AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U(x) = 2 - 20x + 5x^2 \text{ J}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતની સ્થિતિ $x_i = -3 \text{ m}$ પર,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા:
$U_i = 2 - 20(-3) + 5(-3)^2 = 2 + 60 + 45 = 107 \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$E = U_i = 107 \text{ J}$.
કણ જ્યારે તેની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય ત્યારે તેના મહત્તમ $x$ સ્થાન પર પહોંચશે,જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ $x_f$ પર તેની સ્થિતિ ઉર્જા કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ જેટલી હોવી જોઈએ:
$U(x_f) = E$
$2 - 20x_f + 5x_f^2 = 107$
$5x_f^2 - 20x_f - 105 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$x_f^2 - 4x_f - 21 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x_f - 7)(x_f + 3) = 0$
આનાથી બે ઉકેલો મળે છે: $x_f = 7 \text{ m}$ અથવા $x_f = -3 \text{ m}$.
કણ $x = -3 \text{ m}$ થી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ $x$ સુધી પહોંચવા માટે ગતિ કરે છે,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $x = 7 \text{ m}$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થનો વેગ $v$ છે અને વ્યક્તિનો વેગ $v'$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી,તેથી રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં બંને સ્થિર છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$10 \ s$ પછી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $10 \ m$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = |v| + |v'| = \frac{10 \ m}{10 \ s} = 1 \ m/s$ થાય.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Mv' + mv = 0$,જે દર્શાવે છે કે $v = -\frac{M}{m}v' = -\frac{90}{10}v' = -9v'$.
આ કિંમત સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $|-9v'| + |v'| = 1 \implies 10|v'| = 1 \implies |v'| = 0.1 \ m/s$.
વ્યક્તિની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} M (v')^2 = \frac{1}{2} \times 90 \times (0.1)^2 = 45 \times 0.01 = 0.45 \ J$. જો આપણે $v' = 1/9 \ m/s$ લઈએ,તો $KE = 0.5 \times 90 \times (1/81) = 45/81 = 5/9 \approx 0.555 \ J$ મળે છે.

(B) મશીન દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા $E = 100 \,J$ છે.
મશીન $70 \%$ કાર્યક્ષમ હોવાથી, પદાર્થને ઊંચકવા માટે કરવામાં આવેલું ઉપયોગી કાર્ય (જે ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે) છે:
$E^{\prime} = 100 \,J$ ના $70 \% = \frac{70}{100} \times 100 = 70 \,J$.
જ્યારે પદાર્થને આ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા નીચે પડતી વખતે ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
હવાના અવરોધને અવગણતા, જમીન પર પહોંચતી વખતે પદાર્થની ગતિઊર્જા મેળવેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલી એટલે કે $70 \,J$ હશે.

(C) સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સાંકળની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે ટેબલની સપાટી સંદર્ભ સ્તર $(U = 0)$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $(U_i)$ સાંકળના લટકતા ભાગને કારણે છે,જેનું દળ $M/2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની નીચે $L/4$ અંતરે છે.
$U_i = -(\frac{M}{2}) g (\frac{L}{4}) = -\frac{M g L}{8}$.
આખી સાંકળને ટેબલ પર ખેંચ્યા પછી,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U_f)$ $0$ થાય છે કારણ કે આખી સાંકળ ટેબલની સપાટી પર છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 0 - (-\frac{M g L}{8}) = \frac{M g L}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{dW}{dt}$
કારણ કે કાર્ય $W = F \cdot s$ (જ્યાં $s$ એ સ્થાનાંતર છે),
$P = \frac{d}{dt}(F \cdot s)$
જો બળ $F$ અચળ હોય,તો
$P = F \cdot \frac{ds}{dt}$
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = F \cdot v$

(A) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \text{ N}$, સ્થાનાંતર $\vec{s} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m}$, સમય $t = 4 \text{ s}$.
સરેરાશ વેગ $\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t} = \frac{1}{4}(3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m/s}$.
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot \frac{1}{4}(3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k})$.
$P = \frac{1}{4} [(2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5)]$.
$P = \frac{1}{4} [6 + 12 + 20] = \frac{38}{4} = 9.5 \text{ W}$.

(D) દરેક ગોળીની ઝડપ,$v = 360 \,km/h = 360 \times \frac{5}{18} \,m/s = 100 \,m/s$.
પ્રતિ મિનિટ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા,$N = 360$.
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
એક ગોળીની ગતિઊર્જા,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (100)^2 = 0.01 \times 10000 = 100 \,J$.
$360$ ગોળીઓની કુલ ગતિઊર્જા,$E = N \times K = 360 \times 100 = 36000 \,J$.
ગનનો પાવર એ એકમ સમયમાં આપવામાં આવતી કુલ ઊર્જા છે,$P = \frac{E}{t}$.
અહીં $t = 1 \,minute = 60 \,s$ હોવાથી,$P = \frac{36000 \,J}{60 \,s} = 600 \,W$.

(A) ઇલેક્ટ્રિક મોટર દ્વારા લગાડવામાં આવેલ બળ,$F = 50 \,N$.
સ્થાનાંતર,$s = 60 \,m$.
સમય,$t = 1 \,min = 60 \,s$.
મોટર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = F \times s = 50 \,N \times 60 \,m = 3000 \,J$ છે.
પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,$P = \frac{W}{t}$.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{3000 \,J}{60 \,s} = 50 \,W$.
તેથી,મોટર દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર $50 \,W$ છે.

(A) પાવર $(P)$ એ બળ $(\vec{F})$ અને વેગ $(\vec{v})$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
આપેલ છે:
$\vec{F} = (60 \hat{i} + 15 \hat{j} - 3 \hat{k}) \text{ N}$
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ m/s}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 60 - 15 = 45 \text{ W}$
તેથી,પાવરનું મૂલ્ય $45 \text{ W}$ છે.

(C) અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = F s \cos \theta$
જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતરની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 0^{\circ} = F s$ (ધન).
જો $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 90^{\circ} = 0$ (શૂન્ય).
જો $\theta = 180^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 180^{\circ} = -F s$ (ઋણ).
તેથી,કાર્ય ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) અચળ બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = F \cdot s$.
આપેલ છે:
$F = (5 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ N}$
$s = (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$W = (5 \times 6) + (4 \times -5) + (0 \times 3)$
$W = 30 - 20 + 0$
$W = 10 \text{ J}$
આમ,બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $10 \text{ J}$ છે.

(B) સાયકલ સવાર અટકે ત્યાં સુધીનું સ્થાનાંતર $s = 10 \,m$ છે.
રસ્તા દ્વારા સાયકલ પર લાગતું બળ $F = 200 \,N$ છે.
બળ ગતિ (સ્થાનાંતર) ની બિલકુલ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે.
અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ શોધવાનું સૂત્ર $W = F s \cos \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W = 200 \,N \times 10 \,m \times \cos 180^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 180^{\circ} = -1$,તેથી $W = 200 \times 10 \times (-1) = -2000 \,J$.
આમ,રસ્તા દ્વારા સાયકલ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય $-2000 \,J$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
પદાર્થનું કોઈપણ ક્ષણે સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = F s \cos \theta$ છે.
$\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $W = F s \cos 90^{\circ} = F s (0) = 0$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(C) જ્યારે માણસ દીવાલને ધક્કો મારે છે,ત્યારે તે દીવાલમાં કોઈ સ્થાનાંતર ઉત્પન્ન કરતો નથી.
સ્થાનાંતર $s = 0$ હોવાથી,કાર્ય $W$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$
$W = F \cdot 0 \cdot \cos(\theta) = 0$
તેથી,માણસ જરા પણ કાર્ય કરતો નથી.

(B) $25^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થતા $300 \text{ g}$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{released} = m \cdot c \cdot \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$Q_{released} = 300 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}C \times (25^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 7500 \text{ cal}$.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $100 \text{ g}$ બરફને $0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{required} = m \cdot L_f$ દ્વારા મળે છે.
$Q_{required} = 100 \text{ g} \times 80 \text{ cal/g} = 8000 \text{ cal}$.
અહીં $Q_{required} > Q_{released}$ હોવાથી,ઉપલબ્ધ ઉષ્મા બધો બરફ ઓગળવા માટે પૂરતી નથી.
તેથી,મિશ્રણ $0^{\circ}C$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરશે અને થોડો બરફ ઓગળ્યા વગરનો બાકી રહેશે.
આમ,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ હશે.