(8 sec^2 theta + 2 cos^2 theta) નું ન્યૂનતમ મ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(	heta) = 8 \sec^2 	heta + 2 \cos^2 	heta$.અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$

Vedclass · Accepted Answer

$10$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(	heta) = 8 \sec^2 	heta + 2 \cos^2 	heta$.અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$a + b$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2\sqrt{ab}$ છે.અહીં,$a = 8 \sec^2 	heta$ અને $b = 2 \cos^2 	heta$ છે.$f(	heta) \ge 2 \sqrt{(8 \sec^2 	heta) \cdot (2 \cos^2 	heta)}$.કારણ કે $\sec^2 	heta \cdot \cos^2 	heta = 1$,તેથી:$f(	heta) \ge 2 \sqrt{16 \cdot 1} = 2 \cdot 4 = 8$.જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે શું આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શક્ય છે. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $a = b$,એટલે કે $8 \sec^2 	heta = 2 \cos^2 	heta$.$4 \sec^2 	heta = \cos^2 	heta \implies 4 = \cos^4 	heta \implies \cos^2 	heta = 2$,જે અશક્ય છે કારણ કે $\cos^2 	heta \le 1$.તેથી,આપણે વિધેય $f(	heta) = 8(1 + 	an^2 	heta) + 2 \cos^2 	heta$ નું મૂલ્ય ચકાસીએ. $	an^2 	heta \ge 0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $	an 	heta = 0$ પર મળે છે,એટલે કે $	heta = 0^\circ$.$	heta = 0^\circ$ પર,$f(0) = 8 \sec^2(0) + 2 \cos^2(0) = 8(1) + 2(1) = 10$.

$(8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

જો $2\cos\theta + \sin\theta = 1$ હોય,તો $4\cos\theta + 3\sin\theta$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\frac{1}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos 10^\circ }} = $

ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$,$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$,$\sin \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ હોય,તો $\frac{4 \sin \alpha - 3 \tan \beta}{\tan \alpha + \sin \beta} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module