AP EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 60 \ m$ છે. બંને પથ્થર જમીનથી $y = \frac{2h}{3} = \frac{2 \times 60}{3} = 40 \ m$ ઊંચાઈએ મળે છે.
ટાવરની ટોચ પરથી મુક્ત કરેલા પથ્થર માટે: કાપેલું અંતર $s_1 = h - y = 60 - 40 = 20 \ m$ છે. $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રમાં $u = 0$ મૂકતા,$20 = 0 + \frac{1}{2}(10)t^2$,એટલે કે $20 = 5t^2$,તેથી $t^2 = 4$ અને $t = 2 \ s$ મળે છે.
જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર માટે: કાપેલું અંતર $s_2 = y = 40 \ m$ છે. $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$40 = u(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$40 = 2u - 20$.
$2u = 60$,તેથી $u = 30 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(C) ધારો કે પેકેટનું દળ $m$ છે. પેકેટનું વજન $W = mg$ છે.
જ્યારે પેકેટ જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે તે $a = 2g$ (ઉપરની તરફ) જેટલો પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.
પેકેટ પર લાગતા બળો તેના વજન $W$ (નીચેની તરફ) અને જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પરિણામી બળ $F_{net} = N - W = ma$ છે.
$a = 2g$ મૂકતા, આપણને $N - W = m(2g)$ મળે છે.
$mg = W$ હોવાથી, $N - W = 2W$ થાય.
તેથી, જમીન દ્વારા પેકેટ પર લાગતું લંબબળ $N = 3W$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પેકેટ દ્વારા જમીન પર લાગતું બળ લંબબળ $N$ જેટલું જ એટલે કે $3W$ હશે.

(C) ધારો કે બીજા પથ્થરને પહેલા પથ્થરને પકડવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,મુસાફરીનો સમય $(t + 2) \,s$ છે. પ્રથમ પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g (t + 2)^2$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,મુસાફરીનો સમય $t \,s$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \,m/s$ છે. બીજા પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_2 = ut + \frac{1}{2} g t^2$ છે.
જ્યારે બીજો પથ્થર પહેલાને પકડે છે,ત્યારે $s_1 = s_2$ થાય.
$\frac{1}{2} (10) (t + 2)^2 = 5t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$5(t^2 + 4t + 4) = 5t + 5t^2$
$5t^2 + 20t + 20 = 5t + 5t^2$
$15t = -20$. આ પરિસ્થિતિમાં સમય ઋણ મળે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરી કરતા સાચો જવાબ $22.2 \,m$ મળે છે.

(A) $\text{વ્યક્તિ દ્વારા લિફ્ટના તળિયા પર લગાડવામાં આવતું બળ એ વ્યક્તિનું આભાસી વજન } N \text{ છે।}$
$\text{આપેલ છે કે, દળ } m = 60 \,kg, \text{ આભાસી વજન } N = 150 \,N, \text{ અને ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,ms^{-2}.$
$\text{જ્યારે લિફ્ટ } a \text{ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતી હોય, ત્યારે આભાસી વજનનું સૂત્ર } N = m(g - a) \text{ થાય છે।}$
$\text{આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:}$
$150 = 60(10 - a)$
$\text{બંને બાજુ } 60 \text{ વડે ભાગતા:}$
$2.5 = 10 - a$
$a \text{ માટે ઉકેલતા:}$
$a = 10 - 2.5 = 7.5 \,ms^{-2}.$
$\text{આમ, લિફ્ટનો પ્રવેગ } 7.5 \,ms^{-2} \text{ નીચેની તરફ છે।}$

(A) બે કાર એકબીજાને મળે તે માટે લાગતો કુલ સમય નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કારનો સાપેક્ષ વેગ}}$
અહીં, અંતર $d = 36 \text{ km}$, કાર $1$ ની ઝડપ $v_1 = 54 \text{ kmh}^{-1}$, અને કાર $2$ ની ઝડપ $v_2 = 36 \text{ kmh}^{-1}$ છે.
તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 54 + 36 = 90 \text{ kmh}^{-1}$ થશે.
$T = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ h}$.
પક્ષી આખા સમયગાળા $T$ દરમિયાન $v_b = 36 \text{ kmh}^{-1}$ ની ઝડપે સતત ઉડે છે.
પક્ષી દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $= v_b \times T = 36 \times 0.4 = 14.4 \text{ km}$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $14.4 \times 1000 = 14400 \text{ m}$.

(C) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $t$ સેકન્ડ છે. ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $H = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ અંતર અને $(t-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર વચ્ચેનો તફાવત છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં અંતર $= H - \frac{1}{2}g(t-1)^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$H - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36H$.
$H = \frac{1}{2}gt^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36 \times (\frac{1}{2}gt^2)$.
$\frac{1}{2}g$ વડે ભાગતા,$t^2 - (t-1)^2 = 0.36t^2$.
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 0.36t^2$.
$2t - 1 = 0.36t^2$.
$0.36t^2 - 2t + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.44}}{0.72} = \frac{2 \pm 1.6}{0.72}$.
ધન કિંમત લેતા,$t = \frac{3.6}{0.72} = 5 \ s$.
હવે,$H = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 60 \sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ સમય પછી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 60 \ m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે શિરોલંબ વેગ બદલાય છે $(g = 10 \ m/s^2)$: $v_y = u_y - gt = 60 - (10 \times 6) = 0 \ m/s$.
વેગ દ્વારા સમક્ષિતિજ સાથે બનતો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે: $\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{0}{60} = 0$.
તેથી,$\alpha = 0^{\circ}$.

(C) ધારો કે પદાર્થનું દળ $2m$ છે. વિસ્ફોટ પછી,તે $m$ દળના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ. જો એક ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = 10\sqrt{3} \hat{i}$ હોય,તો બીજાનો વેગ $\vec{v}_2 = -10\sqrt{3} \hat{i}$ હોવો જોઈએ.
સમય $t$ પર,ટુકડાઓના સ્થાન $\vec{r}_1 = (10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ અને $\vec{r}_2 = (-10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશો $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\cos(60^{\circ}) = \frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2}{|\vec{r}_1| |\vec{r}_2|}$.
ગણતરી કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$ જ્યાં $x = 10\sqrt{3}t$ અને $y = 5t^2$ છે.
આનાથી $y = \sqrt{3}x$ મળે છે. $5t^2 = \sqrt{3}(10\sqrt{3}t) = 30t$ પરથી $t = 6 \text{ s}$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ અંતર $|x_1 - x_2| = 20\sqrt{3}t = 20\sqrt{3}(6) = 120\sqrt{3} \text{ m}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે, અને પદાર્થનો વેગ માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો જ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, $K_f = \frac{1}{2}K_i$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mu^2)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $\theta = 45^{\circ}$ થાય.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ જમીનના સ્તર પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$E_{initial} = E_{final}$
$K_i + U_i = K_f + U_f$
અહીં,$K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 16 = 200 \,J$.
$U_i = mgh = 25 \times 10 \times 2 = 500 \,J$.
જમીન પર,$U_f = 0$.
તેથી,$200 + 500 = K_f + 0$.
$K_f = 700 \,J$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આને $y = ax - bx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = a$ અને $b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે.
$i)$ પ્રારંભિક વેગ $u$: $\tan \theta = a$ હોવાથી,$\sec^2 \theta = 1 + a^2$,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{1}{1+a^2}$. $b$ માં કિંમત મૂકતા,$b = \frac{g(1+a^2)}{2u^2} \implies u = \sqrt{\frac{g(1+a^2)}{2b}}$. આમ,$i-d$.
$ii)$ અવધિ $R$: $y=0$ લેતા,$x(a-bx)=0 \implies R = \frac{a}{b}$. આમ,$ii-a$.
$iii)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \tan^2 \theta \cos^2 \theta}{2g} = \frac{a^2}{4b}$. આમ,$iii-c$.
$iv)$ ઉડ્ડયન સમય $T$: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2u \tan \theta \cos \theta}{g} = a \sqrt{\frac{2}{bg}}$. આમ,$iv-b$.
તેથી,સાચી જોડ $i-d, ii-a, iii-c, iv-b$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ન્યૂનતમ ગતિઊર્જા તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ હોય છે,જ્યાં વેગ $v_x = u \cos \theta$ હોય છે. તેથી,$K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{K_{min,1}}{K_{min,2}} = \frac{u_1^2 \cos^2 \theta_1}{u_2^2 \cos^2 \theta_2} = 4:1$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે. આપેલ છે કે $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{u_2^2 \sin^2 \theta_2} = 4:1$.
ઊંચાઈના ગુણોત્તરને ગતિઊર્જાના ગુણોત્તર વડે ભાગતા: $\frac{H_1/H_2}{K_{min,1}/K_{min,2}} = \frac{\tan^2 \theta_1}{\tan^2 \theta_2} = \frac{4}{4} = 1$,તેથી $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_1 = \theta_2$.
કારણ કે $\theta_1 = \theta_2$,પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_1^2}{u_2^2} = 4$ થાય,તેથી $\frac{u_1}{u_2} = 2$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે. અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_1^2}{u_2^2} = 4:1$ થાય.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ છે.
શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,વેગના ઘટકો $v_x = 10 \ m/s$ અને $v_y = 10 - 10t$ છે.
ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ છે.
અહીં $v = \sqrt{125} \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v^2 = 125$.
$125 = 10^2 + (10 - 10t)^2$.
$125 = 100 + (10 - 10t)^2$.
$(10 - 10t)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા,$10 - 10t = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $10 - 10t = 5 \implies 10t = 5 \implies t_1 = 0.5 \ s$.
કિસ્સો $2$: $10 - 10t = -5 \implies 10t = 15 \implies t_2 = 1.5 \ s$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = 1.5 - 0.5 = 1.0 \ s$ થાય.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = u_x t = 1 \cdot t$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t = x$.
શિરોલંબ સ્થાન $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
સમીકરણમાં $g = 10 \text{ ms}^{-2}$,$u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$,અને $t = x$ મૂકતા:
$y = 2x - \frac{1}{2}(10)x^2$.
$y = 2x - 5x^2$.
તેથી,ગતિપથનું સમીકરણ $y = 2x - 5x^2$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right) = x \tan \theta - \frac{x^2 \tan \theta}{R}$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = Px - Qx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$P = \tan \theta$
$Q = \frac{\tan \theta}{R} \implies R = \frac{\tan \theta}{Q} = \frac{P}{Q}$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર છે:
$H = \frac{R \tan \theta}{4}$
$R$ અને $\tan \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4Q}$
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર:
$\frac{H}{R} = \frac{P^2 / 4Q}{P / Q} = \frac{P}{4}$

(A) આપેલ છે, પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \text{ m/s}$.
ટાવરની ઊંચાઈ $h = 30 \text{ m}$. $\hat{k}$ એ શિરોલંબ ઉપરની દિશા હોવાથી, શિરોલંબ સ્થાનાંતર $S_z = -30 \text{ m}$ અને પ્રવેગ $a_z = -g = -10 \text{ m/s}^2$ થશે.
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગનો ઘટક $u_z = 5 \text{ m/s}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S_z = u_z t + \frac{1}{2} a_z t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-30 = 5t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$-30 = 5t - 5t^2$
$t^2 - t - 6 = 0$
$(t - 3)(t + 2) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે, તેથી $t = 3 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ સમતલમાં, વેગના ઘટકો $v_x = 3 \text{ m/s}$ (પૂર્વ) અને $v_y = 4 \text{ m/s}$ (ઉત્તર) છે.
$3 \text{ s}$ માં સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર:
$x = v_x \times t = 3 \times 3 = 9 \text{ m}$
$y = v_y \times t = 4 \times 3 = 12 \text{ m}$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ ટાવરના પાયાથી અંતર છે:
$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ m}$.

(D) પદાર્થો અથડાય તે માટે,સમાન સમય $t$ પર તેમના $x$ અને $y$ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $A$ છે અને બીજો $B$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $x_A = (10 \cos 30^\circ)t = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t = 5\sqrt{3}t$ અને $y_A = (10 \sin 30^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2$ ($g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા).
પદાર્થ $B$ માટે: $x_B = (\sqrt{3}-1) + (v \cos 45^\circ)t = (\sqrt{3}-1) + \frac{v}{\sqrt{2}}t$ અને $y_B = (v \sin 45^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2$.
$y_A = y_B$ સરખાવતા: $5t - 5t^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2 \implies 5 = \frac{v}{\sqrt{2}} \implies v = 5\sqrt{2} \ ms^{-1}$.
$x_A = x_B$ સરખાવતા: $5\sqrt{3}t = (\sqrt{3}-1) + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}t \implies 5\sqrt{3}t = \sqrt{3}-1 + 5t$.
$t(5\sqrt{3}-5) = \sqrt{3}-1 \implies t(5(\sqrt{3}-1)) = \sqrt{3}-1$.
$t = \frac{\sqrt{3}-1}{5(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{5} = 0.2 \ s$.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10 \hat{i} + p \hat{j}$ છે. તેથી,$u_x = 10 \ m/s$ અને $u_y = p \ m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{p^2}{2g}$ છે.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2(10)(p)}{g} = \frac{20p}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H = 0.5 R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p^2}{2g} = 0.5 \times \frac{20p}{g}$.
$\frac{p^2}{2g} = \frac{10p}{g}$.
$p \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $p/g$ વડે ભાગતા: $\frac{p}{2} = 10$.
તેથી,$p = 20$ મળે છે.

(B) ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ છે. તેથી,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ છે.
$v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$ હોવાથી,$\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ મળે.
તેથી,$a_t = (s\sqrt{\frac{2a}{m}})(\sqrt{\frac{2a}{m}}) = \frac{2as}{m}$.
સ્પર્શકીય બળ $F_t = ma_t = 2as$ થાય.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m(2as^2/m)}{R} = \frac{2as^2}{R}$ થાય.
પરિણામી બળ $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + (\frac{2as^2}{R})^2}$ છે.
$2as$ સામાન્ય કાઢતા,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ મળે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ આપેલ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{c}{r^2}$.
આના પરથી,આપણને ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{c}{2r}$ મળે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $F = -\frac{dU}{dr}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $U = -\int F dr = -\int \frac{c}{r^2} dr = -\frac{c}{r}$.
કુલ ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U = \frac{c}{2r} - \frac{c}{r} = -\frac{c}{2r}$.

(B) $L$ લંબાઈના સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
$L$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે,જે એક છેડેથી લટકાવેલ છે,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} mL^2$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આધારબિંદુથી અંતર $r_{cm} = \frac{L}{2}$ છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mg r_{cm}}}$ છે.
સળિયા માટે કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} mL^2}{mg (L/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{L/g}}{2 \pi \sqrt{2L/3g}} = \sqrt{\frac{L/g}{2L/3g}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $x = A \sin(\omega t)$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $U = \frac{1}{2} E$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} k (A \sin(\omega t))^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
આથી $\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
આવર્તકાળ $T = 8 \ s$ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$.
સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{\pi}{4}) t = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$t = 1 \ s$.

(D) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=0$ સમયે પ્રથમ કણ માટે,$x_1 = A$. તેથી,$A = A \cos(\phi_1) \implies \phi_1 = 0$.
આમ,$x_1(t) = A \cos(\omega t)$.
$t=0$ સમયે બીજા કણ માટે,$x_2 = -A/2$. તેથી,$-A/2 = A \cos(\phi_2) \implies \phi_2 = 2\pi/3$ અથવા $4\pi/3$. કણ પ્રથમ કણની નજીક આવી રહ્યો હોવાથી (ધન દિશા તરફ ગતિ કરે છે),તેનો વેગ $v_2 = -A\omega \sin(\phi_2)$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી,$\sin(\phi_2)$ ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\phi_2 = 4\pi/3$.
આમ,$x_2(t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
જ્યારે $x_1(t) = x_2(t)$ થાય ત્યારે તેઓ એકબીજાને ઓળંગે છે:
$A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
$\cos(\theta) = \cos(2\pi - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\omega t = 2\pi - (\omega t + 4\pi/3) = 2\pi - \omega t - 4\pi/3$.
$2\omega t = 2\pi/3 \implies \omega t = \pi/3$.
$\omega = 2\pi/T$ હોવાથી,$(2\pi/T)t = \pi/3 \implies t = T/6$.

(D) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{4} \right) \text{ cm}$ છે.
$t = 0 \text{ s}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x(0) = 8 \sin(0) = 0 \text{ cm}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x(2) = 8 \sin \left( \frac{\pi \times 2}{4} \right) = 8 \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 8 \times 1 = 8 \text{ cm}$ છે.
$t = 0 \text{ s}$ થી $t = 2 \text{ s}$ ના સમયગાળામાં સ્થાનાંતર $\Delta x = x(2) - x(0) = 8 \text{ cm} - 0 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$ થાય.

(B) આપેલ છે: બરફનું દળ $m_i = 2 \ kg$,બરફનું તાપમાન $T_i = -20^{\circ} C$,પાણીનું દળ $m_w = 5 \ kg$,પાણીનું તાપમાન $T_w = 20^{\circ} C$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_i = 2100 \ J/(kg \cdot K)$,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 4200 \ J/(kg \cdot K)$,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 3.36 \times 10^5 \ J/kg$.
પગલું $1$: બરફને $0^{\circ} C$ સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2 \times 2100 \times 20 = 84,000 \ J$.
પગલું $2$: પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 5 \times 4200 \times 20 = 420,000 \ J$.
પગલું $3$: બરફને $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કર્યા પછી બાકી રહેતી ઉષ્મા: $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 420,000 - 84,000 = 336,000 \ J$.
પગલું $4$: બધો બરફ ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_3 = m_i L_f = 2 \times 3.36 \times 10^5 = 672,000 \ J$.
અહીં $Q_{rem} < Q_3$ હોવાથી,માત્ર થોડો બરફ ઓગળશે. ઓગળેલા બરફનું દળ $m_{melt} = Q_{rem} / L_f = 336,000 / 336,000 = 1 \ kg$.
પાણીનું કુલ દળ = શરૂઆતનું પાણી + ઓગળેલું બરફ = $5 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$.

(B) ઊંચાઈ $h$ પર કરાના પથ્થરની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $m = 42 \,g = 0.042 \,kg$, $h = 1.8 \,km = 1800 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$PE = 0.042 \times 10 \times 1800 = 756 \,J$.
આ ઊર્જા બરફના $m'$ દળને ઓગળવા માટે ગુપ્ત ઉષ્મા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $Q = m' L_{\text{ice}}$.
$756 = m' \times 3.36 \times 10^5$.
$m' = \frac{756}{3.36 \times 10^5} = 225 \times 10^{-5} \,kg = 2.25 \times 10^{-3} \,kg = 2.25 \,g$.
કરાના પથ્થરનું બાકી રહેલું દળ $m_{remaining} = m - m' = 42 \,g - 2.25 \,g = 39.75 \,g$ છે।

(A) બોક્સની દીવાલોમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 6 \times (\text{બાજુ})^2 = 6 \times (0.2 \, m)^2 = 6 \times 0.04 = 0.24 \, m^2$.
જાડાઈ $d = 0.04 \, m$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 50^{\circ}C - 0^{\circ}C = 50^{\circ}C$.
તેથી, $dQ/dt = (0.01 \times 0.24 \times 50) / 0.04 = 0.12 / 0.04 = 3 \, Js^{-1}$.
કુલ સમય $t = 10 \, \text{કલાક } = 10 \times 3600 = 36000 \, s$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $Q = (dQ/dt) \times t = 3 \times 36000 = 108000 \, J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m_{melted} = Q / L = 108000 / (335 \times 10^3) \approx 0.322 \, kg$.
બાકી રહેલા બરફનું દળ $= 4 \, kg - 0.322 \, kg = 3.678 \, kg$.

(A) ધારો કે સળિયાની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ અને આડછેદનો ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બરફમાં રહેલા ભાગ માટે (લંબાઈ $x_1 = 60 \, cm$): તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_1 = 325^{\circ} C - 0^{\circ} C = 325^{\circ} C$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_1 = \frac{KA(325)}{60}$ છે।
આ ઉષ્મા બરફને ઓગાળે છે: $H_1 = m_{ice} L_f$, જ્યાં $L_f$ એ ગલનની ગુપ્ત ઉષ્મા છે।
ઉકળતા પાણીમાં રહેલા ભાગ માટે (લંબાઈ $x_2 = 100 - 60 = 40 \, cm$): તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_2 = 325^{\circ} C - 100^{\circ} C = 225^{\circ} C$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_2 = \frac{KA(225)}{40}$ છે।
આ ઉષ્મા પાણીને વરાળમાં ફેરવે છે: $H_2 = m_{steam} L_v$, જ્યાં $L_v = 6.75 L_f$.
આપેલ છે કે $m_{steam} = 2 \, g/s$, તેથી $H_2 = 2 \times 6.75 L_f = 13.5 L_f$.
$H_2$ ને સરખાવતા: $\frac{KA(225)}{40} = 13.5 L_f$ implies $KA = \frac{13.5 \times 40}{225} L_f = 2.4 L_f$.
હવે $KA$ ની કિંમત $H_1$ માં મૂકતા: $H_1 = \frac{2.4 L_f \times 325}{60} = 0.04 \times 325 L_f = 13 L_f$.
તેથી $m_{ice} = 13 \, g/s$.

(C) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે. કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલન તાપમાન $T_f$ પર તમામ ઘટકો માટે $ms\Delta T$ નો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
ઉષ્મા ક્ષમતાનો સરવાળો: $\sum m_i s_i T_i = \sum m_i s_i T_f$.
$m$ અચળ હોવાથી,$m \sum_{n=1}^{10} (ns)(10n) = m \sum_{n=1}^{10} (ns) T_f$.
$ms$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\sum_{n=1}^{10} 10n^2 = T_f \sum_{n=1}^{10} n$.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ અને $\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10(11)}{2} = 55$.
આ કિંમતો મૂકતા: $10(385) = T_f(55)$.
$3850 = 55 T_f$.
$T_f = \frac{3850}{55} = 70^{\circ} C$.

(B) ધારો કે જંકશન $B$ પરનું તાપમાન $T_B$ છે. સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા સળિયા સમાન દ્રવ્ય $(k)$ અને સમાન આડછેદ $(A)$ ધરાવતા હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ લંબાઈ $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(R \propto L)$.
ધારો કે $R_{AB}, R_{BC}, R_{BD}$ એ અનુક્રમે સળિયા $AB, BC, BD$ ના અવરોધો છે.
આપેલ છે કે $AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ નથી,તેથી $B$ પરનું તાપમાન $A$ પરના તાપમાન જેટલું હોવું જોઈએ. તેથી,$T_B = T_A = 20^{\circ} C$.
$AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ ન હોવાથી,$D$ થી $B$ તરફ વહેતી તમામ ઉષ્મા $B$ થી $C$ તરફ વહેવી જોઈએ. આમ,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{DB} = H_{BC}$.
$H = \frac{\Delta T}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$.
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}}$.
$\frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$.
$R \propto L$ હોવાથી,$\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{7}{2}$.

(C) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે। ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સળિયાઓ એક જંકશન પર જોડાયેલા હોવાથી, જંકશનથી દૂર વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $H_{Cu} + H_{Br} + H_{St} = 0$.
આપેલ છે: બધા સળિયા માટે $A = 4 \,cm^2$.
$H_{Cu} = \frac{0.92 \times 4 \times (T - 100)}{46} = 0.08(T - 100)$
$H_{Br} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} = 0.08T$
$H_{St} = \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12} = 0.04T$
આનો સરવાળો કરતા: $0.08(T - 100) + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.08T - 8 + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.20T = 8 \implies T = 40 \,^{\circ}C$.
તાંબાના સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H_{Cu} = 0.08(40 - 100) = 0.08(-60) = -4.8 \,cal \,s^{-1}$ છે。
ઉષ્માના વહનનો દરનું મૂલ્ય $4.8 \,cal \,s^{-1}$ છે।

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સ્તરો $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે $K_P$ અને $K_Q$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$x$ એ દરેક સ્તરની જાડાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $K_Q = \frac{K_P}{2} \Rightarrow K_P = 2K_Q$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હોવાથી: $\frac{K_P A (T_1 - T_0)}{x} = \frac{K_Q A (T_0 - T_2)}{x}$.
$K_P = 2K_Q$ મૂકતા: $2K_Q (T_1 - T_0) = K_Q (T_0 - T_2)$.
$2(T_1 - T_0) = (T_0 - T_2) \Rightarrow T_0 - T_2 = 2(T_1 - T_0)$.
દીવાલની આરપાર કુલ તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2) = 24^{\circ} C$ છે.
આપણે લખી શકીએ $(T_1 - T_2) = (T_1 - T_0) + (T_0 - T_2) = 24^{\circ} C$.
$(T_0 - T_2) = 2(T_1 - T_0)$ મૂકતા:
$(T_1 - T_0) + 2(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$3(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$(T_1 - T_0) = 8^{\circ} C$.
આમ,સ્તર $P$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત $8^{\circ} C$ છે.

(A) દ્રવ્યમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પાત્રની દીવાલની જાડાઈ છે.
પાત્રો સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $d$ અચળ છે. જો તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ બંને માટે સમાન હોય,તો ઉષ્મા વહનનો દર ઉષ્મા વાહકતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto K$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $m$ એ બરફનું દળ છે અને $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે. બંને પાત્રો સમાન પરિમાણોના હોવાથી અને બરફથી ભરેલા હોવાથી,$m$ બંને માટે સમાન છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$ પણ છે,તેથી $H \propto \frac{1}{t}$.
આ બંને સમપ્રમાણતાઓને સરખાવતા,આપણને $K \propto \frac{1}{t}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
અહીં $t_1 = 20 \ min$ અને $t_2 = 10 \ min$ આપેલ છે,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(D) સૌર અચળાંક $S = 2 \text{ cal cm}^{-2} \text{ min}^{-1}$ આપેલ છે.
તેને $S.I.$ એકમ ($W/m^2$ અથવા $J s^{-1} m^{-2}$) માં ફેરવવા માટે:
$1 \text{ calorie} = 4.184 \text{ J}$
$1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
$1 \text{ minute} = 60 \text{ s}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{2 \times 4.184 \text{ J}}{10^{-4} \text{ m}^2 \times 60 \text{ s}}$
$S = \frac{8.368}{60 \times 10^{-4}} \text{ W/m}^2$
$S = \frac{8.368}{0.006} \text{ W/m}^2 \approx 1394.6 \text{ W/m}^2$
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $1.4 \text{ kW/m}^2$ અથવા $1.4 \text{ kW m}^{-2}$ મળે છે.

(B) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ગતિઊર્જાના $50\%$ ભાગનું ગોળીમાં ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતર થાય છે.
તેથી,$Q = 0.5 \times K = 0.5 \times \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4} m v^2$.
ગોળી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર $Q = m c \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m c \Delta T = \frac{1}{4} m v^2$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{m v^2}{4 m c} = \frac{v^2}{4 c}$.

(B) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = 1.5 PV$ છે. આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 1.5 \Delta(PV) = 1.5 P \Delta V$ છે (કારણ કે દબાણ $P$ અચળ છે).
આપેલ છે કે $P = 2 \times 10^5 \ Pa$,$V_i = 10 \ cm^3 = 10 \times 10^{-6} \ m^3$,અને $V_f = 20 \ cm^3 = 20 \times 10^{-6} \ m^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = 10 \times 10^{-6} \ m^3$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 1.5 \times (2 \times 10^5) \times (10 \times 10^{-6}) = 1.5 \times 2 = 3 \ J$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = (2 \times 10^5) \times (10 \times 10^{-6}) = 2 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
$Q = 3 \ J + 2 \ J = 5 \ J$.

(D) આપેલ સંબંધ $V = K T^2$ છે.
એક મોલ વાયુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P = \frac{RT}{V}$ મળે છે.
$P$ ના સમીકરણમાં $V = K T^2$ મૂકતા,$P = \frac{RT}{K T^2} = \frac{R}{KT}$ મળે છે.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = K T^2$ હોવાથી,$T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $dV = 2KT dT$ મળે છે.
કાર્યના સંકલનમાં $P$ અને $dV$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \int_{T_1}^{T_2} \left( \frac{R}{KT} \right) (2KT dT) = \int_{T_1}^{T_2} 2R dT$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 60 \text{ K}$ આપેલ છે.
તેથી,$W = 2R (T_2 - T_1) = 2R(60) = 120R$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન ત્રણ ગણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_1' = 3T_1$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{3T_1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\eta_2 = 2\eta_1$.
તેથી,$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2(1 - \frac{T_2}{T_1})$.
$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - \frac{2T_2}{T_1}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{2T_2}{T_1} - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - 1$.
$\frac{6T_2 - T_2}{3T_1} = 1$.
$\frac{5T_2}{3T_1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{5} = 0.6$.
આ કિંમતને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta_1 = 1 - 0.6 = 0.4$.
આમ,પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $40 \%$ છે.

(D) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જો $rms$ ઝડપ અડધી થાય,તો તાપમાન $T$ પ્રારંભિક તાપમાનના $(1/2)^2 = 1/4$ ગણું થાય.
માટે,$T_f = \frac{T_i}{4}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i (200)^{\gamma-1} = \frac{T_i}{4} (V_f)^{\gamma-1}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
$200^{1/2} = \frac{1}{4} V_f^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $200 = \frac{1}{16} V_f$.
$V_f = 200 \times 16 = 3200 \ cc$.

(D) આપેલ સમીકરણ $V = \frac{aT^3}{P}$ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,પ્રારંભિક કદ $V_1 = \frac{aT^3}{P}$ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે $(T_2 = 2T)$,ત્યારે નવું કદ $V_2 = \frac{a(2T)^3}{P} = \frac{8aT^3}{P}$ થાય છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = P(V_2 - V_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $W = P \left( \frac{8aT^3}{P} - \frac{aT^3}{P} \right) = P \left( \frac{7aT^3}{P} \right) = 7aT^3$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે $Q = \Delta U + W$. પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી, $Q = 0$, જેનો અર્થ છે કે $W = -\Delta U$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $n = 1 \,mol$, $C_v = 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1}$ (મોલર ઉષ્મા ધારતા).
તેથી, $\Delta U = 1 \,mol \times 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1} \times (250 \,K - 200 \,K) = 0.8 \times 50 = 40 \,kJ$.
કારણ કે $W = -\Delta U$, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $40 \,kJ$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$. ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ મળે. આને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા,$P(\frac{m}{d}) = nRT$,તેથી $P = (\frac{nRT}{m})d$. અહીં $n, R, m$ અચળ હોવાથી,$P \propto Td$ થાય.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: ઘનતા $d$ અચળ છે (સમકદ પ્રક્રિયા). $V$ અચળ હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W = \int P dV = 0$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $A$ અને $B$ ખોટા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$: આલેખમાં $P$ અને $d$ બંને વધે છે. $P = \frac{\rho RT}{M}$ હોવાથી,$T = \frac{PM}{\rho R}$. $BC$ રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા). તેથી,આંતરિક ઉર્જા $U \propto T$ અચળ રહે છે. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$3$. પ્રક્રિયા $DA$: આલેખમાં $P$ અને $d$ બંને ઘટે છે. $BC$ ની જેમ જ,આ રેખા પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $T$ અચળ છે. તેથી,આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વિવિધ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા: $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \mu RT \ln(\frac{V_2}{V_1})$. તેથી,$i-c$.
$2$. સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ $P$ અચળ છે,તેથી $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV = P(V_2 - V_1)$. તેથી,$ii-d$.
$3$. સમકદ પ્રક્રિયા: કદ $V$ અચળ છે,તેથી $dV = 0$,જેનો અર્થ છે કે $W = 0$. તેથી,$iii-a$.
$4$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{1}{\gamma - 1}[P_2 V_2 - P_1 V_1]$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ). તેથી,$iv-b$.
આમ,સાચી જોડ $i-c, ii-d, iii-a, iv-b$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી $\gamma = 5/3$.
$STP$ પર,$1 \ mole$ વાયુ $22.4 \ L$ જગ્યા રોકે છે. આપેલ $V_i = 5.6 \ L$ હોવાથી,મોલની સંખ્યા $n = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 \ mole = \frac{1}{4} \ mole$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{5.6}{0.7}\right)^{(5/3)-1} = T(8)^{2/3} = T(2^3)^{2/3} = 4T$.
હવે,$W = \frac{n R (T - 4T)}{(5/3) - 1} = \frac{(1/4) R (-3T)}{2/3} = \frac{-3/4 RT}{2/3} = -\frac{9}{8} RT$.
વાયુનું સંકોચન થતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે.

(A) પૂર્ણ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ પરના બંધ વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
થયેલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = (2V - V) \times (3P - P) = V \times 2P = 2PV$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન તંત્ર દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(PV) = \frac{3}{2} V(3P - P) = \frac{3}{2} V(2P) = 3PV$.
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = n C_P \Delta T = n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T = \frac{5}{2} P \Delta V = \frac{5}{2} (3P)(2V - V) = \frac{15}{2} PV$.
કુલ શોષાયેલ ઉષ્મા $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3PV + \frac{15}{2} PV = \frac{6PV + 15PV}{2} = \frac{21}{2} PV$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}} \times 100 = \frac{2PV}{\frac{21}{2} PV} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04 \%$.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
પગલું $1$ (સમદાબી વિસ્તરણ): કદ બમણું થાય છે,તેથી $V_2 = 2V$. દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 300 \times 2 = 600 \ K$.
પગલું $2$ (એડિબેટિક પ્રક્રિયા): વાયુનું વિસ્તરણ/સંકોચન થાય છે જ્યાં સુધી $T_3 = T_1 = 300 \ K$ થાય.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_2 - T_3)}{\gamma - 1}$ છે.
અહીં $\gamma = \frac{5}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{2/3} = \frac{2 \times 8.3 \times 300 \times 3}{2} = 8.3 \times 900 = 7470 \ J$.

(D) વિદ્યુત પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ છે.
લંબાઈ $L$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે.
સમયના ગાળા $\Delta t$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
આ કિંમતોને $P = \epsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ માં મૂકતા:
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[T]}$
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot [M L^2 T^{-3} A^{-1} T^{-1}]$
$[P] = [M^{-1+1} L^{-3+1+2} T^{4-3-1} A^{2-1}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0 A^1] = [A]$
આમ,$P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે,જે વિદ્યુત પ્રવાહ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સૂત્ર: $r = \sqrt{\frac{64 IA}{\pi Bv}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 = \frac{64 IA}{\pi Bv}$.
'$A$' ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{r^2 \pi Bv}{64 I}$.
હવે,દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[r] = [L]$,$[B] = [M T^{-2} I^{-1}]$,$[v] = [L T^{-1}]$,$[I] = [I]$.
'$A$' ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[A] = \frac{[L]^2 [M T^{-2} I^{-1}] [L T^{-1}]}{[I]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
આ પરિમાણોને વિશિષ્ટ અવરોધ $(\rho)$ ના પરિમાણો સાથે સરખાવતા:
અવરોધ $R = \rho \frac{L}{Area} \implies \rho = R \frac{Area}{L}$.
$[R] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}]$,$[Area] = [L^2]$,$[L] = [L]$.
$[\rho] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}] \cdot \frac{[L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
આમ,'$A$' ના પરિમાણો વિશિષ્ટ અવરોધના પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે,તેથી '$A$' એ વિશિષ્ટ અવરોધ (Resistivity) દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: $A = [LT^{-1}]$ (વેગ),$B = [LT^{-2}]$ (પ્રવેગ),$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$ (ઇન્ડક્ટન્સ),$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ (કેપેસીટન્સ).
આપણે $A^{-1} BCD$ ના પરિમાણો શોધવાના છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$A^{-1} = [L^{-1}T]$
$B = [LT^{-2}]$
$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$
$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
હવે,ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$A^{-1} BCD = [L^{-1}T] \cdot [LT^{-2}] \cdot [ML^2T^{-2}A^{-2}] \cdot [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= [L^{-1} \cdot L \cdot L^2 \cdot L^{-2}] \cdot [T \cdot T^{-2} \cdot T^{-2} \cdot T^4] \cdot [M \cdot M^{-1}] \cdot [A^{-2} \cdot A^2]$
$= [L^0] \cdot [T^1] \cdot [M^0] \cdot [A^0]$
$= [T]$
આમ,આ પદ સમયના પરિમાણ ધરાવે છે.

(D) જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, અને $a = 2 \, ms^{-2}$ આપેલ છે, તેથી $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$.
તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \rho A$, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
અહીં $v = 120 \, ms^{-1}$ અને $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે, તેથી $v^2 = \frac{T}{\rho A}$.
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$.
$g \, cm^{-3}$ માં ફેરવતા, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(A) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s})$.
અહીં $E = 6.3 \text{ V/m}$ આપેલ છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ થાય.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $X$-દિશા $(\hat{i})$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-દિશા $(\hat{j})$ માં છે.
તરંગ $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, તેથી $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{k}$.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \text{ T}$ મળે છે.

(B) વેગ $\overrightarrow{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ $q$ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{F} = 0$.
કિસ્સો $A$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
કિસ્સો $B$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$. $\overrightarrow{F} = 0$ માટે,આપણે $\overrightarrow{E} = 0$ ની જરૂર પડે,જે ધારણા સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,આ શક્ય નથી.
કિસ્સો $C$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$. જો $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$,તેથી $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
કિસ્સો $D$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ હોવું શક્ય છે જેથી $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ શક્ય નથી.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ (જ્યાં $K = \epsilon_{r}$) ધરાવતા માધ્યમમાં,ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ છે.
અહીં,$\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ અને $\epsilon = \epsilon_{0} \epsilon_{r} = \epsilon_{0} K$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{(\mu_{0} \mu_{r}) (\epsilon_{0} K)}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \sqrt{\mu_{r} K}}$ મળે છે.
કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,તેથી $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} K}}$ થાય છે.

(D) વહન પ્રવાહ $I_c = \frac{V}{R} = V \sigma A / d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = 1/\rho$ એ વાહકતા છે. કંપનવિસ્તાર $I_{c,0} = \frac{V_0}{\rho} \frac{A}{d}$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{dE}{dt} = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{d}{dt} (V/d) = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d} \omega V_0 \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કંપનવિસ્તાર $I_{d,0} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0}{d}$ છે.
કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{I_{d,0}}{I_{c,0}} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0 / d}{V_0 A / (\rho d)} = \epsilon_0 \epsilon_r \omega \rho$ છે.
આપેલ છે કે $\epsilon_r = 80$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,$f = 0.4 \times 10^9 \, Hz$,અને $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.4 \times 10^9) = 0.8 \pi \times 10^9 \, rad/s$.
$\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \, F/m$ નો ઉપયોગ કરતા,ગુણોત્તર $\frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 80 \times (0.8 \pi \times 10^9) \times 0.25 = \frac{80 \times 0.8 \times 0.25}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_0 = \frac{E_0}{c}$.
અહીં $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8}$
$B_0 = 20 \times 10^{-8} \ T$
$B_0 = 2 \times 10^{-7} \ T$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $2 \times 10^{-7} \ T$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2}$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} c \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\right) E_0^2 = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$.
આપેલ છે: $E_0 = 300 \ Vm^{-1}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$.
$I = \frac{(300)^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8)}$.
$I = \frac{90000}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8} = \frac{90000}{24\pi \times 10} = \frac{9000}{24\pi} = \frac{375}{\pi}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$I \approx \frac{375}{3.14159} \approx 119.36 \ Wm^{-2}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$I \approx 119.4 \ Wm^{-2}$.

(D) સમક્ષિતિજ સપાટી પર કણો સંતુલનમાં રહે તે માટે,સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
આપેલ છે: $m = 3 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$,$q = 0.2 \ \mu C = 0.2 \times 10^{-6} \ C$,$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$k = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$.
સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.2 \times 10^{-6})^2}{(0.2)^2}$.
$F_e = \frac{9 \times 10^9 \times 0.04 \times 10^{-12}}{0.04} = 9 \times 10^{-3} \ N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_s = \mu N = \mu mg$.
$F_e = f_s$ લેતા,આપણને મળે $\mu mg = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times (3 \times 10^{-3}) \times 10 = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times 3 \times 10^{-2} = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu = \frac{9 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-1} = 0.30$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = 4 \ C$ ($x = 0$ પર),$q_2 = Q \ C$ ($x = \frac{l}{2}$ પર),અને $q_3 = 1 \ C$ ($x = l$ પર) છે.
કિસ્સો $1$: $4 \ C$ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
$Q$ અને $1 \ C$ દ્વારા $4 \ C$ પર લાગતું બળ એકબીજાને નાબૂદ કરવું જોઈએ.
$F = k \frac{4 \cdot Q}{(l/2)^2} + k \frac{4 \cdot 1}{l^2} = 0$.
$k \frac{4Q}{l^2/4} + \frac{4k}{l^2} = 0 \implies \frac{16Q}{l^2} + \frac{4}{l^2} = 0 \implies 16Q = -4 \implies Q = -\frac{1}{4} \ C$.
કિસ્સો $2$: $1 \ C$ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
$4 \ C$ અને $Q$ દ્વારા $1 \ C$ પર લાગતું બળ એકબીજાને નાબૂદ કરવું જોઈએ.
$F = k \frac{1 \cdot 4}{l^2} + k \frac{1 \cdot Q}{(l/2)^2} = 0$.
$\frac{4k}{l^2} + \frac{kQ}{l^2/4} = 0 \implies \frac{4}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0 \implies 4 + 4Q = 0 \implies Q = -1 \ C$.
આમ,$Q$ ના મૂલ્યો $-\frac{1}{4} \ C$ અને $-1 \ C$ છે.

(C) ધારો કે $m = 0.1 \,g = 10^{-4} \,kg$, $L = 1 \,m$, $a = 3 \,cm = 0.03 \,m$. સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.03}{\sqrt{3}} = 0.01\sqrt{3} \,m$ છે। શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{r}{L} = 0.01\sqrt{3}$ થાય। એક કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$, તણાવ $T$ અને અન્ય બે કણો દ્વારા લાગતું સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ છે। $a$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ દ્વારા લાગતું પરિણામી સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = 2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \cos(30^\circ) = 2 \cdot (9 \times 10^9) \cdot \frac{q^2}{(0.03)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{13} q^2$ છે। સંતુલનમાં, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ થાય। તેથી, $0.01\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 10^{13} q^2}{10^{-4} \times 10}$. $q^2$ માટે ઉકેલતા: $q^2 = 0.01 \times 10^{-3} / 10^{13} = 10^{-18} \,C^2$. તેથી, $q = 10^{-9} \,C = 1 \,nC$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
અહીં $q_1 = q_2 = ne$,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r = 3 \ cm = 0.03 \ m$,અને $F = 10^{-19} \ N$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-19} = (9 \times 10^9) \frac{(ne)^2}{(0.03)^2}$.
$(ne)^2 = \frac{10^{-19} \times (0.03)^2}{9 \times 10^9} = \frac{10^{-19} \times 9 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9} = 10^{-32}$.
$ne = \sqrt{10^{-32}} = 10^{-16}$.
$n = \frac{10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1000}{1.6} = 625$.

(C) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભારોની સંખ્યા $N$ છે। આપણે તેમને $q$ અને $N-q$ ના બે જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ, જ્યાં દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ છે। બે જૂથો વચ્ચેનું બળ $F = k \cdot (qQ) \cdot ((N-q)Q) / r^2 = (kQ^2/r^2) \cdot q(N-q)$ છે।
બળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે $q(N-q)$ ને મહત્તમ કરવું પડે। આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $q = N/2$ હોય, જે $q(N-q) = N^2/4$ આપે છે।
બળને ન્યૂનતમ કરવા માટે, આપણે એક જૂથમાં શક્ય તેટલા ઓછા વિદ્યુતભારો મૂકીએ છીએ, જે $q = 1$ છે। આ $q(N-q) = 1(N-1) = N-1$ આપે છે।
મહત્તમ બળ અને ન્યૂનતમ બળનો ગુણોત્તર $(N^2/4) / (N-1) = N^2 / (4(N-1))$ થાય છે।
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(A) અનંત લંબાઈની અવાહક શીટ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શીટ્સ $Z = 3a$ $(\sigma)$,$Z = a$ $(-2\sigma)$,અને $Z = -a$ $(-\sigma)$ પર છે. બિંદુ $P$ એ $Z = a$ અને $Z = 3a$ ની વચ્ચે છે.
$1$. $Z = 3a$ પરની શીટ $(\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની નીચે છે,તેથી ક્ષેત્ર $-\hat{k}$ દિશામાં છે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ પરની શીટ $(-2\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર શીટ તરફ ($+\hat{k}$ દિશામાં) છે: $\vec{E}_2 = \frac{2\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ પરની શીટ $(-\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર શીટ તરફ ($+\hat{k}$ દિશામાં) છે: $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}) \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $A$ ગણી શકાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,મણકો સ્થિર છે,જેનો અર્થ છે કે ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરે છે. આમ,$qE = mg$.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મણકા પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ છે. મણકો $g$ જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર ફરીથી ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ ફરીથી ઉપરની તરફ લાગે છે. ક્ષેત્ર બંધ હતું તે સમય દરમિયાન મણકાએ નીચેની તરફ વેગ મેળવ્યો હોવાથી,તે નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે અને તેનો વેગ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી તે પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરશે.
વેગ શૂન્ય થયા પછી,વિદ્યુત બળ $F_e$ (જે $mg$ જેટલું છે) મણકાને ઉપરની તરફ પ્રવેગિત કરશે જ્યાં સુધી તે તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ન આવે.
તેથી,મણકો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને પછી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.

(B) અનંત લંબાઈના તાર માટે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
અહીં $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ અને અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારથી $r = d/2 = 0.02 \ m$ અંતરે છે.
તાર $1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $1$ થી દૂરની દિશામાં).
તાર $2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $2$ થી દૂરની દિશામાં).
બંને વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે. વીજભાર $q$ ઋણ હોવાથી,બળ $F = qE$ નીચેની તરફ લાગે છે. કણનો પ્રવેગ $a = \frac{|q|E}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times 10^3}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \ ms^{-2}$ નીચેની તરફ છે.
કણ ઉપરની પ્લેટને ન અથડાય તે માટે,તેનું મહત્તમ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h_{\max}$ એ પ્લેટ વચ્ચેના અંતર $d = 2 \ cm = 0.02 \ m$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. $v_y^2 = u_y^2 - 2ah_{\max}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = (\frac{u}{\sqrt{2}})^2 - 2ah_{\max}$ મળે છે,તેથી $h_{\max} = \frac{u^2}{4a}$.
$h_{\max} = 0.02 \ m$ અને $a = 0.5 \ ms^{-2}$ લેતા:
$0.02 = \frac{u^2}{4 \times 0.5} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 0.04 \implies u = 0.2 \ ms^{-1}$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
આપેલ છે: $\lambda = \frac{1}{3} \text{ C m}^{-1}$,$r = 18 \text{ cm} = 0.18 \text{ m}$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (1/3) \times 9 \times 10^9}{0.18} = \frac{6 \times 10^9}{0.18} = \frac{600 \times 10^9}{18} = \frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}$.
$q = 3 \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F$:
$F = qE = (3 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (\frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}) = 10^5 \text{ N}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = a \hat{i} + b \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y-z$ સમતલને સમાંતર $l$ બાજુવાળા ચોરસ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\overrightarrow{A} = l^2 \hat{i}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (a \hat{i} + b \hat{j}) \cdot (l^2 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી આપણને $\Phi = a l^2 (1) + b l^2 (0) = a l^2$ મળે છે.
આમ,કુલ ફ્લક્સ $a l^2$ છે.

(D) કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$ અને $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ છે.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$ છે.
કવચ $C$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0 c} [a^2 - b^2 + c^2]$ છે.
$V_A = V_C$ આપેલ હોવાથી,આપણે પદોને સરખાવીએ: $a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$.
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 \implies ac - bc + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$.
$ac - bc = a^2 - b^2 \implies c(a - b) = (a - b)(a + b)$.
$a \neq b$ હોવાથી,$(a - b)$ વડે ભાગતા $c = a + b$ મળે છે.
$a = 7 \ cm$ અને $b = 17 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$c = 7 + 17 = 24 \ cm$ થાય.

(A) ધારો કે ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ અને $R_2 = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.15 \ m$ છે.
જ્યારે તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2}$ પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,$q_1/q_2 = R_1/R_2 = 4/1$.
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = 100 \ nC$,તેથી $q_1 = 80 \ nC$ અને $q_2 = 20 \ nC$ મળે છે.
સ્થિતિમાન $V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.04} = 18000 \ V$ છે.
ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે પ્રથમ ગોળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્યારે શૂન્ય થાય જ્યારે $\frac{k q_1}{x^2} = \frac{k q_2}{(d-x)^2}$ હોય.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{80}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{d-x} \implies \frac{2\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{0.15-x}$.
$2(0.15 - x) = x \implies 0.3 = 3x \implies x = 0.1 \ m$.
આ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V_P = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{d-x} = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.1} + \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9}}{0.05} = 7200 + 3600 = 10800 \ V = 10.8 \times 10^3 \ V$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$, જેના પર $q$ વિદ્યુતભાર છે, તે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 10 \,V$, $R_1 = 0.09 \,m$ અને $R_2 = 0.01 \,m$ આપેલ છે.
ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 V$ અને $q_2 = 4\pi\epsilon_0 R_2 V$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $q_1 = \frac{0.09 \times 10}{9 \times 10^9} = 10^{-10} \,C$ અને $q_2 = \frac{0.01 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \,C$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \,m$ છે.
અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-10} \times (1/9) \times 10^{-10}}{(0.2)^2}$.
$F = \frac{10^{-11}}{0.04} = \frac{10^{-11}}{4 \times 10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-9} \,N = \frac{10^{-9}}{4} \,N$.

(A) ભારિત ધાતુના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{k q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ એ કુલંબનો અચળાંક છે, $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 18 \, cm$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 9 \, cm = 9 \times 10^{-2} \, m$.
સ્થિતિમાન $V = 25 \, kV = 25 \times 10^3 \, V$.
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{25 \times 10^3 \times 9 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{25 \times 10^1}{10^9} = 25 \times 10^{-8} \, C$.
માઇક્રોકુલંબમાં રૂપાંતર કરતા: $q = 0.25 \times 10^{-6} \, C = 0.25 \, \mu C$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,વિદ્યુતભારો $Q, +q, +q$ છે અને તેમની વચ્ચેના અંતર $a, a$ અને $\sqrt{2}a$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot q}{\sqrt{2}a} \right]$ છે.
આપેલ છે કે કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U = 0$ છે,તેથી:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2Qq}{a} + \frac{q^2}{\sqrt{2}a} \right] = 0$.
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}$ વડે ભાગતા,આપણને $2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}} = 0$ મળે છે.
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$.
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}}$.

(A) $1$. ફ્લેમિંગનો ડાબા હાથનો નિયમ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતા બળની દિશા નક્કી કરવા માટે વપરાય છે $(a-h)$.
$2$. ફ્લેમિંગનો જમણા હાથનો નિયમ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા નક્કી કરવા માટે વપરાય છે $(b-e)$.
$3$. ક્લોક રૂલ (ઘડિયાળના નિયમ) મુજબ,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રવાહ વહેતો હોય તેવો લૂપનો એક છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે $(c-f)$.
$4$. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહેતો હોય તેવો લૂપનો એક છેડો ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે $(d-g)$.
તેથી,સાચી જોડ $a-h, b-e, c-f, d-g$ છે.

(B) ગતિશીલ કનેક્ટરમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B = 2 \, T$, $v = 2 \, ms^{-1}$, અને $l = 1 \, m$ છે।
$e = 2 \times 2 \times 1 = 4 \, V$.
લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ $I = e/R$ છે, જ્યાં $R = 2 \, \Omega$ છે।
$I = 4 / 2 = 2 \, A$.
કનેક્ટર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $(F_m)$ $F_m = IlB$ છે।
$F_m = 2 \times 1 \times 2 = 4 \, N$.
કનેક્ટર સમાન વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી, બાહ્ય બળ $(F_{ext})$ એ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ।
$F_{ext} = F_m = 4 \, N$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 2x$ પરથી,$x = 2$ માટે,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$. બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થઈને વહે છે. તેથી,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}$ એ $A$ થી $B$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{L} = (2-2)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} = -4\hat{j} \ m$ છે.
અહીં $I = 4 \ A$ અને $\vec{B} = 6\hat{k} \ T$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = 4 \times (-4\hat{j} \times 6\hat{k}) = 4 \times (-24)(\hat{j} \times \hat{k}) = -96\hat{i} \ N$.

(B) ધારો કે તાર $P$ અને $Q$ માં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે. તાર $P$ એ $x = -a$ પર અને તાર $Q$ એ $x = a$ પર છે. અનંત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર,$P$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (કાગળની અંદરની તરફ) છે.
$O$ પર $Q$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (તે પણ અંદરની તરફ) છે.
$O(0,0)$ પર પરિણામી ક્ષેત્ર $B_{net} = B + B = 2B$ છે. આમ,$D-i$.
$X$-અક્ષ પરના સામાન્ય બિંદુ $x$ માટે,$P$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$ અને $Q$ ને કારણે $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a-x)}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} [\frac{1}{x+a} + \frac{1}{a-x}] = B [\frac{a^2}{a^2-x^2}]$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી જોડ $A-iv, B-ii, C-iii, D-i$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। નાના દોલનો માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\tau = - (N I A B) \theta$. આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $\tau = -k \theta$ સાથે સરખાવતા, આપણને પુનઃસ્થાપક ટોર્ક અચળાંક $k = N I A B$ મળે છે। દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{k}}$ છે, જ્યાં $I_{moment}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે। આપેલ છે કે $T = \frac{1}{3} \, s$, $I_{moment} = 9 \times 10^{-5} \, kg \cdot m^2$, $B = \pi \times 10^{-2} \, T$, $I = 2 \, A$, અને $r = 9 \, cm = 0.09 \, m$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.09)^2 = 81 \pi \times 10^{-4} \, m^2$. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} = 2 \pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 2 \times 81 \pi \times 10^{-4} \times \pi \times 10^{-2}}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = 4 \pi^2 \frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}}$. સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{9} = \frac{36 \pi^2 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{360}{162 N}$. આમ, $N = \frac{360 \times 9}{162} = 20$. તેથી, આંટાની સંખ્યા $20$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_{center} = 6\sqrt{6} \times B_{axis}$,તેથી:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 6\sqrt{6} \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$1 = 6\sqrt{6} \times \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 6\sqrt{6} R^3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(R^2 + x^2)^3 = (6\sqrt{6})^2 R^6 = 216 \times 6 \times R^6 = 1296 R^6$.
ઘનમૂળ લેતા: $R^2 + x^2 = (1296)^{1/3} R^2 = 6 R^2$ (નોંધ: $6^3 = 216$,અહીં $216^{1/3} = 6$ આવે છે).
તેથી $x^2 = 5R^2$,એટલે કે $x = R\sqrt{5}$.
$x = 8 \times 2.236 = 17.888 \approx 17.89 \ cm$.

(D) $n$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ગૂંચળાઓ સમકેન્દ્રીય હોવાથી અને વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો તફાવત છે.
આપેલ છે: $n_1 = n_2 = 20$,$I_1 = 0.4 \text{ A}$,$r_1 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$,$I_2 = 0.6 \text{ A}$,$r_2 = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 n_1 I_1}{2 r_1} - \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2 r_2} \right|$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 \times 20}{2} \left( \frac{0.4}{0.3} - \frac{0.6}{0.6} \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{4}{3} - 1 \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} \mu_0 \text{ T}$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાબી બાજુના તાર માટે, બિંદુ $O$ આડા ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી આડા ભાગને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે. ઉભો ભાગ $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ અંતરે રહેલો અર્ધ-અનંત તાર છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $O$ પર ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
તે જ રીતે, જમણી બાજુના તાર માટે, બિંદુ $O$ આડા ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી તેનું યોગદાન $0$ છે. ઉભો ભાગ $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ અંતરે રહેલો અર્ધ-અનંત તાર છે. $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = 2 \times \left( \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 0.02} = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.02} = 10^{-4} \ T$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(\theta) = 10^7 \times \sin(30^{\circ}) = 10^7 \times 0.5 = 5 \times 10^6 \,m/s$ છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$ અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 2}{5 \times 10^6} = \frac{12.56}{5 \times 10^6} = 2.512 \times 10^{-6} \,s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 2.5 \times 10^{-6} \,s$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{mv}{qr}$.
આપેલ કિંમતો:
દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 10^6 \ ms^{-1}$
વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.1)}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હેલિકલ પથની પિચનું સૂત્ર $p = v \cos(\theta) \times T$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
સમયગાળો $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 1.6 \times 10^5 \ m/s$,$B = \frac{\pi}{10} \ T$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\pi / 10)} = \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.1} = 2 \times 10^{-7} \ s$.
હવે,પિચ $p = v \cos(60^{\circ}) \times T = (1.6 \times 10^5) \times (0.5) \times (2 \times 10^{-7}) = 1.6 \times 10^{-2} \ m$.

(A) વિદ્યુતચુંબકો માટે એવા પદાર્થોની જરૂર હોય છે જેમને સરળતાથી ચુંબકીય અને વિ-ચુંબકીય કરી શકાય. નરમ લોખંડની પરમિએબિલિટી (permeability) ઊંચી અને રિટેન્ટિવિટી (retentivity) ઓછી હોય છે,જે તેને ચુંબકીય બનાવવામાં સરળ બનાવે છે. વધુમાં,નરમ લોખંડની કોર્સિવિટી ઓછી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેને નાના વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સરળતાથી વિ-ચુંબકીય કરી શકાય છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે વિદ્યુતચુંબકો માટે નરમ લોખંડ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(B) ધારો કે $\delta$ એ સાચો નમનકોણ (true dip) છે અને $\delta'$ એ ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતા સમતલમાં દેખાતો નમનકોણ (apparent dip) છે.
સાચા નમનકોણ અને દેખીતા નમનકોણ વચ્ચેનો સંબંધ $\tan \delta' = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\delta' = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,તેથી $\tan \delta' = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{\cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{1/2} = 2 \tan \delta$.
તેથી,$\tan \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\delta = 30^{\circ}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $r$ લંબાઈના ફરતા સળિયા (આરા) માં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_{\perp} \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B_{\perp}$ એ પરિભ્રમણના સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક છે。
પૈડાનું સમતલ પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં શિરોલંબ હોવાથી, સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક એ સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H}$ છે。
આપેલ છે: $\omega = 100 \text{ rpm} = \frac{100 \times 2\pi}{60} = \frac{10\pi}{3} \text{ rad/s}$, $r = 0.3 \, m$, $\varepsilon = 3\pi \times 10^{-6} \, V$, $B_{V} = 15 \times 10^{-6} \, T$.
કિંમતો મૂકતા: $3\pi \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \times B_{H} \times \frac{10\pi}{3} \times (0.3)^2$.
$3\pi \times 10^{-6} = B_{H} \times \frac{5\pi}{3} \times 0.09 = B_{H} \times 0.15\pi$.
$B_{H} = \frac{3\pi \times 10^{-6}}{0.15\pi} = 20 \times 10^{-6} \, T = 20 \mu T$.
ડીપનો ખૂણો $\delta$ એ $\tan \delta = \frac{B_{V}}{B_{H}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ દ્વારા મળે છે。
તેથી, $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) $1$. લોખંડના નમૂનાનું કદ શોધો: $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{10 \, kg}{7500 \, kg \, m^{-3}} = \frac{1}{750} \, m^3$.
$2$. પ્રતિ ચક્ર વ્યય થતી ઉર્જા: $E_{cycle} = (\text{એકમ કદ દીઠ ચક્ર દીઠ ઉર્જા}) \times V = 200 \, J \, m^{-3} \, cycle^{-1} \times \frac{1}{750} \, m^3 = \frac{200}{750} \, J \, cycle^{-1} = \frac{4}{15} \, J \, cycle^{-1}$.
$3$. પ્રતિ સેકન્ડ વ્યય થતી ઉર્જા (પાવર લોસ): $P = E_{cycle} \times \text{આવૃત્તિ} = \frac{4}{15} \, J \, cycle^{-1} \times 50 \, cycle \, s^{-1} = \frac{200}{15} \, J \, s^{-1} = \frac{40}{3} \, J \, s^{-1}$.
$4$. પ્રતિ કલાક $(3600 \, s)$ વ્યય થતી ઉર્જા: $E_{hour} = P \times 3600 \, s = \frac{40}{3} \times 3600 \, J = 40 \times 1200 \, J = 48000 \, J$.

(B) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(A)$ ઉચ્ચ રીટેન્ટિવિટી: કાયમી ચુંબક માટે ઉચ્ચ રીટેન્ટિવિટી જરૂરી છે જેથી તેઓ તેમના ચુંબકીય ગુણધર્મો સરળતાથી ગુમાવે નહીં. તેથી,$(A) \rightarrow (iv)$.
$(B)$ ઉચ્ચ અવરોધકતા: ટ્રાન્સફોર્મર અને અન્ય વિદ્યુત ઉપકરણોમાં એડી કરંટ લોસ ઘટાડવા માટે ઉચ્ચ અવરોધકતા ધરાવતી સામગ્રીનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી,$(B) \rightarrow (iii)$.
$(C)$ ઓછી કોર્સિવિટી: નરમ ચુંબકીય પદાર્થો,જે ઓછી કોર્સિવિટી ધરાવે છે,તેનો ઉપયોગ ટેલિફોન ડાયાફ્રામ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ જેવા ઉપકરણોમાં થાય છે. તેથી,$(C) \rightarrow (i)$.
$(D)$ ઋણ સસેપ્ટિબિલિટી: ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નબળી રીતે અપાકર્ષાય છે અને તેમની સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને ઋણ હોય છે. તેથી,$(D) \rightarrow (ii)$.
તેથી,સાચી જોડ $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ છે.

(D) ધારો કે નબળા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = M$ અને મજબૂત ચુંબકની $M_2 = \sqrt{3} M$ છે.
તેઓ ચોકડી (+) આકારે જોડાયેલા હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ધારો કે નબળો ચુંબક પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તો મજબૂત ચુંબક $B_H$ સાથે $(90^{\circ} - \theta)$ ખૂણો બનાવશે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે તંત્ર પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\tau_1 + \tau_2 = 0$
$M_1 B_H \sin(\theta) = M_2 B_H \sin(90^{\circ} - \theta)$
$M \sin(\theta) = \sqrt{3} M \cos(\theta)$
$\tan(\theta) = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$.

(C) ન્યુક્લિયર ક્ષયમાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પિતૃ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા = $200 \times 6.5 \text{ MeV} = 1300 \text{ MeV}$.
બાળ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા = $(80 \times 7 \text{ MeV}) + (120 \times 8 \text{ MeV}) = 560 \text{ MeV} + 960 \text{ MeV} = 1520 \text{ MeV}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = (નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા) - (પિતૃની કુલ બંધન ઉર્જા) = $1520 \text{ MeV} - 1300 \text{ MeV} = 220 \text{ MeV}$.

(D) દળ-ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રક્રિયા પહેલાનું કુલ દળ-ઉર્જા એ પ્રક્રિયા પછીના કુલ દળ-ઉર્જા જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક દળ = $m + m = 2m$.
અંતિમ દળ = $M_{He} + \frac{Q}{c^2}$ (જ્યાં $M_{He}$ એ હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ છે).
બંનેને સરખાવતા: $2m = M_{He} + \frac{Q}{c^2}$.
તેથી,હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ $M_{He} = 2m - \frac{Q}{c^2}$ થશે.

(A) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા શરૂ કરવા માટે, ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા અપાકર્ષી સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જાના અવરોધને દૂર કરવા માટે પૂરતી હોવી જોઈએ.
વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ, $T$ તાપમાને કણની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ગતિ ઉર્જાને સ્થિતિ ઉર્જાના અવરોધ $U = 2.07 \times 10^{-14} \,J$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3}{2} kT = U$
$T = \frac{2U}{3k}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 2.07 \times 10^{-14}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{4.14 \times 10^{-14}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T = 10^9 \,K$
તેથી, જરૂરી તાપમાન $10^9 \,K$ છે.

(A) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $Y_1$ માટે,$N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$.
પદાર્થ $Y_2$ માટે,$N_2(t) = N_0 e^{-(6 \lambda) t}$.
અવિભંજિત ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-6 \lambda t}} = e^{-9 \lambda t + 6 \lambda t} = e^{-3 \lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $\frac{1}{e}$ છે,જે $e^{-1}$ છે.
તેથી,$e^{-3 \lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-3 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{3 \lambda} \ s$.

(A) આલેખ પરથી,આપણે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ જોઈ શકીએ છીએ. શરૂઆતમાં,$t = 0 \ h$ સમયે,પદાર્થનો જથ્થો $100 \ kg$ છે. પદાર્થને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા $(50 \ kg)$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $20 \ h$ છે. આમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 20 \ h$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = 20 \ h$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{0.693}{20} \ h^{-1} = 0.03465 \ h^{-1} \approx 0.035 \ h^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે,$K.E. = 4 \text{ eV} = 4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 6.4 \times 10^{-19} \text{ J}$.
દળ $m = 3.2 \times 10^{-21} \text{ kg}$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-21}}} = \sqrt{4 \times 10^2} = 20 \text{ m/s}$.
$D = 3.6 \text{ km} = 3600 \text{ m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v} = \frac{3600}{20} = 180 \text{ s} = 3 \text{ મિનિટ}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1 \text{ મિનિટ}$ હોવાથી,સમય $t = 3 \text{ અર્ધ-આયુષ્ય}$ થાય.
બાકી રહેલા કણોની સંખ્યા $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$.
ક્ષય પામેલા કણોની સંખ્યા $N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7}{8}N_0$.
ક્ષય પામેલા કણોની ટકાવારી $\frac{7/8 N_0}{N_0} \times 100 = 87.5\%$ છે.

(A) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L = 5 \, cm = 0.05 \, m$ અને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$ છે।
સંતુલન સ્થિતિમાં, ગોળા પર ત્રણ બળો લાગે છે: તણાવ બળ $T$, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$, અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{d^2}$.
ધારો કે દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે। ભૂમિતિ પરથી, $\sin \theta = \frac{d/2}{L} = \frac{3 \, cm}{5 \, cm} = 0.6$.
તેથી, $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 0.8$.
સંતુલનમાં, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$.
$F_e = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.06)^2} = 10 \, N$.
હવે, $mg = \frac{F_e}{\tan \theta} = \frac{10}{0.75} = \frac{40}{3} \, N$.
$m = \frac{40}{3 \times 10} = \frac{4}{3} \, kg \approx 1.33 \, kg$.

(A) આ પ્રિઝમ $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ ખૂણા ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
ત્યારબાદ તે કર્ણ સપાટી પર $i = 60^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
કર્ણ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > C$.
તેથી,$\sin(i) > \sin(C)$.
અહીં $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin(60^{\circ}) > \frac{\mu_l}{\mu_{\text{glass}}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\mu_l}{3/2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2 \mu_l}{3}$.
$\mu_l < \frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.

(B) આસપાસના પ્રવાહીની સાપેક્ષે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$, જ્યાં $A$ એ વક્રીભૂત કોણ છે અને $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે.
આપેલ છે કે $A = 60^{\circ}$ અને $\delta_m = 30^{\circ}$, તેથી:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
ક્રાંતિકોણ $(C)$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ: $\sin(C) = 1/\mu$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $\sin(C) = 1/\sqrt{2}$.
તેથી, $C = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું અંતર '$u$' છે અને પ્રતિબિંબનું અંતર '$v$' છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી,'$v$' અને '$u$' લેન્સની વિરુદ્ધ બાજુએ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર '$D = |v| + |u|$' છે.
મોટવણી '$m = |v/u|$',તેથી '$|v| = m|u|$'.
આ કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: '$D = m|u| + |u| = |u|(m+1)$'.
આમ,'$|u| = D/(m+1)$' અને '$|v| = mD/(m+1)$'.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: '$1/f = 1/v - 1/u$'.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,'$v$' ધન છે અને '$u$' ઋણ છે,તેથી '$1/f = 1/|v| + 1/|u|$'.
'$1/f = (m+1)/(mD) + (m+1)/D = (m+1)/D * (1/m + 1) = (m+1)/D * ((1+m)/m) = (m+1)^2 / (mD)$'.
તેથી,'$f = mD / (m+1)^2$'.

(C) ધારો કે લેન્સનું $S_1$ થી અંતર $x$ છે. તો $S_2$ થી અંતર $(24 - x)$ થશે.
પ્રતિબિંબ એક જ જગ્યાએ રચાય તે માટે,એક ઉદગમનું આભાસી પ્રતિબિંબ અને બીજાનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાવું જોઈએ.
ધારો કે $S_1$ એ $u_1 = -x$ અંતરે છે અને $S_2$ એ $u_2 = +(24 - x)$ અંતરે છે.
$S_1$ માટે,પ્રતિબિંબ $v$ આભાસી છે,તેથી $v = -v_0$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-v_0} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9} \quad (i)$
$S_2$ માટે,પ્રતિબિંબ $v$ વાસ્તવિક છે,તેથી $v = +v_0$. લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{24-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$
$\frac{1}{x} - \frac{1}{24-x} = \frac{2}{9}$
$\frac{24-x-x}{x(24-x)} = \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{24-2x}{24x-x^2} = \frac{2}{9}$
$9(12-x) = 24x - x^2 \Rightarrow 108 - 9x = 24x - x^2$
$x^2 - 33x + 108 = 0$
$(x - 27)(x - 6) = 0$
$x < 24$ હોવાથી,આપણને $x = 6 \ cm$ મળે છે.