Trigonometry Questions in Gujarati

(D) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$
$2$. $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$3$. $\sin(\frac{7\pi}{2} - x) = -\cos x$
$4$. $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$
$5$. $\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cot x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
અંશ: $(-\cot x)(\sin x) - (-\cos x)^3 = -\cos x + \cos^3 x = \cos x(\cos^2 x - 1) = -\cos x \sin^2 x$
છેદ: $(\sin x)(-\cot x) = -\cos x$
પદાવલિ: $\frac{-\cos x \sin^2 x}{-\cos x} = \sin^2 x$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan^2 \theta - 1}$ છે.
પ્રથમ,બીજા પદને સરળ બનાવતા: $\tan^2 \theta - 1 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}$.
આ કિંમત બીજા પદમાં મૂકતા: $\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta) \cdot \cos^2 \theta}{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$.
હવે,$E$ માં પાછું મૂકતા: $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta} = \sin \theta + \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$.
$\sin(\theta + 45^\circ)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
આમ,કિંમત $-\sqrt{2}$ અને $\sqrt{2}$ ની વચ્ચે રહેલી છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} - 2 \tan \theta \cot \theta = -1$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + \sin \theta \cos \theta$ માં સરળ બને છે.
કારણ કે $\sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{\csc^2 \theta} = |\csc \theta|$,બીજું પદ $\frac{\cos \theta}{|\csc \theta|} = \cos \theta |\sin \theta|$ થાય છે.
વળી,$2 \tan \theta \cot \theta = 2(1) = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(1 + \sin \theta \cos \theta) - \cos \theta |\sin \theta| - 2 = -1$.
$\sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| = 0$.
$\cos \theta (\sin \theta - |\sin \theta|) = 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\cos \theta = 0$ અથવા $\sin \theta = |\sin \theta|$.
$\sin \theta = |\sin \theta|$ નો અર્થ છે $\sin \theta \ge 0$,જે પ્રથમ અને બીજા ચરણમાં થાય છે,એટલે કે $\theta \in (0, \pi)$.
જોકે,છેદ $\sin \theta - \cos \theta \neq 0$ હોવાથી $\theta \neq \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\theta \in (0, \pi/2)$ માટે $\sin \theta > 0$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ છે: $\cos \alpha = \frac{2 \cos \beta - 1}{2 - \cos \beta}$.
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(2 - \cos \beta) - (2 \cos \beta - 1)}{(2 - \cos \beta) + (2 \cos \beta - 1)}$
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 - \cos \beta - 2 \cos \beta + 1}{2 - \cos \beta + 2 \cos \beta - 1}$
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{3 - 3 \cos \beta}{1 + \cos \beta} = 3 \left( \frac{1 - \cos \beta}{1 + \cos \beta} \right)$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = 3 \tan^2 \frac{\beta}{2}$
$\frac{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{\tan^2 \frac{\beta}{2}} = 3$
કારણ કે $\frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}} = \cot \frac{\beta}{2}$,તેથી:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2} = 3$
વર્ગમૂળ લેતા (કારણ કે $\alpha, \beta \in (0, \pi)$,તેથી ટેન્જેન્ટની કિંમતો ધન રહેશે):
$\tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = \sqrt{3}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}}$ છે.
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$,તેથી $\frac{5\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$ થાય.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} < 0$ અને $\sin \frac{x}{2} < 0$ છે,અને $|\cos \frac{x}{2}| > |\sin \frac{x}{2}|$ છે.
તેથી,$\sqrt{1 - \sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$.
અને $\sqrt{1 + \sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) = -\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}) + (-\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}) - (-\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} = \frac{-2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$.

(B) ધારો કે $x \sin \theta = y \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
તેથી $x = \frac{k}{\sin \theta}$,$y = \frac{k}{\sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)}$,અને $z = \frac{k}{\sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)}$.
સરવાળો $xy + yz + zx = k^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)} + \frac{1}{\sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)} + \frac{1}{\sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) \sin \theta} \right]$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદના પદો સરળ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\sin \theta + \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = 0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$.
$xyz$ વડે ગુણતા,આપણને $yz + zx + xy = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{10}$. પદાવલિ $E = \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta$ છે.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=5$ છે.
$E = \frac{\sin(2^5 \theta)}{2^5 \sin \theta} = \frac{\sin(32 \theta)}{32 \sin \theta}$.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{10}$ હોવાથી,$32\theta = \frac{32\pi}{10} = 3\pi + \frac{2\pi}{10} = 3\pi + \frac{\pi}{5}$.
$E = \frac{\sin(3\pi + \pi/5)}{32 \sin(\pi/10)} = \frac{-\sin(\pi/5)}{32 \sin(\pi/10)}$.
$\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\pi/5) = 2 \sin(\pi/10) \cos(\pi/10)$.
$E = \frac{-2 \sin(\pi/10) \cos(\pi/10)}{32 \sin(\pi/10)} = -\frac{1}{16} \cos(\pi/10)$.

(C) ધારો કે $f(x) = cot\, x + cot\, (60^\circ + x) + cot\, (120^\circ + x)$.
નિત્યસમ $cot\, A + cot\, B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$cot\, (60^\circ + x) + cot\, (120^\circ + x) = \frac{\sin(180^\circ + 2x)}{\sin(60^\circ + x)\sin(120^\circ + x)}$.
કારણ કે $\sin(180^\circ + 2x) = -\sin 2x$ અને $\sin(60^\circ + x)\sin(120^\circ + x) = \sin^2 60^\circ - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x$,
$f(x) = cot\, x - \frac{\sin 2x}{\frac{3}{4} - \sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{2\sin x \cos x}{\frac{3-4\sin^2 x}{4}} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{8\sin x \cos x}{3-4\sin^2 x}$.
$f(x) = \frac{\cos x(3-4\sin^2 x) - 8\sin^2 x \cos x}{\sin x(3-4\sin^2 x)} = \frac{3\cos x - 4\sin^2 x \cos x - 8\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x} = \frac{3\cos x - 12\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^3 x$ વડે ભાગતા અથવા ત્રિ-ગુણિત ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{3\cos x(1 - 4\sin^2 x)}{3\sin x - 4\sin^3 x} = \frac{3\cos x(1 - 4(1-\cos^2 x))}{\sin 3x} = \frac{3\cos x(4\cos^2 x - 3)}{\sin 3x} = \frac{3(4\cos^3 x - 3\cos x)}{\sin 3x} = \frac{3\cos 3x}{\sin 3x} = 3\, cot\, 3x$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{3 + \cot 76^\circ \cot 16^\circ}{\cot 76^\circ + \cot 16^\circ}$.
તેને સાઈન અને કોસાઈનમાં ફેરવતા: $E = \frac{3 + \frac{\cos 76^\circ \cos 16^\circ}{\sin 76^\circ \sin 16^\circ}}{\frac{\cos 76^\circ}{\sin 76^\circ} + \frac{\cos 16^\circ}{\sin 16^\circ}} = \frac{3 \sin 76^\circ \sin 16^\circ + \cos 76^\circ \cos 16^\circ}{\cos 76^\circ \sin 16^\circ + \sin 76^\circ \cos 16^\circ}$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $\sin(76^\circ + 16^\circ) = \sin 92^\circ$ થાય છે.
અંશ માટે,$3 = 2 + 1$ લખતા: $2 \sin 76^\circ \sin 16^\circ + (\sin 76^\circ \sin 16^\circ + \cos 76^\circ \cos 16^\circ)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસમાં રહેલ પદ $\cos(76^\circ - 16^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ થાય છે.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $\cos 60^\circ - \cos 92^\circ = \frac{1}{2} - \cos 92^\circ$ થાય છે.
અંશ $= \frac{1}{2} - \cos 92^\circ + \frac{1}{2} = 1 - \cos 92^\circ$.
આમ,$E = \frac{1 - \cos 92^\circ}{\sin 92^\circ} = \frac{2 \sin^2 46^\circ}{2 \sin 46^\circ \cos 46^\circ} = \tan 46^\circ = \cot(90^\circ - 46^\circ) = \cot 44^\circ$.

(D) ધારો કે $E = \csc \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sec \frac{\pi}{18} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{18}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi}{18}}$.
$E = \frac{\cos \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18}}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{2 \left( \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\pi}{18} \right)}{\frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{18}} = \frac{2 \left( \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{18} \right)}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}}$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18})}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin(\frac{3\pi - \pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{2\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = 4$.
$4$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે કાટખૂણાવાળા શિરોબિંદુથી કર્ણ પરનો લંબ $p$ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ મુજબ,કર્ણના બે ભાગ $p \tan \theta$ અને $p \cot \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ એક લઘુકોણ છે.
કર્ણ $h = p \tan \theta + p \cot \theta = p(\tan \theta + \cot \theta) = p \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = p \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right) = \frac{p}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2p}{\sin 2\theta}$.
આપેલ છે કે $h = 2\sqrt{2} p$,તેથી $\frac{2p}{\sin 2\theta} = 2\sqrt{2} p$.
$\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $2\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{8}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં લઘુકોણોનો સરવાળો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,ખૂણાઓ $\frac{\pi}{8}$ અને $\frac{3\pi}{8}$ છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{\sec 8 \theta - 1}{\sec 4 \theta - 1}$ છે.
કોસાઈનમાં રૂપાંતર કરતા,આપણને $\frac{\frac{1}{\cos 8 \theta} - 1}{\frac{1}{\cos 4 \theta} - 1} = \frac{1 - \cos 8 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 4 \theta}{1 - \cos 4 \theta}$ મળે છે.
નિત્યસમ $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 8 \theta = 2 \sin^2 4 \theta$ અને $1 - \cos 4 \theta = 2 \sin^2 2 \theta$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2 \sin^2 4 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 4 \theta}{2 \sin^2 2 \theta}$ મળે છે.
$\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{2 (2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta) \sin 4 \theta \cos 4 \theta}{\cos 8 \theta (2 \sin^2 2 \theta)}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2 \sin 4 \theta \cos 4 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} = \frac{\sin 8 \theta}{\cos 8 \theta} \times \cot 2 \theta = \tan 8 \theta \cot 2 \theta$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cot x - \cos x = 1 - \cot x \cos x$.
પદોને ગોઠવતા: $\cot x - \cos x + \cot x \cos x - 1 = 0$.
પદોના જૂથ બનાવતા: $\cot x(1 + \cos x) - (1 + \cos x) = 0$.
$(1 + \cos x)$ સામાન્ય લેતા: $(1 + \cos x)(\cot x - 1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $1 + \cos x = 0$ અથવા $\cot x - 1 = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos x = -1$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = \pi$.
કિસ્સો $2$: $\cot x = 1$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$.
$x$ ના મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}$ છે.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન કરતા $x$ ના કુલ $3$ મૂલ્યો છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \cos^2 73^\circ + \cos^2 47^\circ + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 146^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 94^\circ}{2} + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્ર મુજબ,$\cos 73^\circ \cos 47^\circ = \frac{\cos 120^\circ + \cos 26^\circ}{2} = \frac{-1/2 + \cos 26^\circ}{2} = -1/4 + \frac{\cos 26^\circ}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$E = 1 + \frac{\cos 146^\circ + \cos 94^\circ}{2} - 1/4 + \frac{\cos 26^\circ}{2}$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 146^\circ + \cos 94^\circ = 2 \cos(120^\circ) \cos(26^\circ) = 2(-1/2) \cos 26^\circ = -\cos 26^\circ$.
તેથી,$E = 1 - 1/4 - \frac{\cos 26^\circ}{2} + \frac{\cos 26^\circ}{2} = 3/4$.

(C) ધારો કે $y = (7 \cos\theta + 24 \sin\theta) \times (7 \sin\theta - 24 \cos\theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $7 \cos\theta + 24 \sin\theta = r \sin(\theta + \alpha)$,જ્યાં $r = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$ અને $\tan \alpha = \frac{7}{24}$.
તે જ રીતે,$7 \sin\theta - 24 \cos\theta = r \sin(\theta - \beta)$,જ્યાં $\tan \beta = \frac{24}{7}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$7 \cos\theta + 24 \sin\theta = 25 \sin(\theta + \alpha)$ અને $7 \sin\theta - 24 \cos\theta = -25 \cos(\theta + \alpha)$ લો.
તેથી $y = 25 \sin(\theta + \alpha) \times (-25 \cos(\theta + \alpha)) = -625 \sin(\theta + \alpha) \cos(\theta + \alpha)$.
નિત્યસમ $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = -\frac{625}{2} \sin(2(\theta + \alpha))$ મળે છે.
$\sin(2(\theta + \alpha))$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-1$ છે.
આ અભિવ્યક્તિનું મહત્તમ મૂલ્ય $|-\frac{625}{2}| = \frac{625}{2}$ થશે.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ કોટિકોણ છે,તેથી $A + B = 90^\circ$ અથવા $A + B = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{B}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan \frac{A}{2} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{B}{2})$.
સૂત્ર $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}}$.
હવે,પદાવલિ $(1 + \tan \frac{A}{2})(1 + \tan \frac{B}{2})$ ધ્યાનમાં લો.
$\tan \frac{A}{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $(1 + \frac{1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2})$.
$= (\frac{1 + \tan \frac{B}{2} + 1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2})$.
$= (\frac{2}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2}) = 2$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = a \operatorname{cosec} \alpha - b \sec \alpha = \frac{a}{\sin \alpha} - \frac{b}{\cos \alpha}$.
$E = \frac{a \cos \alpha - b \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
$\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \alpha - \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \alpha \right)$.
$\sin \theta = \sin 3\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ હોવાથી,ધારો કે $\cos 3\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
તેથી $E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} \sin(3\alpha - \alpha) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ હોવાથી:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2 \sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = (\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ}) + (\tan 67.5^{\circ} - \cot 67.5^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = 2 \cot 2\theta$
તેથી,પ્રથમ પદ: $\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ} = 2 \cot(2 \times 7.5^{\circ}) = 2 \cot 15^{\circ}$
બીજું પદ: $\tan 67.5^{\circ} - \cot 67.5^{\circ} = -(\cot 67.5^{\circ} - \tan 67.5^{\circ}) = -2 \cot(2 \times 67.5^{\circ}) = -2 \cot 135^{\circ}$
અહીં,$\cot 15^{\circ} = \cot(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\cot 45^{\circ} \cot 30^{\circ} + 1}{\cot 30^{\circ} - \cot 45^{\circ}} = \frac{1 \times \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$
અને $\cot 135^{\circ} = \cot(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cot 45^{\circ} = -1$
તેથી,$E = 2(2 + \sqrt{3}) - 2(-1) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3} = 2(3 + \sqrt{3})$
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોમાં સુધારો કરતા,સાચો જવાબ $2(3 + \sqrt{3})$ છે,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = (\sin x + \csc x)^2 + (\cos x + \sec x)^2 - (\tan x + \cot x)^2$ છે.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = (\sin^2 x + \csc^2 x + 2 \sin x \csc x) + (\cos^2 x + \sec^2 x + 2 \cos x \sec x) - (\tan^2 x + \cot^2 x + 2 \tan x \cot x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x \csc x = 1$,$\cos x \sec x = 1$,અને $\tan x \cot x = 1$:
$E = (\sin^2 x + \cos^2 x) + \csc^2 x + \sec^2 x + 2 + 2 - (\tan^2 x + \cot^2 x + 2)$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \csc^2 x + \sec^2 x + 4 - \tan^2 x - \cot^2 x - 2$.
$E = 3 + (\csc^2 x - \cot^2 x) + (\sec^2 x - \tan^2 x)$.
નિત્યસમ $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$ અને $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 3 + 1 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A = 580^\circ$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{1 + \sin A} = |\sin(A/2) + \cos(A/2)|$ અને $\sqrt{1 - \sin A} = |\cos(A/2) - \sin(A/2)|$.
અહીં $A/2 = 290^\circ$ છે,જે ચોથા ચરણમાં આવે છે. ચોથા ચરણમાં $\sin(290^\circ) < 0$ અને $\cos(290^\circ) > 0$ હોય છે.
વળી,$|\sin(290^\circ)| > |\cos(290^\circ)|$ હોવાથી,$\sin(A/2) + \cos(A/2) < 0$ થાય,તેથી $\sqrt{1 + \sin A} = -(\sin(A/2) + \cos(A/2))$.
અને $\cos(A/2) - \sin(A/2) > 0$ હોવાથી,$\sqrt{1 - \sin A} = \cos(A/2) - \sin(A/2)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A} = -\sin(A/2) - \cos(A/2) + \cos(A/2) - \sin(A/2) = -2 \sin(A/2)$.
તેથી,$2 \sin(A/2) = -\sqrt{1 + \sin A} - \sqrt{1 - \sin A}$.

(A) ધારો કે $t = x^2 - x$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{t}{t + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2t + 1}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{t}{t + 1} + \frac{1}{2t + 1}}{1 - \left(\frac{t}{t + 1}\right) \left(\frac{1}{2t + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{t(2t + 1) + (t + 1)}{(t + 1)(2t + 1)}}{\frac{(t + 1)(2t + 1) - t}{(t + 1)(2t + 1)}}$
$= \frac{2t^2 + t + t + 1}{2t^2 + 2t + t + 1 - t}$
$= \frac{2t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 2t + 1} = 1$.
આમ,$\tan(\alpha + \beta) = 1$.

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.
ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$
$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.
જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે સમાનતા શક્ય છે કે નહીં. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ થાય.
$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$. કારણ કે $\cos^4 x$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકે નહીં,તેથી આ સમાનતા શક્ય નથી.
હવે,વિધેય $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $t = \cos^2 x$. તો $y = 8t + \frac{18}{t}$,જ્યાં $t \in (0, 1]$.
$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ નું વિકલન $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ થાય. $f'(t) = 0$ લેતા $t^2 = 2.25$,એટલે કે $t = 1.5$,જે પ્રદેશ $(0, 1]$ ની બહાર છે.
$t \in (0, 1]$ માટે $f'(t) < 0$ હોવાથી,વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 1$) પર મળશે.
$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x = a \cos(\theta - \alpha)$ અને $y = b \cos(\theta - \beta)$ છે.
આથી $\frac{x}{a} = \cos(\theta - \alpha)$ અને $\frac{y}{b} = \cos(\theta - \beta)$ મળે.
નિત્યસમ $\cos(\alpha - \beta) = \cos((\theta - \beta) - (\theta - \alpha))$ નો ઉપયોગ કરતા.
સૂત્ર $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ મુજબ:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\theta - \beta) \cos(\theta - \alpha) + \sin(\theta - \beta) \sin(\theta - \alpha)$.
કિંમતો મુકતા:
$\cos(\alpha - \beta) = \frac{y}{b} \cdot \frac{x}{a} + \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab}\right)^2 = \left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$.
$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2y^2}{a^2b^2}$.
બંને બાજુથી $\frac{x^2y^2}{a^2b^2}$ ઉડાડતા અને પદોને ગોઠવતા:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \cos^2(\alpha - \beta)$.
$1 - \cos^2(\theta) = \sin^2(\theta)$ હોવાથી,જવાબ $\sin^2(\alpha - \beta)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \log_a b$,$y = \log_b c$,અને $z = \log_c a$.
આપેલ છે કે $x + y + z = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $xyz = (\log_a b) \cdot (\log_b c) \cdot (\log_c a)$ ધ્યાનમાં લો.
આધાર પરિવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$,$\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$,અને $\log_c a = \frac{\ln a}{\ln c}$.
તેથી,$xyz = \left( \frac{\ln b}{\ln a} \right) \cdot \left( \frac{\ln c}{\ln b} \right) \cdot \left( \frac{\ln a}{\ln c} \right) = 1$.
આમ,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(1) = 3$.
જેથી $3$ એ એક એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$.
અંશ: $\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} - \sin^2 20^\circ = \sin^2 20^\circ \left( \frac{1}{\cos^2 20^\circ} - 1 \right)$.
$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1 - \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \tan^2 20^\circ$ મળે છે.
તેથી,અંશ $\sin^2 20^\circ \cdot \tan^2 20^\circ$ બને છે.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{\sin^2 20^\circ \cdot \tan^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ} = 1$.
$1$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને તે અવિભાજ્ય પણ નથી અને વિભાજ્ય પણ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ એ છે કે તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે વિભાજ્ય નથી.

(C) આપેલ પદાવલિ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે: $x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots \infty$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોવું જરૂરી છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x(1 + x) = 1$,એટલે કે $x^2 + x - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
શ્રેણી અભિસારી હોવા માટે $|-x| < 1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x$ ની કિંમત $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
કિંમત $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ ને નકારી શકાય છે કારણ કે તે $-1$ કરતા નાની છે.
આમ,$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
તેથી,$x = 2 \sin 18^\circ$.

(D) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$[A]$ ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ બને છે. ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે. $\sin^2 \theta$ નું મૂલ્ય $[0, 1]$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ,પરંતુ $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1$ અને $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક $\theta$ શક્ય નથી. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
$[B]$ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}}{1 + \frac{3}{16 - 3}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. $3/8$ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી તે અસંમેય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
$[C]$ રેડિયનમાં: $2$ રેડિયન બીજા ચરણમાં છે $(\sin 2 > 0)$,$3$ રેડિયન બીજા ચરણમાં છે $(\sin 3 > 0)$,અને $5$ રેડિયન ચોથા ચરણમાં છે $(\sin 5 < 0)$. ગુણાકાર $(+)(+)(-)$ ઋણ થાય છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,$A, B$ અને $C$ ત્રણેય ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચાલો દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$. $\cos 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $-\cos 2x$ નો વિસ્તાર પણ $[-1, 1]$ છે. તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $f(x) = \frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x = \sin(2x - \frac{\pi}{4})$. સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $f(x) = -\frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}} = -\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$. સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
આમ,બધા જ વિધેયોનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે.
$a = \sin 2\alpha + \sin 2\beta + 2\sin(\alpha + \beta) = 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\sin(\alpha + \beta) = 2\sin(\alpha + \beta)[\cos(\alpha - \beta) + 1] = 4\sin(\alpha + \beta)\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
$b = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + 2\cos(\alpha + \beta) = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\cos(\alpha + \beta) = 2\cos(\alpha + \beta)[\cos(\alpha - \beta) + 1] = 4\cos(\alpha + \beta)\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
કર્ણ $h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{[4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})]^2 [\sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta)]}$.
કારણ કે $\sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta) = 1$,તેથી $h = 4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})$.
નિત્યસમ $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2}) = 2[1 + \cos(\alpha - \beta)]$.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = 1 + 4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પદાવલિ $a \sin \theta + b \cos \theta$ એ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = 4$ અને $b = 3$ છે.
તેથી,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-5, 5]$ છે.
હવે,સમગ્ર વિસ્તારમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $E$ નો વિસ્તાર $[1 - 5, 1 + 5]$ મળે છે,જે $[-4, 6]$ છે.
તેથી,અંતિમ કિંમતો $-4$ અને $6$ છે.

(D) આપેલ છે કે $2\cos\theta + \sin\theta = 1$,તેથી આપણે $2\cos\theta = 1 - \sin\theta$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(2\cos\theta)^2 = (1 - \sin\theta)^2$ મળે.
$4\cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$.
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4(1 - \sin^2\theta) = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$ મળે.
$4 - 4\sin^2\theta = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$.
$5\sin^2\theta - 2\sin\theta - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5\sin\theta + 3)(\sin\theta - 1) = 0$.
આથી $\sin\theta = 1$ અથવા $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $\sin\theta = 1$,તો $\cos\theta = 0$. પદાવલિ $E = 4\cos\theta + 3\sin\theta$ માં કિંમત મૂકતા,$E = 4(0) + 3(1) = 3$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $\sin\theta = -\frac{3}{5}$,તો $\cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$,તેથી $\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$.
$2\cos\theta + \sin\theta = 1$ હોવાથી,$2\cos\theta = 1 - (-\frac{3}{5}) = \frac{8}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos\theta = \frac{4}{5}$.
$E$ માં કિંમત મૂકતા,$E = 4(\frac{4}{5}) + 3(-\frac{3}{5}) = \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = \frac{7}{5}$.
આમ,શક્ય કિંમતો $3$ અને $\frac{7}{5}$ છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શ્રેણી $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n}$ તરીકે લખી શકાય.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,સરવાળો ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બનાવે છે:
$S = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2} - \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2^N} \cot \frac{x}{2^N} = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2} - \frac{1}{x}$.
અહીં $x = \frac{\pi}{2}$ લેતા,આપણને $\frac{2}{\pi} - \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 + 4(a - 1)x + (1 - 2a) = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\sin \theta + \cos \theta = -\frac{4(a - 1)}{4} = 1 - a$ .....$(1)$
બીજનો ગુણાકાર $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1 - 2a}{4}$ .....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ નો વર્ગ કરતા,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = (1 - a)^2$ મળે.
આમાં $(2)$ ની કિંમત મૂકતા,$1 + 2(\frac{1 - 2a}{4}) = (1 - a)^2 \Rightarrow 1 + \frac{1 - 2a}{2} = 1 - 2a + a^2$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 + 1 - 2a = 2 - 4a + 2a^2 \Rightarrow 2a^2 - 2a - 1 = 0$ મળે.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ મળે.
$\sin \theta + \cos \theta = 1 - a$ અને $\sin \theta, \cos \theta > 0$ હોવાથી,$a < 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $a = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.
તેથી $\sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ મળે.
તેથી $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,એટલે કે $\theta = 30^\circ$ અથવા $60^\circ$ મળે.
$a + \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\ln(2\lambda \cos x + 5)}$ એ તમામ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને લઘુગણકનો તર્ક ધન હોવો જોઈએ.
$1$. $\ln(2\lambda \cos x + 5) \geq 0 \implies 2\lambda \cos x + 5 \geq e^0 = 1$.
$2$. આનું સાદું રૂપ $2\lambda \cos x \geq -4$ અથવા $\lambda \cos x \geq -2$ થાય છે.
$3$. આ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોવું જોઈએ, તેથી આપણે $\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$4$. જો $\lambda > 0$ હોય, તો $\lambda \cos x$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-\lambda$ છે. તેથી, $-\lambda \geq -2 \implies \lambda \leq 2$. આમ, $\lambda \in \{1, 2\}$.
$5$. જો $\lambda < 0$ હોય, તો $\lambda \cos x$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\lambda$ છે. તેથી, $\lambda \geq -2$. આમ, $\lambda \in \{-1, -2\}$.
$6$. જો $\lambda = 0$ હોય, તો અભિવ્યક્તિ $\ln(5) \geq 0$ બને છે, જે સત્ય છે. તેથી, $\lambda = 0$ એ ઉકેલ છે.
$7$. પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો ગણ $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
$8$. આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(B) આપેલ છે $E = \prod_{r=1}^{59} \left( {1 - \frac{{\cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}}} \right)$.
ગુણાકારની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$1 - \frac{{\cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}} = \frac{{\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}}$.
સૂત્ર $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{{A+B}}{2} \sin \frac{{A-B}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ) = 2 \sin \frac{{r^\circ + 60^\circ + r^\circ}}{2} \sin \frac{{60^\circ + r^\circ - r^\circ}}{2} = 2 \sin(30^\circ + r^\circ) \sin 30^\circ$.
કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી પદ $2 \cdot \frac{1}{2} \sin(30^\circ + r^\circ) = \sin(30^\circ + r^\circ)$ બને છે.
આમ,$E = \prod_{r=1}^{59} \frac{{\sin(30^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}} = \frac{{\sin 31^\circ \cdot \sin 32^\circ \dots \sin 89^\circ}}{{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \dots \cos 59^\circ}}$.
કારણ કે $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$,અંશ $\cos 59^\circ \cdot \cos 58^\circ \dots \cos 1^\circ$ થાય છે,જે છેદ સાથે સંપૂર્ણપણે ઉડી જાય છે.
તેથી,$E = 1$.

(B) આપેલ છે: $\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1$.
ધારો કે $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \beta} = \cos \theta$ અને $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \beta} = \sin \theta$.
તેથી $\cos^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta$ અને $\sin^2 \alpha = \sin \beta \sin \theta$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta + \sin \beta \sin \theta = \cos(\beta - \theta) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta = \theta + 2n\pi$,તેથી $\cos \beta = \cos \theta$ અને $\sin \beta = \sin \theta$.
કિંમતો પાછી મૂકતા,$\cos^2 \alpha = \cos^2 \beta$ અને $\sin^2 \alpha = \sin^2 \beta$.
તેથી,$\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \beta} = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$.
$1$ નો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[1] = 1$ થાય.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \sin A \cos B \cos C + \sin B \cos C \cos A + \sin C \cos A \cos B$
પદાવલિમાંથી $\cos A \cos B \cos C$ સામાન્ય લેતા:
$E = \cos A \cos B \cos C \left( \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C} \right)$
$E = \cos A \cos B \cos C (\tan A + \tan B + \tan C)$
કોઈપણ $\Delta ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos A \cos B \cos C (\tan A \tan B \tan C)$
$E = \cos A \cos B \cos C \left( \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\sin C}{\cos C} \right)$
$E = \sin A \sin B \sin C$.

(A) કિંમતોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે ખૂણાઓને પ્રથમ ચરણમાં ફેરવીએ છીએ.
$sin\ 95^{\circ} = sin(180^{\circ} - 95^{\circ}) = sin\ 85^{\circ}$.
હવે આપણે $sin\ 85^{\circ}$,$sin\ 63^{\circ}$ અને $sin\ 1^{\circ}$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
કારણ કે સાઈન વિધેય અંતરાલ $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$ માં વધતું વિધેય છે,તેથી આપણને $sin\ 85^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ મળે છે.
તેથી,$sin\ 95^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ સાચું છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $12a + 5b = 9$ છે.
આપણે $f(a, b) = a^2 + b^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $12a + 5b = 9$ પરના બિંદુ $(a, b)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ દર્શાવે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 12$,$B = 5$,$C = -9$,અને $(x_0, y_0) = (0, 0)$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|12(0) + 5(0) - 9|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{|-9|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{9}{\sqrt{169}} = \frac{9}{13}$ થાય.
$a^2 + b^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય આ લઘુત્તમ અંતરનો વર્ગ છે,એટલે કે $d^2 = (\frac{9}{13})^2 = \frac{81}{169}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin A + \sin B + \sin C = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$.
તેથી,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 3(\sin A + \sin B + \sin C) - 4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$.
$\sin A + \sin B + \sin C = 0$ હોવાથી,પદાવલિ $-4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$ માં પરિણમે છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: જો $x+y+z=0$ હોય,તો $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$.
અહીં,$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C = 3 \sin A \sin B \sin C$.
આ કિંમત છેદમાં મૂકતા: $\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(3 \sin A \sin B \sin C) = -12 \sin A \sin B \sin C$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sin A \sin B \sin C}{-12 \sin A \sin B \sin C} = -\frac{1}{12}$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{18} \cos^2(5r)^\circ = \cos^2 5^\circ + \cos^2 10^\circ + \dots + \cos^2 85^\circ + \cos^2 90^\circ$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 90^\circ = 0$ થાય.
બાકીના પદો માટે,આપણે તેમને $\cos^2 \theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ તરીકે જોડી શકીએ છીએ.
$\cos^2 90^\circ$ ને બાદ કરતાં કુલ $17$ પદો છે. આપણે $(\cos^2 5^\circ + \cos^2 85^\circ), (\cos^2 10^\circ + \cos^2 80^\circ), \dots, (\cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ)$ ની $8$ જોડીઓ બનાવી શકીએ અને એક મધ્યમ પદ $\cos^2 45^\circ$ બાકી રહેશે.
દરેક જોડીનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $8 \times 1 = 8$.
મધ્યમ પદ $\cos^2 45^\circ = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,કુલ સરવાળો $8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2 = 2 \sin 1 \cos 1$,$1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$ અને $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$ થાય છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)} \right)$
$= \tan^{-1} \left( -\frac{\cos 1 - \sin 1}{\cos 1 + \sin 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( -\frac{1 - \tan 1}{1 + \tan 1} \right)$
$= -\tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) \right)$
$= -(\frac{\pi}{4} - 1) = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1} = \frac{1 - \cos 8\theta}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{1 - \cos 4\theta} = \frac{2\sin^2 4\theta}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{2\sin^2 2\theta}$.
$\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{2(4\sin^2 2\theta \cos^2 2\theta)}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{2\sin^2 2\theta} = \frac{4\cos^2 2\theta \cos 4\theta}{\cos 8\theta}$.
ધારો કે $t = \tan^2 2\theta$. તો $\cos 4\theta = \frac{1-t}{1+t}$ અને $\cos 8\theta = \frac{1 - \tan^2 4\theta}{1 + \tan^2 4\theta} = \frac{1 - 6t + t^2}{1 + 2t + t^2}$.
વળી $\cos^2 2\theta = \frac{1}{1+t}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{4}{1+t} \cdot \frac{1-t}{1+t} \cdot \frac{1+2t+t^2}{1-6t+t^2} = \frac{4-4t}{1-6t+t^2}$.
$\frac{a+bt}{1+ct+dt^2}$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=-4, c=-6, d=1$ મળે.
તેથી,$a-b+c-d = 4 - (-4) + (-6) - 1 = 4 + 4 - 6 - 1 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $\sin x + \cos x = a$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \sin 2x = a^2$ મળે,તેથી $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^\infty \sin^n x + \sum_{n=1}^\infty \cos^n x = \frac{\sin x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x}$ છે.
$S = \frac{\sin x(1 - \cos x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 - \cos x)} = \frac{(\sin x + \cos x) - 2\sin x \cos x}{1 - (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x}$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{a - (a^2 - 1)}{1 - a + \frac{a^2 - 1}{2}} = \frac{a - a^2 + 1}{\frac{2 - 2a + a^2 - 1}{2}} = \frac{2(1 + a - a^2)}{a^2 - 2a + 1} = \frac{2(1 + a - a^2)}{(a - 1)^2}$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$a + b$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2\sqrt{ab}$ છે.
અહીં,$a = 8 \sec^2 \theta$ અને $b = 2 \cos^2 \theta$ છે.
$f(\theta) \ge 2 \sqrt{(8 \sec^2 \theta) \cdot (2 \cos^2 \theta)}$.
કારણ કે $\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$f(\theta) \ge 2 \sqrt{16 \cdot 1} = 2 \cdot 4 = 8$.
જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે શું આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શક્ય છે. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $a = b$,એટલે કે $8 \sec^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$.
$4 \sec^2 \theta = \cos^2 \theta \implies 4 = \cos^4 \theta \implies \cos^2 \theta = 2$,જે અશક્ય છે કારણ કે $\cos^2 \theta \le 1$.
તેથી,આપણે વિધેય $f(\theta) = 8(1 + \tan^2 \theta) + 2 \cos^2 \theta$ નું મૂલ્ય ચકાસીએ. $\tan^2 \theta \ge 0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\tan \theta = 0$ પર મળે છે,એટલે કે $\theta = 0^\circ$.
$\theta = 0^\circ$ પર,$f(0) = 8 \sec^2(0) + 2 \cos^2(0) = 8(1) + 2(1) = 10$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^2 x + \cos^4 x + 2$.
$f(x+\pi) = \sin^2(x+\pi) + \cos^4(x+\pi) + 2 = (-\sin x)^2 + (-\cos x)^4 + 2 = \sin^2 x + \cos^4 x + 2 = f(x)$.
આમ,$f(x)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \pi$ છે.
હવે $g(x) = \cos(\cos x) + \cos(\sin x)$ માટે,
$g(x+\pi/2) = \cos(\cos(x+\pi/2)) + \cos(\sin(x+\pi/2)) = \cos(-\sin x) + \cos(\cos x) = \cos(\sin x) + \cos(\cos x) = g(x)$.
આમ,$g(x)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \pi/2$ છે.
તેથી,$T_1 = 2T_2$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$ અને $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિ $2(\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8})$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 \theta = (\frac{1 - \cos 2\theta}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta) = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2\theta + \frac{1 + \cos 4\theta}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta)$ મળે.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ માટે: $\sin^4 \frac{\pi}{8} = \frac{1}{8}(3 - 4\cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}$.
$\theta = \frac{3\pi}{8}$ માટે: $\sin^4 \frac{3\pi}{8} = \frac{1}{8}(3 - 4\cos \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0) = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}$.
આનો સરવાળો કરતા: $2(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}) = 2(\frac{6}{8}) = 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ ને તમામ $x \in R$ માટે વાસ્તવિક બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ay^2 + By + C = 0$ માટે વાસ્તવિક બીજ હોવાની શરત વિવેચક $D = B^2 - 4AC \geq 0$ છે.
અહીં,$A = f(x)$,$B = a$,અને $C = g(x)$ છે.
તેથી,$a^2 - 4f(x)g(x) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 \geq 4f(x)g(x)$.
ચોક્કસપણે,$f(x)g(x) = \sin x \cos x$ થાય છે.
તેથી,$a^2 \geq 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)$.
આ અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $a^2$ એ $2 \sin(2x)$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$2 \sin(2x)$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.
તેથી,$a^2 \geq 2$.
આમ,$|a| \geq \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{\cos x}{a} = \frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = \frac{\cos (x + 3\theta)}{d} = k$ (ધારો કે).
તેથી,$a = \frac{\cos x}{k}, b = \frac{\cos (x + \theta)}{k}, c = \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}, d = \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}$.
હવે,પદ $\frac{a + c}{b + d}$ ને ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{a + c}{b + d} = \frac{\frac{1}{k} [\cos x + \cos (x + 2\theta)]}{\frac{1}{k} [\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)]} = \frac{\cos x + \cos (x + 2\theta)}{\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)}$.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \left( \frac{C + D}{2} \right) \cos \left( \frac{C - D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos x + \cos (x + 2\theta) = 2 \cos \left( \frac{2x + 2\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\theta}{2} \right) = 2 \cos (x + \theta) \cos \theta$.
છેદ: $\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta) = 2 \cos \left( \frac{2x + 4\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\theta}{2} \right) = 2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta$.
તેથી,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{2 \cos (x + \theta) \cos \theta}{2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta} = \frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)} = \frac{b}{c}$.

(D) આપેલ છે કે,$\sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = a$. અહીં $\frac{4\pi}{9} = 80^{\circ}$ છે.
આપણે $\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે,જ્યાં $\frac{7\pi}{9} = 140^{\circ}$ છે.
આપણે $\cos \left( x + 140^{\circ} \right) = \cos \left( (x + 80^{\circ}) + 60^{\circ} \right)$ લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left( (x + 80^{\circ}) + 60^{\circ} \right) = \cos(x + 80^{\circ}) \cos 60^{\circ} - \sin(x + 80^{\circ}) \sin 60^{\circ}$.
શરત $\frac{\pi}{9} < x < \frac{\pi}{3}$ મુજબ,$20^{\circ} < x < 60^{\circ}$ થાય,તેથી $100^{\circ} < x + 80^{\circ} < 140^{\circ}$ મળે.
આ અંતરાલમાં $\cos(x + 80^{\circ})$ ઋણ હોય છે,તેથી $\cos(x + 80^{\circ}) = -\sqrt{1 - \sin^2(x + 80^{\circ})} = -\sqrt{1 - a^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos(x + 140^{\circ}) = (-\sqrt{1 - a^2}) \cdot \frac{1}{2} - a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{1 - a^2} - a\sqrt{3}}{2}$.