Trigonometry Questions in Gujarati

(C) આપેલ પદાવલિ: $S = \sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} + \sin^4 \frac{5\pi}{8} + \sin^4 \frac{7\pi}{8}$.
કારણ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,તેથી $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$ અને $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$.
આમ,$S = 2 \left( \sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} \right)$.
નિત્યસમ $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$.
તેથી,$\sin^4 \theta = \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - 2 \cos \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4} (1 - 2 \cos \frac{3\pi}{4} + \cos^2 \frac{3\pi}{4}) \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2}) + (1 - 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2}) \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \sqrt{2} + 0.5) + (1 + \sqrt{2} + 0.5) \right] = \frac{1}{2} [1.5 + 1.5] = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{7\pi }}{8}} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos \left( \pi - \frac{\pi }{8} \right) = -\cos \frac{\pi }{8}$ અને $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos \left( \pi - \frac{{3\pi }}{8} \right) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$,તેથી પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
નિત્યસમ $(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta) = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right) = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{3\pi }{8} - \frac{\pi }{8} \right) - \cos \left( \frac{3\pi }{8} + \frac{\pi }{8} \right) \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(A) આપેલ છે કે $3\tan A - 4 = 0$,તેથી $\tan A = \frac{4}{3}$.
કારણ કે $A$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\sin A$ અને $\cos A$ બંને ઋણ છે.
$\tan A = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને કાટકોણ ત્રિકોણ તરીકે દર્શાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થશે.
આમ,$\sin A = -\frac{4}{5}$ અને $\cos A = -\frac{3}{5}$ મળે.
હવે,આ કિંમતોને $5\sin 2A + 3\sin A + 4\cos A$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$5(2\sin A \cos A) + 3\sin A + 4\cos A$
$= 10\sin A \cos A + 3\sin A + 4\cos A$
$= 10\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + 3\left(-\frac{4}{5}\right) + 4\left(-\frac{3}{5}\right)$
$= 10\left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$
$= \frac{120}{25} - \frac{24}{5} = \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$ છે.
ધારો કે $A = 7.5^{\circ}$,તો $2A = 15^{\circ}$ થાય.
આ નિત્યસમમાં $A = 7.5^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\cot(7.5^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\cot(7.5^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$.
અહીં $\sqrt{4} = 2$ હોવાથી,આ પદ $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ બરાબર છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2A = (A + B) + (A - B).$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને મળે $\tan 2A = \tan((A + B) + (A - B)).$
સૂત્ર $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા,
અહીં $x = (A + B)$ અને $y = (A - B)$ લેતા,
$\tan 2A = \frac{\tan(A + B) + \tan(A - B)}{1 - \tan(A + B)\tan(A - B)}.$
આપેલ કિંમતો $\tan(A + B) = p$ અને $\tan(A - B) = q$ મૂકતા,
આપણને મળે $\tan 2A = \frac{p + q}{1 - pq}.$

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = 2\sin^2 \beta + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$.
નિત્યસમ $2\sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ અને $\cos 2(\alpha + \beta) = 2\cos^2(\alpha + \beta) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta + (2\cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2\cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta$
$E = 2\cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + 2\sin \alpha \sin \beta] - \cos 2\beta$
$2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2\cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] - \cos 2\beta$
$E = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = [\cos 2\alpha + \cos 2\beta] - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$.

(B) ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta$.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિને $f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$ મળે છે.
સાઇન વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે ખૂણો $90^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$\sin(\theta + 45^\circ) = 1$ નો અર્થ છે કે $\theta + 45^\circ = 90^\circ$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે,વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $(a - b)^2 \ge 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $a^2 + b^2 \ge 2ab$.
ધારો કે $a = \cos x$ અને $b = \sec x = \frac{1}{\cos x}$.
તેથી,$f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x = \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ભૌમિતિક મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે:
$\frac{\cos^2 x + \sec^2 x}{2} \ge \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x}$.
કારણ કે $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{f(x)}{2} \ge \sqrt{1} = 1$.
તેથી,$f(x) \ge 2$.

(A) ધારો કે $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
સૂત્ર $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan^2 x$,જ્યાં $t \ge 0$ અને $t \neq 3$ (કારણ કે $\tan 3x$ વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ).
તેથી $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે $y$ ના સંદર્ભમાં $t$ માટે ઉકેલીએ:
$y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies 3t - yt = 1 - 3y \implies t(3 - y) = 1 - 3y$.
$t = \frac{1 - 3y}{3 - y} = \frac{3y - 1}{y - 3}$.
કારણ કે $t = \tan^2 x \ge 0$,તેથી $\frac{3y - 1}{y - 3} \ge 0$.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિ $y \le 1/3$ અથવા $y \ge 3$ હોય ત્યારે $\ge 0$ થાય છે.
આમ,$y$ ક્યારેય $1/3$ અને $3$ ની વચ્ચે હોતું નથી.

(C) ધારો કે $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\cos \theta$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 + 2\cos \theta = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta) - 1$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta + \frac{1}{4}) - 1 - \frac{1}{2} = 2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$.
કારણ કે $-1 \le \cos \theta \le 1$,તેથી $(\cos \theta + \frac{1}{2})$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ છે.
આમ,$(\cos \theta + \frac{1}{2})^2$ નો વિસ્તાર $[0, \frac{9}{4}]$ છે.
તેથી,$2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$ નો વિસ્તાર $[2(0) - \frac{3}{2}, 2(\frac{9}{4}) - \frac{3}{2}] = [-\frac{3}{2}, \frac{9}{2} - \frac{3}{2}] = [-\frac{3}{2}, 3]$ છે.
આમ,આ પદાવલિ હંમેશા $-\frac{3}{2}$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી અને $3$ કરતા નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = \pi$ થાય છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right) = \cot \frac{C}{2}$ મળે.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$\cot \frac{C}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
તેથી,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$ હોવાથી,$\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,તેથી $A = \pi - (B + C)$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $\cos A = \cos B \cos C$ માં મૂકતા:
$\cos(\pi - (B + C)) = \cos B \cos C$
નિત્યસમ $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos(B + C) = \cos B \cos C$
$\cos(B + C)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$-(\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \cos B \cos C$
$-\cos B \cos C + \sin B \sin C = \cos B \cos C$
$\sin B \sin C = 2 \cos B \cos C$
બંને બાજુને $\cos B \cos C$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin B \sin C}{\cos B \cos C} = 2$
$\tan B \tan C = 2$.

(B) આપેલ સંબંધ $A + C = B$ છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને $\tan(A + C) = \tan B$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(A + C) = \frac{\tan A + \tan C}{1 - \tan A \tan C}$ નો ઉપયોગ કરતા,
આપણને $\frac{\tan A + \tan C}{1 - \tan A \tan C} = \tan B$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$\tan A + \tan C = \tan B(1 - \tan A \tan C)$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\tan A + \tan C = \tan B - \tan A \tan B \tan C$ મળે છે.
$\tan A \tan B \tan C$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,
આપણને $\tan A \tan B \tan C = \tan B - \tan A - \tan C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $u = \cos \theta \{\sin \theta + \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha\}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $u - \sin \theta \cos \theta = \cos \theta \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(u - \sin \theta \cos \theta)^2 = \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha)$.
$u^2 - 2u \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \alpha$.
$u^2 - 2u \sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta \sin^2 \alpha = 0$.
$\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\cos \theta \neq 0$):
$u^2 \sec^2 \theta - 2u \tan \theta - \sin^2 \alpha = 0$.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u^2 (1 + \tan^2 \theta) - 2u \tan \theta - \sin^2 \alpha = 0$.
$u^2 \tan^2 \theta - 2u \tan \theta + (u^2 - \sin^2 \alpha) = 0$.
કારણ કે $\tan \theta$ વાસ્તવિક છે,તેથી વિવેચક $D \ge 0$:
$(-2u)^2 - 4(u^2)(u^2 - \sin^2 \alpha) \ge 0$.
$4u^2 - 4u^4 + 4u^2 \sin^2 \alpha \ge 0$.
$4u^2$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $u \neq 0$):
$1 - u^2 + \sin^2 \alpha \ge 0$.
$u^2 \le 1 + \sin^2 \alpha$.
તેથી,$|u| \le \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.
આમ,$k = \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.

(B) આપેલ છે કે $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\cos x + \sin x)^2 = (\frac{1}{2})^2$.
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,$1 + \sin 2x = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 2x = -\frac{3}{4}$.
$\sin 2x < 0$ અને $0 < x < \pi$ હોવાથી,$x$ બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ,તેથી $\tan x < 0$.
નિત્યસમ $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$.
$8 \tan x = -3 - 3 \tan^2 x \Rightarrow 3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.
$\tan x < 0$ હોવાથી અને બંને કિંમતો ઋણ હોવાથી,આપણે શરત $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ ચકાસીએ.
$\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ માટે,$\cos x + \sin x$ ઋણ મળે છે,જે આપેલ શરત સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,$\tan x = \frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$.

(B) આપેલ છે: $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$
$\Rightarrow 2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણે $3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2\sin \alpha \sin \beta + 2\sin \beta \sin \gamma + 2\sin \gamma \sin \alpha) + (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta + 2\cos \beta \cos \gamma + 2\cos \gamma \cos \alpha) = 0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ અને $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. કારણ કે $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,માટે $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. કારણ કે $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,તેથી $-\frac{\pi}{4} \le \alpha - \beta \le \frac{\pi}{4}$,માટે $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan(\alpha - \beta)}{1 - \tan(\alpha + \beta)\tan(\alpha - \beta)}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} = \frac{14}{12} \times \frac{48}{33} = \frac{14 \times 4}{33} = \frac{56}{33}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને $A = \sin^2 x + (\cos^2 x)^2$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,ધારો કે $t = \cos^2 x$,જ્યાં $0 \le t \le 1$.
તેથી $A = (1 - t) + t^2 = t^2 - t + 1$.
આ $t$ માં એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે. પરવલય $f(t) = t^2 - t + 1$ નું શિરોબિંદુ $t = -b/(2a) = -(-1)/(2 \times 1) = 1/2$ પર મળે છે.
કારણ કે $1/2$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ છે.
મહત્તમ કિંમત અંતરાલ $[0, 1]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર મળે છે.
$t = 0$ માટે,$f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$.
$t = 1$ માટે,$f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $\frac{3}{4} \le A \le 1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A$ અને $\cot A$ ને $\sin A$ અને $\cos A$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A \cos A} \right]$
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A + \sin A \cos A}{\sin A \cos A}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(B) આપેલ છે કે $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$.
આપણે $f_4(x) - f_6(x)$ શોધવાનું છે.
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
હવે,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
$\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ હોવાથી,ધારો કે $\cos^2 x = t$:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$5 - 5t = 9t^2 + 7t$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
$t = \cos^2 x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t = \frac{1}{3}$.
હવે,$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
અંતે,$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = 2(\frac{1}{9}) - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-p$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $q$ છે.
આપેલ બીજ $\tan 30^\circ$ અને $\tan 15^\circ$ છે.
તેથી,$-p = \tan 30^\circ + \tan 15^\circ$ અને $q = \tan 30^\circ \cdot \tan 15^\circ$.
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^\circ = \frac{\tan 30^\circ + \tan 15^\circ}{1 - \tan 30^\circ \tan 15^\circ} = 1$.
$p$ અને $q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{-p}{1 - q} \Rightarrow 1 - q = -p \Rightarrow p - q = -1$.
આપણે $2 + q - p$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $p - q = -1$,તેથી $q - p = 1$.
તેથી,$2 + q - p = 2 + 1 = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ એક નિત્યસમ હોવાથી,તે $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવું જોઈએ.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2 + k) \sin x \cos x = 0$.
આ સમીકરણ નિત્યસમ બને તે માટે,$\sin x \cos x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$2 + k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = -2$.

(B) આપેલ છે કે $\tan (A - B) = 1$. કારણ કે $\tan(\pi/4) = 1$,તેથી $A - B = \frac{\pi}{4} + n\pi$. સૌથી નાની ધન કિંમત માટે,$A - B = \frac{\pi}{4}$ લો $(i)$.
આપેલ છે કે $\sec (A + B) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. કારણ કે $\sec(\pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}}$,તેથી $A + B = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
$B$ ની સૌથી નાની ધન કિંમત શોધવા માટે,આપણે $B = \frac{(A+B) - (A-B)}{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$A + B = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ અને $A - B = \frac{\pi}{4}$ લેતા:
$2B = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.
તેથી,$B = \frac{19\pi}{24}$.

(A) આપેલ છે: $\frac{{\sin^4 A}}{a} + \frac{{\cos^4 A}}{b} = \frac{1}{{a + b}}$
નિત્યસમ $\sin^2 A = \frac{{1 - \cos 2A}}{2}$ અને $\cos^2 A = \frac{{1 + \cos 2A}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{(1 - \cos 2A)^2}}{{4a}} + \frac{{(1 + \cos 2A)^2}}{{4b}} = \frac{1}{{a + b}}$
બંને બાજુ $4ab(a + b)$ વડે ગુણતા:
$b(a + b)(1 - 2\cos 2A + \cos^2 2A) + a(a + b)(1 + 2\cos 2A + \cos^2 2A) = 4ab$
પદોનું વિસ્તરણ અને ગોઠવણી કરતા:
$(a + b)^2 \cos^2 2A + 2(a + b)(a - b) \cos 2A + (a - b)^2 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે:
$((a + b) \cos 2A + (a - b))^2 = 0$
તેથી,$\cos 2A = \frac{{b - a}}{{a + b}}$.
હવે,$\frac{{\sin^8 A}}{{a^3}} + \frac{{\cos^8 A}}{{b^3}}$ ની કિંમત શોધતા:
$= \frac{{(1 - \cos 2A)^4}}{{16a^3}} + \frac{{(1 + \cos 2A)^4}}{{16b^3}}$
$\cos 2A = \frac{{b - a}}{{a + b}}$ મૂકતા:
$= \frac{1}{{16a^3}} \left( 1 - \frac{{b - a}}{{a + b}} \right)^4 + \frac{1}{{16b^3}} \left( 1 + \frac{{b - a}}{{a + b}} \right)^4$
$= \frac{1}{{16a^3}} \left( \frac{{2a}}{{a + b}} \right)^4 + \frac{1}{{16b^3}} \left( \frac{{2b}}{{a + b}} \right)^4$
$= \frac{{16a^4}}{{16a^3(a + b)^4}} + \frac{{16b^4}}{{16b^3(a + b)^4}} = \frac{a + b}{{(a + b)^4}} = \frac{1}{{(a + b)^3}}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$,તેથી $\sin^3 x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
${\sin ^3}x \sin 3x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x) \sin 3x$
$= \frac{3}{4} \sin x \sin 3x - \frac{1}{4} \sin^2 3x$
ગુણાકારને સરવાળામાં ફેરવવાના સૂત્રો $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3}{8}(2 \sin x \sin 3x) - \frac{1}{8}(2 \sin^2 3x)$
$= \frac{3}{8}(\cos 2x - \cos 4x) - \frac{1}{8}(1 - \cos 6x)$
$= -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos 2x - \frac{3}{8} \cos 4x + \frac{1}{8} \cos 6x$
આને $\sum_{m=0}^n c_m \cos mx = c_0 + c_1 \cos x + c_2 \cos 2x + \dots + c_n \cos nx$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સૌથી મોટું પદ $\cos 6x$ છે,જે સૂચવે છે કે $n = 6$.

(D) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી આપેલ છે:
$x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$
$y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$
$z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$
હવે,$xy$ ની ગણતરી કરીએ:
$xy = \frac{1}{\sin^2\phi} \cdot \frac{1}{\cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$
વિકલ્પ $(b)$ ચકાસો:
$xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$
$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$
આમ,$xyz = xy + z$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(c)$ ચકાસો:
$x + y + z = \frac{1}{\sin^2\phi} + \frac{1}{\cos^2\phi} + z = \frac{\cos^2\phi + \sin^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = xy + z = xyz$.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે ${f_n}(\theta ) = \tan \frac{\theta }{2} (1 + \sec \theta ) (1 + \sec 2\theta ) \dots (1 + \sec {2^n}\theta ).$
$1 + \sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2\cos^2(x/2)}{\cos x}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
${f_n}(\theta ) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \cdot \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \cdot \frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta} \dots \frac{2\cos^2(2^{n-1}\theta)}{\cos(2^n\theta)}.$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
${f_n}(\theta ) = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \tan \theta \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \tan 2\theta \cdot \frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta} \dots$
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n\theta)$ મળે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: ${f_2}(\pi/16) = \tan(2^2 \cdot \pi/16) = \tan(4\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1.$
વિકલ્પ $B$ માટે: ${f_3}(\pi/32) = \tan(2^3 \cdot \pi/32) = \tan(8\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1.$
વિકલ્પ $C$ માટે: ${f_4}(\pi/64) = \tan(2^4 \cdot \pi/64) = \tan(16\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1.$
આમ,ઉપરના તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $\sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} \right) \le 1$.
તેથી,$\frac{\sqrt{n}}{2} \le \sqrt{2} \implies \sqrt{n} \le 2\sqrt{2} \implies n \le 8$.
$n=4$ માટે,$\sin \frac{\pi}{16} + \cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{16}) = \sqrt{2} \sin(\frac{5\pi}{16}) \approx 1.175$,જ્યારે $\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$. આમ,$n > 4$ માટે સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી,$4 < n \le 8$.

(B) આપેલ છે કે $k = \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} \right)$
$k = \cos \frac{8\pi}{18} \cos \frac{4\pi}{18} \cos \frac{2\pi}{18} = \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9}$.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{9}$ છે:
$k = \frac{\sin \left( 8 \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}}$.
કારણ કે $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{9} \right) = \sin \frac{\pi}{9}$ હોવાથી:
$k = \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ અને $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = k$. આ સૌથી નાના ધન ખૂણાઓ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\beta = \pi - \alpha$,$\gamma = 2\pi + \alpha$,અને $\delta = 3\pi - \alpha$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \frac{\pi - \alpha}{2} + 2\sin \frac{2\pi + \alpha}{2} + \sin \frac{3\pi - \alpha}{2}$
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) + 2\sin \left( \pi + \frac{\alpha}{2} \right) + \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\cos \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}$
$E = 2\sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos \frac{\alpha}{2} = 2 \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)$
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનો વર્ગ કરતા:
$E = 2 \sqrt{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = 2 \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}$
$E = 2 \sqrt{1 + \sin \alpha} = 2 \sqrt{1 + k}$.

(D) ધારો કે $L = (\sec A + \tan A)(\sec B + \tan B)(\sec C + \tan C)$ અને $M = (\sec A - \tan A)(\sec B - \tan B)(\sec C - \tan C)$.
આપેલ છે કે $L = M$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.
$L$ અને $M$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે $LM = (\sec^2 A - \tan^2 A)(\sec^2 B - \tan^2 B)(\sec^2 C - \tan^2 C) = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
કારણ કે $L = M$,આપણે $LM = 1$ સમીકરણમાં $M$ ની જગ્યાએ $L$ મૂકી શકીએ,જે $L^2 = 1$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $L = 1$ અથવા $L = -1$.
કારણ કે $L = M$,બંને બાજુઓ $1$ અથવા $-1$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$ છે,જ્યાં $x = (1 - \cos \theta)$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ છે.
આ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $|x| < 1$ માટે $S = (1 - x)^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $x = 1 - \cos \theta$ મૂકતા:
$S = (1 - (1 - \cos \theta))^{-2} = (\cos \theta)^{-2} = \sec^2 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 + \tan^2 \theta$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$,તેથી $\tan^2 \theta = \frac{3}{2}$.
તેથી,$S = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

(A) આપેલ છે કે ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}$ એ $A.P.$ માં છે અને સામાન્ય તફાવત $\alpha$ છે,તેથી દરેક $k$ માટે ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ થાય.
આપણે $\sin \alpha = \sin({x_{k+1}} - {x_k})$ લખી શકીએ.
તેથી,પદાવલિ $\sum_{k=1}^{n-1} \sin \alpha \sec {x_k} \sec {x_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sin({x_{k+1}} - {x_k})}{\cos {x_k} \cos {x_{k+1}}}$ થશે.
નિત્યસમ $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=1}^{n-1} (\tan {x_{k+1}} - \tan {x_k})$ મળે છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $(\tan {x_2} - \tan {x_1}) + (\tan {x_3} - \tan {x_2}) + ... + (\tan {x_n} - \tan {x_{n-1}})$.
પદો ઉડી જતાં,આપણી પાસે $\tan {x_n} - \tan {x_1} = \frac{\sin({x_n} - {x_1})}{\cos {x_n} \cos {x_1}}$ બાકી રહે છે.
કારણ કે ${x_n} = {x_1} + (n-1)\alpha$,તેથી ${x_n} - {x_1} = (n-1)\alpha$.
તેથી,અંતિમ કિંમત $\frac{\sin(n - 1)\alpha}{\cos {x_1} \cos {x_n}}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$ અને $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = \frac{441 + 729}{4225}$
$1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225}$
$2 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = \frac{18}{65}$
$4\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{260} = \frac{9}{130}$
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \pm \frac{3}{\sqrt{130}}$
કારણ કે $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,તેથી $2$ વડે ભાગતા $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ મળે.
આ અંતરાલમાં કોસાઈન વિધેય ઋણ હોય છે.
તેથી,$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(C) ધારો કે $x \cos \theta = y \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
તેથી,$\frac{k}{x} = \cos \theta$,$\frac{k}{y} = \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)$,અને $\frac{k}{z} = \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{k}{x} + \frac{k}{y} + \frac{k}{z} = \cos \theta + \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)$.
સરવાળાના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{2\theta + 2\pi}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\pi/3}{2} \right) = 2 \cos (\theta + \pi) \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right)$.
કારણ કે $\cos (\theta + \pi) = -\cos \theta$ અને $\cos (-\pi/3) = 1/2$,તેથી સરવાળો:
$2(-\cos \theta)(1/2) = -\cos \theta$ થાય.
આમ,$\frac{k}{x} + \frac{k}{y} + \frac{k}{z} = \cos \theta - \cos \theta = 0$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ મળે.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $A_0 A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ એ $R = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,બાજુની લંબાઈ એ પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,$A_0 A_1 = 1$.
$A_0 A_2$ શોધવા માટે,ત્રિકોણ $A_0 A_1 A_2$ નો વિચાર કરો. નિયમિત ષટ્કોણનો અંતઃકોણ $120^\circ$ હોય છે.
$\triangle A_0 A_1 A_2$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
લંબાઈનો ગુણાકાર $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ: $3\left[ {{{\sin }^4}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) + {{\sin }^4}(3\pi + \alpha )} \right] - 2\left[ {{{\sin }^6}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + {{\sin }^6}(5\pi - \alpha )} \right]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 3\left[ {(-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4} \right] - 2\left[ {(\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6} \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
નિત્યસમ $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ અને $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3[(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha] - 2[(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^3 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)]$
કારણ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$= 3[1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha] - 2[1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha]$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(A) આપણને પદાવલિ $E = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ આપેલ છે.
જ્યારે $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ હોય,ત્યારે $\tan \alpha > 0$ થાય,અને $x^2 + x > 0$ માટે બંને પદો ધન છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ,કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$a + b \ge 2\sqrt{ab}$ થાય.
ધારો કે $a = \sqrt{x^2 + x}$ અને $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}.$
તેથી $a + b \ge 2 \sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}.$
$a + b \ge 2 \sqrt{\tan^2 \alpha}.$
કારણ કે $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે $\tan \alpha > 0$ છે,તેથી $a + b \ge 2 \tan \alpha$ મળે.
આમ,આ પદાવલિ હંમેશા $2 \tan \alpha$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય છે.

(A) આપેલ છે કે $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha_1} \cdot \frac{\cos \alpha_2}{\sin \alpha_2} \cdots \frac{\cos \alpha_n}{\sin \alpha_n} = 1$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$.
ધારો કે $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$.
તો $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$.
નિત્યસમ $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$.
દરેક $i$ માટે $\sin 2\alpha_i \le 1$ હોવાથી,$P^2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{2^n}$ છે.
તેથી,$P$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \sin^8 \theta + \cos^{14} \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક $\theta$ માટે $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ અને $0 \le \cos^2 \theta \le 1$ થાય છે.
તેથી,$\sin^8 \theta \le \sin^2 \theta$ અને $\cos^{14} \theta \le \cos^2 \theta$ મળે.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા:
$A = \sin^8 \theta + \cos^{14} \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
વળી,$\sin^8 \theta > 0$ અને $\cos^{14} \theta > 0$ હોવાથી (બંને એકસાથે શૂન્ય ન હોઈ શકે),$A > 0$ થાય.
તેથી,$0 < A \le 1$.

(B) $\theta$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$0^\circ < \theta < 90^\circ$ થાય.
લઘુકોણ માટે,$\sin\theta$ ની કિંમત $0 \le \sin\theta < 1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આપેલ પદ મૂકતા: $0 \le \frac{p - 6}{8 - p} < 1$.
પ્રથમ,$0 \le \frac{p - 6}{8 - p}$ ધ્યાનમાં લો. છેદ $8 - p$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $8 - p > 0$,જેનો અર્થ છે કે $p < 8$. અંશ માટે,$p - 6 \ge 0$,તેથી $p \ge 6$.
હવે,$\frac{p - 6}{8 - p} < 1$ ધ્યાનમાં લો. $8 - p > 0$ હોવાથી,અસમતા બદલાયા વગર બંને બાજુ $(8 - p)$ વડે ગુણતા: $p - 6 < 8 - p$.
બંને બાજુ $p$ ઉમેરતા: $2p - 6 < 8$.
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા: $2p < 14$.
$2$ વડે ભાગતા: $p < 7$.
આમ,$p \ge 6$ અને $p < 7$ ને જોડતા,આપણને $6 \le p < 7$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sum \frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot A + \cot B = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B \cos A + \cos B \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$.
તે જ રીતે,$\tan A + \tan B = \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B} = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} \times \frac{\cos A \cos B}{\sin(A+B)} = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} = \cot A \cot B$.
આમ,સરવાળો $\sum \cot A \cot B = \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A$ થાય.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે જ્યાં $A + B + C = \pi$ હોય,ત્યાં નિત્યસમ $\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$ સાચું છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$,એટલે કે $\tan \beta = \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$.
વળી,$\beta + \gamma = \alpha$ આપેલ છે,બંને બાજુ $\tan$ લેતા,$\tan(\beta + \gamma) = \tan \alpha$ મળે.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma} = \tan \alpha$ મળે.
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ મૂકતા,$\frac{\frac{1}{\tan \alpha} + \tan \gamma}{1 - \frac{1}{\tan \alpha} \tan \gamma} = \tan \alpha$ મળે.
અંશ અને છેદને $\tan \alpha$ વડે ગુણતા,$\frac{1 + \tan \alpha \tan \gamma}{\tan \alpha - \tan \gamma} = \tan \alpha$ મળે.
તેથી,$1 + \tan \alpha \tan \gamma = \tan^2 \alpha - \tan \alpha \tan \gamma$.
$1 + 2\tan \alpha \tan \gamma = \tan^2 \alpha$.
$\tan \alpha$ વડે ભાગતા,$\cot \alpha + 2\tan \gamma = \tan \alpha$ મળે.
$\cot \alpha = \tan \beta$ હોવાથી,$\tan \alpha = \tan \beta + 2\tan \gamma$ થાય.

(A) ધારો કે $E = a\sin^2 \theta + b\sin \theta \cos \theta + c\cos^2 \theta - \frac{1}{2}(a + c)$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = a\left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) + b\left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + c\left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) - \frac{1}{2}(a + c)$
$E = \frac{1}{2} [a - a\cos 2\theta + b\sin 2\theta + c + c\cos 2\theta - a - c]$
$E = \frac{1}{2} [b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A\sin x + B\cos x$ સ્વરૂપના કોઈપણ પદ માટે,તેનો વિસ્તાર $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ છે.
તેથી,$|b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta| \le \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
આમ,$|E| = \left| \frac{1}{2} [b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta] \right| \le \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
આપેલ અસમતા $|E| \le \frac{1}{2}k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 = b^2 + (a - c)^2$.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{4x^2 + 1}{64x^2 - 96x \sin \alpha + 5} < \frac{1}{32}$.
બંને બાજુ ગુણાકાર કરતા: $32(4x^2 + 1) < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$.
$128x^2 + 32 < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$.
$64x^2 + 96x \sin \alpha + 27 < 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ જેથી તે ઋણ કિંમતો ધારણ કરી શકે.
$D = (96 \sin \alpha)^2 - 4(64)(27) > 0$.
$9216 \sin^2 \alpha - 6912 > 0$.
$\sin^2 \alpha > \frac{6912}{9216} = \frac{3}{4}$.
$|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આથી $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\alpha \in (\pi/3, 2\pi/3)$.
$\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\alpha \in (4\pi/3, 5\pi/3)$.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$x + y = 3 - \cos 4\theta = 3 - (1 - 2 \sin^2 2\theta) = 2 + 2 \sin^2 2\theta$
$x - y = 4 \sin 2\theta$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2x = 2 + 2 \sin^2 2\theta + 4 \sin 2\theta = 2(1 + 2 \sin 2\theta + \sin^2 2\theta) = 2(1 + \sin 2\theta)^2$
$x = (1 + \sin 2\theta)^2 \implies \sqrt{x} = 1 + \sin 2\theta$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$2y = 2 + 2 \sin^2 2\theta - 4 \sin 2\theta = 2(1 - 2 \sin 2\theta + \sin^2 2\theta) = 2(1 - \sin 2\theta)^2$
$y = (1 - \sin 2\theta)^2 \implies \sqrt{y} = 1 - \sin 2\theta$
$\sqrt{x}$ અને $\sqrt{y}$ નો સરવાળો કરતા:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = (1 + \sin 2\theta) + (1 - \sin 2\theta) = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
$\tan B = \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \tan A \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\sin A(1 - n \cos^2 A) + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n \cos^2 A) - n \sin^2 A \cos A}$
$= \frac{\sin A - n \sin A \cos^2 A + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n(\cos^2 A + \sin^2 A))}$
$= \frac{\sin A}{\cos A(1 - n(1))}$
$= \frac{\sin A}{(1 - n) \cos A}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $(a^2 + 2a + 1) + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(a + 1)^2 + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ થાય છે.
નિત્યસમ $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને $(a + 1)^2 + 1 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,આપણને $(a + 1)^2 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ મળે છે.
કારણ કે બંને પદો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગ છે,તેમનો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થઈ શકે જો દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોય.
આમ,$(a + 1)^2 = 0 \Rightarrow a = -1$.
બીજા પદમાં $a = -1$ મૂકતા,આપણને $\cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(-1 + x) \right) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cot \left( \frac{\pi}{2}(x - 1) \right) = 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણક હોય,એટલે કે $\frac{\pi}{2}(x - 1) = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$x - 1 = 2n + 1 \Rightarrow x = 2n + 2 = 2(n + 1)$.
આમ,$\frac{x}{2} = n + 1$,જે એક પૂર્ણાંક $(I)$ છે.

(D) ધારો કે $x = \frac{\pi}{28}$. પદાવલિ $S = \cos(2x) \csc(3x) + \cos(6x) \csc(9x) + \cos(18x) \csc(27x)$ છે.
સામાન્ય પદ $T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x)}{\sin(3^k x)}$ લો,જ્યાં $k = 1, 2, 3$.
નિત્યસમ $\cos(A) \csc(B) = \frac{\cos A}{\sin B}$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદને $\sin(3^{k-1} x)$ વડે ગુણતા:
$T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x) \sin(3^{k-1} x)}{\sin(3^k x) \sin(3^{k-1} x)}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_k = \frac{1}{2} \frac{\sin(3^k x) - \sin(3^{k-1} x)}{\sin(3^k x) \sin(3^{k-1} x)} = \frac{1}{2} (\csc(3^{k-1} x) - \csc(3^k x))$.
$k=1, 2, 3$ માટે સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{2} [(\csc x - \csc 3x) + (\csc 3x - \csc 9x) + (\csc 9x - \csc 27x)]$.
$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc 27x)$.
અહીં $27x = 27\frac{\pi}{28} = \pi - \frac{\pi}{28} = \pi - x$ હોવાથી,$\csc(27x) = \csc(\pi - x) = \csc x$ થાય.
તેથી,$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc x) = 0$.