AP EAMCET 2018 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આ પ્રક્રિયા $KMnO_4$ અને $H_2O_2$ વચ્ચે એસિડિક માધ્યમમાં થતી રેડોક્ષ ટાઇટ્રેશન છે.
$KMnO_4$ માટે,$Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+7$ થી $+2$ થાય છે,તેથી n-ફેક્ટર $5$ છે.
$H_2O_2$ માટે,$O$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી $0$ થાય છે,તેથી n-ફેક્ટર $2$ છે.
તુલ્ય બિંદુએ,$H_2O_2$ ના મિલિ-તુલ્યાંક = $KMnO_4$ ના મિલિ-તુલ્યાંક.
$N_1 V_1 = N_2 V_2$
અહીં,$N_2 = M_2 \times \text{n-ફેક્ટર} = 0.02 \times 5 = 0.1 \ N$.
$V_2 = 16 \ mL$,$V_1 = 20 \ mL$.
$N_1 = \frac{N_2 V_2}{V_1} = \frac{0.1 \times 16}{20} = \frac{1.6}{20} = 0.08 \ N = 8 \times 10^{-2} \ N$.

(D) સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$3Na_2SO_3 + K_2Cr_2O_7 + 4H_2SO_4 \rightarrow 3Na_2SO_4 + K_2SO_4 + Cr_2(SO_4)_3 + 4H_2O$
$Na_2SO_3$ ના મોલ $= 0.15 \ M \times 1 \ L = 0.15 \ mol$
$K_2Cr_2O_7$ ના મોલ $= 0.2 \ M \times 0.5 \ L = 0.1 \ mol$
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$3 \ mol$ $Na_2SO_3$ એ $1 \ mol$ $K_2Cr_2O_7$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
$0.15 \ mol$ $Na_2SO_3$ માટે જરૂરી $K_2Cr_2O_7$ ના મોલ $= \frac{0.15}{3} = 0.05 \ mol$.
બાકી રહેલા $K_2Cr_2O_7$ ના મોલ $= 0.1 \ mol - 0.05 \ mol = 0.05 \ mol$.

(B) $LiNO_3$ નું વિઘટન: $2 LiNO_3 \xrightarrow{\Delta} Li_2O + 2 NO_2 + \frac{1}{2} O_2$
$NaNO_3$ નું વિઘટન: $2 NaNO_3 \xrightarrow{\Delta} 2 NaNO_2 + O_2$
$Ba(NO_3)_2$ નું વિઘટન: $2 Ba(NO_3)_2 \xrightarrow{\Delta} 2 BaO + 4 NO_2 + O_2$
$Be(NO_3)_2$ નું વિઘટન: $2 Be(NO_3)_2 \xrightarrow{\Delta} 2 BeO + 4 NO_2 + O_2$
આમ,$NaNO_3$ ને ગરમ કરતા તે તેના ઓક્સાઈડને બદલે નાઈટ્રાઈટ $(NaNO_2)$ અને $O_2$ આપે છે.

(D) જેમ આપણે સમૂહ $2$ માં $Mg(OH)_2$ થી $Ba(OH)_2$ તરફ નીચે જઈએ છીએ તેમ:
$1$. બેઝિક સ્વભાવ વધે છે કારણ કે પરમાણુ કદ વધવાને કારણે ધાતુનો ગુણધર્મ અને $OH^-$ આયનો મુક્ત કરવાની સરળતા વધે છે.
$2$. રાસાયણિક સ્થિરતા (ઉષ્મીય સ્થિરતા) વધે છે કારણ કે ધાતુનો ઇલેક્ટ્રોપોઝિટિવ ગુણધર્મ વધે છે.
$3$. પાણીમાં દ્રાવ્યતા વધે છે કારણ કે કેશનનું કદ વધતા લેટીસ ઉર્જા હાઇડ્રેશન ઉર્જા કરતા વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
તેથી,ત્રણેય ગુણધર્મો સમૂહમાં નીચે તરફ વધે છે.

(A) $1$. કેલ્શિયમ કાર્બોનેટનું ઉષ્મીય વિઘટન: $CaCO_3 \stackrel{\Delta}{\rightleftharpoons} CO_2 + CaO (X)$.
$2$. ચૂનાનું પાણી સાથેની પ્રક્રિયા: $CaO (X) + H_2O \longrightarrow Ca(OH)_2 (Y)$.
$3$. બ્લીચિંગ પાવડર બનાવવા માટે ક્લોરિન સાથેની પ્રક્રિયા: $Ca(OH)_2 (Y) + Cl_2 \longrightarrow CaOCl_2 (Z) + H_2O$.
આમ,$X = CaO$,$Y = Ca(OH)_2$,અને $Z = CaOCl_2$.

(B) ઓક્સોએસિડ ક્ષાર એ ઓક્સોએસિડ (ઓક્સિજન ધરાવતા એસિડ) માંથી મેળવેલા ક્ષાર છે.
આપેલ યાદીમાંથી:
$(i)$ $CaCO_3$ એ કાર્બોનિક એસિડ $(H_2CO_3)$ નો ક્ષાર છે.
$(ii)$ $MgSO_4$ એ સલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2SO_4)$ નો ક્ષાર છે.
$(iv)$ $Sr(NO_3)_2$ એ નાઈટ્રિક એસિડ $(HNO_3)$ નો ક્ષાર છે.
સંયોજનો $(iii)$ $BaCl_2$,$(v)$ $MgBr_2$,અને $(vi)$ $MgCl_2$ એ હેલાઈડ છે,જે ઓક્સોએસિડ ક્ષાર નથી.
તેથી,ઓક્સોએસિડ ક્ષાર $(i)$,$(ii)$,અને $(iv)$ છે.

(A) $Be$ અને $Al$ બંનેના ઓક્સાઈડ અને હાઈડ્રોક્સાઈડ સ્વભાવે ઉભયગુણી $(amphoteric)$ છે,બેઝિક નથી.
બંને $Be$ અને $Al$ સમાન આયનીય પોટેન્શિયલ ($charge/size$ ગુણોત્તર) ને કારણે વિકર્ણીય સંબંધ દર્શાવે છે.
$Be$ અને $Al$ બંને સંકીર્ણ બનાવે છે (દા.ત.,$[BeF_4]^{2-}$ અને $[AlF_6]^{3-}$).
તેમના ક્લોરાઈડ ($BeCl_2$ અને $Al_2Cl_6$) બાષ્પ અવસ્થામાં બ્રિજ્ડ બંધારણ ધરાવે છે અને સહસંયોજક હોવાથી કાર્બનિક દ્રાવકોમાં દ્રાવ્ય છે.
તેથી,તેઓ બેઝિક ઓક્સાઈડ અને હાઈડ્રોક્સાઈડ બનાવે છે તે વિધાન ખોટું છે કારણ કે તેઓ ઉભયગુણી છે.

(A) $Be$ અને $Al$ વિકર્ણીય સંબંધ ધરાવે છે,જેના કારણે ઘણા ગુણધર્મો સમાન હોય છે.
બંને ધાતુઓ સહસંયોજક સંયોજનો બનાવે છે અને તેમના ક્લોરાઇડ લુઈસ એસિડ તરીકે વર્તે છે.
બંને ધાતુઓ આલ્કલીમાં ઓગળીને દ્રાવ્ય સંકીર્ણો (બેરિલેટ્સ અને એલ્યુમિનેટ્સ) બનાવે છે.
$Be$ અને $Al$ બંનેના ઓક્સાઇડ અને હાઇડ્રોક્સાઇડ ઉભયગુણી (amphoteric) હોય છે,બેઝિક નથી.
તેથી,બંને બેઝિક ઓક્સાઇડ અને હાઇડ્રોક્સાઇડ બનાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) બે $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી,બે $OR$ ગેટના આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ અને $Y_2 = A + B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2}$
$Y_1$ અને $Y_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Y = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $X \cdot X = X$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(A + B) \cdot (A + B) = A + B$ મળે છે.
તેથી,$Y = \overline{A + B}$.
પદ $\overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
આમ,સમતુલ્ય લોજિક ગેટ $NOR$ ગેટ છે.

(B) $XY$ સમતલમાં $5$ એકમ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(x_1, y_1)$ ધરાવતા તમામ વર્તુળોનો સમૂહ નીચે મુજબ છે:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = 25$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x - x_1) + 2(y - y_1)y' = 0$
$(x - x_1) = -(y - y_1)y'$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 - [(y')^2 + (y - y_1)y''] = 0$
$(y - y_1) = \frac{1 - (y')^2}{y''}$ ... (iii)
સમીકરણ (iii) માંથી $(y - y_1)$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$(x - x_1) = -\left(\frac{1 - (y')^2}{y''}\right)y' = \frac{(y')^3 - y'}{y''}$
$(x - x_1)$ અને $(y - y_1)$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{(y')^3 - y'}{y''}\right)^2 + \left(\frac{1 - (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$
$\frac{(y')^2((y')^2 - 1)^2 + (1 - (y')^2)^2}{(y'')^2} = 25$
$\frac{(1 - (y')^2)^2 [ (y')^2 + 1 ]}{(y'')^2} = 25$
$(1 - (y')^2)^2 (1 + (y')^2) = 25(y'')^2$
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $y''$ છે,તેથી કક્ષા $m = 2$.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $l = 2$.
$l = 2$ અને $m = 2$ હોવાથી:
$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}-(\tan 2 x) y=\cos ^4 x$.
$\cos ^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} - \frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} y = \cos ^2 x$.
આ $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x}$ અને $Q = \cos ^2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} dx}$.
ધારો કે $I = \int -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} dx = \int -\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x \cdot \cos ^2 x} dx$.
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2 x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int -\frac{2 \sin 2 x}{\cos 2 x (1+\cos 2 x)} dx$.
ધારો કે $\cos 2 x = t$,તો $-2 \sin 2 x dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{t(t+1)} = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt = \ln|t| - \ln|t+1| = \ln|\frac{t}{t+1}|$.
તેથી,$IF = \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x + 1} = \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ છે.
$y \cdot \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x} = \int \cos^2 x \cdot \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x} dx + c = \frac{1}{2} \int \cos 2 x dx + c = \frac{1}{4} \sin 2 x + c$.
$y = \frac{2 \cos^2 x}{\cos 2 x} (\frac{\sin 2 x + 4c}{4}) = \frac{1}{2} \frac{\cos^2 x}{\cos 2 x} (\sin 2 x + C)$.
$\cos 2 x = \cos^2 x (1 - \tan^2 x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{2} \frac{\sin 2 x + C}{1 - \tan^2 x}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો શોધો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
અહીં $\vec{AB} = -\vec{CD}$ અને $\vec{BC} = -\vec{DA}$ છે,જે સાબિત કરે છે કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે બાજુઓની લંબાઈ તપાસો:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
પાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી $(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{14})$,આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a|=|b|=|c|=1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2(a \cdot b) = 2 - 2(a \cdot b)$.
તે જ રીતે,$|b-c|^2 = 2 - 2(b \cdot c)$ અને $|c-a|^2 = 2 - 2(c \cdot a)$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$|a-b|^2+|b-c|^2+|c-a|^2 = 6 - 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \quad \dots (i)$
આ પદાવલિને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge 0$.
કારણ કે $|a|=|b|=|c|=1$,તેથી $1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge -3$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-3$ છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$k = 6 - (-3) = 9$.
હવે,આપણે $k(2|a|^2+3|b|^2-4|c|^2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કારણ કે $|a|=|b|=|c|=1$,તેથી $|a|^2=|b|^2=|c|^2=1$.
આમ,$k(2(1)+3(1)-4(1)) = 9(2+3-4) = 9(1) = 9$.

(D) ધારો કે રેખા $X$,$Y$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે:
$\alpha = \tan ^{-1} \sqrt{7} \implies \tan \alpha = \sqrt{7}$.
કારણ કે $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + 7 = 8$,તેથી $\cos^2 \alpha = \frac{1}{8}$.
$\beta = \tan ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \implies \tan \beta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$,તેથી $\cos^2 \beta = \frac{3}{8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\gamma = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 2z = 9$ છે.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9/2} = 1$ મળે છે.
આમ,સમતલ દ્વારા યામ અક્ષો પર બનાવેલા અંતઃખંડો $a = 9$,$b = 3$ અને $c = 9/2$ છે.
જરૂરી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(9, 3, 9/2)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણે દિકગુણોત્તર $(18, 6, 9)$ અથવા સરળતા માટે $(6, 2, 3)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલ બિંદુ $(3, 5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $6(x - 3) + 2(y - 5) + 3(z - 7) = 0$.
$6x - 18 + 2y - 10 + 3z - 21 = 0$.
$6x + 2y + 3z - 49 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $6x + 2y + 3z = 49$ છે.

(B) અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 6}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ:
હજારનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સિવાય).
સોનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય.
દશકનું સ્થાન $4$ રીતે ભરી શકાય.
એકમનું સ્થાન $3$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.
જો સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. ${0, 1, 2, 3, 4, 6}$ માંથી શક્ય છેલ્લા બે અંકો:
$04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64$.
કિસ્સો $1$: છેલ્લા બે અંકો $04, 20, 24, 40, 60, 64$ છે.
- જો છેલ્લા બે અંકો $04, 20, 40, 60$ હોય:
બાકીના $2$ સ્થાનો $4 \times 3 = 12$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $= 4 \times 12 = 48$ રીતો.
- જો છેલ્લા બે અંકો $24, 64$ હોય:
હજારનું સ્થાન $0$ કે વપરાયેલા અંકો ન હોઈ શકે.
હજારના સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો,સોના સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો.
કુલ $= 2 \times (3 \times 3) = 18$ રીતો.
કિસ્સો $2$: છેલ્લા બે અંકો $12, 16, 32, 36$ હોય:
હજારનું સ્થાન $0$ કે વપરાયેલા અંકો ન હોઈ શકે.
હજારના સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો,સોના સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો.
કુલ $= 4 \times (3 \times 3) = 36$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 48 + 18 + 36 = 102$.
સંભાવના $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
$52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
સાનુકૂળ કિસ્સા માટે,આપણે એક પ્રકારના બે પત્તા અને બાકીના બે અલગ-અલગ પ્રકારના એક-એક પત્તા પસંદ કરવાના છે.
પગલું $1$: $4$ પ્રકારમાંથી $1$ પ્રકાર પસંદ કરો જેના $2$ પત્તા લેવાના છે: $^4C_1 = 4$ રીતો.
પગલું $2$: તે પ્રકારના $13$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરો: $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ રીતો.
પગલું $3$: બાકીના $3$ પ્રકારમાંથી અન્ય $2$ પ્રકાર પસંદ કરો: $^3C_2 = 3$ રીતો.
પગલું $4$: આ પસંદ કરેલા $2$ પ્રકારમાંથી દરેકમાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરો: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1 = 13 \times 13 = 169$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $4 \times 78 \times 3 \times 169 = 157872$.
સંભાવના = $\frac{157872}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$.

(C) આપેલ છે કે $n=5$ અને $p=\frac{3}{4}$,તેથી $q=1-p=\frac{1}{4}$.
$\alpha = \frac{1}{9} P(X \geq 3) = \frac{1}{9} [P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)]$
$= \frac{1}{9} [^5C_3(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^2 + ^5C_4(\frac{3}{4})^4(\frac{1}{4})^1 + ^5C_5(\frac{3}{4})^5]$
$= \frac{1}{9} [10 \cdot \frac{27}{1024} + 5 \cdot \frac{81}{1024} + 1 \cdot \frac{243}{1024}] = \frac{1}{9} [\frac{270+405+243}{1024}] = \frac{1}{9} [\frac{918}{1024}] = \frac{102}{1024}$.
$\beta = P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$= ^5C_0(\frac{3}{4})^0(\frac{1}{4})^5 + ^5C_1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^4 + ^5C_2(\frac{3}{4})^2(\frac{1}{4})^3$
$= 1 \cdot \frac{1}{1024} + 5 \cdot \frac{3}{1024} + 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{1+15+90}{1024} = \frac{106}{1024}$.
હવે,$256(\beta-\alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\Sigma P(X = x_i) = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{2}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{7}{12} = 1$
$\Rightarrow 2k = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
$\Rightarrow k = \frac{5}{24}$
હવે,મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(x_i)$:
$E(X) = (-2)(\frac{1}{6}) + (-1)(\frac{5}{24}) + (0)(\frac{1}{4}) + (1)(\frac{5}{24}) + (2)(\frac{1}{6})$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{5}{24} + 0 + \frac{5}{24} + \frac{2}{6} = 0$
હવે,$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i)$:
$E(X^2) = (-2)^2(\frac{1}{6}) + (-1)^2(\frac{5}{24}) + (0)^2(\frac{1}{4}) + (1)^2(\frac{5}{24}) + (2)^2(\frac{1}{6})$
$E(X^2) = 4(\frac{1}{6}) + 1(\frac{5}{24}) + 0 + 1(\frac{5}{24}) + 4(\frac{1}{6})$
$E(X^2) = \frac{4}{6} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} + \frac{10}{24} = \frac{4}{3} + \frac{5}{12} = \frac{16+5}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$
વિચરણ $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = \frac{7}{4} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(B) આપેલ છે: $p^{\circ}_{benzene} = 50 \ mm \ Hg$,$p^{\circ}_{toluene} = 40 \ mm \ Hg$.
બેન્ઝીનના મોલની સંખ્યા $(n_b) = \frac{117 \ g}{78 \ g \ mol^{-1}} = 1.5 \ mol$.
ટોલ્યુઈનના મોલની સંખ્યા $(n_t) = \frac{46 \ g}{92 \ g \ mol^{-1}} = 0.5 \ mol$.
કુલ મોલ $= 1.5 + 0.5 = 2.0 \ mol$.
બેન્ઝીનનો મોલ અંશ $(\chi_b) = \frac{1.5}{2.0} = 0.75$.
ટોલ્યુઈનનો મોલ અંશ $(\chi_t) = \frac{0.5}{2.0} = 0.25$.
બેન્ઝીનનું આંશિક દબાણ $(p_b) = p^{\circ}_b \times \chi_b = 50 \times 0.75 = 37.5 \ mm \ Hg$.
ટોલ્યુઈનનું આંશિક દબાણ $(p_t) = p^{\circ}_t \times \chi_t = 40 \times 0.25 = 10 \ mm \ Hg$.
કુલ બાષ્પ દબાણ $(p_T) = p_b + p_t = 37.5 + 10 = 47.5 \ mm \ Hg$.
બાષ્પ કલામાં ટોલ્યુઈનનો મોલ અંશ $(y_t) = \frac{p_t}{p_T} = \frac{10}{47.5} \approx 0.21$.

(B) $\Delta T_f = K_f \times m$
$\Delta T_f = 0 - (-0.93) = 0.93 \ K$
$m = \frac{\text{દ્રાવ્યના મોલ}}{\text{દ્રાવકનું દળ (kg માં)}} = \frac{36 / M}{1.2} = \frac{30}{M}$
$0.93 = 1.86 \times \frac{30}{M}$
$M = \frac{1.86 \times 30}{0.93} = 2 \times 30 = 60 \ g \ mol^{-1}$
$CH_2O$ નું અનુભવિક સૂત્ર દળ $= 12 + 2(1) + 16 = 30 \ g \ mol^{-1}$
$n = \frac{\text{આણ્વીય દળ}}{\text{અનુભવિક સૂત્ર દળ}} = \frac{60}{30} = 2$
આણ્વીય સૂત્ર $= (CH_2O)_2 = C_2H_4O_2$

(C) પ્રારંભિક કદ $(V_1) = 50 \ mL$
પ્રારંભિક નોર્માલિટી $(N_1) = 0.1 \ N$
અંતિમ કદ $(V_2) = 50 \ mL + 150 \ mL = 200 \ mL$
મંદન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N_1 \times V_1 = N_2 \times V_2$
$0.1 \times 50 = N_2 \times 200$
$N_2 = \frac{0.1 \times 50}{200} = 0.025 \ N = \frac{1}{40} \ N$
$Na_2CO_3$ માટે,વેલેન્સ ફેક્ટર $(Z) = 2$ છે.
નોર્માલિટી અને મોલારિટી વચ્ચેનો સંબંધ: $N = M \times Z$
$M = \frac{N}{Z} = \frac{1/40}{2} = \frac{1}{80} \ M$
તેથી,પરિણામી દ્રાવણની મોલારિટી $M/80$ છે.

(C) આપેલ છે,
$HCl$ ની મોલારિટી $(M_1) = 0.1 \ M$
$Na_2CO_3$ દ્રાવણનું કદ $(V_2) = 20 \ mL$
$Na_2CO_3$ નું દળ $= 0.106 \ g$
$Na_2CO_3$ નું આણ્વીય દળ $= 106 \ g/mol$
$Na_2CO_3$ ના મોલ $= \frac{0.106 \ g}{106 \ g/mol} = 0.001 \ mol$
$Na_2CO_3$ ની મોલારિટી $(M_2) = \frac{0.001 \ mol}{0.020 \ L} = 0.05 \ M$
તટસ્થીકરણની પ્રક્રિયા: $Na_2CO_3 + 2HCl \rightarrow 2NaCl + H_2O + CO_2$
તુલ્યતા સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $n_{HCl} = 2 \times n_{Na_2CO_3}$
$M_1 \times V_1 = 2 \times (M_2 \times V_2)$
$0.1 \times V_1 = 2 \times (0.05 \times 20)$
$0.1 \times V_1 = 2$
$V_1 = 20 \ mL$

(C) વાયુ મિશ્રણનું દબાણ $P = \frac{nRT}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $R, T,$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto n_{total}$.
પ્રથમ પાત્રમાં,કુલ મોલ $n_1 = n_{H_2} + n_{He} + n_{O_2} = \frac{16}{2} + \frac{16}{4} + \frac{16}{32} = 8 + 4 + 0.5 = 12.5 \ mol$.
આપેલ છે કે $P_1 = 10 \ atm$,તેથી $10 \propto 12.5$.
બીજા પાત્રમાં,કુલ મોલ $n_2 = n_{He} + n_{O_2} = \frac{16}{4} + \frac{16}{32} = 4 + 0.5 = 4.5 \ mol$.
તેથી,નવું દબાણ $P_2 = \frac{n_2}{n_1} \times P_1 = \frac{4.5}{12.5} \times 10 = 0.36 \times 10 = 3.6 \ atm$.

(B) આપેલ છે: વાયુનો જથ્થો $n = 4.0 \ mol$,કદ $V = 5 \ dm^3$,દબાણ $p = 3.32 \ bar$,અને વાયુ અચળાંક $R = 0.083 \ bar \ dm^3 \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $p \ V = n \ R \ T$ નો ઉપયોગ કરતા,તાપમાન $T$ માટે:
$T = \frac{p \ V}{n \ R}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4.0 \times 0.083}$
$T = \frac{16.6}{0.332} = 50 \ K$.
તેથી,વાયુનું તાપમાન $50 \ K$ છે.

(B) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,વાયુના પ્રસરણનો દર તેના મોલર દળ $(M_m)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{r_X}{r_{hydrocarbon}} = \sqrt{\frac{M_{hydrocarbon}}{M_X}}$
અહીં $r_X = 3\sqrt{3} \times r_{hydrocarbon}$ અને $M_{hydrocarbon} = 54 \ g \ mol^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3\sqrt{3} = \sqrt{\frac{54}{M_X}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3\sqrt{3})^2 = \frac{54}{M_X}$
$9 \times 3 = \frac{54}{M_X}$
$27 = \frac{54}{M_X}$
$M_X = \frac{54}{27} = 2 \ g \ mol^{-1}$

(B) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,$\frac{r_X}{r_{\text{gas}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{gas}}}{M_X}}$.
આપેલ છે કે $r_X = 3 \sqrt{3} \times r_{\text{gas}}$,તેથી $\frac{r_X}{r_{\text{gas}}} = 3 \sqrt{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \sqrt{3} = \sqrt{\frac{54}{M_X}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 \sqrt{3})^2 = \frac{54}{M_X}$.
$27 = \frac{54}{M_X}$.
$M_X = \frac{54}{27} = 2 \ g \ mol^{-1}$.

(C) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ નું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
અચળ તાપમાને,$v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ આલેખ પરથી,સૌથી સંભવિત ઝડપનો ક્રમ $r_2 < r_1 < r_3$ છે.
જેમ કે $v_{mp}$ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી ઓછી ઝડપ એ વધુ મોલર દળ સૂચવે છે.
તેથી,મોલર દળનો સાચો ક્રમ $M_2 > M_1 > M_3$ છે.

(B) આપેલ છે,$U_{rms} = 3000 \ ms^{-1}$.
$RMS$ ઝડપનું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ મળે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $(3000)^2 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$9 \times 10^6 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$3RT = 9 \times 10^6 \times 28 \times 10^{-3} = 252 \times 10^3 \ J/mol$.
આદર્શ વાયુના $1$ મોલ માટે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times (3RT) = \frac{1}{2} \times 252 \times 10^3 \ J/mol = 126 \times 10^3 \ J/mol = 126 \ kJ$.

(D) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ નું સૂત્ર: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
આપેલ છે $u_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ અને મિથેનનું આણ્વીય દળ $(M)$ = $16 \ g \ mol^{-1} = 0.016 \ kg \ mol^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $u_{mp}^2 = \frac{2RT}{M} \Rightarrow \frac{RT}{M} = \frac{u_{mp}^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{RT}{0.016} = \frac{400^2}{2} = 80000$.
તેથી,$RT = 80000 \times 0.016 = 1280 \ J \ mol^{-1}$.
એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$: $KE = \frac{3}{2} RT$.
$KE = \frac{3}{2} \times 1280 = 1920 \ J$.

(A) તત્વ $X$ માટે: દળ ક્રમાંક $A = 52$. ધારો કે પ્રોટોનની સંખ્યા $p$ છે. ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $n = p + 0.166p = 1.166p$. $A = p + n$ હોવાથી,$52 = p + 1.166p = 2.166p$. તેથી,$p = 52 / 2.166 \approx 24$. પરમાણુ ક્રમાંક $24$ ધરાવતું તત્વ $Cr$ છે.
તત્વ $Z$ માટે: દળ ક્રમાંક $A = 75$. ધારો કે પ્રોટોનની સંખ્યા $p'$ છે. ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $n' = p' + 0.273p' = 1.273p'$. $A = p' + n'$ હોવાથી,$75 = p' + 1.273p' = 2.273p'$. તેથી,$p' = 75 / 2.273 \approx 33$. પરમાણુ ક્રમાંક $33$ ધરાવતું તત્વ $As$ છે.

(D) $Uuq$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ $114$ છે,તેથી પ્રોટોનની સંખ્યા $(p)$ $114$ છે.
ધારો કે ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા પ્રોટોનની સંખ્યા કરતા $12.8 \%$ વધુ છે:
$n = p + 0.128 \times p = 1.128 \times p$
$n = 1.128 \times 114 = 128.592 \approx 129$.
દળ ક્રમાંક $(A)$ એ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનો સરવાળો છે:
$A = p + n = 114 + 129 = 243$.
તેથી,આશરે દળ ક્રમાંક $243$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \times a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm$.
આપેલ $r_n = 476.1 \ pm$ માટે, $n^2 = 476.1 / 52.9 = 9$, તેથી $n = 3$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = E_1 / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J / 3^2 = -2.18 \times 10^{-18} / 9 \ J$.
$E_3 = -0.2422 \times 10^{-18} \ J = -2.422 \times 10^{-19} \ J$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
બોહર મોડેલ મુજબ,કક્ષાની ઉર્જા $E_n \propto Z^2$ છે. સમાન સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E \propto Z^2$.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,અથવા $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માટે,$Z = 1$ અને $\lambda_H = 912 \mathring{A}$.
લિથિયમ આયન $(Li^{2+})$ માટે,$Z = 3$.
સંબંધ $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_H} = \frac{Z_H^2}{Z_{Li}^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{912}{9} \mathring{A} = 101.3 \mathring{A}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n$ અચળ છે,તેથી $E \propto Z^2$.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_H}{E_{Li^{2+}}} = \frac{1}{9}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{Z_H^2}{Z_{Li^{2+}}^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$,જે આપેલ ડેટા સાથે સુસંગત છે.
હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z}\mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n$ અચળ છે,તેથી $r \propto \frac{1}{Z}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_H}{r_{Li^{2+}}} = \frac{Z_{Li^{2+}}}{Z_H} = \frac{3}{1} = 3: 1$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે $n = 1$ હોવાથી,$r_1 \propto \frac{1}{Z}$.
$He^{+}$ $(Z = 2)$ માટે,$r_{He^+} \propto \frac{1}{2}$.
$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ માટે,$r_{Li^{2+}} \propto \frac{1}{3}$.
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ માટે,$r_{Be^{3+}} \propto \frac{1}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ છે.
સરળ બનાવવા માટે,$2, 3, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ વડે ગુણતા:
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.

(A) તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_{L}^2} - \frac{1}{n_{H}^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$.
બામર શ્રેણીમાં ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ માટે,$n_{L} = 2$ અને $n_{H} = 3$:
$\bar{\nu}_{Balmer} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} R$.
લાયમન શ્રેણીમાં ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ માટે,$n_{L} = 1$ અને $n_{H} = 2$:
$\bar{\nu}_{Lyman} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
બામર શ્રેણી અને લાયમન શ્રેણીની તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\bar{\nu}_{Balmer}}{\bar{\nu}_{Lyman}} = \frac{5/36}{3/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 27$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K.E. = h(v - v_0)$.
$v_1 = 1.6 \times 10^{16} \ Hz$ આવૃત્તિ માટે,$K.E._1 = h(1.6 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (i)$.
$v_2 = 1.0 \times 10^{16} \ Hz$ આવૃત્તિ માટે,$K.E._2 = h(1.0 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (ii)$.
આપેલ છે કે $K.E._1 = 2 \times K.E._2$,તેથી:
$h(1.6 \times 10^{16} - v_0) = 2 \times h(1.0 \times 10^{16} - v_0)$.
$1.6 \times 10^{16} - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 2v_0$.
$2v_0 - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 1.6 \times 10^{16}$.
$v_0 = 0.4 \times 10^{16} \ Hz = 4 \times 10^{15} \ Hz$.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે $\Delta x = \Delta p$,તેથી $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
કારણ કે $\Delta p = m \Delta v$,તેથી $(m \Delta v)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
આથી $m^2 \Delta v^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta v^2 = \frac{h}{4\pi m^2}$.
તેથી $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p = \sqrt{2mK}$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ અને $K$ એ ગતિઊર્જા છે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{2m_2 K_2}{2m_1 K_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = 3$ અને $\frac{K_2}{K_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}:\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $(W_0) = 4.80 \ eV$ અને ગતિ ઊર્જા $(KE) = 0.20 \ eV$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ:
કુલ ઊર્જા $(E_T) = W_0 + KE = 4.80 \ eV + 0.20 \ eV = 5.0 \ eV$.
ઊર્જાને જુલમાં ફેરવતા: $E_T = 5.0 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 8.01 \times 10^{-19} \ J$.
સંબંધ $E_T = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$:
$\nu = \frac{E_T}{h} = \frac{8.01 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 1.21 \times 10^{15} \ Hz$.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{450 \times 10^{-9} \ m} \approx 4.417 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{4.417 \times 10^{-19} \ J}{1.602 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 2.76 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન $(E \ge W_0)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થાય છે.
$W_0 < 2.76 \ eV$ ધરાવતી ધાતુઓ $K (2.25 \ eV), Na (2.30 \ eV)$,અને $Li (2.42 \ eV)$ છે. આ ધાતુઓ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવશે.
$W_0 > 2.76 \ eV$ ધરાવતી ધાતુઓ $Mg (3.70 \ eV)$ અને $Cu (4.80 \ eV)$ છે. આ ધાતુઓ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવશે નહીં.
આવી ધાતુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 8.0 \times 10^{-25}}{9.0 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^6} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$,અને $v = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times (4/3) \times 10^3} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12 \times 10^{-28}} = 0.55216 \times 10^{-6} \ m$.
$nm$ માં ફેરવતા: $\lambda = 0.55216 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 552.16 \ nm \approx 552.2 \ nm$.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે કે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ સમાન છે: $\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4 \pi}$.
તેથી,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta p = m \Delta v$ છે,તેથી $m \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
$\Delta v$ માટે ઉકેલતા: $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4 \pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(B) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m K E}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ અને ગતિ ઊર્જા ગુણોત્તર $\frac{K E_1}{K E_2} = \frac{2}{1}$ છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 \times K E_2}{m_1 \times K E_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{1 \times 2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે.

(C) ઝેનોન $(Xe)$ જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $54$ છે,તેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6$ છે.
કક્ષકોની ગણતરી કરતા:
$1s$ ($1$ કક્ષક),$2s$ ($1$ કક્ષક),$2p$ ($3$ કક્ષકો),$3s$ ($1$ કક્ષક),$3p$ ($3$ કક્ષકો),$3d$ ($5$ કક્ષકો),$4s$ ($1$ કક્ષક),$4p$ ($3$ કક્ષકો),$4d$ ($5$ કક્ષકો),$5s$ ($1$ કક્ષક),$5p$ ($3$ કક્ષકો).
કુલ કક્ષકોની સંખ્યા = $1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 = 27$.

(C) ભૌતિક અધિશોષણ એ ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા છે. લે શેટલિયરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન વધવાથી અધિશોષણનું પ્રમાણ ઘટે છે.
આપેલા આલેખ પરથી,અચળ દબાણ $p$ પર,અધિશોષણનું પ્રમાણ $\frac{x}{m}$ નો ક્રમ $T_3 > T_2 > T_1$ છે.
ભૌતિક અધિશોષણ માટે અધિશોષણ એ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 > T_2 > T_3$ હોવો જોઈએ,જે $T_3 < T_2 < T_1$ ને સમાન છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ, ઠંડકનો દર એકમ સમય દીઠ ગુમાવેલી ઉષ્માના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે સમાન તાપમાનના ગાળા માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $(dQ/dt)$ અચળ છે:
ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = (w + m) C_V \Delta T$
જ્યાં $w$ એ કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક છે, $m$ એ પાણીનું દળ છે, $C_V$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે, અને $\Delta T = 62^{\circ} C - 58^{\circ} C = 4^{\circ} C$ છે.
ઠંડકનો દર અચળ હોવાથી, લાગતો સમય $t \propto Q$ થાય.
કિસ્સો $I$: $t_1 = 9 \ \text{minutes}$, $m_1 = 75 \ g$
$9 \propto (w + 75) C_V \times 4^{\circ} \quad \dots (i)$
કિસ્સો $II$: $t_2 = 12 \ \text{minutes}$, $m_2 = 105 \ g$
$12 \propto (w + 105) C_V \times 4^{\circ} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{9}{12} = \frac{(w + 75) C_V \times 4^{\circ}}{(w + 105) C_V \times 4^{\circ}}$
$\frac{3}{4} = \frac{w + 75}{w + 105}$
$3(w + 105) = 4(w + 75)$
$3w + 315 = 4w + 300$
$w = 315 - 300 = 15 \ g$
આમ, કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક $15 \ g$ છે.

(A) સમય $t$ માં સળિયામાંથી પસાર થતી ઉષ્મા $Q$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{k A t (T_1 - T_2)}{d}$
જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$d$ એ સળિયાની લંબાઈ છે અને $(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
સળિયા સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $d$ બધા સળિયા માટે સમાન રહેશે.
ધારો કે જંકશન $P$ નું તાપમાન $T$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જંકશનમાં આવતી ઉષ્મા એ જંકશનમાંથી બહાર જતી ઉષ્માના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$100^{\circ} C$ છેડાથી $P$ તરફ વહેતી ઉષ્મા = $P$ થી $50^{\circ} C$ છેડા તરફ વહેતી ઉષ્મા + $P$ થી $0^{\circ} C$ છેડા તરફ વહેતી ઉષ્મા:
$\frac{3K A (100 - T) t}{d} = \frac{2K A (T - 50) t}{d} + \frac{K A (T - 0) t}{d}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{K A t}{d}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}{ }^{\circ} C$

(A) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(A)$ અચળ કદ પર,વિનિમય પામેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $q_V = \Delta U$ $(III)$.
$(B)$ સમતાપી અપ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય: $W = -p_{ex} (V_f - V_i)$ $(IV)$.
$(C)$ સમતાપી પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય: $W = -2.303 nRT \log \frac{V_f}{V_i}$ $(I)$.
$(D)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$q = 0$,તેથી ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(\Delta U = q + W)$ મુજબ,$W_{adiabatic} = \Delta U$ $(II)$.
તેથી,સાચો ક્રમ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.