AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $K \propto T$.
ગતિઊર્જા ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી તેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,લઘુત્તમ શક્ય તાપમાન $0 \ K$ છે,જે તાપમાને આણ્વિક ગતિ અટકી જાય છે.
આને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 0 - 273 = -273^{\circ} C$.

(C) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$ અને $v_1 = 500 \,m \cdot s^{-1}$ આપેલ છે.
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \,K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{v_2}{500} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 500 \times 2 = 1000 \,m \cdot s^{-1}$.

(C) ત્રણ સંગામી બળો સંતુલનમાં હોય તે માટે,તેઓએ ત્રિકોણ અસમતા પ્રમેયનું પાલન કરવું આવશ્યક છે,જે જણાવે છે કે કોઈપણ બે બળોનો સરવાળો ત્રીજા બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ $(F_1 + F_2 \ge F_3)$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ $3 + 5 = 8 < 10$. $8 < 10$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.
$(b)$ $3 + 5 = 8 < 9$. $8 < 9$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.
$(c)$ $3 + 5 = 8 > 6$. $8 > 6$ હોવાથી,આ બળો ત્રિકોણ બનાવી શકે છે અને તેથી તે સંતુલનમાં હોઈ શકે છે.
$(d)$ $3 + 5 = 8 < 15$. $8 < 15$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.

(A) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $a$ પ્રવેગ સાથે ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકે છે,ત્યારે પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ $mg \cos \theta$ જેટલું છે.
$3$. ઢળતા સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ સમતલની દિશામાં કરતા:
$ma = mg \sin \theta - f$
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(B) $10 \,kg$ અને $40 \,kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F_s = \mu_s R = 0.6 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 58.8 \,N$
અહીં,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $(F = 100 \,N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(58.8 \,N)$ કરતા વધારે હોવાથી,$10 \,kg$ નો બ્લોક $40 \,kg$ ના સ્લેબની સાપેક્ષમાં ગતિ કરશે.
આ સાપેક્ષ ગતિને કારણે,$40 \,kg$ ના સ્લેબ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ:
$f_k = \mu_k R = 0.4 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 39.2 \,N$
આ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ $40 \,kg$ ના સ્લેબ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ છે.
તેથી,$40 \,kg$ ના સ્લેબનો પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{f_k}{m_{slab}} = \frac{39.2 \,N}{40 \,kg} = 0.98 \,ms^{-2}$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,અને બળ $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા મળે છે.
ઘટકોને મૂકતા,વેગનો $y$-ઘટક $v_y = u_y + a_y t$ થાય.
અહીં,$u_y = 40 \ m/s$ અને $a_y = -1 \ m/s^2$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $v_y = 0$ થાય.
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(C) પદાર્થનું દળ,$m = 1.0 \,kg$.
નીચે પડતા પદાર્થનો પ્રવેગ,$a = 10 \,ms^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે ગતિ કરતા ફ્રેમમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W_{app} = m(g - a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
તેથી,પદાર્થનું આભાસી વજન $0$ છે।

(B) ધારો કે $F$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$M$ દળનો ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$M g - F = M a \Rightarrow F = M g - M a$ ...$(i)$
બીજા કિસ્સામાં,$M^{\prime}$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી નવું દળ $(M - M^{\prime})$ થાય છે. હવે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$F - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $F$ ની કિંમત મૂકતા:
$(M g - M a) - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
$M g - M a - M g + M^{\prime} g = M a - M^{\prime} a$
$M^{\prime} g + M^{\prime} a = M a + M a$
$M^{\prime} (g + a) = 2 M a$
$M^{\prime} = \frac{2 M a}{g + a}$

(B) ધારો કે જ્યારે બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે ત્યારે બ્લોક્સની સિસ્ટમનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ છે.
સમગ્ર સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$F = (M_P + M_Q) a$
$\Rightarrow a = \frac{F}{M_P + M_Q}$
હવે,બ્લોક $Q$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક $Q$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક $P$ દ્વારા લગાડવામાં આવતું સંપર્ક બળ $R$ છે.
બ્લોક $Q$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$R = M_Q a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = M_Q \left( \frac{F}{M_P + M_Q} \right)$
$R = \frac{M_Q F}{M_P + M_Q}$

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ તેના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ અને સમયના ગાળા $\Delta t$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$
આપેલ છે:
બળ $F = 2 \ N$
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = 0.4 \ kg \ m \ s^{-1}$
સમય $\Delta t$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta t = \frac{\Delta P}{F}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$
તેથી,લાગતો સમય $0.2 \ s$ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_{G})$,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_{W})$,વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(F_{E})$ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_{N})$ છે.
તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતા આશરે નીચે મુજબ છે:
$F_{G} \approx 1$
$F_{W} \approx 10^{25}$
$F_{E} \approx 10^{36}$
$F_{N} \approx 10^{38}$
આમ,$F_{G}: F_{W}: F_{E}: F_{N}$ નો ગુણોત્તર $1: 10^{25}: 10^{36}: 10^{38}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$F_{G}: F_{N}: F_{E}: F_{W}$ માટે સૌથી નજીકનો ગુણોત્તર $1: 10^{38}: 10^{36}: 10^{26}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) જ્યારે બસ અચાનક વળાંક લે છે,ત્યારે મુસાફરો એક બળ અનુભવે છે જે તેમને બહારની તરફ ધકેલે છે. આ ઘટના જડત્વના ગુણધર્મને કારણે થાય છે,ખાસ કરીને દિશાના જડત્વને કારણે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ પોતાની સુરેખ ગતિની સ્થિતિ જાળવી રાખે છે. જ્યારે બસ વળાંક લે છે,ત્યારે મુસાફરના શરીરનો નીચેનો ભાગ બસની સાથે ફરે છે,પરંતુ શરીરનો ઉપરનો ભાગ જડત્વને કારણે તેની મૂળ ગતિની દિશા જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જેના કારણે મુસાફર બસની સાપેક્ષમાં બહારની તરફ નમે છે અથવા ફેંકાય છે.

(C) કોઈ પદાર્થ માટે ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $(N)$ છે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર,કુલ કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ અને લંબ પ્રતિક્રિયાનો સરવાળો છે: $mg + N = \frac{mv^2}{r}$.
ન્યૂનતમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે તે સીમાંત સ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં પદાર્થ ઉચ્ચતમ બિંદુ પરથી પસાર થાય ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,$mg = \frac{mv_{min}^2}{r}$.
$v_{min}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_{min}^2 = gr$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{min} = \sqrt{gr}$.
તેથી,સ્ટંટમેને ટ્રેકના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર જાળવવી પડતી ન્યૂનતમ ઝડપ $\sqrt{gr}$ છે.

(B) ધારો કે લોલકના ગોળાનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે. દોરીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આધારબિંદુથી $l/2$ અંતરે છે.
જ્યારે લોલકને $90^{\circ}$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m g (l/2) = (1/2) m v^2$.
આના પરથી $v^2 = g l$ મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ એ વજન $m g$ ને સંતુલિત કરે છે અને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m v^2 / r$ પૂરું પાડે છે,જ્યાં $r = l/2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આધારબિંદુથી અંતર છે.
તેથી,$T = m g + (m v^2) / (l/2)$.
સમીકરણમાં $v^2 = g l$ મૂકતા:
$T = m g + (2 m / l) \cdot (g l) = m g + 2 m g = 3 m g$.
આમ,દોરીની લઘુત્તમ મજબૂતી $3 m g$ હોવી જોઈએ.

(D) જ્યારે સ્પ્રિંગને બંને છેડેથી બળ લગાડીને ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ એ સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગના કોઈપણ એક છેડા પર લાગતા બળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે।
આ કિસ્સામાં, બંને છેડે વિરુદ્ધ દિશામાં $5 \,N$ નું બળ લગાડવામાં આવે છે।
તેથી, સ્પ્રિંગમાં તણાવ એ લાગુ પાડેલા બળના મૂલ્ય જેટલું એટલે કે $5 \,N$ હશે।

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $g = 4 \pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $L$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \pm 2 \%$ અને $T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \pm 3 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \pm 2 \% + 2 \times (\pm 3 \%) = \pm 2 \% + \pm 6 \% = \pm 8 \%$.
તેથી,$g$ ના અનુમાનમાં ત્રુટિ $\pm 8 \%$ થશે.

(D) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W_{app} = W_{actual} - F_B$, જ્યાં $W_{actual}$ એ વાસ્તવિક વજન છે અને $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે।
$V$ કદ અને $\rho_{obj}$ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ માટે, જે $\rho_{fluid}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલું છે, ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_{fluid} g$ થાય છે।
થેલીનું વાસ્તવિક વજન $W_{actual} = m g = V \rho_{obj} g$ છે।
થેલીમાં પાણી ભરેલું હોવાથી, પદાર્થની ઘનતા (પાણી) એ આસપાસના પ્રવાહી (પાણી) ની ઘનતા જેટલી જ છે, એટલે કે $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$।
તેથી, $W_{app} = V \rho_{obj} g - V \rho_{fluid} g = 0$।
આમ, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $0 \,kg$ હશે।

(D) $\text{બ્લોકનું દળ},m = 0.5 \,kg$.
$\text{પીત્તળની ઘનતા},\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$.
$\text{બ્લોકનું કદ},V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{8 \times 10^3} = 6.25 \times 10^{-5} \,m^3$.
$\text{જ્યારે બ્લોક સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબેલો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ } F_b \text{ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે}:$
$F_b = V \cdot \rho_w \cdot g = (6.25 \times 10^{-5} \,m^3) \times (10^3 \,kg \,m^{-3}) \times (10 \,ms^{-2}) = 0.625 \,N$.
$\text{દોરીમાં તણાવ } T \text{ એ બ્લોકના વજન અને ઉત્પ્લાવક બળનો તફાવત છે}:$
$T = mg - F_b = (0.5 \,kg \times 10 \,ms^{-2}) - 0.625 \,N = 5 \,N - 0.625 \,N = 4.375 \,N$.
$\text{અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા}: 4.375 = \frac{4375}{1000} = \frac{35}{8} \,N$.

(D) ધાતુના બ્લોકની ઘનતા,$\rho = 5 \text{ g cm}^{-3}$.
બ્લોકનું કદ,$V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$.
બ્લોકનું દળ,$m = \rho \times V = 5 \times 125 = 625 \text{ g}$.
હવામાં બ્લોકનું વજન,$W = m \times g = 625 \text{ gf}$.
પાણીમાં ધાતુના બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ,$F_u = \text{વિસ્થાપિત પાણીનું કદ} \times \text{પાણીની ઘનતા} \times g$.
જ્યાં $\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}$,તેથી $F_u = 125 \text{ cm}^3 \times 1 \text{ g cm}^{-3} = 125 \text{ gf}$.
આભાસી વજન = હવામાં વજન - ઉત્પ્લાવક બળ.
આભાસી વજન $= 625 \text{ gf} - 125 \text{ gf} = 500 \text{ gf}$.
આને આપેલ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $500 = 5 \times 5 \times 5 \times 4 \text{ gf}$.

(D) આર્કિમિડીઝનું ઉપરની તરફનું બળ (પ્લવક બળ) એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
ગાણિતિક રીતે, પ્લવક બળ $F_B = V \rho g$ છે, જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે, $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે।
જો ગુરુત્વાકર્ષણ ન હોય, તો $g = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે પ્લવક બળ $F_B = 0$ થાય।
સ્નિગ્ધતા, પૃષ્ઠતાણ અને દબાણ (આંતર-આણ્વિય બળો અથવા બાહ્ય દબાણને કારણે સ્થિર પ્રવાહીમાં) તેમના અસ્તિત્વ માટે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખતા નથી।
તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં આર્કિમિડીઝનું ઉપરની તરફનું બળ અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં।

(C) બોઇંગ એરક્રાફ્ટનું દળ $M = 3.3 \times 10^5 \text{ kg}$ છે.
પાંખનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 500 \text{ m}^2$ છે.
સમતલ ઉડાનમાં,પાંખોની નીચેની અને ઉપરની સપાટીઓ વચ્ચેના દબાણના તફાવતને કારણે ઉત્પન્ન થતું ઉર્ધ્વગામી લિફ્ટ બળ એરક્રાફ્ટના વજનને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,ઉર્ધ્વગામી બળ $F = \Delta p \times A$,જ્યાં $\Delta p$ એ દબાણનો તફાવત છે.
લિફ્ટ બળને વજન સાથે સરખાવતા: $\Delta p \times A = M \times g$.
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta p = \frac{M \times g}{A} = \frac{3.3 \times 10^5 \times 9.8}{500}$.
$\Delta p = \frac{32.34 \times 10^5}{500} = 0.06468 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
$\Delta p = 6.468 \times 10^3 \text{ N/m}^2 \approx 6.5 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પાઇપનો વ્યાસ,$d_1 = 2 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
બીજી પાઇપનો વ્યાસ,$d_2 = 4 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\pi (r_1)^2 v_1 = \pi (r_2)^2 v_2$.
$(10^{-2})^2 v_1 = (2 \times 10^{-2})^2 v_2$.
$10^{-4} v_1 = 4 \times 10^{-4} v_2$.
$v_1 = 4 v_2$.
તેથી,$2 \,cm$ વ્યાસવાળી પાઇપમાં પ્રવાહનો વેગ એ $4 \,cm$ વ્યાસવાળી પાઇપના વેગ કરતા $4$ ગણો છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,સુરેખ પ્રવાહમાં વહેતા અદબનીય પ્રવાહી માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વેગ $v$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(A_1v_1 = A_2v_2)$.
પાઇપના સૌથી સાંકડા ભાગમાં,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આડા પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે:
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$
જેથી સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ $v$ મહત્તમ હોવાથી,સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $p$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
તેથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ મહત્તમ અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) આપેલ છે: હોઝ પાઈપનો આંતરિક વ્યાસ, $d_1 = 4 \,cm$. ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{d_1}{2} = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
હોઝ પાઈપમાંથી પાણીની ઝડપ, $v_1 = 1 \,ms^{-1}$.
નોઝલમાંથી પાણીની ઝડપ, $v_2 = 4 \,ms^{-1}$.
ધારો કે નોઝલનો વ્યાસ $d_2$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$.
$r_2^2 = \frac{r_1^2 v_1}{v_2} = \frac{(2 \times 10^{-2} \,m)^2 \times 1 \,ms^{-1}}{4 \,ms^{-1}}$.
$r_2^2 = \frac{4 \times 10^{-4}}{4} \,m^2 = 10^{-4} \,m^2$.
વર્ગમૂળ લેતા, $r_2 = 10^{-2} \,m = 1 \,cm$.
નોઝલનો વ્યાસ $d_2 = 2 r_2 = 2 \times 1 \,cm = 2 \,cm$ છે.

(C) જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી $h$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું હોય તેવું પાત્ર $a_0$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$g^{\prime} = g - a_0$ ...$(i)$
પાત્રના તળિયે લાગતું દબાણ $p$ એ વાતાવરણીય દબાણ $p_0$ અને અસરકારક ગુરુત્વ હેઠળ પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે ઉદ્ભવતા ગેજ દબાણનો સરવાળો છે:
$p = p_0 + \rho g^{\prime} h$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $g^{\prime}$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = p_0 + \rho(g - a_0)h$

(C) ધારો કે $A_v$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે. ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રવાહનો દર $A_v \frac{dh}{dt} = -A \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$.
બંને બાજુ ઊંચાઈ $h$ થી $0$ સુધી સમય $t$ માટે સંકલન કરતા:
$\int_{h}^{0} h^{-1/2} dh = -\int_{0}^{t} \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$
$[2\sqrt{h}]_{h}^{0} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
આમ,$t \propto \sqrt{h}$.
આપેલ છે કે $h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t$ છે,તેથી $t = k\sqrt{h}$.
$4h$ ઊંચાઈ માટે,નવો સમય $t'$ એ $t' = k\sqrt{4h} = 2k\sqrt{h} = 2t$ થશે.

(C) પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ સૂત્ર $p = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે.
પારાની ઘનતા $\rho = 13.6 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p = (13.6 \times 10^3) \times 9.8 \times 10^{-3}$
$p = 13.6 \times 9.8$
$p = 133.28 \,Pa \approx 133.3 \,Pa$.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશિકા નળીને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે. પ્રવાહી નળીના ઉપરના ભાગમાં મેનિસ્કસ (ચંદ્રાકાર સપાટી) બનાવે છે.
ધારો કે $R$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ સંપર્કકોણ છે.
મેનિસ્કસની ભૂમિતિ પરથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં કર્ણ $R$ છે,પાયો $r$ છે અને મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા તથા સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \theta = \frac{r}{R}$ મળે છે.
તેથી,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{r}{\cos \theta}$ થાય છે.

(A) કેશનળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
તેથી,$h_1 = \frac{k}{R}$ અને $h_2 = \frac{k}{2R}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
નળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ કિંમત મૂકતા,$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi T r \cos \theta}{g}$ મળે.
અહીં $T$,$\theta$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$m \propto r$ થાય.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.

(A) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહીના પ્રકારને નક્કી કરતી શુદ્ધ સંખ્યાને રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ કહેવામાં આવે છે.
$(i)$ જો $R_e < 2100$ હોય,તો પ્રવાહ લેમિનર (શાંત) છે.
(ii) જો $2100 < R_e < 4000$ હોય,તો પ્રવાહ અસ્થિર અથવા સંક્રમણશીલ છે.
(iii) જો $R_e > 4000$ હોય,તો પ્રવાહ ટર્બ્યુલન્ટ (વિક્ષુબ્ધ) છે.

(B) આદર્શ પ્રવાહી એટલે એવું પ્રવાહી જે અદબનીય (incompressible) અને સ્નિગ્ધતા રહિત (non-viscous) હોય છે.
આદર્શ પ્રવાહી સ્નિગ્ધતા રહિત હોવાથી,તે તેના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિમાં કોઈ અવરોધ પેદા કરતું નથી.
તેથી,આદર્શ પ્રવાહી માટે સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $0$ હોય છે.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$
જ્યાં $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે, $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે, $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપેલ સિસ્ટમ માટે $\rho, \sigma, g,$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$v \propto R^2$
તેથી, $\frac{v}{R^2} = \text{અચળ}$.

(C) સ્ટીલના તારની લંબાઈ,$l = 3 \ m$.
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta l = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$.
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ $= 0.26$.
વ્યાખ્યા મુજબ,પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}} = 0.26$.
સંગત વિકૃતિ $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{3 \times 10^{-3} \ m}{3 \ m} = 10^{-3}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $= 0.26 \times \text{સંગત વિકૃતિ} = 0.26 \times 10^{-3}$.

(A) આપેલ છે:
ગરમ ચાનું તાપમાન,$t_2 = 57^{\circ} C$
દાંતનું સામાન્ય તાપમાન,$t_1 = 37^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha = 1.7 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$
બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = 140 \times 10^9 \ Nm^{-2}$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta t = t_2 - t_1 = 57 - 37 = 20^{\circ} C$
થર્મલ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એ બલ્ક મોડ્યુલસ અને કદ વિકૃતિના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{Stress} = B \times \frac{\Delta V}{V}$
કારણ કે $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta t$ અને $\gamma = 3\alpha$:
$\text{Stress} = B \times (3\alpha) \times \Delta t$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Stress} = 3 \times (140 \times 10^9) \times (1.7 \times 10^{-5}) \times 20$
$\text{Stress} = 3 \times 140 \times 1.7 \times 20 \times 10^4$
$\text{Stress} = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8 \ Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.

(C) બ્લોક પર લગાડવામાં આવેલ દબાણ $p = 8 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે. અંતિમ કદ $V_2$ માં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $V_2 = V_1 - 0.20 V_1 = 0.8 V_1 = \frac{4}{5} V_1$ થાય.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.8 V_1 = 0.2 V_1 = \frac{V_1}{5}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $B = \frac{p}{\Delta V / V_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$B = \frac{8 \times 10^8}{(0.2 V_1) / V_1} = \frac{8 \times 10^8}{0.2} = 40 \times 10^8 = 4 \times 10^9 \ N \ m^{-2}$ મળે.

(D) આપેલ છે,પોઈસન ગુણોત્તર,$\sigma = 0.5$.
રેખીય વિકૃતિ,$\frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-3}$.
કદ વિકૃતિ $\left(\frac{\Delta V}{V}\right)$ અને રેખીય વિકૃતિ $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{\Delta l}{l}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2 \times 0.5) \times 2 \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 0 \times 2 \times 10^{-3} = 0$
તેથી,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0 \times 100\% = 0\%$ છે.

(B) આપેલ છે:
બલ્ક મોડ્યુલસ $(K) = 2 \times 10^8 \ N m^{-2}$
કદમાં ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$
દબાણ $(p)$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$p = (2 \times 10^8) \times (0.01)$
$p = 2 \times 10^6 \ N m^{-2}$
તેથી,જરૂરી દબાણ $2 \times 10^6 \ N m^{-2}$ છે.

(A) ધારો કે $l$ એ તારની લંબાઈ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\theta$ એ મરોડનો ખૂણો છે અને $\phi$ એ શીયરિંગ ખૂણો છે.
મરોડાયેલા તારની ભૂમિતિ પરથી,પરિઘ પરની ચાપની લંબાઈ $s = r \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,શીયરિંગ ખૂણો $\phi$ એ ચાપની લંબાઈ $s$ અને તારની લંબાઈ $l$ સાથે $\phi = \frac{s}{l}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$s = r \theta$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{r \theta}{l}$ મળે છે.
આપેલ છે: $l = 1 \text{ m}$,$r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ m} \times 45^{\circ}}{1 \text{ m}} = 90 \times 10^{-3} \text{ degrees} = 0.09^{\circ}$.
તેથી,શીયરિંગ ખૂણો $0.09^{\circ}$ છે.

(A) તણાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ તારની લંબાઈ વધારવા માટે ભાર દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
$\therefore$ ઉર્જા,$U = \text{કરેલું કાર્ય}$
$= \text{સરેરાશ બળ (ભાર)} \times \text{તારમાં લંબાઈનો વધારો}$
$= \left( \frac{0 + F}{2} \right) \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times \text{ભાર} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$

(B) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન આલેખમાં,જે પદાર્થ તૂટતા પહેલા મોટી પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ દર્શાવે છે તેને તન્ય (ductile) કહેવામાં આવે છે,જ્યારે જે પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી તરત જ તૂટી જાય છે તેને બરડ (brittle) કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,પદાર્થ $A$ ભંગાણ પહેલા નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર દર્શાવે છે (જે આલેખ આગળ વધે છે અને યીલ્ડ પોઈન્ટ દર્શાવે છે તેના દ્વારા સૂચિત છે),જે તન્ય પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે.
પદાર્થ $B$ વિકૃતિનો નાનો વિસ્તાર દર્શાવે છે અને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી પ્રમાણમાં ઝડપથી તૂટી જાય છે,જે બરડ પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,$A$ તન્ય છે અને $B$ બરડ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે, જ્યાં $F$ એ બળ છે, $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ કે $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi \cdot d^2}$.
આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_1 = 0.4 \,mm$ અને પ્રારંભિક વધારો $\Delta L_1 = 2.4 \,cm$ આપેલ છે.
જો વ્યાસ બમણો કરવામાં આવે, તો $d_2 = 2 \cdot d_1$.
તેથી, $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2 \cdot d_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ, $\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{2.4 \,cm}{4} = 0.6 \,cm$.

(C) તારને તોડવા માટે જરૂરી બળ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે. તારનું તોડવાનું બળ એ તેના તોડવાના પ્રતિબળ (breaking stress) અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F = \sigma \times A = \sigma \times (\pi R^2)$
અહીં પદાર્થ સમાન (તાંબુ) હોવાથી,તોડવાનું પ્રતિબળ $\sigma$ અચળ રહેશે.
તેથી,$F \propto R^2$.
જો $R_1 = R$ ત્રિજ્યા માટે બળ $F_1 = F$ હોય,અને $R_2 = 2R$ ત્રિજ્યા માટે બળ $F_2$ હોય,તો:
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{2R}{R}\right)^2 = 4$
$F_2 = 4F_1 = 4F$.

(B) જ્યારે તારના તાપમાનમાં ફેરફાર થાય ત્યારે બંને છેડે જડિત તારમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{T}{A}$ હોવાથી, તણાવમાં થતો ફેરફાર $T = Y A \alpha \Delta t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t = 40^{\circ} \text{C} - 20^{\circ} \text{C} = 20^{\circ} \text{C}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times (20)$.
$T = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{-5} \times 20$.
$T = 2.0 \times 1.1 \times 20 \times 10^{11-6-5}$.
$T = 44 \times 10^0 = 44 \text{ N}$.
આમ, તણાવમાં થતો ફેરફાર $44 \text{ N}$ છે।

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$.
બંને તાર માટે $F$, $L$ અને $\Delta L$ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{d_c^2 Y_c} = \frac{1}{d_a^2 Y_a}$ મળે, જ્યાં $c$ તાંબા માટે અને $a$ એલ્યુમિનિયમ માટે છે.
તેથી, $d_c^2 Y_c = d_a^2 Y_a$.
કિંમતો મૂકતા: $d_c^2 (12 \times 10^{10}) = (3 \text{ mm})^2 (7 \times 10^{10})$.
$d_c^2 = \frac{9 \times 7}{12} \text{ mm}^2 = \frac{63}{12} \text{ mm}^2 = 5.25 \text{ mm}^2$.
$d_c = \sqrt{5.25} \text{ mm} \approx 2.29 \text{ mm} \approx 2.3 \text{ mm}$.

(C) હૂકના નિયમ અનુસાર,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{વિકૃતિ}$
જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$\frac{F}{A} = Y \times \frac{\Delta l}{L}$
અહીં,$F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta l$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
બળ $F$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$F = \frac{Y A}{L} \Delta l$
આપેલ તાર માટે $Y$,$A$ અને $L$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F \propto \Delta l$
અહીં લંબાઈમાં ફેરફાર $l$ આપેલ હોવાથી:
$F \propto l$
તેથી,બળ એ $l$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થમાં,વિરૂપક બળ લગાડવા છતાં તેના પરિમાણોમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થમાં વિકૃતિ (strain) શૂન્ય હોય છે.
$\text{યંગ મોડ્યુલસ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{0} = \infty$.
આમ,સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંત મુજબ સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકો વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકાય છે. આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે:
$\frac{9}{Y} = \frac{3}{\eta} + \frac{1}{K}$.
આ સૂત્રની મદદથી જો આપણને બે સ્થિતિસ્થાપક અચળાંકોની કિંમત ખબર હોય,તો આપણે ત્રીજો અચળાંક શોધી શકીએ છીએ.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,બંને તાર માટે $Y$ અચળ છે.
ભાર $F$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે $F = \frac{Y (\pi r^2) \Delta L}{L}$ લખી શકીએ.
આપેલ ગુણોત્તર: $r_1/r_2 = 1/2$ અને $L_1/L_2 = 1/2$. વિસ્તરણ સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
ભારનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{L_2}{L_1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_1}{F_2} = (1/2)^2 \times (2/1) = (1/4) \times 2 = 1/2$.
તેથી,લગાડવામાં આવેલા ભારનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) આપેલા આલેખમાં,$y$-અક્ષ સમય $(t)$ દર્શાવે છે અને $x$-અક્ષ સ્થાનાંતર $(s)$ દર્શાવે છે.
ભૌતિક ગતિ માટે,જેમ પદાર્થ ગતિ કરે તેમ સમય હંમેશા વધવો જોઈએ.
આપેલા આલેખમાં,જેમ પદાર્થ $B$ થી $C$ અને પછી $D$ તરફ જાય છે,તેમ સ્થાનાંતર $s$ ઘટે છે જ્યારે સમય $t$ વધતો રહે છે.
જો કે,કોઈપણ આપેલ સમય $t$ પર,પદાર્થ માત્ર એક જ સ્થાન $s$ પર હોઈ શકે છે.
આલેખ જોતા,સમય $t$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,સ્થાનાંતર $s$ ના અનેક મૂલ્યો શક્ય છે,જે ગતિ કરતા એક પદાર્થ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
વધુમાં,આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,જે શક્ય છે,પરંતુ આલેખનો આકાર સૂચવે છે કે એક જ સમયના ક્ષણે પદાર્થ અનેક સ્થાનો પર છે,અથવા વધુ સચોટ રીતે કહીએ તો,$\frac{ds}{dt}$ ને બદલે $\frac{dt}{ds}$ નો આલેખ દોરવામાં આવ્યો છે.
કારણ કે સમય ઘટી શકતો નથી અથવા એક સ્થાન માટે બહુ-મૂલ્યવાન હોઈ શકતો નથી,તેથી આ આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(B) $P-Q$ યામ પદ્ધતિમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનો આલેખ બે ચલો વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $P = m Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ રેખાનો ઢાળ છે.
સીધી રેખા માટે ઢાળ $m = \tan \theta$ અચળ હોવાથી, આપણને $\frac{P}{Q} = m = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના આલેખ માટેની સાચી શરત $\frac{P}{Q} = \text{અચળ}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $K_{max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે।
પ્રકાશની તીવ્રતા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાને અસર કરે છે, જે બદલામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે, પરંતુ તે વ્યક્તિગત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાને અસર કરતું નથી।
તેથી, જ્યારે તીવ્રતા ઘટાડીને એક-ચતુર્થાંશ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અપરિવર્તિત રહે છે।

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{th}}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય.
આપેલ છે:
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{th}} = 3600 \mathring A$.
આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda = 1100 \mathring A$.
ગતિઊર્જા $K_{\text{max}}$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{\text{th}}}$
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{1}{1100} - \frac{1}{3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{3600 - 1100}{1100 \times 3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{2500}{3960000} \right) \text{ eV} \approx 7.83 \text{ eV}$.

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ એ સૂત્ર $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Phi_0 = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = 3.978 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ નું મૂલ્ય $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \Delta t}$ થાય.
$\Delta t$ સમયમાં પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = i \Delta t$ છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા,$Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \Delta t} \right) \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.

(A) $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા અને $i$ જેટલો સ્થાયી પ્રવાહ વહેવડાવતા કોઈલ (ગૂંચળા) માં સંગ્રહિત ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} L i^2$
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી હોય છે.
તેથી,કોઈલમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) આપેલ છે કે,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H = 5 \times 10^{-2} H$.
પ્રવાહ $I = 4 A$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times (4)^2$.
$E = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-2} \times 16$.
$E = 5 \times 10^{-2} \times 8 = 40 \times 10^{-2} J = 0.4 J$.

(C) $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતી કોઈલને ચાર સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવતી હોવાથી,દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = \frac{L}{4}$ થશે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} = \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} = \frac{16}{L}$ મળે છે.
તેથી,$L^{\prime} = \frac{L}{16}$ થાય.

(A) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ નીચે મુજબ છે,
આપેલ છે,$I = 10 \ A$
$\therefore \quad \frac{dI}{dt} = 10^2 \ A \ s^{-1}$
ઇન્ડક્ટર કોઈલ પર પ્રેરિત emf,
$e = L \frac{dI}{dt} = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 = 0.5 \ V$
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા,
$V_{AB} + 2 \times 10 - 12 - 0.5 = 0$
$V_{AB} + 20 - 12.5 = 0$
$V_{AB} + 7.5 = 0$
$V_{AB} = -7.5 \ V$

(C) જ્યારે એક લંબચોરસ ગૂંચળાને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને ક્ષેત્રને લંબ એવી ધરીની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\phi = B A \cos \theta = B A \cos \omega t$ ...$(i)$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = -\frac{d \phi}{d t} = -\frac{d}{d t} (B A \cos \omega t)$
$e = -B A \frac{d}{d t} (\cos \omega t)$
$e = -B A (-\omega \sin \omega t)$
$e = B A \omega \sin \omega t$
ધારો કે $e_0 = B A \omega$ એ પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$e = e_0 \sin \omega t$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રેરિત emf સમય સાથે સાઇનસૉઇડલી (સાઇન વિધેય મુજબ) બદલાય છે.

(A) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા એવી દિશામાં વહે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધી બળને દૂર કરવા માટે,બાહ્ય યાંત્રિક કાર્ય કરવું પડે છે.
આ યાંત્રિક કાર્ય પરિપથમાં વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,પરંતુ તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થાય છે,તેથી લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ને $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} (BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $e = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત emf ની કળા $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,સર્કિટમાં ઉત્પન્ન થતા ઇન્ડ્યુસ્ડ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ નું મૂલ્ય સર્કિટમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના સમય સાથેના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે. ગાણિતિક રીતે,તેને $|\varepsilon| = |\frac{d\Phi_B}{dt}|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,આપેલ વિધાન ફેરાડેના નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે જે કારણથી ઉત્પન્ન થાય છે તેનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,લેન્ઝનો નિયમ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા આપે છે.

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જો પ્રેરિત પ્રવાહ ફેરફારને મદદ કરતો હોત,તો તે શૂન્યમાંથી ઊર્જા ઉત્પન્ન કરીને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરત. તેથી,લેન્ઝનો નિયમ એ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું મૂલ્ય $e = B v l_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
$l$ લંબાઈના સીધા તાર માટે,અસરકારક લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર તાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ (રેલ પરના બે સંપર્ક બિંદુઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર) અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલું જ રહે છે,જે મૂળ સીધા તારની લંબાઈ $l$ જેટલું જ છે.
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B v l_{eff}}{R}$ હોવાથી,અને $B, v, R$ તથા $l_{eff}$ બદલાતા ન હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય સમાન રહેશે.

(D) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ, $l = 1.0 \,m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 0.25 \,T$.
ભ્રમણની આવૃત્તિ, $f = 12 \,rev/s$.
ભ્રમણ કરતા સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$e = \frac{1}{2} B (2 \pi f) l^2 = B \pi f l^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.25 \times \pi \times 12 \times (1.0)^2$
$e = 3 \pi \,V$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા, આપણને મળે છે:
$e \approx 3 \times 3.14159 = 9.42477 \,V$
આમ, પ્રેરિત emf આશરે $9.42 \,V$ છે।

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $T = 8 \ s$ છે. $90^{\circ}$ ના પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ છે.
સરેરાશ emf $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t}$ છે.
$i. 0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(90^{\circ}) - BA \cos(0^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (0.3 \times 10)}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$ii. 90^{\circ}$ થી $180^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(180^{\circ}) - BA \cos(90^{\circ})}{2} = -\frac{-3 - 0}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$iii. 180^{\circ}$ થી $270^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(270^{\circ}) - BA \cos(180^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (-3)}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.
$iv. 270^{\circ}$ થી $360^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(360^{\circ}) - BA \cos(270^{\circ})}{2} = -\frac{3 - 0}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.

(A) $AC$ જનરેટરમાં,કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરે છે જેથી તેમાં એસી પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે કોઈલ ફરે છે ત્યારે બાહ્ય સર્કિટ સાથે સતત જોડાણ જાળવી રાખવા માટે,કોઈલના બે છેડાઓને બે અલગ-અલગ સ્લિપ રિંગ્સ સાથે જોડવામાં આવે છે. આ સ્લિપ રિંગ્સ કોઈલની સાથે ફરે છે,અને ફરતી સ્લિપ રિંગ્સ અને સ્થિર બાહ્ય સર્કિટ વચ્ચે સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે કાર્બન બ્રશનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી,કોઈલના છેડાઓ બે સ્લિપ રિંગ્સ સાથે જોડાયેલા હોય છે.

(C) કોઈલમાં વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_f - I_i = 1 \,A - 3 \,A = -2 \,A$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \,s$ છે.
કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 8 \,mH = 8 \times 10^{-3} \,H$ છે.
કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $e = -L \frac{dI}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = -(8 \times 10^{-3} \,H) \times \frac{-2 \,A}{0.1 \,s}$.
$e = 8 \times 10^{-3} \times 20 \,V = 160 \times 10^{-3} \,V = 16 \times 10^{-2} \,V$.

(B) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M = 0.2 H$.
પ્રાયમરી કોઈલમાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = 5 A s^{-1}$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$e = M \frac{dI}{dt}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.2 H \times 5 A s^{-1}$
$e = 1 V$
તેથી,સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $1 V$ છે.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf $(e_s)$ એ સંબંધ $e_s = -M \frac{di_p}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરણનો સહગુણક છે અને $\frac{di_p}{dt}$ એ પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર છે.
જો પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર એકમ હોય,એટલે કે $\frac{di_p}{dt} = 1 \ A/s$,તો પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય અન્યોન્ય પ્રેરણના સહગુણક જેટલું થાય છે $(|e_s| = M)$.
તેથી,પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહના એકમ ફેરફારના દરને કારણે ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf ને બે ગૂંચળાનું અન્યોન્ય પ્રેરણ (Mutual Induction) કહેવામાં આવે છે.

(C) માઇક્રોવેવની તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે,જે તેમને ન્યૂનતમ વિવર્તન સાથે સીધી રેખામાં પ્રસારિત થવા દે છે. આ ગુણધર્મને લીધે,તેઓ વસ્તુઓને શોધવા અને તેમનું અંતર,ગતિ અને દિશા નક્કી કરવા માટે અત્યંત અસરકારક છે. તેથી,માઇક્રોવેવનો ઉપયોગ $Radar$ (રેડિયો ડિટેક્શન એન્ડ રેન્જિંગ) સિસ્ટમમાં વ્યાપકપણે થાય છે.

(A) પૃથ્વીના વાતાવરણમાં રહેલું ઓઝોન સ્તર સૂર્યમાંથી આવતા હાનિકારક અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિકિરણોનું શોષણ કરીને જીવનનું રક્ષણ કરવામાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે.
$UV$ વિકિરણો દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ઓઝોન સ્તર $3 \times 10^{-7} \ m$ (અથવા $300 \ nm$) થી ઓછી તરંગલંબાઈ ધરાવતા $UV$ વિકિરણોનું અસરકારક રીતે શોષણ કરે છે.

(C) મેક્સવેલના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
નિયમિત વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ આ ક્ષેત્રો સમય સાથે એવી રીતે બદલાતા નથી કે જે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરી શકે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર પ્રવેગિત કે પ્રતિપ્રવેગિત ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ સમય સાથે બદલાતા ક્ષેત્રો અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માત્ર પ્રવેગી અથવા પ્રતિપ્રવેગી વિદ્યુતભારો દ્વારા જ ઉત્પન્ન થાય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ $v = 8.2 \times 10^6 \,Hz$ આપેલ છે。
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે。
ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $c = v \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે。
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{8.2 \times 10^6} \,m$.
$\lambda = \frac{300}{8.2} \,m \approx 36.58 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $\lambda = 36.5 \,m$ છે。

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાં $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી છે,ત્યારબાદ અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશ,પછી દ્રશ્યમાન વાદળી પ્રકાશ અને અંતે દ્રશ્યમાન લાલ પ્રકાશ આવે છે.
તરંગલંબાઈની સરખામણી કરતા: $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{blue}} > \lambda_{\text{UV}} > \lambda_{\text{X-ray}}$.
તેથી,દ્રશ્યમાન લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી લાંબી છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકત્વના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.
જોકે,પ્રવેગિત વિદ્યુતભાર સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે બદલામાં સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ સમય સાથે બદલાતા ક્ષેત્રો અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,પ્રવેગિત વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો સ્ત્રોત છે.

(B) વિલ્હેમ રોન્ટજન,જેઓ બાવેરિયાના વુર્ઝબર્ગમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર હતા,તેમણે $1895$ માં આકસ્મિક રીતે $X$-કિરણોની શોધ કરી હતી,જ્યારે તેઓ એ તપાસી રહ્યા હતા કે શું કેથોડ કિરણો કાચમાંથી પસાર થઈ શકે છે કે નહીં.
$X$-કિરણો એ અત્યંત ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે,જેની તરંગલંબાઇ આશરે $10^{-8} \ m$ થી $10^{-12} \ m$ ની વચ્ચે હોય છે અને તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ આશરે $10^{16} \ Hz$ થી $10^{20} \ Hz$ સુધીની હોય છે.

(A) વિદ્યુતભારોને $A(0)$,$B(l/2)$ અને $C(l)$ સ્થાન પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
સ્થાન $A$ પર રહેલા $4q$ વિદ્યુતભારને કારણે સ્થાન $C$ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{K(4q)(q)}{l^2}$ છે.
સ્થાન $B$ પર રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે સ્થાન $C$ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2}$ છે.
$q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$F_{AC} + F_{BC} = 0$
$\frac{K(4q)(q)}{l^2} + \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2} = 0$
$Kq$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4q}{l^2} + \frac{Q}{l^2/4} = 0$
$\frac{4q}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0$
$4q + 4Q = 0$
$4Q = -4q$
$Q = -q$

(A) સમાન ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવેલ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = p E \sin \theta$ ...$(i)$
જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ વેક્ટર અને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિવિધ ખૂણાઓ પર ટોર્કનું વિશ્લેષણ:
$1$. $\theta = 0^{\circ}$ પર,$\tau = p E \sin 0^{\circ} = 0$.
$2$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ પર,$\tau = p E \sin \frac{\pi}{2} = p E$.
$3$. $\theta = \pi$ પર,$\tau = p E \sin \pi = 0$.
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ પર,$\tau = p E \sin \frac{3\pi}{2} = -p E$.
$5$. $\theta = 2\pi$ પર,$\tau = p E \sin 2\pi = 0$.
આ ફેરફાર શૂન્યથી શરૂ થતી સાઈન વેવ પેટર્ન અનુસરે છે,જે $\frac{\pi}{2}$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,$\pi$ પર શૂન્ય થાય છે,$\frac{3\pi}{2}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને $2\pi$ પર ફરીથી શૂન્ય થાય છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો ગ્રાફ એ પ્રમાણભૂત સાઈન વક્ર છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$,અંતર $2a = 2 \times 10^{-2} \text{ cm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}$.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8} \text{ C}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}) = 8 \times 10^{-12} \text{ Cm}$.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ હોય $(\theta = 90^{\circ})$:
$\tau_{\max} = pE \sin 90^{\circ} = pE = (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$.
ડાયપોલને $\theta_1 = 0^{\circ}$ થી $\theta_2 = 180^{\circ}$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 64 \times 10^{-4} \text{ J}$.
આમ,મહત્તમ ટોર્ક $32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ અને કાર્ય $64 \times 10^{-4} \text{ J}$ છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
$\theta_1 = 30^{\circ}$
$\theta_2 = 90^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = p E (\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$ છે:
$W = p E (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} p E$
આમ,કરવામાં આવતું કાર્ય $\frac{\sqrt{3}}{2} p E$ છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલની અક્ષ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર ગોઠવાયેલ હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની અક્ષીય સ્થિતિમાં રહેલા બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$V \propto \frac{1}{r^2}$ અથવા $V \propto r^{-2}$ થાય.

(A, B) કોર્ક બોલનું દળ,$m=1 \text{ g}=10^{-3} \text{ kg}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E=(3 \hat{i}+5 \hat{j}) \times 10^5 \text{ NC}^{-1}$.
ખૂણો,$\theta=37^{\circ}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને કારણે કોર્ક બોલ પર લાગતું બળ $F=qE$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,તમામ બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં વિભાજિત કરતા:
$T \sin \theta = q E_x \quad \dots (i)$
$T \cos \theta + q E_y = mg \implies T \cos \theta = mg - q E_y \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{q E_x}{mg - q E_y}$
કિંમતો મૂકતા $(\tan 37^{\circ} = 3/4)$:
$\frac{3}{4} = \frac{q \times 3 \times 10^5}{10^{-3} \times 10 - q \times 5 \times 10^5}$
$\frac{3}{4} = \frac{3q \times 10^5}{10^{-2} - 5q \times 10^5}$
$3(10^{-2} - 5q \times 10^5) = 12q \times 10^5$
$0.03 - 15q \times 10^5 = 12q \times 10^5$
$0.03 = 27q \times 10^5 \implies q = \frac{0.03}{27 \times 10^5} = \frac{1}{9} \times 10^{-7} \approx 1.11 \times 10^{-8} \text{ C}$.
આમ,$q \approx 11 \times 10^{-9} \text{ C}$ અથવા $1.1 \times 10^{-8} \text{ C}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી:
$T \sin 37^{\circ} = q E_x$
$T \times 0.6 = (1.11 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^5)$
$T \times 0.6 = 3.33 \times 10^{-3}$
$T = \frac{3.33 \times 10^{-3}}{0.6} = 5.55 \times 10^{-3} \text{ N}$.
તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(A) ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ અનંત સુધી વિસ્તરે છે. આનું કારણ એ છે કે ધન વિદ્યુતભારની આસપાસના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ હંમેશા વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.

(A) અનંત રેખીય વીજભાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} = 2 \times 9 \times 10^9 = 18 \times 10^9$.
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = E \cdot 2 \pi \varepsilon_0 \cdot r = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0})} = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (9 \times 10^9)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-2}}{2 \times 9 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \ Cm^{-1} = 0.1 \ \mu C \ m^{-1}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુત ફ્લક્સના પ્રમાણમાં હોવાથી,$+q$ વીજભારમાંથી બહાર આવતી રેખાઓની સંખ્યા સીધી રીતે વીજભાર $q$ ના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત રેખાઓની સંખ્યા વીજભારના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $S_2$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ છે.
તેથી,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ થાય.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\Phi_E = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.
આમ,સપાટી $S_2$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુલ બંધિત વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (\frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{3}{\pi} + \frac{4}{\pi} - \frac{5}{\pi}) \times 10^{-9} \ C = \frac{5}{\pi} \times 10^{-9} \ C$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{5 \times 10^{-9}}{\pi \varepsilon_0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{\pi \varepsilon_0} = 4 \times 9 \times 10^9 = 36 \times 10^9$ થાય.
તેથી,$\phi = 5 \times 10^{-9} \times 36 \times 10^9 = 180 \ Nm^2 C^{-1}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે,$q = 10^{-7} \text{ C}$ અને $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{10^{-7}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{8.854} \times 10^5$
$\phi \approx 0.1129 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
$\phi \approx 1.129 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\phi \approx 1.13 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $x = 1 \ m$ અને $x = 3 \ m$ ની વચ્ચેના વિસ્તારમાં,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ $(V = 2 \ V)$ છે.
આ વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ હોવાથી,અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,એટલે કે $\frac{dV}{dx} = 0$.
તેથી,$x = 2 \ m$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx} = 0 \ V/m$ થશે.

(D) સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એટલે એવી સપાટી કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1 - V_2)$ $0$ હોય છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા મુજબ,એકમ ધન વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $(W)$ એ $W = q(V_1 - V_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V_1 - V_2 = 0$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = q \times 0 = 0$ થાય છે.
આમ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર એકમ ધન વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કોઈ કાર્ય કરવું પડતું નથી.

(D) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = k \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે કે $V = 200 \,V$ અને $R = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$200 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.05} \implies Q = \frac{200 \times 0.05}{9 \times 10^9} = \frac{10}{9} \times 10^{-9} \,C$.
ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V(r) = k \frac{Q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ પર સ્થિતિમાન $(r_A = 15 \,cm = 0.15 \,m)$: $V_A = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.15} = \frac{9 \times 10^9}{0.15} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.15} = 66.67 \,V$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(r_B = 10 \,cm = 0.10 \,m)$: $V_B = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.10} = \frac{9 \times 10^9}{0.10} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.10} = 100 \,V$.
$q = 5 \,C$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$W = 5 \times (100 - 66.67) = 5 \times 33.33 = 166.65 \,J \approx 166.7 \,J$.

(C) ગોલીય વાહક પરનો વીજભાર $q = +1 \,nC = 10^{-9} \,C$ છે।
ગોલીય વાહકના કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર $r = 0.5 \,m$ છે।
બિંદુવત વીજભાર (અથવા ગોલીય વાહકની બહાર) થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ છે।
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2) \times \frac{10^{-9} \,C}{0.5 \,m}$.
$V = 9 \times \frac{1}{0.5} \,V$.
$V = 9 \times 2 \,V = 18 \,V$.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $+18 \,V$ છે।

(B) આપેલ છે: પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 50$, ત્રિજ્યા $r = 9 \times 10^{-15} \,m$, અને મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ભારિત ગોળા (ન્યુક્લિયસ) ની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$
કુલ વિદ્યુતભાર $q = Z e$ હોવાથી, આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 10^9 \times 80 \times 10^{-19} \times 10^{15}$
$V = 80 \times 10^5 = 8 \times 10^6 \,V$
આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન $8 \times 10^6 \,V$ છે.

(A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 5 C$,બળ $F = 5000 N$,અંતર $d = 1 cm = 10^{-2} m$.
પ્રથમ,$E = F / q$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ શોધો.
$E = 5000 / 5 = 1000 N/C$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \times d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 V$.

(D) બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય $W$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $V = \frac{W}{q}$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર,$q = 20 C$
કરેલું કાર્ય,$W = 2 J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{2 J}{20 C} = 0.1 V$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 V$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{E} = E \hat{i}$.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q \vec{E} = q E \hat{i}$ છે.
વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,થયેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,કાપેલા માર્ગ પર નહીં.
પ્રારંભિક સ્થાન $P(a, b, 0)$ છે અને અંતિમ સ્થાન $S(0, 0, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a) \hat{i} + (0 - b) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = -a \hat{i} - b \hat{j}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ છે.
$W = (q E \hat{i}) \cdot (-a \hat{i} - b \hat{j}) = -q E a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q E b (\hat{i} \cdot \hat{j})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,તેથી $W = -q E a$ મળે છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\vec{E} \cdot \vec{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ પ્રારંભિક બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$V_A - V_B$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $d = |\vec{BA}| = 2 \ m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે (કારણ કે તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$V_A - V_B = -E d \cos(\theta)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_A - V_B = -(10 \ N \ C^{-1}) \times (2 \ m) \times \cos(60^\circ)$.
$V_A - V_B = -20 \times 0.5 = -10 \ V$.