પ્રથમ ચરણમાં આવેલ અને X-અક્ષ,રેખા x-sqrt{3} y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 0$ એટલે કે $x = \sqrt{3}y$ છે.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 0$ એટલે કે $x = \sqrt{3}y$ છે. પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \sqrt{3}y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \implies 3y^2 + y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = 1$ મળે. તેથી $x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. છેદબિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે. પ્રથમ ચરણમાં $X$-અક્ષ,રેખા અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ: ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$. પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{2^2 - x^2} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{\sqrt{3}}^2$. $= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$. $= (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$. બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

પ્રથમ ચરણમાં આવેલ અને $X$-અક્ષ,રેખા $x-\sqrt{3} y=0$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

Similar Questions

કયા પેશીઓનું સંયોજન સાથે મળીને અંકુરિત છોડના હાઈપોકોટીલને આધાર પૂરો પાડે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module