AP EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = y_0 \sin 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = y_0 \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 2 \pi \nu$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda} = \nu \lambda$ થાય છે.
કણનો વેગ $v_p$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 (2 \pi \nu) \cos 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = 2 \pi \nu y_0$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi \nu y_0 = 4 (\nu \lambda)$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $2 \pi y_0 = 4 \lambda$,જે આપણને $\lambda = \frac{2 \pi y_0}{4} = \frac{\pi y_0}{2}$ આપે છે.

(C) ધારો કે $v = 340 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે, $v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે, $f_A = 170 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $A$ ની આવૃત્તિ છે, અને $f_B = 240 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે।
અવલોકનકાર $A$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી, $A$ માંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_A = f_A \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે।
અવલોકનકાર $B$ થી દૂર જઈ રહ્યો છે (કારણ કે $B$ એ $A$ તરફ ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર તેમની વચ્ચે $A$ તરફ ગતિ કરે છે), તેથી $B$ માંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_B = f_B \left( \frac{v - v_o}{v - v_B} \right)$ છે, જ્યાં $v_B = 20 \, ms^{-1}$।
બીટ્સની સંખ્યા શૂન્ય હોવા માટે, $f'_A = f'_B$।
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{340 - 20} \right)$.
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{320} \right)$.
$\frac{17}{34} (340 + v_o) = \frac{24}{32} (340 - v_o)$.
$0.5 (340 + v_o) = 0.75 (340 - v_o)$.
$170 + 0.5 v_o = 255 - 0.75 v_o$.
$1.25 v_o = 85$.
$v_o = \frac{85}{1.25} = 68 \, ms^{-1}$.

(D) હોર્નમાંથી સીધો સંભળાતા અવાજની આવૃત્તિ $f_0 = 165 \, Hz$ છે.
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા અવાજની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે (બસ દીવાલની સાપેક્ષમાં ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને છે).
પરાવર્તન પછી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$ છે, જ્યાં $v = 335 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_b = 5 \, ms^{-1}$ એ બસની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 165 \left( \frac{335 + 5}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{340}{330} \right) = 165 \times \frac{34}{33} = 5 \times 34 = 170 \, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beats} = |f' - f_0| = |170 - 165| = 5 \, Hz$.

(B) વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = 100 \,cm = 1 \,m$ છે। કોણીય વેગ $\omega = 20 \,rad/s$ છે। સ્ત્રોતનો રેખીય વેગ $v_s = r\omega = 1 \times 20 = 20 \,m/s$ છે।
અવલોકનકાર વર્તુળના કેન્દ્રથી $5 \,m$ ના અંતરે છે। ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ: $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$.
મહત્તમ આવૃત્તિ માટે (સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે): $f_{max} = 288 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 306 \,Hz$.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ માટે (સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે): $f_{min} = 288 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{360} \right) = 272 \,Hz$.
આમ, સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિઓની શ્રેણી $272 \,Hz$ થી $306 \,Hz$ છે।

(A) ધારો કે $n$ એ સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ટ્રેનની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{n_1} = \frac{v - v_s}{nv} = \frac{1}{n} - \frac{v_s}{nv}$
$\frac{1}{n_2} = \frac{v + v_s}{nv} = \frac{1}{n} + \frac{v_s}{nv}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} = \frac{2}{n} \implies \frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} = \frac{2}{n}$
તેથી,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n = \frac{2 n_1 n_2}{n_1 + n_2}$ મળે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર ટ્રેન સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી,તેથી અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ જેટલી જ હોય છે.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
$f$ અચળ હોવાથી, $\frac{v_1}{L_1} = \frac{v_2}{L_2}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_2}{v_1}$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \sqrt{T})$.
તેથી, $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$ અને $T_2 = 7 + 273 = 280 \,K$ આપેલ છે.
$L_1 = 20 \,cm = 200 \,mm$.
$L_2 = L_1 \sqrt{\frac{280}{300}} = 200 \times \sqrt{\frac{28}{30}} = 200 \times \sqrt{0.9333} \approx 200 \times 0.966 = 193.2 \,mm$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L_1 - L_2 = 200 \,mm - 193.2 \,mm = 6.8 \,mm \approx 7 \,mm$.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક છે. આવૃત્તિ $f = \frac{3v_1}{4L} = \frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ સંકોચનક્ષમતા છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $2^{nd}$ હાર્મોનિક છે. આવૃત્તિ $f = \frac{2v_2}{2L'} = \frac{v_2}{L'} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વાયુઓ માટે સંકોચનક્ષમતા $\beta$ સમાન હોવાથી,આપણે આવૃત્તિઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
$\frac{3}{4L \sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L' \sqrt{\rho_2}}$
$L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની કુલ સંખ્યા $n = 56$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $d = 4 \text{ Hz}$ છે.
$n$મા ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = f_1 + (n - 1)d$ છે.
તેથી, $f_{56} = f + (56 - 1) \times 4 = f + 55 \times 4 = f + 220$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે, તેથી $f_{56} = 2f$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2f = f + 220$, જે આપણને $f = 220 \text{ Hz}$ આપે છે.
$19$મા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_{19} = f_1 + (19 - 1)d$ થશે.
$f_{19} = 220 + 18 \times 4 = 220 + 72 = 292 \text{ Hz}$.

(C) $L_1$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2 L_1}$ છે,જેનો અર્થ છે $L_1 = \frac{v}{2 n_1}$.
$L_2$ લંબાઈની બંધ પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4 L_2}$ છે,જેનો અર્થ છે $L_2 = \frac{v}{4 n_2}$.
સંયુક્ત પાઈપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી છે,જેની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2$ છે.
સંયુક્ત પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4(L_1 + L_2)}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{v}{4(\frac{v}{2 n_1} + \frac{v}{4 n_2})} = \frac{v}{4v(\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2})} = \frac{1}{\frac{2}{4 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{2 n_2 + n_1}{4 n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + 2 n_2}$.

(D) સ્થિત તરંગ માટેનું આપેલ સમીકરણ $y_{(x, t)} = 0.03 \sin \left(\frac{2 \pi x}{3}\right) \cos (60 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્થિત તરંગના સમીકરણ $y = a \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \pi \text{ rad s}^{-1}$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}^{-1}$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60 \pi}{2 \pi / 3} = 30 \times 3 = 90 \text{ m s}^{-1}$.
દોરી પરના અનુપ્રસ્થ તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 0.01 \text{ kg m}^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $90 = \sqrt{\frac{T}{0.01}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $8100 = \frac{T}{0.01}$.
$T = 8100 \times 0.01 = 81 \text{ N}$.

(C) પ્રવાહીમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{1}{K \rho}}$ છે, જ્યાં $K$ એ સંકોચનક્ષમતા છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે。
આપેલ છે: $K = 4.84 \times 10^{-10} \,m^2 \,N^{-1}$, $\rho = 1024 \,kg \,m^{-3}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{1}{4.84 \times 10^{-10} \times 1024}} = \sqrt{\frac{1}{4956.16 \times 10^{-10}}} = \sqrt{\frac{10^{10}}{4956.16}} \approx \sqrt{2017700} \approx 1420.46 \,m/s$.
પડઘા માટે લાગતો કુલ સમય $t = 3.52 \,s$ છે. અવાજને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t' = \frac{t}{2} = \frac{3.52}{2} = 1.76 \,s$ છે。
ઊંડાઈ $d$ એ $d = v \times t' = 1420.46 \times 1.76 \approx 2500 \,m = 2.5 \,km$ દ્વારા મળે છે.

(C) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને ગોળાના વજનને સંતુલિત કરે છે।
ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = m \omega^2 l$,જ્યાં $m = 4 \,kg$,$l = 1 \,m$,$\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
$T = m(g + \omega^2 l) = 4(10 + 10^2 \times 1) = 4(10 + 100) = 4(110) = 440 \,N$.
હુકના નિયમ મુજબ વિસ્તરણ $\Delta l$ નીચે મુજબ મળે: $\Delta l = \frac{Tl}{AY}$,જ્યાં $A = \pi r^2$ અને $r = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
$A = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$.
$\Delta l = \frac{440 \times 1}{\pi \times 10^{-6} \times 20 \times 10^{10}} = \frac{440}{20 \pi \times 10^4} = \frac{22}{\pi} \times 10^{-4} \,m$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\Delta l \approx \frac{22}{3.14} \times 10^{-4} \approx 7.006 \times 10^{-4} \,m = 0.7 \,mm$.

(A) ધારો કે $L = 1 \,m$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $v_0 = 7 \,ms^{-1}$ એ સૌથી નીચા બિંદુએ વેગ છે.
કેન્દ્રથી $h$ ઊંચાઈએ કોઈપણ બિંદુએ, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg(L+h)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}(7)^2 = \frac{1}{2}v^2 + 10(1+h) \implies 24.5 = 0.5v^2 + 10 + 10h \implies v^2 = 29 - 20h$.
જ્યારે તણાવ $T$ શૂન્ય થાય ત્યારે ગોળો વર્તુળાકાર માર્ગ છોડી દે છે. $h$ ઊંચાઈએ ગતિનું સમીકરણ $T + mg \sin(\theta) = \frac{mv^2}{L}$ છે, જ્યાં $\sin(\theta) = \frac{h}{L} = h$.
$T=0$ લેતા, આપણને મળે $mg(h/L) = \frac{mv^2}{L} \implies v^2 = gh = 10h$.
$v^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $29 - 20h = 10h \implies 30h = 29 \implies h = \frac{29}{30} \approx 0.966 \,m$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $0.95 \,m$ છે.

(A) આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K \propto t$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 \propto t$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \propto t$ અથવા $v \propto t^{1/2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$.
$v = kt^{1/2}$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે) હોવાથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $a = k \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{t}}$ મળે છે.
તેથી,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.

(A) $1$. ગતિપથના મહત્તમ બિંદુ પર,ગોળીનો શિરોલંબ વેગ $0$ હોય છે. સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u \cos \theta = 50 \cos \theta$ છે.
$2$. અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_x = (m + 3m) V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળનો વેગ છે. તેથી,$V = \frac{50 \cos \theta}{4} = 12.5 \cos \theta$.
$3$. અથડામણ પછી લોલક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} (4m) V^2 = (4m) g h$,જ્યાં $h$ એ પ્રાપ્ત કરેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ છે. શિરોલંબ સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણા માટે,$h = L(1 - \cos 120^{\circ}) = L(1 - (-0.5)) = 1.5 L$.
$4$. $L = \frac{10}{3} \text{ m}$ મૂકતા,$h = 1.5 \times \frac{10}{3} = 5 \text{ m}$ મળે છે.
$5$. $\frac{1}{2} V^2 = g h$ નો ઉપયોગ કરતા,$V^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100$,તેથી $V = 10 \text{ ms}^{-1}$.
$6$. $12.5 \cos \theta = 10$ ને સરખાવતા,$\cos \theta = \frac{10}{12.5} = 0.8$ મળે છે. આમ,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$.

(A) પગલું $1$: કારનો અંતિમ વેગ $m/s$ માં ગણો. $v = 43.2 \ km/h = 43.2 \times (5/18) \ m/s = 12 \ m/s$.
પગલું $2$: કારની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ગણો. $\Delta K = (1/2)mv^2 = 0.5 \times 1000 \ kg \times (12 \ m/s)^2 = 500 \times 144 = 72,000 \ J$.
પગલું $3$: $20 \%$ કાર્યક્ષમતાને ધ્યાનમાં લેતા પેટ્રોલમાંથી જરૂરી કુલ ઊર્જા ગણો. $\text{જરૂરી ઊર્જા} = \Delta K / \text{કાર્યક્ષમતા} = 72,000 \ J / 0.20 = 360,000 \ J$.
પગલું $4$: વપરાયેલ પેટ્રોલનું કદ ગણો. આપેલ છે કે $1 \ litre = 1000 \ cm^3$ (અથવા $cc$) $6 \times 10^7 \ J$ ઊર્જા આપે છે. તેથી,$1 \ cc$ ઊર્જા $(6 \times 10^7 \ J) / 1000 = 6 \times 10^4 \ J$ આપે છે.
પગલું $5$: પેટ્રોલનું કદ = $(\text{જરૂરી ઊર્જા}) / (\text{પ્રતિ } cc \text{ ઊર્જા}) = 360,000 \ J / (6 \times 10^4 \ J/cc) = 6 \ cc$.

(A) $\text{કોઈ પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,જે ચોખ્ખા બળ અને વેગના ડોટ પ્રોડક્ટ } P = \vec{F}_{net} \cdot \vec{v} \text{ જેટલો છે.}
\text{તણાવ બળ હંમેશા લોલકના વેગને લંબ હોવાથી,તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી અને શૂન્ય પાવર આપે છે.}
\text{માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કાર્ય કરે છે. વેગની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક } mg \sin \theta \text{ છે.}
\text{તેથી,} P = (mg \sin \theta) v.
\text{ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,} \theta_0 = 60^{\circ} \text{ થી મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે } \theta \text{ ખૂણે વેગ } v = \sqrt{2gl(\cos \theta - \cos \theta_0)} \text{ મળે છે.}
\text{અહીં } l = 1 \,m, m = 10^{-3} \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, \theta = 30^{\circ}, \text{અને } \theta_0 = 60^{\circ} \text{ છે.}
v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ})} = \sqrt{20 \times (0.866 - 0.5)} = \sqrt{7.32} \approx 2.705 \,ms^{-1}.
\text{હવે,} P = mg \sin 30^{\circ} \times v = 10^{-3} \times 10 \times 0.5 \times 2.705 = 0.013525 \,W = 13.525 \,mW.
\text{આમ,સાચો જવાબ } 13.5 \,mW \text{ છે।}$

(C) $\text{પાવર } P \text{ જે બળ } \vec{F} \text{ અને વેગ } \vec{v} \text{ ના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે, તે } P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta \text{ છે, જ્યાં } \theta \text{ એ બળ અને વેગ વચ્ચેનો ખૂણો છે.}
\text{અહીં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ } \vec{F} = m\vec{g} \text{ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે।}
\text{વેગ સદિશ } \vec{v} \text{ શિરોલંબ સાથે } 60^{\circ} \text{ નો ખૂણો બનાવે છે।}
\text{તેથી, બળ અને વેગ વચ્ચેનો ખૂણો } \theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \text{ થશે।}
\text{આપેલ છે: } m = 50 \,kg, v = 2 \,ms^{-1}, g = 9.8 \,ms^{-2}.
P = mgv \cos(120^{\circ})
P = 50 \times 9.8 \times 2 \times (-0.5)
P = 980 \times (-0.5) = -490 \,W.
\text{ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પાવરનું મૂલ્ય } 490 \,W \text{ છે।}$

(A) $\mu_1$ વક્રીભવનાંક અને $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે: $1/f_1 = (\mu_1 - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu_1 - 1)/R$.
$\mu_2$ વક્રીભવનાંક અને $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે: $1/f_2 = (\mu_2 - 1)(-1/\infty - 1/R) = -(\mu_2 - 1)/R$.
જ્યારે બંને લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1/F = (\mu_1 - 1)/R - (\mu_2 - 1)/R = (\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1)/R = (\mu_1 - \mu_2)/R$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = R/(\mu_1 - \mu_2)$ થશે.

(A) ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u_o = -300 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 100 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-300} = \frac{1}{100}$ મળે છે.
આનાથી $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{100} - \frac{1}{300} = \frac{2}{300}$ મળે છે,તેથી $v_o = 150 \ cm$.
ઓબ્જેક્ટિવની મોટવણી $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{150}{-300} = -0.5$ છે.
આઈપીસ માટે,પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે રચાય છે,તેથી $v_e = -25 \ cm$. $f_e = 5 \ cm$ સાથે,આઈપીસની મોટવણી $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ છે.
કુલ મોટવણી $M = m_o \times m_e = -0.5 \times 6 = -3$ છે.

(B) લોડ અવરોધ $R_L$ નીચે મુજબ મળે છે: $R_L = \frac{V_L}{I_L} = \frac{110 \, V}{250 \times 10^{-3} \, A} = 440 \, \Omega$.
આપેલ છે કે મહત્તમ પ્રવાહ $I$ લોડ અને ઝેનર ડાયોડ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે, તેથી $I_Z = I_L = 250 \, mA$.
તેથી, કુલ મહત્તમ પ્રવાહ $I = I_L + I_Z = 250 \, mA + 250 \, mA = 500 \, mA = 0.5 \, A$ થાય.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in,max} = 180 \, V$ પર ગણવામાં આવે છે: $R_S = \frac{V_{in,max} - V_L}{I} = \frac{180 \, V - 110 \, V}{0.5 \, A} = \frac{70 \, V}{0.5 \, A} = 140 \, \Omega$.
આમ, $R_L = 440 \, \Omega$ અને $R_S = 140 \, \Omega$ છે.

(C) આપેલ છે: સોર્સ વોલ્ટેજ $V_s = 12 \ V$,શ્રેણી અવરોધ $R_s = 100 \ \Omega$,ઝેનર વોલ્ટેજ $V_z = 8 \ V$,લોડ અવરોધ $R_L = 800 \ \Omega$.
શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_s = \frac{V_s - V_z}{R_s} = \frac{12 \ V - 8 \ V}{100 \ \Omega} = \frac{4 \ V}{100 \ \Omega} = 0.04 \ A = 40 \ mA$.
લોડ અવરોધ $R_L$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{8 \ V}{800 \ \Omega} = 0.01 \ A = 10 \ mA$.
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_z$:
$I_z = I_s - I_L = 40 \ mA - 10 \ mA = 30 \ mA = 0.03 \ A$.
ઝેનર ડાયોડમાં વ્યય થતો પાવર:
$P_z = V_z \times I_z = 8 \ V \times 0.03 \ A = 0.24 \ W$.

(A) કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયર કોન્ફિગરેશનમાં,આઉટપુટ સિગ્નલ ઇનપુટ સિગ્નલની સાપેક્ષમાં ઉલટું (inverted) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચે $\pi$ રેડિયન $(180^{\circ})$ નો કળા તફાવત હોય છે.
ઓસિલેટર માટે ઓસિલેશન જાળવી રાખવા માટે,બાર્કહૌસેન માપદંડ મુજબ લૂપની આસપાસ કુલ કળા તફાવત $0$ અથવા $2n\pi$ હોવો જોઈએ.
કારણ કે $CE$ એમ્પ્લીફાયર $\pi$ નો કળા તફાવત આપે છે,તેથી ઓસિલેશનની શરત પૂરી કરવા માટે ફીડબેક નેટવર્કે વધારાનો $\pi$ નો કળા તફાવત પૂરો પાડવો પડે છે.
તેથી,$CE$-ટ્રાન્ઝિસ્ટર સ્ટેજના ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $P = A + B$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $P = 1 + 1 = 1$ મળે.
ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot B}$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે.
હવે,$Y_1$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$.
$Y_2$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે શાખાઓ છે જે $NOR$ ગેટમાં જાય છે. દરેક શાખામાં એક $NAND$ ગેટ છે અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે (જે સાથે મળીને $AND$ ગેટ બનાવે છે).
ધારો કે ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ $Y_1$ છે. ઉપરની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ પણ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,નીચેની શાખાનું આઉટપુટ $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ છે.
હવે,$Y_1$ એ ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y_1 = 0$.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $0$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$.

(C) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટને $A$ અને $C$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટને $B$ અને $C$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નો $AND$ છે,તેથી $Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)$.
દરેક કિસ્સા માટે મૂલ્યાંકન કરતા:
- જો $A=0, B=1$ હોય: $Y = (1+1) \cdot (0+0) = 1 \cdot 0 = 0$.
- જો $A=1, B=0$ હોય: $Y = (0+0) \cdot (1+1) = 0 \cdot 1 = 0$.
- જો $A=0, B=0$ હોય: $Y = (1+0) \cdot (1+0) = 1 \cdot 1 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય: $Y = (0+1) \cdot (0+1) = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,$c$ $(A=0, B=0)$ અને $d$ $(A=1, B=1)$ સંયોજનો માટે $Y=1$ મળે છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ, એક $NOR$ ગેટ અને આઉટપુટ સ્ટેજ પર એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$2$. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$3$. અંતિમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $Y_1 = 1$ અને $Y_2 = 0$ છે. તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ, $Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 0$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1 = \frac{2\lambda}{a}$ છે અને અંતિમ કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \frac{2(7000 Å)}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોણીય પહોળાઈ અડધી થાય છે,તેથી $\theta_2 = \frac{1}{2} \theta_1$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2(7000 Å)}{a} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\lambda}{a} \right)$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$7000 Å = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 2 \times 7000 Å = 14000 Å$.
જો પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો સાચો જવાબ $3500 Å$ ત્યારે જ શક્ય છે જો તરંગલંબાઈ $7000 Å$ થી $3500 Å$ કરવામાં આવે.

(C) ધારો કે $I_0 = 32 \ W m^{-2}$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2 = 32 / 2 = 16 \ W m^{-2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ અને બીજા પોલરોઇડની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બીજા પોલરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = 16 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ છે કારણ કે પ્રથમ અને ત્રીજી શીટ એકબીજાને લંબ છે.
ત્રીજા પોલરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ છે.
$I_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_3 = 16 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 = 16 (\sin(2\theta) / 2)^2 = 4 \sin^2(2\theta)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_3 = 3 \ W m^{-2}$,તેથી $4 \sin^2(2\theta) = 3$,એટલે કે $\sin^2(2\theta) = 3/4$.
આમ,$\sin(2\theta) = \sqrt{3}/2$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $120^{\circ}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$.

(D) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$, જ્યાં $y_n$ એ $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન છે અને $D$ એ પડદાનું અંતર છે।
તેથી, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
પ્રથમ $(n=1)$ અને ત્રીજા $(n=3)$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{3 \lambda D}{a} - \frac{1 \lambda D}{a} = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે।
આપેલ છે: $\Delta y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.5 \,m$, અને $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.5}{a}$.
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા: $a = 0.2 \,mm$.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_0}{4}$,તેથી $\frac{I_0}{4} = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$,જે સૂચવે છે કે $\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,જે $\phi = \frac{2\pi}{3}$ આપે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ કળા તફાવત સાથે $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi = \frac{\lambda}{2\pi} \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\lambda}{3}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ગોઠવણીની ભૂમિતિ પરથી,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ છે. આપેલ છે કે $d = 2\lambda$,તેથી $\frac{\lambda}{3} = 2\lambda \sin \theta$.
$\sin \theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\sin \theta = \frac{\lambda/3}{2\lambda} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(A) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, પડદાનું અંતર $D = 120 \,cm = 1.2 \,m$, અને પડદા પરનું સ્થાન $y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$.
પથ તફાવત $\Delta x$ નું સૂત્ર $\Delta x = \frac{yd}{D}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (0.5 \times 10^{-3} \,m)}{1.2 \,m} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{1.2} \,m = 1.25 \times 10^{-6} \,m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{500 \times 10^{-9} \,m} \times (1.25 \times 10^{-6} \,m) = \frac{2.5 \pi \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{2.5 \pi}{0.5} = 5 \pi$ રેડિયન.

(D) ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે。
આપણને આપેલ છે કે $I = 0.5 I_{max}$, તેથી $0.5 I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 0.5$, અથવા $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$, જે $\phi = \frac{\pi}{2}$ આપે છે。
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે。
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા, આપણને $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $y$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ છે。
બંનેને સરખાવતા, $\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$, તેથી $y = \frac{\lambda D}{4d}$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6600 \, Å = 6.6 \times 10^{-7} \, m$, $D = 4 \, m$, અને $d = 0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m$.
$y = \frac{(6.6 \times 10^{-7} \, m) \times (4 \, m)}{4 \times (6 \times 10^{-4} \, m)} = \frac{6.6 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-4}} \, m = 1.1 \times 10^{-3} \, m = 1.1 \, mm$.

(C) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ વહન કરતા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચેનું અંતર $x$ હોય ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે: $\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x}$.
તાર વચ્ચેનું અંતર $dx$ જેટલું સૂક્ષ્મ બદલવા માટે એકમ લંબાઈ દીઠ કરવું પડતું કાર્ય $dW$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $dW = \frac{F}{\ell} dx$.
બળનું સૂત્ર મૂકતા: $dW = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $W = \int \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
અહીં $\mu_0$,$I_1$,$I_2$ અને $2\pi$ અચળ હોવાથી: $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{1}{x}$ નું સંકલન $\log_e x$ થાય છે,તેથી $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \log_e x$.
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ કરવું પડતું કાર્ય $\log_e x$ ના પ્રમાણમાં છે.