AP EAMCET 2018 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે,$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2n+1}{n^2}\right)=121$
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{4}{1}\right)\left(\frac{9}{4}\right)\left(\frac{16}{9}\right) \ldots\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right)=121$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ ગુણાકાર છે: $\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(\frac{16}{9}\right) \times \ldots \times \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right)=121$
વચ્ચેના પદો ઉડી જતાં,આપણને મળે છે: $\frac{(n+1)^2}{1} = 121$
$(n+1)^2 = 121$
$n+1 = 11$
$n = 10$

(A) આપેલ છે,$f(x)=5 \cos x+3 \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+8$
$=5 \cos x+3\left\{\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin x \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right\}+8$
$=5 \cos x+3\left\{\cos x\left(\frac{1}{2}\right)-\sin x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}+8$
$=5 \cos x+\frac{3}{2} \cos x-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \sin x+8$
$=\frac{13}{2} \cos x-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \sin x+8$
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $A \sin x+B \cos x \in \left[-\sqrt{A^2+B^2}, \sqrt{A^2+B^2}\right]$
અહીં,$A=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ અને $B=\frac{13}{2}$
તેથી,$-\sqrt{\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}+8$
$\Rightarrow -\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{169}{4}}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\frac{27}{4}+\frac{169}{4}}+8$
$\Rightarrow -\sqrt{\frac{196}{4}}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\frac{196}{4}}+8$
$\Rightarrow -7+8 \leq f(x) \leq 7+8$
$\Rightarrow 1 \leq f(x) \leq 15$
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $15$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ છે.

(C) આપેલ છે,$4 \cos 2 \theta \cdot \cos 3 \theta = \sec \theta$ જ્યાં $0 < \theta < \pi$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા,$4 \cos 2 \theta \cdot \cos 3 \theta \cdot \cos \theta = 1$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$.
$2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta + \cos 4 \theta + 1 = 1$.
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0$ $\Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2 \theta = \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}$.
આ તમામ $6$ કિંમતો અંતરાલ $(0, \pi)$ માં આવેલી છે.
આમ,ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(A) ગણ $A$ માટે: $\tan x - \tan^2 x > 0 \Rightarrow \tan x(1 - \tan x) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $0 < \tan x < 1$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $x \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4})$.
ગણ $B$ માટે: $|\sin x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.
છેદગણ $A \cap B$ શોધતા:
$A = (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4})$
$B = [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$
$A \cap B = (0, \frac{\pi}{6}) \cup (\pi, \frac{7\pi}{6})$.

(C) જ્યારે યામ અક્ષોને ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta$
$y = x_1 \sin \theta + y_1 \cos \theta$
આપેલ છે કે $\theta = \tan ^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
કાટ્રિગોનોમેટ્રિક ગુણોત્તર પરથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
આ કિંમતોને રૂપાંતરણ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = \frac{4}{5} x_1 - \frac{3}{5} y_1$
$y = \frac{3}{5} x_1 + \frac{4}{5} y_1$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{4}{5} x_1 - \frac{3}{5} y_1\right)^2 + \left(\frac{3}{5} x_1 + \frac{4}{5} y_1\right)^2 = 9$
$\frac{1}{25} \left( (4x_1 - 3y_1)^2 + (3x_1 + 4y_1)^2 \right) = 9$
$\frac{1}{25} \left( 16x_1^2 + 9y_1^2 - 24x_1y_1 + 9x_1^2 + 16y_1^2 + 24x_1y_1 \right) = 9$
$\frac{1}{25} \left( 25x_1^2 + 25y_1^2 \right) = 9$
$x_1^2 + y_1^2 = 9$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(-2, 3)$,$B(1, -2)$ અને $C(2, 1)$ છે.
પરિકેન્દ્ર એ બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ છે.
ધારો કે $E$ પરિકેન્દ્ર છે. $BC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ છે.
$D = (\frac{1+2}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{1 - (-2)}{2 - 1} = 3$.
લંબદ્વિભાજક $DE$ નો ઢાળ = $-\frac{1}{3}$.
$DE$ નું સમીકરણ: $y - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow x + 3y = 0 \quad (i)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $F$ છે.
$F = (\frac{-2+1}{2}, \frac{3-2}{2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{-2-3}{1-(-2)} = -\frac{5}{3}$.
લંબદ્વિભાજક $EF$ નો ઢાળ = $\frac{3}{5}$.
$EF$ નું સમીકરણ: $y - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}(x + \frac{1}{2}) \Rightarrow 3x - 5y = -4 \quad (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,$x = -3y$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $3(-3y) - 5y = -4$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$.
તેથી $x = -\frac{6}{7}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7})$ છે.

(B) $ABCD$ એ $16$ એકમ બાજુ ધરાવતો ચોરસ છે. ધારો કે $a = 16$ એકમ.
શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$,અને $D(0, a)$ છે.
ચોરસને પરિગત વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ એ વિકર્ણ $AC = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2} = a\sqrt{2}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$h = \frac{a}{2}$,$k = \frac{a}{2}$,અને $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ મુકતા:
$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - ay + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$
$x^2 + y^2 = a(x+y)$
$a = 16$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16(x+y)$ થાય.
આને $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ સાથે સરખાવતા,$4k = 16$ મળે,તેથી $k = 4$.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$,અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે.
લંબકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોવાથી,$L_1$ અને $L_2$ દ્વારા બનતા શિરોબિંદુમાંથી $L_3$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થવો જોઈએ.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $x = -1$ અને $y = 1$ છે.
$(-1, 1)$ માંથી $L_3$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -x$ અથવા $x + y = 0$ છે.
આ વેધ $L_3: ax + by - 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,$L_3$ નો ઢાળ $1$ હોવો જોઈએ. તેથી,$a/b = -1$,અથવા $a = -b$.
$b = -a$ ને $L_3$ માં મૂકતા,આપણને $ax - ay - 1 = 0$ મળે છે.
લંબકેન્દ્ર એ વેધનું છેદબિંદુ હોવાથી,$L_2$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_1$ પરનો વેધ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થવો જોઈએ.
$L_1$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $3x - 2y = 0$ છે.
$3x - 2y = 0$ અને $x + 2y = 1$ ઉકેલતા $x = 1/4$ અને $y = 3/8$ મળે છે.
$(1/4, 3/8)$ ને $ax - ay - 1 = 0$ માં મૂકતા $a(1/4 - 3/8) = 1$ મળે,તેથી $a(-1/8) = 1$,એટલે કે $a = -8$.
$b = -a$ હોવાથી,$b = 8$.
આમ,$(a, b) = (-8, 8)$.

(D) રેખાઓ $ax+by+2=0$ અને $ax+by+5=0$ સમાંતર છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|5-2|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
રેખાઓ $cx+dy+3=0$ અને $cx+dy+7=0$ સમાંતર છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|7-3|}{\sqrt{c^2+d^2}} = \frac{4}{\sqrt{c^2+d^2}}$ છે.
બે જોડી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: ક્ષેત્રફળ $= \frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|ad-bc|}$ છે.
અહીં,$c_1=2, c_2=5$ અને $d_1=3, d_2=7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{|(2-5)(3-7)|}{|ad-bc|} = \frac{|(-3)(-4)|}{|ad-bc|} = \frac{12}{|ad-bc|}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$.
પ્રથમ,આપણે હોમોજીનિયસ ભાગ $2x^2 - xy - 3y^2 = 0$ ના અવયવો પાડીએ:
$2x^2 - 3xy + 2xy - 3y^2 = 0$
$x(2x - 3y) + y(2x - 3y) = 0$
$(x + y)(2x - 3y) = 0$.
ધારો કે અલગ સમીકરણો $(x + y + m) = 0$ અને $(2x - 3y + l) = 0$ છે.
તેથી,$(x + y + m)(2x - 3y + l) = 2x^2 - xy - 3y^2 + (l + 2m)x + (l - 3m)y + ml = 2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$l + 2m = 6$ $(i)$
$l - 3m = 1$ (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $5m = 5 \Rightarrow m = 1$.
$m = 1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $l + 2 = 6 \Rightarrow l = 4$.
અલગ રેખાઓ $L_1: x + y + 1 = 0$ અને $L_2: 2x - 3y + 4 = 0$ છે.
બિંદુ $P(-1, 5)$ થી $L_1$ પરના લંબનું અંતર $d_1 = \frac{|-1 + 5 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
બિંદુ $P(-1, 5)$ થી $L_2$ પરના લંબનું અંતર $d_2 = \frac{|2(-1) - 3(5) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 - 15 + 4|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-13|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$.
લંબાઈનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{2}} \times \sqrt{13} = \frac{5\sqrt{13}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{26}}{2} = \frac{65}{\sqrt{26}}$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x+ay+a=0$
$bx+y+b=0$
$cx+cy+1=0$
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$
$1 + 2abc = ab + bc + ac$
હવે,પદાવલિ $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$ ની ગણતરી કરીએ.
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$
$S = \frac{3abc - 2(ab+bc+ac) + (a+b+c)}{abc - (ab+bc+ac) + (a+b+c) - 1}$
$ab+bc+ac = 1+2abc$ મૂકતા:
$S = \frac{3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c)}{abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1}$
$S = \frac{-abc + a+b+c - 2}{-abc + a+b+c - 2} = 1$

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ છે અને દુભાજક $L: 2x + 3y + 1 = 0$ છે.
બીજી રેખા $L_2: ax + by + c = 0$ છે.
દુભાજક $L$ એ $L_1$ અને $L_2$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે.
$L$ એ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $L$ ની સાપેક્ષે $L_1$ નું પ્રતિબિંબ $L_2$ મળે છે.
ગણતરી કરતા,બીજી રેખાનું સમીકરણ $9x + 46y - 28 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$ અને $P(x, y)$ એ $xy$-સમતલ પરના બિંદુઓ છે.
આપેલ શરત $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ માં અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$
$2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2) = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2(x_3^2 + y_3^2)$
$2x^2$ અને $2y^2$ પદો બંને બાજુથી દૂર થશે:
$-2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2) = -4xx_3 - 4yy_3 + 2(x_3^2 + y_3^2)$
$ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x(4x_3 - 2x_1 - 2x_2) + y(4y_3 - 2y_1 - 2y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 - 2x_3^2 - 2y_3^2) = 0$
આ સમીકરણ $x$ અને $y$ માં સુરેખ સમીકરણ હોવાથી,$P$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ છે.
આને અવયવ પાડતા:
$2x - 3y + 4 = 0$ અને $x + y + 1 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $2x - 3y + 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_1 = \frac{|2(-1) - 3(5) + 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$ છે.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $x + y + 1 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_2 = \frac{|-1 + 5 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,લંબાઈનો ગુણાકાર $P_1 \cdot P_2 = \sqrt{13} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -2, b = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d_1 d_2 = \frac{|ax_1^2 + 2hx_1y_1 + by_1^2|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$.
કિંમતો $(x_1, y_1) = (1, -1)$,$a = 1, h = -2, b = 1$ મૂકતા:
$d_1 d_2 = \frac{|1(1)^2 + 2(-2)(1)(-1) + 1(-1)^2|}{\sqrt{(1-1)^2 + 4(-2)^2}}$.
$d_1 d_2 = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{0 + 16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ સીધી રેખાઓની જોડી $x^2-y^2+2y=1$ છે.
આને $x^2-(y^2-2y+1)=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય,જે $x^2-(y-1)^2=0$ માં પરિણમે છે.
આના અવયવો પાડતા,આપણને $(x-(y-1))(x+(y-1))=0$ મળે છે,તેથી રેખાઓ $x-y+1=0$ અને $x+y-1=0$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ માં સરળ બને છે.
કિસ્સો $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
કિસ્સો $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
ત્રિકોણ રેખાઓ $x=0$,$y=1$,અને $x+y=3$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0,1)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે.
$3$. $y=1$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(2,1)$ છે.
આ ત્રિકોણ $2$ લંબાઈના પાયા (રેખા $y=1$ પર $x=0$ થી $x=2$ સુધી) અને $2$ લંબાઈની ઊંચાઈ (રેખા $x=0$ પર $y=1$ થી $y=3$ સુધી) ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) બે રેખાઓ $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સંદર્ભમાં સંયુગ્મી હોય જો $L_1$ નો ધ્રુવ (pole) $L_2$ પર આવેલો હોય.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ છે,તેથી $g = -2, f = 3/2, c = -1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) + \frac{3}{2}(y + y_1) - 1 = 0$ છે.
આને $2x + y + 12 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 4$ મળે છે.

(D) રેડિકલ સેન્ટર એ એવું બિંદુ $P$ છે જ્યાંથી વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. ધારો કે વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4=0$,$S_2: x^2+y^2-2x+3y=0$,અને $S_3: x^2+y^2+7y-18=0$ છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2-2x+3y)=0$
$2x-3y-4=0$ ... $(i)$
$S_1$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_3=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2+7y-18)=0$
$-7y+14=0$
$7y=14 \Rightarrow y=2$
સમીકરણ $(i)$ માં $y=2$ મૂકતા:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10 \Rightarrow x=5$
આમ,રેડિકલ સેન્ટર $P$ એ $(5, 2)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળો: $x^2+y^2-12x-6y+41=0$ અને $x^2+y^2+kx+6y-59=0$.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (6, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (-k/2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{k^2/4+68}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = k^2/4 + 6k + 72$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-3k}{2\sqrt{k^2/4+68}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 = 16$,તેથી $k = \pm 4$.
આમ,$k = -4$ એ યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{20-c}$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$d = r_1 + r_2$,તેથી $5 = \sqrt{20-c} + 4$,જેનો અર્થ છે કે $c = 19$.
ત્રીજું વર્તુળ $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ છે.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોય તો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ થાય.
$S_1$ અને $S_3$ માટે,$g_1=4, f_1=-2, c_1=19$ અને $g_3=-3, f_3=4, c_3=k$ છે.
તેથી,$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$,જે આપણને $k = -59$ આપે છે.

(D) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય ત્રાંસા સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$L = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - (1 + 2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$ એકમ.

(B) આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ નું કેન્દ્ર $C_1=(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{(-4)^2+2^2-c}=\sqrt{20-c}$ છે.
આપેલ વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ નું કેન્દ્ર $C_2=(-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-11)}=\sqrt{1+4+11}=4$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1+r_2$ થાય.
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{20-c} + 4$ $\Rightarrow \sqrt{20-c} = 1$ $\Rightarrow 20-c = 1$ $\Rightarrow c = 19$.
હવે,વર્તુળ $S_1$ એ વર્તુળ $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે. લંબછેદી હોવાની શરત $2g_1g_3 + 2f_1f_3 = c_1+c_3$ છે.
$S_1$ માટે,$g_1=4, f_1=-2, c_1=c=19$.
$S_3$ માટે,$g_3=-3, f_3=4, c_3=k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3^{1/4})^{144-r} (7^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{\frac{144-r}{4}} (7)^{\frac{r}{6}}$
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{144-r}{4} = 36 - \frac{r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
વળી,$\frac{r}{6}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(4, 6) = 12$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 144$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 12, 24, \dots, 144$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 12$ અને છેલ્લું પદ $l = 144$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$.
આમ,કુલ $13$ સંમેય પદો છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓના યામ $S(-ae, 0)$ અને $S^{\prime}(ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$SB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ છે.
$S^{\prime}B$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ છે.
આપેલ છે કે $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$,તેથી ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2 = a^2e^2$ ને આ સંબંધમાં મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વક્ર: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y y'}{b^2} = 0$,જેનો અર્થ છે $y' = -\frac{b^2x}{a^2y}$.
બિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{b^2(a/\sqrt{2})}{a^2(b/\sqrt{2})} = -\frac{b}{a}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{a}{b}$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a}\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ છે. $y=0$ લેતા,$X$-અંતઃખંડ: $x = a\sqrt{2}$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ છે. $y=0$ લેતા,$X$-અંતઃખંડ: $x = \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}$.
$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $|a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $\frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુઓનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો મૂકતા,$x^2 + y^2 = 9 + 4$ મળે છે.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 13$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \frac{5}{3}$ છે અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ છે.
અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલય માટે,તેમની ઉત્કેન્દ્રતા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ છે.
$e_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{(5/3)^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$e_2^2 = \frac{25}{16}$
$e_2 = \frac{5}{4}$
આમ,અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે.

(D) આપેલ સંખ્યાઓ: $22, 26, 28, 20, 24, 30$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{22+26+28+20+24+30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
હવે,$(x_i - \bar{x})^2$ ની ગણતરી કરતા:
$(22-25)^2 = 9$
$(26-25)^2 = 1$
$(28-25)^2 = 9$
$(20-25)^2 = 25$
$(24-25)^2 = 1$
$(30-25)^2 = 25$
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma(x_i - \bar{x})^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
પ્રમાણિત વિચલન $SD = \sqrt{\frac{\Sigma(x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_1-r}{a} = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s} \right) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)} \right) = \frac{\Delta a}{a s(s-a)} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \frac{r_1}{s}$.
તે જ રીતે,$\frac{r_2-r}{b} = \frac{r_2}{s}$ અને $\frac{r_3-r}{c} = \frac{r_3}{s}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$.

(C) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & t \\ 4 & 7-t & -6 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1[5(-6) - t(7-t)] - 3[2(-6) - 4(t)] + 2[2(7-t) - 4(5)] = 0$
$|A| = 1[-30 - 7t + t^2] - 3[-12 - 4t] + 2[14 - 2t - 20] = 0$
$|A| = t^2 - 7t - 30 + 36 + 12t + 28 - 4t - 40 = 0$
$|A| = t^2 + t - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$t^2 + 3t - 2t - 6 = 0$
$t(t+3) - 2(t+3) = 0$
$(t-2)(t+3) = 0$
આમ,$t$ ની કિંમતો $t = 2$ અને $t = -3$ છે.

(D) આપેલ છે કે બિંદુ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $2x+y+z=1$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
શ્રેણિક સમીકરણ $[\alpha \ \beta \ \gamma] \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = [0 \ 0 \ 0]$ પરથી,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0$
$\alpha = 1$
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ માં મૂકતા:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \Rightarrow 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(v)$
$9(1) + 2\beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow 2\beta + 3\gamma = -9 \quad \dots(vi)$
$\beta$ અને $\gamma$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(vi)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$8\beta + 12\gamma = -36 \quad \dots(vii)$
સમીકરણ $(vii)$ માંથી સમીકરણ $(v)$ બાદ કરતા:
$(8\beta + 12\gamma) - (8\beta + 7\gamma) = -36 - (-1)$
$5\gamma = -35 \Rightarrow \gamma = -7$
$\gamma = -7$ ને સમીકરણ $(vi)$ માં મૂકતા:
$2\beta + 3(-7) = -9$
$2\beta - 21 = -9 \Rightarrow 2\beta = 12 \Rightarrow \beta = 6$
છેલ્લે,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$

(A) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{y}{3}\right)=\theta$.
સૂત્ર $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{6} - \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \theta$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા:
$\frac{xy}{6} - \cos \theta = \sqrt{\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\left(1-\frac{y^2}{9}\right)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{xy}{6} - \cos \theta \right)^2 = \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right) \left( 1 - \frac{y^2}{9} \right)$.
$\frac{x^2y^2}{36} - \frac{xy \cos \theta}{3} + \cos^2 \theta = 1 - \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} + \frac{x^2y^2}{36}$.
$36$ વડે ગુણતા:
$x^2y^2 - 12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 4y^2 - 9x^2 + x^2y^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$9x^2 - 12xy \cos \theta + 4y^2 = 36 - 36 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$,તેથી આપણને મળે છે:
$9x^2 - 12xy \cos \theta + 4y^2 = 36 \sin^2 \theta$.

(B) આપેલ છે કે $g \circ f: A \rightarrow C$ એક બાયજેક્શન છે,તેથી તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને છે.
$1$. એક-એકતા માટે: ધારો કે $x_1, x_2 \in A$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,જેનો અર્થ છે કે $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$. કારણ કે $g \circ f$ એક-એક છે,તેથી $x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક (injection) હોવું જોઈએ.
$2$. વ્યાપ્તતા માટે: કારણ કે $g \circ f$ વ્યાપ્ત છે,દરેક $z \in C$ માટે,એવો $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$. આને $g(f(x)) = z$ તરીકે લખી શકાય. કારણ કે $f(x) \in B$,તેથી $b = f(x) \in B$ એવું ઘટક મળે કે જેથી $g(b) = z$. આમ,દરેક $z \in C$ માટે,$b \in B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(b) = z$. તેથી,$g$ વ્યાપ્ત (surjection) છે.
આમ,$f$ એક-એક છે અને $g$ વ્યાપ્ત છે.

(C) આપેલ કોશી વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x) + f(y)$ માટે,ઉકેલ $f(x) = cx$ સ્વરૂપનો છે,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
$f(1) = 7$ હોવાથી,$c(1) = 7$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c = 7$.
આમ,$f(x) = 7x$.
હવે,આપણને સરવાળો $\sum_{r=1}^n f(r) = 14112$ આપેલ છે.
$f(r) = 7r$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=1}^n 7r = 14112$ મળે છે.
અચળાંક $7$ ને સામાન્ય લેતા,$7 \sum_{r=1}^n r = 14112$ મળે.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$7 \times \frac{n(n+1)}{2} = 14112$ મળે.
બંને બાજુ $7$ વડે ભાગતા,$\frac{n(n+1)}{2} = 2016$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$n(n+1) = 4032$ મળે.
$63 \times 64 = 4032$ હોવાથી,$n(n+1) = 63 \times 64$ મળે.
તેથી,$n = 63$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x}, & x < 0 \\ b, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}}, & x > 0 \end{cases}$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ થાય.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી વડે ગુણતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
વિધેય સતત હોવાથી,$b = \frac{1}{2}$ અને $a+2 = b$ થાય.
$b = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $a+2 = b$ માં મૂકતા:
$a + 2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$a+b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$.

(B) આપણી પાસે $f(x) = \frac{|x|}{1-|x|}$ છે. $x \in D$ માટે,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} \frac{-x}{1+x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે:
$\text{LHD (at } x=0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{-(-h)}{1+(-h)} - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{1-h} \cdot \frac{1}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-1}{1-h} = -1$
$\text{RHD (at } x=0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1-h} = 1$
અહીં $\text{LHD} \neq \text{RHD}$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
$D$ ના અન્ય તમામ બિંદુઓ માટે,$f(x)$ એ શૂન્યતર છેદ ધરાવતું સંમેય વિધેય છે,તેથી તે વિકલનીય છે.
આમ,$f$ એ $x = 0$ સિવાય $D$ પર વિકલનીય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = e^x \sin x$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $f'(x)$ નું વિકલન $f''(x) = 0$ લઈને તેના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા પડશે.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x \sin x + e^x \cos x) = (e^x \sin x + e^x \cos x) + (e^x \cos x - e^x \sin x) = 2e^x \cos x$.
$f''(x) = 0$ લેતા,આપણને $2e^x \cos x = 0$ મળે છે.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $e^x \neq 0$,તેથી $\cos x = 0$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = 0$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{3\pi}{2}$ પર થાય છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી તપાસતા,ઢાળ $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ પર મહત્તમ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^2 - \log x$ છે જ્યાં $x > 0$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x}$.
વિધેય ઘટતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{4x^2 - 1}{x} < 0$.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,છેદ હંમેશા ધન છે. તેથી,$4x^2 - 1 < 0$ હોવું જોઈએ.
$4x^2 < 1 \Rightarrow x^2 < \frac{1}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|x| < \frac{1}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.
શરત $x > 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા,અંતરાલ $0 < x < \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,વિધેય $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં ઘટે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
$f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોવાથી,તે $[0, 4]$ પર સતત અને $(0, 4)$ પર વિકલનીય છે.
$f(4)$ અને $f(0)$ ની કિંમત મેળવતા:
$f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 11(4) - 6 = 64 - 96 + 44 - 6 = 6$.
$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 11(0) - 6 = -6$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (0, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$.
તેથી,$3c^2 - 12c + 11 = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$3c^2 - 12c + 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 - \frac{1}{x}}{(x+1) \sqrt{x^2+x+1}} dx$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} dx$.
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$I = \int \frac{1 - \frac{1}{x}}{(x+1) \sqrt{x^2+x+1}} dx$.
આ સંકલન માટે પ્રમાણિત આદેશ પદ્ધતિ છે:
ધારો કે $t = \sqrt{x + \frac{1}{x} + 1}$.
તેથી $t^2 = x + \frac{1}{x} + 1$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int \frac{2 dt}{t^2 + 1} = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
આમ,$I = 2 \tan^{-1}\left(\sqrt{x + \frac{1}{x} + 1}\right) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos ^3 x+\cos ^5 x}{\sin ^2 x+\sin ^4 x} d x$.
$\sin x = t$ આદેશ લેતા,$\cos x d x = d t$ મળે.
$I = \int \frac{\cos ^2 x(1+\cos ^2 x)}{\sin ^2 x(1+\sin ^2 x)} \cos x d x = \int \frac{(1-t^2)(2-t^2)}{t^2(1+t^2)} d t = \int \frac{t^4-3t^2+2}{t^2(1+t^2)} d t$.
અંશને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{t^4-3t^2+2}{t^2(1+t^2)} = 1 + \frac{-4t^2+2}{t^2(1+t^2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા:
$\frac{-4t^2+2}{t^2(1+t^2)} = \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1+t^2}$.
તેથી,$I = \int (1 + \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1+t^2}) d t = t - \frac{2}{t} - 6 \tan^{-1} t + c$.
$t = \sin x$ મૂકતા,$I = \sin x - 2(\sin x)^{-1} - 6 \tan^{-1}(\sin x) + c$ મળે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad \dots(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) + \tan(\pi-x)} d x$
કારણ કે $\tan(\pi-x) = -\tan x$ અને $\sec(\pi-x) = -\sec x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \frac{-(\pi-x) \tan x}{-\sec x - \tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x + \tan x} d x \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \tan x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} d x$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} d x$
$2I = \pi \left[ \int_0^\pi 1 d x - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ [x]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x \tan x) d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - [\tan x - \sec x]_0^\pi \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)) \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((0 - (-1)) - (0 - 1)) \right] = \pi [\pi - (1 + 1)] = \pi(\pi - 2)$
$I = \frac{\pi(\pi - 2)}{2}$

(A) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{na+r}$ છે.
આપણે તેને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{a + \frac{r}{n}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{k} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{a+x}$ અને $k = b-a$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ મળે છે.
$L = \log(a + b - a) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 0$ એટલે કે $x = \sqrt{3}y$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \sqrt{3}y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \implies 3y^2 + y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1$.
પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = 1$ મળે. તેથી $x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$.
છેદબિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $X$-અક્ષ,રેખા અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{2^2 - x^2} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{\sqrt{3}}^2$.
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$.
$= (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ. અહીં,$v$ ધન છે,$u$ ઋણ છે (ધારો કે $u = -u_1$),અને $f$ ધન છે. મોટવણી $m = \frac{v}{u} = -\frac{v_1}{u_1}$ છે,તેથી $v_1 = -m u_1$.
લેન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{-m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_1} (1 - \frac{1}{m}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{m-1}{m u_1} = \frac{1}{f}$.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ. અહીં,$v$ ઋણ છે (ધારો કે $v = -v_2$),$u$ ઋણ છે (ધારો કે $u = -u_2$),અને $f$ ધન છે. મોટવણી $m' = \frac{v}{u} = \frac{-v_2}{-u_2} = \frac{v_2}{u_2}$ છે.
આપેલ છે કે આભાસી પ્રતિબિંબનું કદ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ કરતાં બમણું છે,તેથી $m' = 2m$. આમ,$v_2 = 2m u_2$.
લેન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{-v_2} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2m u_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_2} (1 - \frac{1}{2m}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{2m-1}{2m u_2} = \frac{1}{f}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પો મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{(u_1-u_2)3m}{2}$ મળે છે.

(C) પ્રક્રિયા $2 Cu_2O_{(s)} + Cu_2S_{(s)} \longrightarrow 6 Cu_{(s)} + SO_{2(g)}$ માં:
$1$. $Cu_2O$ અને $Cu_2S$ માં $Cu$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+1$ છે. તે $Cu_{(s)}$ માં ઘટીને $0$ થાય છે,તેથી $Cu(I)$ નું રિડક્શન થાય છે અને તે ઓક્સિડેશનકર્તા (oxidant) તરીકે વર્તે છે.
$2$. $Cu_2S$ માં $S$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-2$ છે. તે $SO_{2(g)}$ માં વધીને $+4$ થાય છે,તેથી સલ્ફાઇડ આયનનું ઓક્સિડેશન થાય છે અને તે રિડક્શનકર્તા (reductant) તરીકે વર્તે છે.
તેથી,$Cu_2O$ અને $Cu_2S$ નો $Cu(I)$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે અને $Cu_2S$ નો સલ્ફાઇડ રિડક્શનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયામાં,$O_3$ માં ઓક્સિજનનો ઓક્સિડેશન આંક $0$ થી બદલાઈને $-2$ ($OH^-$ માં) અને $0$ ($O_2$ માં) થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,ઓઝોનમાં રહેલો ઓક્સિજન પરમાણુ ઇલેક્ટ્રોન મેળવીને $OH^-$ બનાવે છે,જે રિડક્શન પ્રક્રિયા છે.
કારણ કે $O_3$ નું રિડક્શન થાય છે,તે $I^-$ નું $I_2$ માં ઓક્સિડેશન કરે છે (જ્યાં $I$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી બદલાઈને $0$ થાય છે).
તેથી,$O_3$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(D) અસમાનુપાતી પ્રક્રિયા એ રેડોક્ષ પ્રક્રિયા છે જેમાં એક જ તત્વનું એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન થાય છે.
$(A)$ $2 NO_{2(g)} + 2 NaOH_{(aq)} \rightarrow NaNO_{2(aq)} + NaNO_{3(aq)} + H_2O_{(l)}$: $NO_2$ માં નાઈટ્રોજન $(+4)$ નું ઓક્સિડેશન $NO_3^-$ $(+5)$ માં અને રિડક્શન $NO_2^-$ $(+3)$ માં થાય છે. આ એક અસમાનુપાતી પ્રક્રિયા છે.
$(B)$ $Cl_{2(g)} + 2 NaOH_{(aq)} \rightarrow NaClO_{(aq)} + NaCl_{(aq)} + H_2O_{(l)}$: $Cl_2$ માં ક્લોરિન $(0)$ નું ઓક્સિડેશન $ClO^-$ $(+1)$ માં અને રિડક્શન $Cl^-$ $(-1)$ માં થાય છે. આ એક અસમાનુપાતી પ્રક્રિયા છે.
$(C)$ $3 ClO^- \rightarrow 2 Cl^- + ClO_3^-$: $ClO^-$ $(+1)$ માં ક્લોરિનનું રિડક્શન $Cl^-$ $(-1)$ માં અને ઓક્સિડેશન $ClO_3^-$ $(+5)$ માં થાય છે. આ એક અસમાનુપાતી પ્રક્રિયા છે.
$(D)$ $3 Mg_{(s)} + N_{2(g)} \rightarrow Mg_3N_{2(s)}$: આ એક સંયોગીકરણ પ્રક્રિયા છે,અસમાનુપાતી પ્રક્રિયા નથી.

(D) પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $SO_2 + 2H_2O + Cl_2 \longrightarrow H_2SO_4 + 2HCl$
આ પ્રક્રિયામાં,$H_2SO_4$ (સલ્ફ્યુરિક એસિડ) એ ડાયબેઝિક એસિડ છે કારણ કે તેમાં બે વિસ્થાપનીય હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ છે.
$HCl$ (હાઇડ્રોક્લોરિક એસિડ) એ મોનોબેઝિક એસિડ છે કારણ કે તેમાં એક વિસ્થાપનીય હાઇડ્રોજન પરમાણુ છે.

(D) તુલ્યતાના નિયમ મુજબ,$H_2 O_2$ ના ગ્રામ તુલ્યાંક = $KMnO_4$ ના ગ્રામ તુલ્યાંક.
ગ્રામ તુલ્યાંક $= N \times V \text{ (લીટરમાં)} = M \times n_{factor} \times V \text{ (લીટરમાં)}$.
$KMnO_4$ માટે,$n_{factor}$ (ઓક્સિડેશન આંકમાં ફેરફાર $+7$ થી $+2$) $5$ છે.
તેથી,$N_{H_2 O_2} \times V_{H_2 O_2} = M_{KMnO_4} \times n_{factor} \times V_{KMnO_4}$.
આપેલ છે: $V_{H_2 O_2} = 20 \ mL$,$M_{KMnO_4} = 0.02 \ M$,$V_{KMnO_4} = 16 \ mL$,$n_{factor} = 5$.
$N_{H_2 O_2} \times 20 = 0.02 \times 5 \times 16$.
$N_{H_2 O_2} = \frac{0.02 \times 5 \times 16}{20} = \frac{0.1 \times 16}{20} = \frac{1.6}{20} = 0.08 \ N$.
$N_{H_2 O_2} = 8 \times 10^{-2} \ N$.