AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = h$ છે અને અંતિમ સ્થાન $y = 0$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = v$ છે અને પ્રવેગ $a = -g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $y = y_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = h + vt - \frac{1}{2}gt^2$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$\frac{1}{2}gt^2 - vt - h = 0$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $gt^2 - 2vt - 2h = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=g$,$b=-2v$,અને $c=-2h$ છે:
$t = \frac{2v \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4(g)(-2h)}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g}$
$t = \frac{v \pm \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂળ લઈએ છીએ:
$t = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{\sqrt{v^2(1 + \frac{2gh}{v^2})}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{v}{g}\sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}$
$t = \frac{v}{g}\left[1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}\right]$

(C) દડાને એક ખેલાડીથી બીજા ખેલાડી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ ઉડ્ડયન સમય $(T)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 4 \,s$.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = 4 \,s$ છે.
તેથી,$u \sin \theta = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m/s$.
દડા દ્વારા મુક્તિ બિંદુથી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{max})$ નું સૂત્ર $H_{max} = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ છે.
$u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા: $H_{max} = \frac{(2g)^2}{2g} = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m$.
જમીનથી દડાની કુલ ઊંચાઈ એ ખેલાડીની ઊંચાઈ અને મુક્તિ બિંદુથી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈનો સરવાળો છે.
કુલ ઊંચાઈ $= 1.8 \,m + 19.6 \,m = 21.4 \,m$.

(B) પથ્થર મુક્ત પતન કરતો હોવાથી, તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે।
પ્રથમ $5 \,s$ માં પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$u = 0$, $t = 5 \,s$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$h_1 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5^2 = 122.5 \,m$.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{1}{2}g(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ પ્રથમ $5 \,s$ માં કાપેલા અંતર જેટલું છે:
$122.5 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2n - 1)$.
$122.5 = 4.9 \times (2n - 1)$.
$2n - 1 = \frac{122.5}{4.9} = 25$.
$2n = 26$.
$n = 13 \,s$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $S = 4t^3 - 8t^2 + 5t + 4$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 8t^2 + 5t + 4) = 12t^2 - 16t + 5$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 16t + 5) = 24t - 16$.
$t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ શોધવા માટે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા: $a = 24(2) - 16 = 48 - 16 = 32 \ m \ s^{-2}$.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $S = 30t + 5t^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{dS}{dt}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $v = \frac{d}{dt}(30t + 5t^2) = 30 + 10t$.
પ્રારંભિક વેગ એ $t = 0$ સમયે વેગ છે.
વેગના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા: $v = 30 + 10(0) = 30 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $30 \ m \ s^{-1}$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = 2t^2 + t + 5$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + t + 5) = 4t + 1$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4 \ m \cdot s^{-2}$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ $4 \ m \cdot s^{-2}$ થશે.

(A) કણનું સ્થાન $s(t) = 3t^3 + 7t^2 + 3t + 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 3t + 8) = 9t^2 + 14t + 3$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 3) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ $a(1) = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$ થાય.

(C) ધારો કે ટ્રેનની દિશા (ઉત્તર) ધન છે અને પોપટની દિશા (દક્ષિણ) ઋણ છે.
ટ્રેનનો વેગ,$v_t = 10 \,ms^{-1}$.
પોપટનો વેગ,$v_p = -5 \,ms^{-1}$.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{pt} = v_t - v_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{pt} = 10 - (-5) = 15 \,ms^{-1}$.
ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \,m$ છે.
પોપટને ટ્રેનની સાથે ઉડવા માટે લાગતો સમય $t$ એ સાપેક્ષ વેગ સાથે ટ્રેનની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય છે.
$t = \frac{L}{v_{pt}} = \frac{150}{15} = 10 \,s$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
વિમાન $400 \,m$ ઉત્તર દિશામાં ઉડે છે,તેથી તેનું સ્થાન $(0, 400, 0)$ છે.
ત્યારબાદ તે $300 \,m$ દક્ષિણ દિશામાં ઉડે છે,તેથી તેનું નવું સ્થાન $(0, 400-300, 0) = (0, 100, 0)$ થાય છે.
અંતે,તે $1200 \,m$ ઉપરની તરફ ઉડે છે,તેથી તેનું અંતિમ સ્થાન $(0, 100, 1200)$ થાય છે.
કુલ સ્થાનાંતર એ ઉગમબિંદુથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર છે:
$d = \sqrt{0^2 + 100^2 + 1200^2}$
$d = \sqrt{10000 + 1440000}$
$d = \sqrt{1450000}$
$d = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204.16 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,કુલ સ્થાનાંતર આશરે $1200 \,m$ થાય છે.

(D) પથલંબાઈ એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
કોઈપણ ગતિ માટે,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય હંમેશા પથલંબાઈ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે $(|\text{displacement}| \le \text{distance})$.
જ્યારે પદાર્થ દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન હોય છે,તેથી તેમનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.
જ્યારે પદાર્થ વક્ર પથ પર ગતિ કરે છે અથવા દિશા બદલે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર હંમેશા પથલંબાઈ કરતા ઓછું હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $1$ કરતા ઓછો હોય છે.
આમ,સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈનો ગુણોત્તર હંમેશા $1$ અથવા $1$ કરતા ઓછો હોય છે.

(B) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જ્યારે પદાર્થ $C / 4$ જેટલું અંતર કાપે છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી પહોંચે છે.
કાપેલું અંતર પરિઘના ચોથા ભાગનું હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
આમ,$\triangle OAB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $OA = OB = r$ છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક સ્થાન $A$ અને અંતિમ સ્થાન $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\text{સ્થાનાંતર} = AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$
$\text{સ્થાનાંતર} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r \sqrt{2}$

(A) પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે. તેને પૂર્વ $(\hat{i})$ અને ઉત્તર $(\hat{j})$ દિશાના ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$u = (10\sqrt{2} \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (10\sqrt{2} \sin 45^{\circ}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} \ m/s$.
પ્રવેગ દક્ષિણ દિશામાં છે, તેથી $a = -2 \hat{j} \ m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, $t = 5 \ s$ માટે:
$v = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) + (-2 \hat{j}) \times 5$
$v = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} - 10 \hat{j}$
$v = 10 \hat{i} \ m/s$.
આમ, અંતિમ વેગ $10 \ m/s$ પૂર્વ દિશામાં હશે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ, $m = 10 \,kg$.
પ્રારંભિક વેગ, $u = 10 \,m \,s^{-1}$.
સમયગાળો, $t = 4 \,s$.
અંતિમ વેગ, $v = -2 \,m \,s^{-1}$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v = u + at$.
પ્રવેગ માટે સૂત્ર: $a = \frac{v - u}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \,m \,s^{-2}$.
આમ, ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $-3 \,m \,s^{-2}$ છે.

(A) આપેલ છે, પરિણામી ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a = 10 \,m/s^2$, સમય $t = 1 \,min = 60 \,s$, અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
પાવર્ડ તબક્કા દરમિયાન પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $(h_1)$:
$h_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 \times 60 + \frac{1}{2} \times 10 \times (60)^2 = 18000 \,m = 18 \,km$.
પાવર્ડ તબક્કાના અંતે વેગ $(v)$:
$v = u + at = 0 + 10 \times 60 = 600 \,m/s$.
બળતણ પૂરું થયા પછી, રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે $(a = -g = -9.8 \,m/s^2)$ જ્યાં સુધી તેનો વેગ શૂન્ય ન થાય.
અનપાવર્ડ તબક્કા દરમિયાન પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $(h_2)$:
$v_f^2 - v^2 = 2ah_2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v_f = 0$:
$0 - (600)^2 = 2(-9.8)h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{360000}{19.6} \approx 18367.3 \,m \approx 18.4 \,km$.
કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $H = h_1 + h_2 = 18 \,km + 18.4 \,km = 36.4 \,km$.

(D)
ધારો કે $u = 0$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પદાર્થનો સમાન પ્રવેગ છે।
પ્રથમ $t = 2 \,s$ માં કાપેલું અંતર:
$x_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2a \quad (i)$
$2 \,s$ ના અંતે પદાર્થનો વેગ:
$v = u + at = 0 + a(2) = 2a \quad (ii)$
આગામી $2 \,s$ માં ($t = 2 \,s$ થી $t = 4 \,s$ સુધી) પ્રારંભિક વેગ $v = 2a$ સાથે કાપેલું અંતર:
$x_2 = vt + \frac{1}{2}at^2 = (2a)(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 4a + 2a = 6a$
$x_1$ અને $x_2$ ની સરખામણી કરતા:
$x_2 = 6a = 3(2a) = 3x_1$
આમ, $x_2 = 3x_1$

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 20 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m s^{-1}$
પ્રતિરોધક બળ $F = 100 \ N$
અંતિમ વેગ $v = 0 \ m s^{-1}$ (કારણ કે પદાર્થ સ્થિર થાય છે)
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = F/m$ થાય. અહીં બળ પ્રતિરોધક હોવાથી તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે,તેથી $a = -F/m$.
$a = -\frac{100 \ N}{20 \ kg} = -5 \ m s^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 15 + (-5)t$
$5t = 15$
$t = 3 \ s$.
આમ,પદાર્થ $3 \ s$ પછી સ્થિર થશે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ટ્રેનની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = F \cdot d = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં પ્રારંભિક વેગ $v$ અને દળ $m$ અચળ હોવાથી,ટ્રેનને અટકાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય અચળ રહેવું જોઈએ.
$F_1 d_1 = F_2 d_2$
આપેલ છે કે $F_1 = F$ અને $d_1 = x$.
નવું બળ $F_2 = \frac{F}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $F \cdot x = (\frac{F}{4}) \cdot d_2$
$d_2 = 4x$.
તેથી,ટ્રેન મૂળ અંતર કરતા ચાર ગણું અંતર કાપશે.

(A) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે.
આપેલ છે કે અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતા બમણી છે,એટલે કે $R = 2H$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
$H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આ કિંમતોને આપેલ શરત $R = 2H$ માં મૂકતા:
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$.
ત્રિકોણ પરથી જ્યાં $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{2}{1}$,કર્ણ $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવે,અવધિ $R$ ની ગણતરી કરતા:
$R = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2v^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4v^2}{5g}$.

(C) જ્યારે બોલ-$1$ ને ટાવરની ટોચ પરથી આડી દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અને તે જ ક્ષણે બોલ-$2$ ને શિરોલંબ નીચે પડવા દેવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બોલ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ની સમાન અસર થાય છે.
બંને બોલ માટે પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $h$ કાપે છે,તેથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા મળે છે.
સમય માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $g$ બંને બોલ માટે સમાન હોવાથી,સમય $t$ પણ સમાન રહેશે.
તેથી,બંને બોલ એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને ટાવરના પાયાથી $200 \ m$ અંતરે આવેલા બિંદુ $O$ થી છોડવામાં આવે છે. ટાવરની ઊંચાઈ $h = 100 \ m$ છે અને તે પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $x = 200 \ m$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે આવેલો છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ ટાવરની ટોચ પરથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 200 \ m$ પર,ઊંચાઈ $y = 100 \ m$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $x = 200 \ m$ પર ટાવર ઉપરથી પસાર થાય છે અને ટાવરની આગળ $200 \ m$ અંતરે જમીન પર પડે છે,તેથી કુલ અવધિ $R = 200 \ m + 200 \ m = 400 \ m$ થાય.
ગતિપથના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - \frac{200}{400}\right)$
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - 0.5\right)$
$100 = 200 \tan \theta \times 0.5$
$100 = 100 \tan \theta$
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી $(a_x = 0)$.
ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કોઈ દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય,તો તે દિશામાં વેગ અચળ રહે છે.
તેથી,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x = u cos \theta)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(A) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v = 2\sqrt{gh}$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક: $v_x = v \cos \theta = 2\sqrt{gh} \cos \theta$.
દીવાલો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 2h$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x} = \frac{2h}{2\sqrt{gh} \cos \theta} = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec \theta$ ... $(i)$
પથના સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = h$ ઊંચાઈ પરની બે દીવાલો માટે:
$h = x \tan \theta - \frac{x^2}{8h \cos^2 \theta} \Rightarrow x^2 - (8h \tan \theta \cos^2 \theta) x + 8h^2 = 0$.
દીવાલો વચ્ચેનું અંતર $x_2 - x_1 = 2h$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $|x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.
$|x_2 - x_1| = \sqrt{(8h \tan \theta \cos^2 \theta)^2 - 32h^2} = 2h$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\theta = 60^\circ$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $\theta = 60^\circ$ મૂકતા: $t = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec 60^\circ = 2\sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
નિશ્ચિત પ્રારંભિક વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે $\sin(2\theta)$ મહત્તમ હોય ત્યારે અવધિ મહત્તમ હોય છે,જે $2\theta = 90^{\circ}$ એટલે કે $\theta = 45^{\circ}$ પર થાય છે.
આપેલા ખૂણાઓ માટે આપણે $\sin(2\theta)$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરીએ:
$25^{\circ}$ માટે,$2\theta = 50^{\circ}$,$\sin(50^{\circ}) \approx 0.766$.
$40^{\circ}$ માટે,$2\theta = 80^{\circ}$,$\sin(80^{\circ}) \approx 0.985$.
$55^{\circ}$ માટે,$2\theta = 110^{\circ}$,$\sin(110^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 110^{\circ}) = \sin(70^{\circ}) \approx 0.940$.
$70^{\circ}$ માટે,$2\theta = 140^{\circ}$,$\sin(140^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 140^{\circ}) = \sin(40^{\circ}) \approx 0.643$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\sin(80^{\circ})$ સૌથી મોટું છે. તેથી,$40^{\circ}$ ના ખૂણે અવધિ મહત્તમ હશે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u$ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ ધરાવતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમય $t = \frac{2u \sin\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અવધિ $R$ માટે,બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ છે.
ધારો કે $t_1 = \frac{2u \sin\theta}{g}$ અને $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos\theta}{g}$.
$t_1$ અને $t_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin\theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos\theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin\theta \cos\theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 \sin(2\theta)}{g^2}$.
કારણ કે $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,આપણે $u^2 \sin(2\theta) = Rg$ મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2(Rg)}{g^2} = \frac{2R}{g}$.
અહીં $2$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$t_1 t_2 \propto R$ થાય છે.

(C) ધારો કે $d$ એ નદીની પહોળાઈ છે. તરવૈયો સ્થિર પાણીમાં $v$ ઝડપે તરે છે.
સૌથી ઓછા સમય માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ તરવું જોઈએ. લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
સૌથી ટૂંકા અંતર માટે,તરવૈયાએ એવા ખૂણે તરવું જોઈએ કે જેથી પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય. ધારો કે પ્રવાહના લંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો $\sin \alpha = \frac{v_{river}}{v} = \frac{v/2}{v} = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$.
પ્રવાહની સામેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} + \alpha = 120^{\circ}$ છે.
સૌથી ટૂંકા અંતર માટે લાગતો સમય $t^{\prime} = \frac{d}{v \cos \alpha} = \frac{d}{v \sin \theta}$ છે.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t}{t^{\prime}} = \frac{d/v}{d/(v \sin \theta)} = \sin \theta$ છે.

(D) જ્યારે છોકરો અચળ વેગથી ગતિ કરતી ખુલ્લી કારમાં મુસાફરી કરી રહ્યો હોય,ત્યારે જડત્વના નિયમને કારણે છોકરો અને દડો બંને કારના સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
જ્યારે દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ બદલાતો નથી કારણ કે તેના પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી (હવાનો અવરોધ અવગણતા).
કાર અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખતી હોવાથી,સમાન સમયગાળામાં દડા અને કાર દ્વારા કાપવામાં આવેલું સમક્ષિતિજ અંતર સમાન હોય છે.
તેથી,દડો બરાબર છોકરાના હાથમાં જ પાછો આવશે.

(C) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ વેગ છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
અંતિમ બળ $F_2$ અને પ્રારંભિક બળ $F_1$ નો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{F_2}{F_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)$ મળે.
જ્યારે દળ,ઝડપ અને ત્રિજ્યા $100 \%$ વધે છે,ત્યારે તેમની નવી કિંમતો પ્રારંભિક કિંમતો કરતા બમણી થાય છે: $m_2 = 2m_1$,$v_2 = 2v_1$ અને $r_2 = 2r_1$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{2m_1}{m_1}\right) \cdot \left(\frac{2v_1}{v_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{r_1}{2r_1}\right) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$F_2 = 4F_1$.
બળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{4F_1 - F_1}{F_1} \times 100 = 300 \%$ છે.

(A) આપેલ છે: સિક્કાનું દળ,$m = 0.1 \,kg$.
કેન્દ્રથી અંતર,$r = 0.1 \,m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ,$f = 600 \,rpm = \frac{600}{60} \,rps = 10 \,Hz$.
કોણીય વેગ,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \,rad/s$.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ માટેનું સૂત્ર $F = m r \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 0.1 \times 0.1 \times (20 \pi)^2$.
$F = 0.01 \times 400 \pi^2 = 4 \pi^2 \,N$.

(A) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થની કોણીય ઝડપ $\omega$ ને કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમયગાળો છે.
કારણ કે બંને કાર $A$ અને $B$ તેમના વર્તુળાકાર માર્ગો સમાન સમયમાં પૂર્ણ કરે છે,તેથી તેમના સમયગાળા સમાન છે,એટલે કે $T_A = T_B$.
તેથી,તેમની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi / T_A}{2\pi / T_B} = \frac{T_B}{T_A}$ થાય.
$T_A = T_B$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{T_A}{T_A} = 1$.
આમ,$A$ અને $B$ ની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) જ્યારે ટ્રેન વળાંકવાળા પાટા પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગને અનુસરે છે.
વળાંકવાળા પાટા માટે,બે પાટા હોય છે: એક આંતરિક પાટો અને એક બાહ્ય પાટો.
વર્તુળાકાર માર્ગનું કેન્દ્ર આંતરિક પાટાની બાજુએ હોય છે.
બાહ્ય પાટો આંતરિક પાટા કરતા વક્રતાના કેન્દ્રથી વધુ દૂર હોવાથી,બાહ્ય પાટાની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R_{outer})$ એ આંતરિક પાટાની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R_{inner})$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$R_{outer} > R_{inner}$.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે અને કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
$1$. વેગ: વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક હોય છે. આ ઘટકને સ્પર્શકીય વેગ $(v_t = r\omega)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વેગનો કોઈ ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક હોતો નથી $(v_r = 0)$ કારણ કે કેન્દ્રથી અંતર અચળ રહે છે.
$2$. પ્રવેગ: વેગની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી,વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ એક પ્રવેગ હોય છે,જેને કેન્દ્રગામી અથવા ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $(a_r = v^2/r = r\omega^2)$ કહેવાય છે. અહીં કોઈ સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = 0)$ હોતો નથી કારણ કે ઝડપ અચળ છે.
તેથી,કણ પાસે સ્પર્શકીય વેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ હોય છે.

(B) આપેલ આકૃતિ મુજબ,લોલક $A$ અને $C$ ની લંબાઈ સમાન છે.
સામાન્ય લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી આવર્તકાળ $T$ ફક્ત લંબાઈ $l$ પર આધાર રાખે છે ($g$ અચળ છે તેમ ધારતા).
તેથી,લોલક $A$ અને $C$ ની દોલનની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન છે.
જ્યારે લોલક $A$ ને ગતિમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થિતિસ્થાપક આધાર માટે ડ્રાઈવર તરીકે કાર્ય કરે છે,જે બદલામાં અન્ય લોલકોને ગતિ આપે છે.
અનુનાદના સિદ્ધાંતને કારણે,જે લોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ ડ્રાઈવિંગ આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે તે મહત્તમ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરશે.
$A$ અને $C$ ની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન હોવાથી,લોલક $C$ મહત્તમ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરશે.

(B) આપેલી આકૃતિ પરથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U = U_0 + \frac{1}{2}Ky^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_0$ એ $y = 0$ આગળ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે.
$y = 0$ આગળ,$U_{\min} = 0.01 \text{ J}$.
$y = 20 \text{ mm} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ આગળ,$U_{\max} = 0.04 \text{ J}$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{\max} - U_{\min} = \frac{1}{2}Ky^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$0.04 \text{ J} - 0.01 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times (2 \times 10^{-2} \text{ m})^2$
$0.03 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$0.03 = K \times 2 \times 10^{-4}$
$K = \frac{0.03}{2 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^2 \text{ Nm}^{-1} = 150 \text{ Nm}^{-1}$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની છે:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \right)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા:
$y^2 = \frac{A^2}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \pm \frac{A}{2}$
આમ,મધ્યમાન સ્થાનથી $A/2$ જેટલા સ્થાનાંતરે,સ્થિતિઊર્જા કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની હોય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{1}{2} m v^2$
જ્યાં $v$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
જો સ્થાનાંતર $y = a \sin \omega t$ હોય,તો વેગ:
$v = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m (a \omega \cos \omega t)^2 = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \left( \frac{1 + \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{1}{4} m a^2 \omega^2 (1 + \cos 2\omega t)$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $K$ હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન હોય છે અને તે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા બમણી આવૃત્તિ (એટલે કે $2\omega$) સાથે બદલાય છે. વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ આવર્તિય ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં $K$ એ $0$ અને મહત્તમ મૂલ્ય વચ્ચે $T/2$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{\max} = m \omega^2 a = 10 \,N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર, સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય છે. અંત્ય સ્થાન પર, સ્થાનાંતર $y = a$ હોય છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર કણ પર લાગતું બળ $F = m \omega^2 y$ છે.
જ્યારે કણ મધ્યમાન અને અંત્ય સ્થાનની વચ્ચે હોય, ત્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = m \omega^2 \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} (m \omega^2 a)$.
કારણ કે $m \omega^2 a = 10 \,N$ છે, તેથી આપણને મળે છે:
$F = \frac{1}{2} \times 10 \,N = 5 \,N$.

(C) $SHM$ કરતા કણનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\alpha = -\omega^2 y$
જ્યાં $\alpha$ એ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $y$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
સંબંધ $\alpha \propto y$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવેગનું મૂલ્ય સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
સંતુલન સ્થાનથી કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,જ્યારે સ્થાનાંતર $y$ મહત્તમ હોય (એટલે કે અંતિમ સ્થાનો પર જ્યાં $y = \pm A$ હોય),ત્યારે પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે.

(C) સરળ આવર્ત તરંગ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ:
$y = \frac{10}{\pi} \sin \left(2000 \pi t - \frac{\pi x}{17}\right) \text{ cm}$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,કંપવિસ્તાર $a = \frac{10}{\pi} \text{ cm} = \frac{10}{\pi} \times 10^{-2} \text{ m}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \pi \text{ rad/s}$.
$1$. આવર્તકાળ $(T)$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2000 \pi$
$T = \frac{2\pi}{2000 \pi} = \frac{1}{1000} \text{ s} = 10^{-3} \text{ s}$.
$2$. મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$:
$v_{\max} = \omega a$
$v_{\max} = (2000 \pi) \times \left(\frac{10}{\pi} \times 10^{-2}\right) \text{ m/s}$
$v_{\max} = 2000 \times 10 \times 10^{-2} = 200 \text{ m/s}$.
આમ,આવર્તકાળ $10^{-3} \text{ s}$ અને મહત્તમ વેગ $200 \text{ m/s}$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતું ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$x = 0$ પર,સમય $t_0 = 0$ છે.
$x = A/2$ પર,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_1) = 1/2$. તેથી,$\omega t_1 = \pi/6$,એટલે કે $t_1 = \frac{T}{12}$.
તેથી,$T_1 = t_1 - t_0 = \frac{T}{12}$.
$x = A$ પર,$A = A \sin(\omega t_2)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_2) = 1$. તેથી,$\omega t_2 = \pi/2$,એટલે કે $t_2 = \frac{T}{4}$.
તેથી,$T_2 = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$T_1 = \frac{T}{12}$ અને $T_2 = \frac{T}{6}$ મળે છે.
આમ,$\frac{T}{12} < \frac{T}{6}$ હોવાથી,$T_1 < T_2$ સાચું છે.

(A) જ્યારે $M$ દળને ઢળતા સમતલ પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગો સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx - kx = -2kx$ છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -k_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2k$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eff} = 2k$ મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ મળે છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ કુલ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે।
કિસ્સો $1$: જ્યારે $700 \,g$ નો બ્લોક દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_1 = (500 + 400) \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ છે।
આવર્તકાળ $T_1 = 3 \,s$ છે।
તેથી,$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = 4 \pi^2 \left( \frac{0.9}{k} \right) \Rightarrow k = \frac{4 \pi^2 \times 0.9}{9} = 0.4 \pi^2 \,N/m$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $700 \,g$ અને $500 \,g$ બંને બ્લોક દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ છે।
નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ મળે:
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{0.4 \pi^2}}$.
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \pi \left( \frac{1}{\pi} \right) = 2 \,s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં, મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = \omega a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે, $v_{\text{max}} = 6.28 \text{ cm s}^{-1}$.
પથની લંબાઈ એ કણ દ્વારા એક દોલનમાં કાપેલું કુલ અંતર છે, જે $2a$ જેટલું હોય છે.
તેથી, $2a = 8 \text{ cm}$, જેનો અર્થ છે કે $a = 4 \text{ cm}$.
$v_{\text{max}} = \omega a$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{a} = \frac{6.28}{4} \text{ rad s}^{-1}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, આપણે લખી શકીએ $\frac{2\pi}{T} = \frac{6.28}{4}$.
$\pi \approx 3.14$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{2 \times 3.14}{T} = \frac{6.28}{4}$.
$\frac{6.28}{T} = \frac{6.28}{4}$.
તેથી, $T = 4 \text{ s}$.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,કુલ ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
સ્થાનાંતરિત $KE = \frac{1}{2}mv^2$.
ચાકગતિ $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$.
કુલ $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})$.
ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ ઊર્જાનો અંશ $\frac{Rotational \ KE}{Total \ KE} = \frac{\frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})}{\frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})} = \frac{K^2}{K^2+R^2}$ છે.

(B) ધારો કે કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક $W$ ($kg$ માં) છે.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ, ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્માના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_2 c (T_2 - T_f)$
ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_1 c (T_f - T_1)$
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $W c (T_f - T_1)$
અહીં, $m_1 = 0.5 \,kg$, $T_1 = 30^{\circ} C$, $m_2 = 0.3 \,kg$, $T_2 = 60^{\circ} C$, અને $T_f = 40^{\circ} C$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ બધા પદોમાં સામાન્ય હોવાથી તે ઉડી જશે:
$m_2 (T_2 - T_f) = (m_1 + W) (T_f - T_1)$
$0.3 (60 - 40) = (0.5 + W) (40 - 30)$
$0.3 \times 20 = (0.5 + W) \times 10$
$6 = 5 + 10W$
$1 = 10W$
$W = 0.1 \,kg$.

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલિત તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$10^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $50 \ g$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $H_{\text{gain}} = m c \Delta T = 50 \cdot c \cdot (T - 10)$.
$100^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $50 \ g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $H_{\text{loss}} = m c \Delta T = 50 \cdot c \cdot (100 - T)$.
બંનેને સરખાવતા: $50 \cdot c \cdot (T - 10) = 50 \cdot c \cdot (100 - T)$.
બંને બાજુ $50 \cdot c$ વડે ભાગતા: $T - 10 = 100 - T$.
$2T = 110$.
$T = 55^{\circ} C$.

(C) વરાળનું દળ,$m_s = 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g} = 10^3 \text{ g}$.
વરાળનું પ્રારંભિક તાપમાન,$T_i = 150^{\circ} \text{C}$.
વરાળનું અંતિમ તાપમાન (પાણી તરીકે),$T_f = 90^{\circ} \text{C}$.
વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_v = 540 \text{ cal g}^{-1}$.
વરાળની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$c_s = 1 \text{ cal g}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$c_w = 1 \text{ cal g}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $(Q_{lost})$ માં વરાળનું $150^{\circ} \text{C}$ થી $100^{\circ} \text{C}$ સુધી ઠંડુ થવું,$100^{\circ} \text{C}$ પર તેનું સંઘનન અને ત્યારબાદ પાણીનું $100^{\circ} \text{C}$ થી $90^{\circ} \text{C}$ સુધી ઠંડુ થવાનો સમાવેશ થાય છે.
$Q_{lost} = m_s c_s (150-100) + m_s L_v + m_s c_w (100-90)$
$Q_{lost} = 1000 \times 1 \times 50 + 1000 \times 540 + 1000 \times 1 \times 10$
$Q_{lost} = 50,000 + 540,000 + 10,000 = 600,000 \text{ cal} = 60 \times 10^4 \text{ cal}$.
$20 \text{ L}$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $(Q_{gained})$: $m_w = 20 \text{ kg} = 20,000 \text{ g}$.
$Q_{gained} = m_w c_w \Delta T = 20,000 \times 1 \times \Delta T = 20,000 \Delta T$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_{gained}$.
$600,000 = 20,000 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{600,000}{20,000} = 30^{\circ} \text{C}$.

(C) ધારો કે મિશ્રણનું પરિણામી તાપમાન $T$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$20^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $5 \ kg$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$H_{\text{gain}} = m_1 c (T - T_1) = 5 \cdot c \cdot (T - 20) \quad \dots (i)$
$60^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $10 \ kg$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$H_{\text{loss}} = m_2 c (T_2 - T) = 10 \cdot c \cdot (60 - T) \quad \dots (ii)$
મેળવેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$5c(T - 20) = 10c(60 - T)$
બંને બાજુ $5c$ વડે ભાગતા:
$T - 20 = 2(60 - T)$
$T - 20 = 120 - 2T$
$3T = 140$
$T = \frac{140}{3} \approx 46.67^{\circ} C$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરિણામી તાપમાન $47^{\circ} C$ મળે છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સમાં, પાણીનું ત્રિ-બિંદુ એ તાપમાન અને દબાણ છે કે જેના પર પાણી પ્રવાહી, ઘન અને વાયુ અવસ્થામાં સંતુલનમાં રહી શકે છે.
આંતરરાષ્ટ્રીય કરાર મુજબ, શુદ્ધ પાણીનું ત્રિ-બિંદુ $611.2 \,Pa$ ના દબાણે બરાબર $273.16 \,K$ તાપમાન છે.

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 210 \ m$,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 4.2 \times 10^3 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
જ્યારે પાણી પડે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE) = mgh$.
પ્રશ્ન મુજબ,ગતિ ઊર્જાના $60 \ \%$ ભાગનું ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતર થાય છે.
$Q = 0.6 \times PE = 0.6 \times mgh$.
ઉપરાંત,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mc\Delta T = 0.6 \times mgh$.
બંને બાજુથી દળ $m$ દૂર કરતા:
$c\Delta T = 0.6 \times g \times h$.
$\Delta T = \frac{0.6 \times g \times h}{c}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{0.6 \times 10 \times 210}{4.2 \times 10^3} = \frac{1260}{4200} = 0.3^{\circ} C$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $0.3^{\circ} C$ છે.

(C) જ્યારે બરફના બે ટુકડાઓને એકબીજાની વિરુદ્ધ દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સંપર્ક સપાટી પરનું દબાણ વધે છે. પાણીના ફેઝ ડાયાગ્રામ મુજબ,દબાણ વધવાની સાથે બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આના કારણે સંપર્ક સપાટી પરનો બરફ પીગળીને પાણીમાં ફેરવાય છે. જ્યારે દબાણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ફરીથી થીજી જાય છે,જેના કારણે બંને ટુકડાઓ જોડાઈને એક ટુકડો બની જાય છે. આ ઘટનાને 'રીજેલેશન' (Regelation) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $10 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર વાહક માટે, વાહકની અંદર (કોઈપણ અંતર $r < R$ માટે) સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે $r = 5 \,cm$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ છે, તેથી સપાટી પર $(r = 10 \,cm)$ પણ સ્થિતિમાન $V$ જ હશે.
કેન્દ્રથી $r > R$ અંતરે સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V(r) = \frac{kQ}{r}$ છે, જ્યાં $kQ$ એ સપાટી પરનું સ્થિતિમાન ગુણ્યા ત્રિજ્યા $(V \times R)$ છે.
તેથી, $V(r) = \frac{V \times R}{r}$.
કિંમતો $R = 10 \,cm$ અને $r = 15 \,cm$ મૂકતા:
$V(15) = \frac{V \times 10}{15} = \frac{2}{3} V$.

(B) નબળું ન્યુક્લિયર બળ એ એક મૂળભૂત આંતરક્રિયા છે જે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયની ચોક્કસ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન થાય છે,જેમ કે બીટા ક્ષય. તે પ્રાથમિક કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે,ખાસ કરીને ક્વાર્ક અને લેપ્ટોન જેવા ભારે પ્રાથમિક કણો વચ્ચે,જે આ ક્ષય પ્રક્રિયાઓમાં સામેલ હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $idl$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ છે:
$dB = \frac{\mu_0 i dl \sin(\theta)}{4 \pi r^2}$
જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રવાહ ખંડની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,સ્થાન સદિશ એ પ્રવાહ ખંડ સાથે એકરેખસ્થ (collinear) હોય છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય છે.
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ અને $\sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ શૂન્ય થાય છે.

(B) જ્યારે વર્તુળાકાર વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે.
જેમ આપણે વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર તરફ જઈએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વધુ સીધી અને કોઈલની અક્ષને સમાંતર બનતી જાય છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના બરાબર કેન્દ્ર પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે ચુંબકીય બળરેખાઓ માત્ર કેન્દ્ર પર જ કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલી વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = n I A B \sin \alpha$
જ્યાં $\alpha$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રશ્નમાં,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ થાય.
આ કિંમત ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = n I A B \sin(90^{\circ} - \theta) = n I A B \cos \theta$
જો કે,પ્રશ્ન ખાસ કરીને એવી સ્થિતિ વિશે પૂછે છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમતલ સમક્ષિતિજ છે અને કોઈલનું સમતલ શિરોલંબ છે. આ ગોઠવણીમાં,કોઈલનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
આમ,ટોર્ક:
$\tau = n I A B \sin 90^{\circ} = n I A B$ થાય.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં '$l$' લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આ એક બંધ ગાળો હોત,તો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કુલ બળ શૂન્ય થાત. પરંતુ અહીં પ્રવાહ $C$ આગળ પ્રવેશે છે અને $A$ આગળ બહાર નીકળે છે,તેથી આ એક બંધ ગાળો નથી.
અહીં ત્રણ વિભાગો છે: $CB$,$BA$,અને $AC$.
દરેક વિભાગ પર લાગતું બળ $F = ilB$ છે. સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$CB$ અને $BA$ વિભાગો પર લાગતા બળનું પરિણામી બળ એ $C$ થી $A$ સુધીના સ્થાનાંતર સદિશ પર લાગતા બળ જેટલું થાય છે.
આમ,કુલ બળ એ $C$ થી $A$ સુધીના '$l$' લંબાઈના સીધા તાર પર લાગતા બળ જેટલું એટલે કે $ilB$ થશે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય સોયને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
આમ,$MB = 2W$.
સોયને $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(A) આપેલ છે,ગજિયા ચુંબકની લંબાઈ,$l = 10 \text{ cm} = 10^{-1} \text{ m}$.
ધ્રુવ પ્રબળતા,$m = 10^{-3} \text{ A-m}$.
ચુંબકીય પ્રેરણ,$B = 4 \pi \times 10^{-3} \text{ T}$.
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
સૌ પ્રથમ,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ ની ગણતરી કરો:
$M = m \times l = 10^{-3} \text{ A-m} \times 10^{-1} \text{ m} = 10^{-4} \text{ A-m}^2$.
ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = M B \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (10^{-4}) \times (4 \pi \times 10^{-3}) \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$:
$\tau = 4 \pi \times 10^{-7} \times \frac{1}{2} = 2 \pi \times 10^{-7} \text{ N-m}$.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં હોય છે.
આખું વર્તુળ $2\pi$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) B_{loop}$
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 150 \,A$
$r = 5 \,m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 150}{2 \pi \times 5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 30$
$B = 60 \times 10^{-7} \,T = 6 \times 10^{-6} \,T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ, જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની આસપાસ વર્તુળાકાર હોય છે. તારની બરાબર નીચે, ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\text{દક્ષિણ તરફ}$ હોય છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $r = R \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (R \sqrt{3})^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 16R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં $n$ આવૃત્તિ સાથે ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{q}{T} = qn$ (કારણ કે $T = \frac{1}{n}$)
વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
$I$ ની કિંમત અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (qn)}{2r}$
$B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આદર્શ સોલેનોઇડ એટલે એવી કોઈલ કે જેની લંબાઈ $L$ તેની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઘણી વધારે હોય $(L \gg R)$ અને તેના આંટાઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક વીંટળાયેલા હોય. આવી રચનામાં,સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ સમાન અને અક્ષને સમાંતર હોય છે. તેથી,'આંટાઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ પરનો વિદ્યુતભાર, $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા, $r = 0.8 \,m$.
સમયગાળો (આવર્તકાળ), $T = 2 \,s$.
તેથી, ગતિ કરતા હિલિયમ ન્યુક્લિયસ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19} \,C}{2 \,s} = 1.6 \times 10^{-19} \,A$ છે।
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $B = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = \mu_0 \times 10^{-19} \,T$ મળે છે.

$(C)$ હિલિયમ ન્યુક્લિયસ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$ છે।
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 0.8 \,m$ અને સમયગાળો $T = 2.5 \,s$ છે।
વિદ્યુતભારના પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{2.5} = 1.28 \times 10^{-19} \,A$ છે।
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-7} \times 0.8 \times 10^{-19} = 3.2 \pi \times 10^{-26} \,T$.
આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી નજીકની કિંમત $4 \pi \times 10^{-26} \,T$ છે।

(C) એમ્પિયર-મેક્સવેલના નિયમ મુજબ,ચાર્જ થતા કેપેસિટરની પ્લેટોની વચ્ચે અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રના રેખીય સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $r > R$ હોય,ત્યારે લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ સ્થાનાંતર પ્રવાહ એ કેપેસિટરમાંથી પસાર થતા કુલ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ જેટલો હોય છે.
એમ્પિયર-મેક્સવેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
અહીં પ્રવાહ $I_D$ હોવાથી,આપણને $B(2 \pi r) = \mu_0 I_D$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_D}{2 \pi r}$ થાય છે.

(D) અક્ષથી $r = 3R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
પ્રવાહ $i$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A = \pi(2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ પર સમાન રીતે વિતરિત હોવાથી,પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{i}{3\pi R^2}$ છે.
$r = 3R/2$ ત્રિજ્યાવાળા એમ્પીયરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \times \text{Area}_{\text{enclosed}} = J \times \pi(r^2 - R^2) = \frac{i}{3\pi R^2} \times \pi \left( \left(\frac{3R}{2}\right)^2 - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \left( \frac{9R^2}{4} - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \frac{5R^2}{4} = \frac{5i}{12}$ છે.
એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $B(2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
$B \times 2\pi \left(\frac{3R}{2}\right) = \mu_0 \left(\frac{5i}{12}\right)$.
$B(3\pi R) = \frac{5\mu_0 i}{12}$.
$B = \frac{5\mu_0 i}{36\pi R}$.

(A) વાહક બે અર્ધ-અનંત સીધા વિભાગો અને એક વર્તુળાકાર ચાપનો બનેલો છે.
કેન્દ્ર $O$ પર દરેક ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ:
$1$. બે સીધા વિભાગો $PQ$ અને $CD$ કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. બંને વિભાગો સમાન દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta = \frac{3\pi}{2}$ ખૂણો આંતરે છે. ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{3\mu_0 I}{8 r}$ છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I(\pi+1)}{2 \pi r}$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આ પ્રશ્નમાં,ચુંબકને $360^{\circ}$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 360^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 360^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 360^{\circ} = 1$ છે:
$W = MB(1 - 1) = 0$
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પરિઘ તારની લંબાઈ જેટલો થાય છે:
$l = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{l}{2 \pi}$
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$M = i A$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા:
$M = i \cdot \pi r^2 = i \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2$
$M = i \pi \cdot \frac{l^2}{4 \pi^2} = \frac{i l^2}{4 \pi}$
$l$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$l^2 = \frac{4 \pi M}{i}$
$l = \sqrt{\frac{4 \pi M}{i}}$

(D) દરેક ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = m l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ચુંબક એકબીજા સાથે કાટખૂણે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો $\vec{M_1}$ અને $\vec{M_2}$ પણ એકબીજાને લંબ છે.
દરેક ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M_1 = M_2 = M = ml$ છે.
તંત્રની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટોનો સદિશ સરવાળો છે:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2 M_1 M_2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = M \sqrt{2}$
$M = ml$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$M_{net} = \sqrt{2} ml$

(D) ધારો કે ચુંબકીય સળિયાની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે.
સીધા સળિયાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ સળિયાની મૂળ લંબાઈ જેટલી હોય છે:
$L = \pi R \implies R = \frac{L}{\pi}$.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની ચુંબકીય મોમેન્ટ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને બે ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે:
$M_{arc} = m(2R)$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$M_{arc} = m \left( 2 \cdot \frac{L}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} (m L)$.
$M = mL$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$M_{arc} = \frac{2 M}{\pi}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નું સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
વેગ,$v = 2.5 \times 10^7 \ m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 2.5 \ T$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times (2.5) \times \sin 30^{\circ}$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \ N$

$(A)$ $\text{ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા}$,$B = 1.5 \,Wb \,m^{-2}$
$\text{પ્રોટોનનો વેગ}$,$v = 2 \times 10^7 \,ms^{-1}$
$\text{ખૂણો}$,$\theta = 30^{\circ}$
$\text{પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$\text{ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ } F \text{ નું સૂત્ર } F = Bqv \sin \theta \text{ છે।}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$F = (1.5) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^7) \times \sin 30^{\circ}$
$F = 1.5 \times 1.6 \times 2 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 4.8 \times 0.5 \times 10^{-12} \,N$
$F = 2.4 \times 10^{-12} \,N$

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપ છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (4 \times 10^6 \ m/s) \times (2 \times 10^{-1} \ T) = 1.28 \times 10^{-13} \ N$.
ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી $F = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB} = \frac{(9 \times 10^{-31} \ kg) \times (4 \times 10^6 \ m/s)}{1.6 \times 10^{-19} \ C \times 2 \times 10^{-1} \ T}$.
$r = \frac{36 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-20}} = 11.25 \times 10^{-5} \ m \approx 1.1 \times 10^{-4} \ m$.

(A) ધારો કે $B_e$ એ બંને સ્થળોએ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ એ $H = B_e \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta$ એ ડીપનો ખૂણો છે.
બે સ્થળો માટે,સમક્ષિતિજ ઘટકો $H_1$ અને $H_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{B_e \cos \delta_1}{B_e \cos \delta_2} = \frac{\cos \delta_1}{\cos \delta_2}$
અહીં $\delta_1 = 30^{\circ}$ અને $\delta_2 = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
તેથી,ગુણોત્તર $H_1: H_2 = \sqrt{3}: \sqrt{2}$ થશે.

(C) ધારો કે $\delta$ એ સાચો ડીપ કોણ છે અને $\theta$ એ મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન છે.
જ્યારે ડીપ સર્કલ મેગ્નેટિક મેરિડિયનમાં હોય,ત્યારે આભાસી ડીપ $\delta$ હોય છે.
અહીં,સમતલ ભૌગોલિક મેરિડિયનમાં ગોઠવેલું છે. ધારો કે $\theta$ એ ભૌગોલિક મેરિડિયન અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સમતલમાં આભાસી ડીપ $\delta_1$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_1 = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ છે.
પ્રથમ સમતલને લંબ (મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે $90^\circ - \theta$ ખૂણો બનાવતા) સમતલમાં આભાસી ડીપ $\delta_2$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_2 = \frac{\tan \delta}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \delta}{\sin \theta}$ છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,$\tan \delta = \tan \delta_1 \cos \theta$ અને $\tan \delta = \tan \delta_2 \sin \theta$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
આમ,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$.

(B) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = \frac{2r B_H \tan \theta}{\mu_0 N}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: અવરોધ $R = 9 \ \Omega$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4.5 \ V$,આંટાની સંખ્યા $N = 10$,કોણાવર્તન $\theta = 30^{\circ}$,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 3.14 \times 10^{-5} \ T$.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ $I$ શોધો: $I = \frac{V}{R} = \frac{4.5}{9} = 0.5 \ A$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા: $r = \frac{\mu_0 N I}{2 B_H \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 0.5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times \tan 30^{\circ}}$.
અહીં $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-7}$ લેતા,$r = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times (1/\sqrt{3})}$.
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{10^{-5} \times (1/\sqrt{3})} = 10 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \ m = 10 \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$.

(D) ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ તેના ધ્રુવમાન $(m)$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = m \times 2l$
વળી,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટને પ્રવાહ $(I)$ અને ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$M = I \times A$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m \times 2l = I \times A$
ધ્રુવમાન $(m)$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$m = \frac{I \times A}{2l}$
પ્રવાહ $(I)$ નો એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે અને લંબાઈ $(l)$ નો એકમ મીટર $(m)$ છે.
તેથી,ધ્રુવમાન $(m)$ નો એકમ:
$\text{એકમ} = \frac{\text{એમ્પીયર} \times \text{મીટર}^2}{\text{મીટર}} = \text{એમ્પીયર} \times \text{મીટર} = Am$

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સૂત્ર $\phi = B A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય પ્રેરણ છે.
$B$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{\phi}{A}$ મળે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નો $SI$ એકમ વેબર $(Wb)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નો એકમ $\frac{Wb}{m^2}$ અથવા $Wb m^{-2}$ છે.

(C) આપેલ છે: ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = 1.25 \ A-m^2$ અને અંતર $r = 0.5 \ m$.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય સ્થિતિ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2 M}{r^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.25}{(0.5)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.5}{0.125}$
$B = 10^{-7} \times 20 = 2.0 \times 10^{-6} \ T$
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2.0 \times 10^{-6} \ T$ છે.

(D) બંધન ઉર્જા એ પ્રબળ બળ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા છે જે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સને એકસાથે જકડી રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$,જ્યાં $\Delta m$ એ દળ ક્ષતિ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના વ્યક્તિગત ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં રહેલો આ તફાવત,જેને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તે ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે બંધન ઉર્જા તરીકે કાર્ય કરે છે અને ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.

(C) આપેલ પરમાણુ પ્રક્રિયા છે: ${ }_6^{11} C \rightarrow{ }_5^{11} B + \beta^+ + X$ ...$(i)$
$\beta^+$ ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન) માં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો પ્રોટોન ન્યુટ્રોન,પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $p \rightarrow n + \beta^+ + \nu$.
લેપ્ટોન નંબરના સંરક્ષણ માટે પોઝિટ્રોન સાથે ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ નું ઉત્સર્જન જરૂરી છે જેથી લેપ્ટોન નંબર સંતુલિત રહે.
તેથી,${ }_6^{11} C$ ના ક્ષયમાં,કણ $X$ એ ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયામાં,કુલ દળ ક્રમાંક અને કુલ પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ નીપજ ${ }_{Z}^{A} \text{Pb}$ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{90}^{232} \text{Th} \rightarrow { }_{Z}^{A} \text{Pb} + 6({ }_{2}^{4} \text{He}) + 4({ }_{-1}^{0} \text{e})$.
દળ ક્રમાંક $(A)$ માટે:
$232 = A + 6(4) + 4(0)$
$232 = A + 24$
$A = 232 - 24 = 208$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે:
$90 = Z + 6(2) + 4(-1)$
$90 = Z + 12 - 4$
$90 = Z + 8$
$Z = 90 - 8 = 82$.
આમ,દળ ક્રમાંક $208$ છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $82$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના ક્ષય થવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ તે ક્ષણે હાજર રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના આંતરિક ગુણધર્મો છે અને તે તાપમાન,દબાણ અથવા આસપાસના માધ્યમ જેવી બાહ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,નમૂનાને પાણીમાં રાખવાથી ક્ષયના દરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,પાણીમાં એક્ટિવિટી $A^{\prime}$ એ હવામાં રહેલી એક્ટિવિટી $A$ જેટલી જ રહે છે,એટલે કે $A^{\prime} = A$.

(B) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${ }_{92}^{238} U$ છે અને અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${ }_{82}^{206} Pb$ છે.
ધારો કે $n_{\alpha}$ એ $\alpha$-કણોની સંખ્યા છે અને $n_{\beta}$ એ $\beta$-કણોની સંખ્યા છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $238 - 206 = 32$ છે.
દરેક $\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha} = \frac{32}{4} = 8$ થશે.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $92 - 82 = 10$ છે.
$8$ $\alpha$-કણોના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $8 \times 2 = 16$ જેટલો ઘટશે.
ધારો કે $n_{\beta}$ એ $\beta$-કણોની સંખ્યા છે. દરેક $\beta$-કણ પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો કરે છે.
તેથી,$92 - (8 \times 2) + n_{\beta} = 82$.
$92 - 16 + n_{\beta} = 82$.
$76 + n_{\beta} = 82$.
$n_{\beta} = 82 - 76 = 6$.
આમ,$\alpha$-કણોની સંખ્યા $8$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા નમૂનાનો અંશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $t = \frac{T}{2}$,તેથી બાકી રહેલો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{(\frac{T/2}{T})} = (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ક્ષય પામેલો ભાગ એ પ્રારંભિક જથ્થામાંથી બાકી રહેલો જથ્થો બાદ કરવાથી મળે છે: $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.

(A) હેનરી બેકવેરલે કુદરતી કિરણોત્સર્ગની શોધ કરી હતી અને તેઓ ફ્રાન્સના હતા. આ વિધાન સાચું છે.
માર્કોનીએ વાયરલેસ ટેલિગ્રાફીની શોધ કરી હતી અને તેઓ ઇટાલીના હતા,અમેરિકાના નહીં.
આઇઝેક ન્યૂટને ગતિના નિયમોની શોધ કરી હતી અને તેઓ ઇંગ્લેન્ડના હતા,અમેરિકાના નહીં.
આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન જર્મનીના હતા (પાછળથી યુએસએના નાગરિક બન્યા),અને તેમણે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવી હતી,ઈંગ્લેન્ડના નહીં.

(C) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો પ્રારંભિક જથ્થો છે.
$t = 16 \text{ દિવસ}$ પછી, બાકી રહેલો જથ્થો $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 - 75\% \text{ of } N_0 = N_0 - 0.75 N_0 = 0.25 N_0 = \frac{N_0}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{N_0}{4} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
આમ, $n = 2$.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, તેથી $2 = \frac{16}{T_{1/2}}$.
તેથી, $T_{1/2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ દિવસ}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $20 \ days$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી,પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0(1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$60 \ days$ માં,પસાર થયેલ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 60 / 20 = 3$ છે.
પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0(1/2)^3 = N_0 / 8$ છે.
વિઘટિત થયેલ પદાર્થનો જથ્થો $N_0 - N = N_0 - N_0/8 = 7N_0/8$ છે.
તેથી,$60 \ days$ માં પદાર્થનો $7/8$ ભાગ વિઘટિત થાય છે.

(A) પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ છે અને બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \sqrt{2}$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય અને આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_C$ કરતા વધારે હોય.
ક્રાંતિકોણ $i_C$ નું સૂત્ર $\sin i_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sin i_C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i_C = 45^{\circ}$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > 45^{\circ}$.

(D) બે ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $x = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$ છે।
કીકીનો વ્યાસ $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$ છે।
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$ છે।
રેલેના માપદંડ મુજબ, બે બિંદુઓને અલગ પાડવા માટે કોણીય વિભેદન $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વળી, કોણીય વિભેદનને $\theta = \frac{x}{D}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે, જ્યાં $D$ એ મહત્તમ અંતર છે।
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{D} = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
$D$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $D = \frac{x d}{1.22 \lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $D = \frac{(2 \times 10^{-3} \,m) \times (3 \times 10^{-3} \,m)}{1.22 \times (5 \times 10^{-7} \,m)}$.
$D = \frac{6 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{60}{6.1} \approx 9.836 \,m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $D \approx 10 \,m$ મળે છે.

(A) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે.
આપેલ છે: $n_l = 1.5$,$n_m = 1.75$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
તેથી,$f = +3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(B) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્યુશન મર્યાદાનું સૂત્ર $d = \frac{\lambda}{2 NA}$ છે.
આપેલ છે:
ન્યુમેરિકલ એપર્ચર,$NA = 0.8$
તરંગલંબાઇ,$\lambda = 0.6 \mu m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{0.6}{2 \times 0.8}$
$d = \frac{0.6}{1.6}$
$d = \frac{6}{16} \mu m$
$d = \frac{3}{8} \mu m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જ્યારે કિરણ પ્રિઝમની એક સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે. ધારો કે પ્રિઝમ $ABC$ છે જેનો વક્રીભૂત કોણ $A = 30^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી $AB$ પર,આપાતકોણ $i$ એ પ્રિઝમના વક્રીભૂત કોણ જેટલો હોય છે,તેથી $i = 30^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin i = 1 \sin e$,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
$1.5 \times \sin 30^{\circ} = \sin e$
$1.5 \times 0.5 = \sin e$
$\sin e = 0.75$
આપેલ છે કે $\sin 48^{\circ} 36^{\prime} = 0.75$,તેથી $e = 48^{\circ} 36^{\prime}$.
લંબ રૂપે આપાત થતા કિરણ માટે વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = e - i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\delta = 48^{\circ} 36^{\prime} - 30^{\circ} = 18^{\circ} 36^{\prime}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે કિરણ અરીસાની સપાટી પરના લંબની દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,આપાતકોણ $i$,જે આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તે $0^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,આપાતકોણ એ પરાવર્તન કોણ જેટલો હોય છે $(i = r)$.
આમ,પરાવર્તન કોણ $r = 0^{\circ}$ થશે.

(B) જ્યારે કોઈ પાત્રમાં $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા અને $d_1, d_2, \dots, d_n$ વાસ્તવિક ઊંડાઈ ધરાવતા મિશ્ર ન થઈ શકે તેવા પ્રવાહીઓ ભરવામાં આવે,ત્યારે લંબરૂપે જોતા કુલ આભાસી ઊંડાઈ $d_{app}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d_{app} = \sum_{i=1}^{n} \frac{d_i}{\mu_i} = \frac{d_1}{\mu_1} + \frac{d_2}{\mu_2} + \dots + \frac{d_n}{\mu_n}$
આ પ્રશ્નમાં,કુલ ઊંડાઈ $2d \text{ cm}$ છે,જે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલી છે. તેથી,દરેક પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_1 = d$ અને $d_2 = d$ છે.
નીચેના અડધા ભાગનો વક્રીભવનાંક $\mu_1$ છે અને ઉપરના અડધા ભાગનો $\mu_2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d_{app} = \frac{d}{\mu_1} + \frac{d}{\mu_2}$
$d_{app} = d\left(\frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2}\right)$

(A) પ્રકાશ તરંગની આવૃત્તિ $v = 4 \times 10^{14} \,Hz$ છે અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = 5 \times 10^{-7} \,m$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v_m = v \times \lambda_m = (4 \times 10^{14} \,Hz) \times (5 \times 10^{-7} \,m) = 2 \times 10^8 \,m/s$ દ્વારા મળે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v_m)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ આપેલ છે.
$\mu = \frac{c}{v_m} = \frac{3 \times 10^8 \,m/s}{2 \times 10^8 \,m/s} = 1.5$.
તેથી,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $1.5$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ છે.
અહીં,$\mu = 1.5$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ એ કાચના સ્લેબની જાડાઈ છે,જે $0.12 \,m$ છે.
તેથી,આભાસી ઊંડાઈની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu} = \frac{0.12}{1.5} = 0.08 \,m$.
શાહીના ટપકાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર: $\text{સ્થાનાંતર} = \text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} - \text{આભાસી ઊંડાઈ} = 0.12 \,m - 0.08 \,m = 0.04 \,m$.
ટપકાની છબી $0.04 \,m$ ઉપર આવેલી દેખાતી હોવાથી,ટપકા પર ફરીથી ફોકસ કરવા માટે ટ્રાવેલિંગ માઈક્રોસ્કોપને $0.04 \,m$ ઉપરની તરફ ખસેડવું આવશ્યક છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં, જંકશન ડાયોડનો $p$-વિસ્તાર $3 \, V$ ના પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલ છે અને $n$-વિસ્તાર $100 \, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા $1 \, V$ ના પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલ છે.
કારણ કે $p$-વિસ્તારનું પોટેન્શિયલ $n$-વિસ્તારના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે છે, તેથી ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
આદર્શ ડાયોડ માટે, ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં અવરોધ શૂન્ય હોય છે.
તેથી, અવરોધ પરનો અસરકારક પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 3 \, V - 1 \, V = 2 \, V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{2 \, V}{100 \, \Omega} = 0.02 \, A$.
આને મિલિએમ્પિયરમાં ફેરવતા, આપણને $I = 0.02 \times 1000 \, mA = 20 \, mA$ મળે છે.