.5 = 1.808 \,Nm$ મળે છે। વિકલ્પોને જોતા, અપેક્ષિત ખૂણો $30^{\circ}$ હોવો જોઈએ।

(B) જ્યારે પ્રવાહ ધરાવતા લવચીક વાયરના લૂપને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય બળોનો અનુભવ કરે છે જે લૂપને વિસ્તૃત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સને મહત્તમ કરવા માટે,લૂપ આપેલ પરિમિતિ માટે શક્ય તેટલું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આવરી લેવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ભૌમિતિક સિદ્ધાંતો મુજબ,નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે,વર્તુળ સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે.
તેથી,લૂપ તેનો આકાર બદલીને વર્તુળાકાર બનાવે છે,જેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ,$m = 0.4 \,Am^2$
અંતર,$r = 50 \,cm = 0.5 \,m$
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકના અક્ષીય ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્ય માટેનું સૂત્ર:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2m}{r^3} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{axial}} = (10^{-7}) \times \frac{2 \times 0.4}{(0.5)^3}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times \frac{0.8}{0.125}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times 6.4 = 6.4 \times 10^{-7} \,T$

(A) $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે:
$1$. અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{A} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2m}{r^{3}}$
$2$. વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{E} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}}$
$3$. બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B_{A} = 2 \times \left( \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}} \right) = 2 B_{E}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $B_{A} = 2 B_{E}$ છે.

(D) સોલેનોઇડનું મેગ્નેટાઇઝિંગ ફિલ્ડ (અથવા ચુંબકીય તીવ્રતા) $H$ એ સૂત્ર $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 500 \,m^{-1}$
$I = 4 \,A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 500 \times 4 = 2000 \,Am^{-1}$
$H = 2 \times 10^3 \,Am^{-1}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $2000 \,Am^{-1}$ સાથે મેળ ખાતો નથી। તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે. $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે,$L = n(2\pi r)$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 n I}{2(L / 2\pi n)} = \frac{\mu_0 n^2 I \pi}{L}$.
તારની લંબાઈ $L$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોવાથી,$B \propto n^2$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$ થશે.
અહીં $n_1 = 5$ અને $n_2 = 10$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ થાય.

(D)
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ શોધવાનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
અહીં આપેલ કિંમતો: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.2 \,A$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.1 \,m$ છે।
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ છે।
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (0.2)}{2 \times (0.1)}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.2}{0.2}$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \,T$

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$n = 100$
ત્રિજ્યા,$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2 \,A$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-5} \times 2}{0.2}$
$B = \frac{8\pi \times 10^{-5}}{0.2} = 40\pi \times 10^{-5} = 4\pi \times 10^{-4} \,T$
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \,T = 12.56 \times 10^{-4} \,T$

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, $i d\vec{l}$ વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડને કારણે $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારના સીધા વિભાગો માટે, વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ (જે ખંડથી કેન્દ્ર $O$ તરફ જાય છે) એકરેખસ્થ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોય છે.
તેથી, સદિશ ગુણાકાર $d\vec{l} \times \vec{r} = 0$ થાય છે.
પરિણામે, સીધા વિભાગોને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ વેગથી ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\mu = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
તેથી,$vr = \frac{nh}{2 \pi m}$.
આ કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{e}{2} \left( \frac{nh}{2 \pi m} \right) = \frac{neh}{4 \pi m}$.
અહીં $e$,$h$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$\mu \propto n$ મળે છે.

(C) કોણીય વેગ $\omega = 4 \pi \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = 3 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$ છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
હેલિક્સની પિચ એ એક સમયગાળામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલું અંતર છે: $\text{Pitch} = v_{\parallel} \times T$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Pitch} = (3 \times 10^5) \times \left( \frac{2 \pi}{4 \pi \times 10^6} \right)$.
$\text{Pitch} = 3 \times 10^5 \times \frac{1}{2 \times 10^6} = \frac{3}{20} \text{ m} = 0.15 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.15 \text{ m} = 15 \text{ cm}$.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં,આયનના પથની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = \frac{mv}{qB}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ આયનનો વેગ છે.
વેગ માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{qBR}{m}$ મળે છે.
આયનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{qBR}{m} \right)^2$
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2B^2R^2}{m^2} \right)$
$K.E. = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v_{\perp}$ (ક્ષેત્રને લંબ) અને $v_{\parallel}$ (ક્ષેત્રને સમાંતર) વેગના ઘટકો સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે હેલિકલ માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T$ વેગના લંબ ઘટક દ્વારા નક્કી થાય છે:
$T = \frac{2 \pi m}{q B}$
એક પરિભ્રમણ દરમિયાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલા અંતરને પિચ $(p)$ કહેવામાં આવે છે.
$p = v_{\parallel} \times T$
$T$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = v_{\parallel} \times \frac{2 \pi m}{q B}$
જો કુલ વેગ $v$ ને સમાંતર ઘટક તરીકે ગણવામાં આવે,તો અંતર $\frac{2 \pi m v}{q B}$ થાય છે.

(D) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{2\pi mf}{q}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
આવૃત્તિ $f = 20 MHz = 20 \times 10^6 Hz$
પ્રોટોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} C$
પ્રોટોનનું દળ $m = 1.67 \times 10^{-27} kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 20 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{209.536 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B \approx 1.31 T$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ,$v = 3.2 \times 10^7 \ m/s$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 6 \times 10^{-4} \ T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (3.2 \times 10^7)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6 \times 10^{-4})}$
$R = \frac{28.8 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-23}}$
$R = \frac{28.8}{9.6} \times 10^{-1} \ m$
$R = 3 \times 10^{-1} \ m = 0.3 \ m = 30 \ cm$.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ એક એવું બળ અનુભવે છે જે તેમને ક્ષેત્રના પ્રબળ વિસ્તારમાંથી નિર્બળ વિસ્તાર તરફ ધકેલે છે.
આ વર્તણૂક ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.

(A) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોને તેમની રીટેન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) અને કોર્સિવિટીના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
સોફ્ટ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોની રીટેન્ટિવિટી અને કોર્સિવિટી ઓછી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સરળતાથી મેગ્નેટાઇઝ અને ડીમેગ્નેટાઇઝ થઈ શકે છે.
તેથી,જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમનું મેગ્નેટાઇઝેશન નાબૂદ થઈ જાય છે.
તેનાથી વિપરીત,હાર્ડ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ક્ષેત્ર દૂર કર્યા પછી પણ તેમનું ચુંબકત્વ જાળવી રાખે છે.

(C) ક્યુરી તાપમાન $T_{C}$ એ તે નિર્ણાયક તાપમાન છે જેની ઉપર ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થને તેના ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓની ઉષ્મીય ગતિ ચુંબકીય ડાયપોલ્સની ગોઠવણીને તોડી નાખે છે,જેના પરિણામે તે પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,ક્યુરી તાપમાન એ ફેરોમેગ્નેટિકથી પેરામેગ્નેટિકમાં થતા સંક્રમણને દર્શાવે છે.

(C) પ્રકૃતિમાં,વિદ્યુતભારો અલગ મોનોપોલ (ધન અથવા ઋણ) તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે. જો કે,ચુંબકીય ક્ષેત્રો પ્રવાહ લૂપ્સ અથવા આંતરિક સ્પિન દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,જે હંમેશા ડાયપોલ બનાવે છે. મેગ્નેટિક મોનોપોલ ક્યારેય પ્રાયોગિક રીતે જોવા મળ્યા નથી,અને ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે મેગ્નેટિક મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,તે ઉત્તર ધ્રુવમાંથી નીકળીને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે,જ્યારે ચુંબકની અંદર,તે ગાળાને પૂર્ણ કરવા માટે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપદંડ છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે $30 < A < 170$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મહત્તમ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,${ }_{26}^{56} Fe$ (આયર્ન-$56$) નો દળ ક્રમાંક $56$ છે,જે આ રેન્જમાં આવે છે.
તે સુસ્થાપિત છે કે ${ }_{26}^{56} Fe$ ન્યુક્લિયોન દીઠ સૌથી વધુ બંધન ઉર્જા ધરાવે છે,જે આશરે $8.8 \text{ MeV/nucleon}$ છે,જે તેને સૌથી સ્થિર ન્યુક્લિયસમાંનું એક બનાવે છે.

(D) પરમાણુ બળતણ એવા પદાર્થો છે જેનો ઉપયોગ પરમાણુ વિખંડન અથવા સંલયન દ્વારા ઊર્જા ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે. યુરેનિયમ,થોરિયમ અને પ્લુટોનિયમ એ જાણીતા કિરણોત્સર્ગી તત્વો છે જેનો ઉપયોગ પરમાણુ રિએક્ટરમાં થાય છે. ટાઇટેનિયમ એ એક સંક્રાંતિ ધાતુ છે જે તેના ઉચ્ચ શક્તિ-થી-વજન ગુણોત્તર અને કાટ સામેના પ્રતિકાર માટે જાણીતી છે,પરંતુ તે કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ નથી જે પરમાણુ શૃંખલા પ્રતિક્રિયા જાળવી શકે. તેથી,તેનો ઉપયોગ પરમાણુ બળતણ તરીકે થતો નથી.

(B) તારાઓના ગર્ભમાં ઊંડે,ઊંચા તાપમાન અને દબાણને કારણે પ્રોટોન અત્યંત ઝડપે એકબીજા સાથે અથડાય છે. આ અથડામણોને પરિણામે હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું નિર્માણ થાય છે,જે પ્રક્રિયા દરમિયાન પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઉર્જા મુક્ત કરે છે. આ વિશિષ્ટ ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાને ન્યુક્લિયર સંલયન (nuclear fusion) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને ક્ષય અચળાંકના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
અર્ધ-આયુષ્યના સૂત્રમાં $\lambda = \frac{1}{\tau}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T_{1/2} = \tau \ln 2$.
તેથી,સાચો સંબંધ $T_{1/2} = \tau \ln 2$ છે.

(B) પોઝિટ્રોન,જેને એન્ટિ-ઇલેક્ટ્રોન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે ઇલેક્ટ્રોનનો એન્ટિપાર્ટિકલ (પ્રતિકણ) છે. તેનું દળ ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ હોય છે પરંતુ તેનો વિદ્યુતભાર વિરુદ્ધ હોય છે ($-e$ ને બદલે $+e$).

(C) આઈસોટોપ્સ (સમસ્થાનિકો) એવા પરમાણુઓ છે જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સમાન હોય છે પરંતુ દળ ક્રમાંક $(A)$ અલગ હોય છે.
ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે.
એક $\alpha$ કણ $({ }_{2}^{4} He)$ ના ઉત્સર્જન પછી,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે:
${ }_{Z}^{A} X \rightarrow { }_{Z-2}^{A-4} Y + { }_{2}^{4} He$.
મૂળ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ પર પાછા આવવા માટે,આપણે પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો કરવો જરૂરી છે. આ બે $\beta^-$ કણો $({ }_{-1}^{0} e)$ ના ઉત્સર્જન દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે:
${ }_{Z-2}^{A-4} Y + 2({ }_{-1}^{0} e) \rightarrow { }_{Z}^{A-4} Y$.
આમ,એક $\alpha$ કણ અને બે $\beta$ કણોનું ઉત્સર્જન મૂળ ન્યુક્લિયસનું આઈસોટોપ બનાવે છે,જેમાં દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે.

(C) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 2$ વર્ષ,પ્રારંભિક દળ $N_0 = 1 \,g$,કુલ સમય $t = 4$ વર્ષ.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{4}{2} = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $N = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = 0.25 \,g$.
તેથી,બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $0.25 \,g$ છે.

(D) ક્રાંતિકોણ $i_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin(i_c) = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ હવા સાપેક્ષ પદાર્થનો વક્રીભવનાંક છે.
હીરા માટે,વક્રીભવનાંક $n \approx 2.42$ છે.
તેથી,$\sin(i_c) = \frac{1}{2.42} \approx 0.413$.
ઇન્વર્સ સાઇન લેતા,$i_c = \arcsin(0.413) \approx 24.4^{\circ}$ મળે છે.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (કોશીના સંબંધ મુજબ: $n \approx A + \frac{B}{\lambda^2}$),તેથી જેમ તરંગલંબાઈ ઘટે તેમ વક્રીભવનાંક વધે છે.
લાલ પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ છે અને પીળા પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે. અહીં $\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી,લાલ પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક $(n_r)$ એ પીળા પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(n_y)$ કરતા ઓછો હશે.
તેથી,$n_r < n_y$.
સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{n}$ મુજબ,જો વક્રીભવનાંક વધારે હોય તો ક્રાંતિકોણ નાનો મળે.
આમ,પીળા પ્રકાશ માટેનો ક્રાંતિકોણ એ લાલ પ્રકાશના ક્રાંતિકોણ $(\theta)$ કરતા ઓછો હશે.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \,cm$ છે।
મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = +\frac{1}{4}$ (કારણ કે બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી અને ચત્તું હોય છે)।
મોટવણીના સૂત્ર $m = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{4} = -\frac{v}{u}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $v = -\frac{u}{4}$।
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{-u/4} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{4}{u} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{3}{u}$
$u = -30 \times 3 = -90 \,cm$।
આમ, અરીસાથી વસ્તુનું અંતર $90 \,cm$ છે।

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ ધન $(+40 \,cm)$ અને બીજી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2$ ઋણ $(-40 \,cm)$ હોય છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં $\mu = 1.5$,$R_1 = 40 \,cm$,અને $R_2 = -40 \,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2}{40} \right) = 0.5 \times 0.05 = 0.025$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40}$
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 40 \,cm$ થાય.

(D) આકાશનો વાદળી રંગ પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે હોય છે.
રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ,પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા તેની તરંગલંબાઈના ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$.
દ્રશ્યમાન રંગોમાં,વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લાલ પ્રકાશની સરખામણીમાં ઓછી હોય છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ ઓછી હોવાથી,વાતાવરણના કણો (હવાના અણુઓ) દ્વારા તેનું અન્ય રંગો કરતા વધુ પ્રબળતાથી પ્રકીર્ણન થાય છે.
તેથી,આકાશ આપણને વાદળી દેખાય છે.

(D) પ્રિઝમમાં,ધારો કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે $r_1$ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે.
જ્યારે તે બીજી સપાટી પર પહોંચે છે,ત્યારે તે લંબ સાથે $r_2$ ખૂણે આપાત થાય છે.
પ્રિઝમની બે સપાટીઓ અને બે લંબ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણની ભૂમિતિ પરથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ અને બે લંબ વચ્ચેના ખૂણાનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
વળી,પ્રિઝમની અંદર વક્રીભૂત કિરણ અને બે વક્રીભવનકારક સપાટીઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,જે $A + r_1 + r_2 = 180^{\circ}$ આપે છે (ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લેતા).
આમ,પ્રિઝમનો ખૂણો અને વક્રીભવનકોણ વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.

(C) આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે પ્રકાશ આંતરપૃષ્ઠ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રવેશે છે. તેથી,આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ થશે.
વિચલન કોણ $D = 15^{\circ}$ આપેલ છે. આપાતકોણ $i$,વક્રીભવનકોણ $r$ અને વિચલન કોણ $D$ વચ્ચેનો સંબંધ $D = i - r$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15^{\circ} = 45^{\circ} - r$,જેનાથી $r = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$,જ્યાં $n_1 = 1$ (હવા માટે) અને $n_2 = \mu$ (માધ્યમનો વક્રીભવનાંક):
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
આમ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $1.414$ છે.

(C) રિવર્સ બાયસ હેઠળ $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{V}{R}$
આપેલ છે:
વોલ્ટેજ $V = 8 \, V$
અવરોધ $R = 4 \times 10^7 \, \Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{8}{4 \times 10^7} \, A$
$I = 2 \times 10^{-7} \, A$
આને માઇક્રોએમ્પિયર $(\mu A)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે $10^6$ વડે ગુણીએ છીએ:
$I = 2 \times 10^{-7} \times 10^6 \, \mu A$
$I = 2 \times 10^{-1} \, \mu A = 0.2 \, \mu A$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે ઝેનર ડાયોડ રિવર્સ બાયસ્ડ હોય અને બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરતું હોય,ત્યારે તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થાય તો પણ તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ અચળ રહે છે.
આ ગુણધર્મને કારણે,તેનો ઉપયોગ લોડ પર સ્થિર આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવી રાખવા માટે વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે વ્યાપકપણે થાય છે.

(A) $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટરને ભારે ડોપિંગ કરવામાં આવે છે જેથી વિદ્યુત પ્રવાહ માટે મોટી સંખ્યામાં ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડી શકાય. બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને હળવા ડોપિંગ વાળો હોય છે જેથી મોટાભાગના કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે. કલેક્ટર મધ્યમ ડોપિંગ ધરાવે છે અને એમિટરની તુલનામાં તેનું ભૌતિક ક્ષેત્રફળ મોટું હોય છે જેથી કાર્ય દરમિયાન ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો નિકાલ થઈ શકે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં એમિટર પ્રવાહ $(I_E)$,કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ અને બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I_E = I_B + I_C$
આપેલ છે:
$I_E = 9.85 \,mA$
$I_C = 9.5 \,mA$
બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ:
$I_B = I_E - I_C$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_B = 9.85 \,mA - 9.5 \,mA = 0.35 \,mA$
તેથી,બેઝ પ્રવાહ $0.35 \,mA$ છે.

(A) આપેલ છે: એમિટર પ્રવાહ, $I_{E} = 6.6 \, mA$.
પ્રવાહ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર, $\beta = 59$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ $(I_{E})$, કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_{C})$ અને બેઝ પ્રવાહ $(I_{B})$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{E} = I_{C} + I_{B}$ છે।
કારણ કે $I_{C} = \beta I_{B}$, આપણે લખી શકીએ $I_{E} = \beta I_{B} + I_{B} = I_{B}(\beta + 1)$.
તેથી, બેઝ પ્રવાહ $I_{B} = \frac{I_{E}}{\beta + 1}$ થશે।
કિંમતો મૂકતા: $I_{B} = \frac{6.6 \, mA}{59 + 1} = \frac{6.6 \, mA}{60} = 0.11 \, mA$.