AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ $L = 2 \,m = 200 \,cm$.
ગરમ છેડાનું તાપમાન $\theta_1 = 100^{\circ} C$.
ઠંડા છેડાનું તાપમાન $\theta_2 = 0^{\circ} C$.
ઠંડા છેડાથી અંતર $x_2 = 120 \,cm$.
ગરમ છેડાથી અંતર $x_1 = L - x_2 = 200 \,cm - 120 \,cm = 80 \,cm$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના કોઈપણ આડછેદમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $(dQ/dt)$ અચળ રહે છે.
$dQ/dt = KA(\Delta \theta / \Delta x)$ હોવાથી,અને સળિયા માટે $K$ અને $A$ અચળ હોવાથી,તાપમાન પ્રચલન $(\Delta \theta / \Delta x)$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{\theta_1 - \theta}{x_1} = \frac{\theta - \theta_2}{x_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100^{\circ} C - \theta}{80 \,cm} = \frac{\theta - 0^{\circ} C}{120 \,cm}$.
$120(100 - \theta) = 80\theta$.
$12000 - 120\theta = 80\theta$.
$200\theta = 12000$.
$\theta = \frac{12000}{200} = 60^{\circ} C$.
આમ,તે બિંદુએ તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(A) એક આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ તેના પર આપાત થતા $100 \%$ વિકિરણનું શોષણ કરે છે. તેથી,શોષણ ગુણાંક $(a_r)$ ને શોષાયેલા વિકિરણના જથ્થા $(Q_a)$ અને આપાત વિકિરણના જથ્થા $(Q_i)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $Q_a = Q_i$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a_r = \frac{Q_a}{Q_i} = \frac{Q_a}{Q_a} = 1$.

(D) આપેલ છે: $T_1 = 0^{\circ} C = (0 + 273) \text{ K} = 273 \text{ K}$.
$T_2 = 273^{\circ} C = (273 + 273) \text{ K} = 546 \text{ K}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E \propto T^4$.
તેથી,વિકિરણના દરોનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{546}{273}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,$E_2 = 16 E_1 = 16 E \text{ J}s^{-1}$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) દ્વારા ઉત્સર્જિત મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
આને $\lambda_m = \frac{b}{T}$ તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
તેથી, $\lambda_m \cdot T = b$, જે એક અચળ મૂલ્ય છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,ધાતુની સપાટીમાંથી થતા વિકિરણના ઉત્સર્જનનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સ્થિતિઓ માટે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ મળે.
આપેલ છે:
$A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$
$A_2 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{8}{32}\right) \left(\frac{600}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
તેથી,$E_2 = \left(\frac{81}{64}\right) E \ Js^{-1}$.

(A) આપેલ છે:
પદાર્થનું તાપમાન, $T_1 = 3000 \,K$
પદાર્થ માટે મહત્તમ ઉર્જા ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ, $\lambda_1 = 9660 Å$
સૂર્ય માટે મહત્તમ ઉર્જા ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ, $\lambda_2 = 4950 Å$
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
સૂર્યનું તાપમાન $(T_2)$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$T_2 = \frac{\lambda_1 T_1}{\lambda_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = \frac{9660 Å \times 3000 \,K}{4950 Å}$
$T_2 = \frac{28980000}{4950} \,K$
$T_2 \approx 5854.54 \,K$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $T_2 \approx 5855 \,K$ મળે છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,એટલે કે $\lambda_m T = b$ (અચળાંક).
તેથી,$\lambda_{m_1} T_1 = \lambda_{m_2} T_2$.
આપેલ છે:
$\lambda_{m_1} = 4.08 \ \mu m$
$T_1 = 700 \ K$
$T_2 = 1400 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$4.08 \times 700 = \lambda_{m_2} \times 1400$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08 \times 700}{1400}$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08}{2} = 2.04 \ \mu m$.
આમ,નવી તરંગલંબાઈ $2.04 \ \mu m$ થશે.

(C) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન અને $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = k(55 - 25) \implies 1 = 30k \implies k = \frac{1}{30}$.
બીજા સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 25 \right)$.
$k = \frac{1}{30}$ મૂકતા: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + T_f - 50}{2} \right) \implies \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f}{60}$.
$60$ વડે ગુણતા: $6(50 - T_f) = T_f \implies 300 - 6T_f = T_f \implies 7T_f = 300 \implies T_f = \frac{300}{7} \approx 42.86^{\circ}C$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,જવાબ $43^{\circ}C$ મળે છે.

(C) રેખીય પ્રસરણ $\alpha$, ક્ષેત્રફળ પ્રસરણ $\beta$ અને કદ પ્રસરણ $\gamma$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$ છે.
અહીં $\gamma = 3\alpha$ અને $\beta = 2\alpha$ હોવાથી, કદ પ્રસરણનો સહગુણક ત્રણેયમાં સૌથી મોટો છે.
તેથી, જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેના કદમાં મહત્તમ વધારો જોવા મળે છે.

(D) સેલ્સિયસ સ્કેલ તાપમાન $(C)$ અને ફેરનહીટ સ્કેલ તાપમાન $(F)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{C}{5} = \frac{F-32}{9}$
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા (જ્યાં $y = C$ અને $x = F$):
$C = \frac{5}{9}F - \frac{160}{9}$
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{5}{9}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{5}{9}$,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $5$ અને પાસેની બાજુ $9$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$ થાય.
તેથી,ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{9}{\sqrt{106}}$ થાય.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા એ તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$dQ = dU + dW$
જ્યાં:
$dQ$ = તંત્રને આપેલી ઉષ્મા,
$dU$ = તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર,
$dW$ = તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય.

$(A)$ વાયુને $V_1 = 2 \,m^3$ થી $V_2 = 1 \,m^3$ સુધી $P = 100 \,N m^{-2}$ ના અચળ દબાણે સંકોચવામાં આવે છે.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -P \Delta V = -100 \times (1 - 2) = 100 \,J$ છે.
નોંધ: વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P \Delta V = -100 \,J$ છે,તેથી વાયુ પર થયેલ કાર્ય $+100 \,J$ છે.
તંત્રને આપવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = 150 \,J$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W_{on}$.
$\Delta U = 150 \,J + 100 \,J = 250 \,J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં $250 \,J$ નો વધારો થાય છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં,વાયુ $30 \,J$ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,તેથી $\Delta Q = -30 \,J$.
વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી $\Delta W = -10 \,J$.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = 10 \,J$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $-30 = (U_f - U_i) + (-10)$.
$-30 = U_f - 10 - 10$.
$-30 = U_f - 20$.
$U_f = -30 + 20 = -10 \,J$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{f}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર,$P_1 = 5 \text{ kPa} = 5 \times 10^3 \text{ Pa}$ અને $V_1 = 4 \text{ m}^3$ છે.
બિંદુ $B$ પર,$P_2 = 2 \text{ kPa} = 2 \times 10^3 \text{ Pa}$ અને $V_2 = 6 \text{ m}^3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times (-4 \times 10^3) = -20 \times 10^3 \text{ J} = -20 \text{ kJ}$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા અને સિસ્ટમ દ્વારા થયેલા કાર્યના તફાવત જેટલો હોય છે,જેને $\Delta U = Q - W$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ નિયમ મૂળભૂત રીતે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય સિસ્ટમો પર લાગુ પડતા ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું જ એક સ્વરૂપ છે.
તે સૂચવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,પરંતુ તેને એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં,જેમ કે ઉષ્મા અને કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે: $\eta = 30\% = 0.3$ અને $T_1 = 500 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.3 = 1 - \frac{T_2}{500}$
$\frac{T_2}{500} = 1 - 0.3 = 0.7$
$T_2 = 0.7 \times 500 = 350 \ K$.
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે,આપણે $T(^{\circ}C) = T(K) - 273$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$T_2 = 350 - 273 = 77^{\circ} C$.

(B) રેફ્રિજરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે નીચા તાપમાનના સંગ્રાહક (અંદરનો ભાગ) માંથી ગરમી ખેંચે છે અને તેના પર કાર્ય કરીને તેને ઉચ્ચ તાપમાનના સંગ્રાહક (રૂમ) માં સ્થાનાંતરિત કરે છે.
જ્યારે ચાલુ રેફ્રિજરેટરનો દરવાજો ખુલ્લો રાખવામાં આવે છે,ત્યારે રેફ્રિજરેટર સતત રૂમમાંથી ગરમી ખેંચે છે અને તેને કોમ્પ્રેસર દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યથી ઉત્પન્ન થતી ગરમી સાથે રૂમમાં પાછી મુક્ત કરે છે.
કોમ્પ્રેસર વિદ્યુત ઊર્જાનો વપરાશ કરે છે અને તેને ગરમીમાં રૂપાંતરિત કરે છે,તેથી રૂમમાં મુક્ત થતી કુલ ગરમી એ રૂમમાંથી ખેંચાયેલી ગરમી કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,ચોખ્ખી અસર રૂમની કુલ ઉષ્મીય ઊર્જામાં વધારો થવાની છે,જેના કારણે રૂમનું તાપમાન વધે છે.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ તાપમાનના તફાવત $(T_1 - T_2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ સ્ત્રોત અને સિંક વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત વધે છે,તેમ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા વધે છે.

(C) આદર્શ ઉષ્મા એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta} \quad \dots (i)$
જ્યારે ઉષ્મા એન્જિનને ઉલટી દિશામાં ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે રેફ્રિજરેટર તરીકે કાર્ય કરે છે. પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta$ નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$
અંશ અને છેદને $T_2$ વડે ભાગતા:
$\beta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_2} - 1}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$\beta = \frac{1}{\frac{1}{1 - \eta} - 1} = \frac{1}{\frac{1 - (1 - \eta)}{1 - \eta}} = \frac{1 - \eta}{\eta} = \frac{1}{\eta} - 1$

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ ...$(i)$ છે.
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
$100 \%$ કાર્યક્ષમતા માટે,આપણે $\eta = 1$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2}{T_1} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 0$.
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $100 \%$ ત્યારે જ હોય જ્યારે સિંકનું તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય $(0 \ K)$ હોય.

(B) કાર્નો એન્જિન દ્વારા લેવામાં આવેલી ઉષ્મા,$Q = 3 \times 10^6 \text{ cal} = 4.2 \times 3 \times 10^6 \text{ J} = 12.6 \times 10^6 \text{ J}$.
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = (627 + 273) \text{ K} = 900 \text{ K}$.
સિંકનું તાપમાન,$T_2 = (27 + 273) \text{ K} = 300 \text{ K}$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{300}{900}$.
$\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \text{ J} = 8.4 \times 10^6 \text{ J}$.

(A) રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી દૂર કરેલી ઉષ્મા $(Q)$ અને સિસ્ટમ પર કરેલા કાર્ય $(W)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\beta = \frac{Q}{W}$
આપેલ છે:
$\beta = 5$
$Q = 5000 \,J$
આપણે મોટર દ્વારા વપરાતી વિદ્યુત ઉર્જા શોધવાની છે, જે કરેલા કાર્ય $(W)$ જેટલી હોય છે:
$W = \frac{Q}{\beta}$
$W = \frac{5000 \,J}{5} = 1000 \,J$
કારણ કે $1000 \,J = 1 \,kJ$, તેથી વપરાતી વિદ્યુત ઉર્જા $1 \,kJ$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 1/3$,તેથી $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $40 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2^{\prime} = T_2 - 0.40 T_2 = 0.6 T_2$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta^{\prime} = 1 - \frac{T_2^{\prime}}{T_1} = 1 - \frac{0.6 T_2}{T_1}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\eta^{\prime} = 1 - 0.6 \times \frac{2}{3} = 1 - 0.4 = 0.6$ મળે છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$\eta^{\prime} = 0.6 \times 100 \% = 60 \%$ થાય.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે: $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
હવે,કાર્યક્ષમતા વધારીને $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ કરવાની છે અને $T_1$ ને $400 \ K$ પર અચળ રાખવાનું છે.
ધારો કે નવું સિંક તાપમાન $T_2'$ છે.
તેથી,$0.4 = 1 - \frac{T_2'}{400} \Rightarrow \frac{T_2'}{400} = 1 - 0.4 = 0.6$.
$T_2' = 0.6 \times 400 = 240 \ K$.

(D) ફેઝ ચેન્જ (અવસ્થા પરિવર્તન) દરમિયાન સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી તેમાં થતા ઉષ્માના વિનિમય દ્વારા નક્કી થાય છે.
એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S = \frac{Q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિનિમય પામેલી ઉષ્મા છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગલન (melting) અથવા બાષ્પીભવન (vaporization) દરમિયાન,સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે $(Q > 0)$,તેથી એન્ટ્રોપી વધે છે.
ઠરવાની પ્રક્રિયા (freezing) અથવા સંઘનન (condensation) દરમિયાન,સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત થાય છે $(Q < 0)$,તેથી એન્ટ્રોપી ઘટે છે.
તેથી,ફેઝ ચેન્જ દરમિયાન,સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી પરિવર્તનની દિશાના આધારે વધી શકે છે અથવા ઘટી શકે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,અપૂર્ણાંક $\frac{T_2}{T_1}$ નું મૂલ્ય શક્ય તેટલું નાનું હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે અંશ $T_2$ (સિંકનું તાપમાન) શક્ય તેટલું નીચું હોય અને છેદ $T_1$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) શક્ય તેટલું ઊંચું હોય.
તેથી,કાર્યક્ષમતા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $T_1$ ઊંચું હોય અને $T_2$ નીચું હોય.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,સમીકરણ $pV = K$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{p}{V}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,સમીકરણ $pV^{\gamma} = K'$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે.
આને ગોઠવતા $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{p}{V}$ મળે છે.
સમતાપી વક્રના ઢાળ અને સમોષ્મી વક્રના ઢાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(\frac{dp}{dV})_{\text{iso}}}{(\frac{dp}{dV})_{\text{adia}}} = \frac{-p/V}{-\gamma p/V} = \frac{1}{\gamma}$.

(C) મુક્ત વિસ્તરણમાં,આદર્શ વાયુને શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરવા દેવામાં આવે છે.
કારણ કે આ વિસ્તરણ શૂન્ય બાહ્ય દબાણ $(P_{ext} = 0)$ ની વિરુદ્ધ થાય છે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P_{ext} \Delta V = 0$ થાય છે.
વધુમાં,મુક્ત વિસ્તરણ સામાન્ય રીતે એડિયાબેટિક $(Q = 0)$ ગણવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta U = 0 - 0 = 0$.
તેથી,મુક્ત વિસ્તરણ દરમિયાન આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) આપેલ છે,અચળ દબાણે ઉષ્મા $Q_p = 306 \ J$.
મોલની સંખ્યા,$n = 2$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_p = n C_p \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $306 = 2 \times C_p \times 10$.
તેથી,$C_p = \frac{306}{20} = 15.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p - C_V = R$.
$R \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ લેતા,$C_V = 15.3 - 8.314 = 6.986 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 2 \times 6.986 \times 10 = 139.72 \ J \approx 140 \ J$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$dQ = dW + dU$ ...$(i)$
જ્યાં $dQ$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$dW$ એ થયેલું કાર્ય છે,અને $dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે.
આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = 0$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $dU = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$dQ = dW + 0$
$dQ = dW$
તેથી,$dQ = dW$ ની શરત સમતાપી પ્રક્રિયા માટે સાચી છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$ છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે.
$P-V$ આલેખમાં થયેલું કાર્ય $W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times a \times b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ અર્ધ-મુખ્ય અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષો છે.
આલેખ પરથી,દબાણનો ગાળો $100 \text{ kPa}$ થી $300 \text{ kPa}$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $a = \frac{300 - 100}{2} = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$.
કદનો ગાળો $200 \text{ cc}$ થી $400 \text{ cc}$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $b = \frac{400 - 200}{2} = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 10^{-4} \text{ m}^3$.
તેથી,$W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = 10 \pi \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$W = 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ J}$.
આમ,શોષાયેલી ઉષ્મા $31.4 \text{ J}$ છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક અવસ્થા ચલો એવા ગુણધર્મો છે જે ફક્ત સિસ્ટમની વર્તમાન સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે,તે સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે લીધેલા માર્ગ પર નહીં.
દબાણ $(P)$,કદ $(V)$ અને તાપમાન $(T)$ એ અવસ્થા ચલોના ઉદાહરણો છે.
કાર્ય $(W)$ એ પાથ ફંક્શન છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય અવસ્થાઓ વચ્ચે સંક્રમણ કરવા માટે અનુસરવામાં આવતી ચોક્કસ પ્રક્રિયા અથવા માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કાર્ય એ દ્રવ્યની થર્મોડાયનેમિક અવસ્થાને લાક્ષણિક બનાવતું નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$
હવે,દરેક ભૌતિક રાશિ માટે પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
$\varepsilon_0$ ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(B) કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[W] = [F] \times [s] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L] = [m][v][r] = [M][LT^{-1}][L] = [ML^2 T^{-1}]$ છે.
ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\tau] = [F] \times [r] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[U] = [m][g][h] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
રેખીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[p] = [m][v] = [M][LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$ છે.
ગતિ ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[K] = [M][v^2] = [M][LT^{-1}]^2 = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[v] = [LT^{-1}]$ છે.
આમ,કાર્ય અને ટોર્ક બંનેના પરિમાણો $[ML^2 T^{-2}]$ સમાન છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) કઈ રાશિઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના પરિમાણીય સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. કાર્ય $(W)$ ને બળ $\times$ સ્થાનાંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. ટોર્ક $(\tau)$ ને બળ $\times$ લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$3$. કાર્ય અને ટોર્ક બંને સમાન પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ ધરાવતા હોવાથી,તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓ છે.
$4$. અન્ય વિકલ્પો: બળ $[MLT^{-2}]$ છે,પાવર $[ML^2T^{-3}]$ છે,ગુપ્ત ઉષ્મા $[L^2T^{-2}]$ છે,અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $[L^2T^{-2}K^{-1}]$ છે. આમ,માત્ર કાર્ય અને ટોર્ક સમાન છે.

(D) લંબાઈનો $SI$ એકમ $1 \ m$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈનો નવો એકમ $x \ m$ છે.
તેથી,$1 \ m = \frac{1}{x}$ નવા એકમો થાય.
આપણે $1 \ m^2$ ક્ષેત્રફળને નવા એકમના સંદર્ભમાં દર્શાવવાનું છે.
ક્ષેત્રફળ $= 1 \ m^2 = 1 \ m \times 1 \ m$.
$1 \ m$ ની કિંમત નવા એકમમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{x} \text{ નવા એકમો}) \times (\frac{1}{x} \text{ નવા એકમો}) = \frac{1}{x^2} \text{ (નવા એકમો)}^2$.
આમ,તેનું મૂલ્ય $\frac{1}{x^2}$ છે.

(B) પ્રકાશ વર્ષ એ ખગોળીય અંતરનો એકમ છે,સમયનો નહીં. તે એક વર્ષમાં શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે આશરે $9.4607 \times 10^{12} \ km$ જેટલું છે.
ચંદ્ર માસ,લીપ વર્ષ અને માઈક્રોસેકન્ડ એ બધા સમય માપવા માટેના એકમો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સમતલ તરંગ $y=a \sin (\omega t-k x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y=a \sin (-k x) = -a \sin (k x)$ છે.
કણનો વેગ $v_{pa}$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$v_{pa} = \frac{\partial y}{\partial t} = a \omega \cos (\omega t - k x)$.
$t=0$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos (-k x) = a \omega \cos (k x)$.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ મળે છે.
$x=0$ સમયે,$v_{pa} = a \omega$.
$x=\frac{\lambda}{4}$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.
$x=\frac{\lambda}{2}$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos (\pi) = -a \omega$.
આ કોસાઇન આલેખ છે જે ધન મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,$v_{pa} = a \omega \cos (kx)$ ને અનુરૂપ આલેખ વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે,તેથી ઝડપ:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
આ સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
આપેલ છે કે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A_1}{2}$ અને નવું તણાવ $T_2 = 2T_1$ છે,તેથી નવી ઝડપ $v_2$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
આમ,$v_2 = 2v_1$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.

(D) આપેલ છે કે, ટ્યુનિંગ ફોર્ક $X$ અને $Y$ ની આવૃત્તિઓ:
$n_X = 280 \,Hz$
$n_Y = 284 \,Hz$
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $Z$ ની આવૃત્તિ $n_Z$ છે અને $X$ અને $Z$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિ $b$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ, $b = |n_Z - 280|$.
બીજી શરત મુજબ, $Y$ અને $Z$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિ $3b$ છે, તેથી $3b = |n_Z - 284|$.
કિસ્સો $1$: જો $n_Z > 284$ હોય, તો $n_Z - 280 = b$ અને $n_Z - 284 = 3b$. $b$ ની કિંમત મૂકતા, $n_Z - 284 = 3(n_Z - 280) \Rightarrow n_Z - 284 = 3n_Z - 840 \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$. આ $n_Z > 284$ ની ધારણા સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_Z < 280$ હોય, તો $280 - n_Z = b$ અને $284 - n_Z = 3b$. $b$ ની કિંમત મૂકતા, $284 - n_Z = 3(280 - n_Z) \Rightarrow 284 - n_Z = 840 - 3n_Z \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$. આ $n_Z < 280$ ની ધારણા સાથે સુસંગત છે.
આમ, $Z$ ની આવૃત્તિ $278 \,Hz$ છે.

(A) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે અને સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રોત સ્થિર શ્રોતા તરફ $v_s = v/10$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$v_s$ ની કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{9v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{10}{9} \right)$
તેથી,આભાસી આવૃત્તિ અને વાસ્તવિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર:
$\frac{f^{\prime}}{f} = \frac{10}{9}$

(A) અહીં ઉદગમ સ્થિર છે,તેથી ઉદગમનો વેગ $v_s = 0$ છે. અવલોકનકાર $v_o$ વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ સાચી આવૃત્તિ $f_o$ કરતા $1\%$ વધારે છે,તેથી:
$f = f_o + 0.01 f_o = 1.01 f_o$
આ કિંમત ડોપ્લરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.01 f_o = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
$1.01 = 1 + \frac{v_o}{v}$
$0.01 = \frac{v_o}{v}$
$\frac{v_o}{v} = \frac{1}{100}$
આમ,અવલોકનકારનો વેગ અને ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર $1:100$ છે.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ $f$ અને સમાન કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ કળા તફાવત પર આધાર રાખે છે. સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) ધારતા,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a + a = 2 a$ થાય છે.
તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$I \propto A^2$ મળે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I \propto (2 a)^2 = 4 a^2$ મળે છે.
આમ,કુલ તીવ્રતા $4 a^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) આવૃત્તિ, $f = 1000 \,Hz$.
$6$ ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $d = 85 \,cm = 0.85 \,m$ છે.
સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી, $6$ ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (જેમાં $\frac{\lambda}{2}$ ના $5$ અંતરાલ હોય છે) નીચે મુજબ મળે:
$d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
આપેલ અંતર સાથે સરખાવતા:
$\frac{5 \lambda}{2} = 0.85 \,m$.
$\lambda = \frac{0.85 \times 2}{5} = 0.34 \,m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v = 1000 \,Hz \times 0.34 \,m = 340 \,ms^{-1}$.

(C) સ્થિત તરંગમાં,નોડ $(N)$ એ ન્યૂનતમ સ્થાનાંતર (શૂન્ય કંપવિસ્તાર) ધરાવતા બિંદુઓ છે,અને એન્ટી-નોડ $(A)$ એ મહત્તમ સ્થાનાંતર (મહત્તમ કંપવિસ્તાર) ધરાવતા બિંદુઓ છે.
બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
બે ક્રમિક એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
એક નોડ અને તેના પછીના ક્રમિક એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર એ બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે,જે $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ થાય છે.
તેથી,ક્રમિક નોડ અને એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ છે.

(B) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $(I)$ તેના કંપવિસ્તાર $(A)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$I \propto A^2$
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર અને કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\frac{I_{\text{reflected}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A_{\text{incident}}} \right)^2$
આપેલ છે કે તીવ્રતામાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી પરાવર્તિત તીવ્રતા:
$I_{\text{reflected}} = I_{\text{incident}} - 0.20 I_{\text{incident}} = 0.8 I_{\text{incident}} = \frac{4}{5} I_{\text{incident}}$
આ કિંમતને ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{4}{5} I_{\text{incident}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
$\frac{4}{5} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$A_{\text{reflected}} = \sqrt{\frac{4}{5}} A = \frac{2}{\sqrt{5}} A$

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y=0.03 \sin (\pi[2 t-0.01 x])$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y=0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 0.01\pi \ rad/m$ મેળવીએ છીએ.
બે કણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 25 \ m$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25 = 0.25\pi$.
$0.25\pi$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $\Delta \phi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$ મળે છે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \cos(\omega t - ky)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 8 \ rad \cdot s^{-1}$
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{1}{2} \ m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{8}{1/2} = 8 \times 2 = 16 \ m \cdot s^{-1}$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $16 \ m \cdot s^{-1}$ છે.

(D) ખેંચાયેલા તારના મૂળભૂત સ્વરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $m = \text{Area} \times \text{density} = \frac{\pi d^2}{4} \rho$,તેથી $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho / 4}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $T$,$l$,અને $\rho$ અચળ છે,તેથી $f \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{0.90}{0.93} \approx 0.9677$.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{f_2 - f_1}{f_1} \times 100 = \left( \frac{f_2}{f_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{0.90}{0.93} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{0.90 - 0.93}{0.93} \right) \times 100 = \left( \frac{-0.03}{0.93} \right) \times 100 \approx -3.22 \%$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ટકાવારી ફેરફાર $-3.2 \%$ છે.

(B) ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = 4 \,m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,ms^{-2}$ છે.
ઉર્ધ્વ વર્તુળમાં પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરવા માટે સૌથી નીચેના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ સમક્ષિતિજ ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{5gr}$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{5 \times 9.8 \times 4}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14 \,ms^{-1}$.
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ સમક્ષિતિજ ઝડપ $14 \,ms^{-1}$ છે.

(A) ઝેનર ડાયોડને રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.
આ પ્રાપ્ત કરવા માટે, $p-n$ જંકશનને બંને બાજુએ ભારે ડોપિંગ કરવામાં આવે છે.
આ ભારે ડોપિંગને કારણે, ડેપ્લેશન રિજન અત્યંત પાતળો ($10^{-6} \,m$ કરતા ઓછો) બની જાય છે.
આ પાતળા ડેપ્લેશન લેયરને કારણે, નાના રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજ માટે પણ જંકશન પર ખૂબ જ ઉચ્ચ વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે, જે ઝેનર બ્રેકડાઉનને સરળ બનાવે છે.

(D) $1$. ડાયોડના બાયસિંગનું વિશ્લેષણ કરો:
- $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = -10 \text{ V}$ છે.
- $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = -2 \text{ V}$ છે.
- ડાયોડ $A$ (ઉપરની શાખા) માટે: એનોડ $A$ $(-10 \text{ V})$ સાથે જોડાયેલ છે અને કેથોડ જંકશન પોઈન્ટ સાથે જોડાયેલ છે. $V_A < V_B$ હોવાથી,ડાયોડ $A$ રિવર્સ બાયસમાં છે.
- ડાયોડ $B$ (નીચેની શાખા) માટે: એનોડ જંકશન પોઈન્ટ સાથે જોડાયેલ છે અને કેથોડ $B$ $(-2 \text{ V})$ સાથે જોડાયેલ છે. જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $-10 \text{ V}$ અને $-2 \text{ V}$ ની વચ્ચે હશે,તેથી ડાયોડ $B$ પણ રિવર્સ બાયસમાં છે.
$2$. સમતુલ્ય પરિપથ:
- બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોવાથી,તેઓ ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
- ડાયોડ ધરાવતી શાખાઓમાંથી પ્રવાહ વહી શકતો નથી.
- જો આપણે પરિપથના બાકીના ભાગોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $8 \Omega$ અને $12 \Omega$ શ્રેણીમાં હોવાથી કુલ અવરોધ $8 + 12 = 20 \Omega$ મળે છે.

(C) $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે કોમન બેઝ એમ્પ્લીફાયરમાં, કરંટ ગેઇન $\alpha = 0.96$ છે।
આપેલ એમિટર કરંટ, $I_E = 7.2 \,mA$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કરંટ ગેઇનનું સૂત્ર: $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.96 = \frac{I_C}{7.2}$.
કલેક્ટર કરંટની ગણતરી કરતા: $I_C = 0.96 \times 7.2 = 6.912 \,mA$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે એમિટર કરંટ એ કલેક્ટર કરંટ અને બેઝ કરંટનો સરવાળો છે: $I_E = I_C + I_B$.
તેથી, બેઝ કરંટ $I_B = I_E - I_C$.
$I_B = 7.2 \,mA - 6.912 \,mA = 0.288 \,mA$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $I_B \simeq 0.29 \,mA$ મળે છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટર ઓસિલેટર યુનિટના ટ્યુન કરેલા સર્કિટ માટે,આપેલ મૂલ્યો છે:
$L = 5 mH = 5 \times 10^{-3} H$
$C = 5 pF = 5 \times 10^{-12} F$
ઓસિલેટરની કુદરતી આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
મૂલ્યો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-15}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 5 \times 10^{-7.5}}$
ગણતરી કરતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{2.5 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2 \pi \times 1.581 \times 10^{-7}}$
$f = \frac{10^7}{9.93} \approx 1.006 \times 10^6 Hz = 1 MHz$.

(A) પરિપથ $(i)$ માટે: ટૂંકા કરેલા ઇનપુટવાળા બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતિમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$. આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
પરિપથ (ii) માટે: પ્રથમ $NAND$ ગેટ $\overline{AB}$ ઉત્પન્ન કરે છે. ટૂંકા કરેલા ઇનપુટવાળો બીજો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે સિગ્નલને ઉલટાવે છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\overline{AB}} = AB$. આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(B) ફોટોડાયોડ એ એક સેમિકન્ડક્ટર ઉપકરણ છે જે પ્રકાશને વિદ્યુત પ્રવાહમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
જ્યારે સેમિકન્ડક્ટરની બેન્ડગેપ ઉર્જા કરતા વધારે ઉર્જા ધરાવતો પ્રકાશ $p-n$ જંકશન પર પડે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉત્પન્ન થયેલી ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓની સંખ્યા આપાત ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એટલે એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા,તેથી ઉત્પન્ન થયેલ ફોટોકરંટ (અને ઓપન-સર્કિટ સ્થિતિમાં પરિણામી $emf$) આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Q = \varepsilon_0 \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ મળે છે.
તેથી,પદ $\varepsilon_0 \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ એ વિદ્યુતભાર $Q$ ના પરિમાણ ધરાવે છે.

(B) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ભાતમાં,ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$\theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2a} = \frac{3 \lambda}{2a}$
$D$ અંતરે રહેલા પડદા પર મધ્યસ્થ અધિકતમથી ગૌણ અધિકતમનું અંતર $x = D \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\tan \theta \approx \theta$ લેતા:
$x = D \theta = D \left( \frac{3 \lambda}{2a} \right) = \frac{3 D \lambda}{2a}$

(D) વિવર્તન એ પ્રકાશના તરંગલંબાઈ જેટલા માપના અવરોધ અથવા છિદ્રની ધાર પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન થવા માટે,છિદ્ર અથવા અવરોધનું કદ $a$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું અથવા તેનાથી નાનું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) પાતળી ફિલ્મમાં પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે સહાયક વ્યતિકરણની શરત $2 \mu d \cos r = n \lambda$ છે.
અહીં ફિલ્મની જાડાઈ $d = 2.9 \times 10^{-4} \ mm = 2.9 \times 10^{-7} \ m$ છે.
લંબ આપાતકોણ માટે,$\cos r = 1$ અને હવા માટે વક્રીભવનાંક $\mu = 1$ છે.
પથ તફાવત $\Delta = 2d = 2 \times 2.9 \times 10^{-7} \ m = 5.8 \times 10^{-7} \ m = 580 \ nm$ થાય.
સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2d = n \lambda$ છે.
જો $n = 1$ લઈએ,તો $\lambda = 580 \ nm$ મળે છે.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $580 \ nm$ હોવાથી,તે સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે અને પ્રબળ રીતે પરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,પરાવર્તિત પ્રકાશનો રંગ પીળો દેખાય છે.

(B) આકૃતિ મુજબ,બિંદુ $P$ અને બિંદુ $Q$ સમાન કળામાં છે.
$\triangle POR$ માં,$\cos \theta = \frac{PR}{OP} = \frac{d}{OP}$,તેથી $OP = \frac{d}{\cos \theta} \quad \dots(i)$.
આકૃતિની ભૂમિતિ મુજબ,કિરણ $BP$ અને પરાવર્તિત કિરણ $OP$ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = OP + OQ = OP(1 + \cos 2\theta) = 2d \cos \theta$ થાય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પરાવર્તનને કારણે થતા કળા તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા,પથ તફાવત $\Delta = \frac{\lambda}{2}$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,$2d \cos \theta = \frac{\lambda}{2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\cos \theta = \frac{\lambda}{4d}$ મળે છે.

(B) સીમિત અંતરે રહેલું બિંદુવત ઉદગમ ગોલીય તરંગ અગ્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જેમ ઉદગમથી અંતર વધે છે,તેમ ગોળાની ત્રિજ્યા ખૂબ મોટી થઈ જાય છે,અને આ તરંગ અગ્રનો નાનો ભાગ સમતલ તરંગ અગ્ર તરીકે દેખાય છે. એક વિસ્તૃત ઉદગમ અથવા અનંત અંતરે રહેલું બિંદુવત ઉદગમ (જેમ કે સૂર્ય) સમતલ તરંગ અગ્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi$.
આમ,કળા તફાવત $\pi$ છે.