Trigonometry Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$ અને $\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \cos^{3}\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^{3}\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$
$= \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
કારણ કે $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$= \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot 1$
$= \frac{1}{2} \left( 2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(C) બિંદુઓ $P$,$R$,અને $Q$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PRQ$ બનાવે છે,જ્યાં $\angle PRQ = 90^\circ$ છે.
આપેલ છે કે $PR = 14\, km$ અને $QR = 16\, km$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ નું અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$PQ = \sqrt{PR^2 + QR^2}$
$PQ = \sqrt{14^2 + 16^2}$
$PQ = \sqrt{196 + 256}$
$PQ = \sqrt{452}$
$PQ \approx 21.26\, km$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $21.2\, km$ મળે છે.

(D) ધારો કે $PQ$ એ અધૂરા ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $R$ એ પાયા $Q$ થી $120\, m$ ના અંતરે જમીન પરનું બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $QR = 120\, m$ અને $\angle PRQ = 45^{\circ}$.
$\Delta PQR$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{QR} \implies 1 = \frac{PQ}{120} \implies PQ = 120\, m$.
ધારો કે ટાવરને $SP$ ઊંચાઈ સુધી વધારવામાં આવે છે જેથી નવો ઉત્સેધકોણ $\angle SRQ = 60^{\circ}$ થાય.
$\Delta SQR$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{SQ}{QR} = \frac{SP + PQ}{QR}$.
$\sqrt{3} = \frac{SP + 120}{120}$.
$SP + 120 = 120\sqrt{3}$.
$SP = 120(\sqrt{3} - 1) = 120(1.732 - 1) = 120 \times 0.732 = 87.84\, m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને જ્યારે ઉન્નતકોણ $45^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે.
$\triangle PQS$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x} \implies 1 = \frac{h}{x} \implies x = h$.
$\triangle PQR$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 60}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$.
$h + 60 = h\sqrt{3}$.
$60 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1)\, m$.

(B) ધારો કે $P$ એ વિમાનનું સ્થાન છે અને $S$ એ રસ્તા પરનું બિંદુ છે જે $P$ ની બરાબર નીચે છે. ધારો કે $PS = h$ એ વિમાનની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $Q$ અને $R$ એ રસ્તા પરના બે ક્રમિક માઈલસ્ટોન છે. તેઓ ક્રમિક હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $QR = 1$ માઈલ છે.
આપેલ છે કે અવસેધકોણ $30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ છે,તેથી માઈલસ્ટોનથી વિમાનના ઉત્સેધકોણ પણ અનુક્રમે $30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ થશે.
$\Delta PQS$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PS}{QS} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{QS} \Rightarrow QS = h\sqrt{3}$.
$\Delta PSR$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{PS}{SR} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{SR} \Rightarrow SR = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $QS + SR = QR = 1$ માઈલ,તેથી $h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 1$.
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $3h + h = \sqrt{3} \Rightarrow 4h = \sqrt{3} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{4}$ માઈલ.

(D) ધારો કે ખડક $PQ = 200\, m$ છે. ધારો કે બે જહાજો $R$ અને $S$ બિંદુઓ પર છે.
$\Delta PQS$ માં,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{QS} = 1$
$QS = PQ = 200\, m$.
$\Delta PQR$ માં,ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$QR = PQ \times \sqrt{3} = 200\sqrt{3}\, m$.
બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર $RS = QR - QS$ છે.
$RS = 200\sqrt{3} - 200 = 200(1.732 - 1) = 200(0.732) = 146.4\, m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $CB = 100 \, m$ છે. ધારો કે માણસ ટાવર તરફ $AD = x \, m$ અંતર ચાલે છે.
$\Delta DBC$ માં ($B$ આગળ કાટખૂણો):
$\tan 45^{\circ} = \frac{CB}{DB}$
$1 = \frac{100}{DB}$
$DB = 100 \, m$
$\Delta ABC$ માં ($B$ આગળ કાટખૂણો):
$\tan 30^{\circ} = \frac{CB}{AB} = \frac{CB}{AD + DB}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x + 100}$
$x + 100 = 100\sqrt{3}$
$x = 100(\sqrt{3} - 1)$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$x = 100(1.732 - 1) = 100(0.732) = 73.2 \, m$.
આમ,માણસ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $73.2 \, m$ છે.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AC = 100 \ m$ છે અને અવલોકન બિંદુ $B$ છે. ઉત્સેધકોણ $\angle ABC = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે ટાવરની ટોચ $(A)$ અને અવલોકન બિંદુ $(B)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું છે,જે કર્ણ $AB$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{1}{2} = \frac{100}{AB}$
$AB = 100 \times 2 = 200 \ m$.
તેથી,ટાવરની ટોચ અને અવલોકન બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $200 \ m$ છે.

(B) ધારો કે ટાવર $AB$ ની ઊંચાઈ $H$ છે અને $B$ એ ટાવરનો પાયો છે.
ધારો કે $C$ એ શરૂઆતનું સ્થાન છે અને $D$ એ ટાવર તરફ $100 \ m$ ચાલ્યા પછીનું સ્થાન છે.
તેથી,$CD = 100 \ m$.
$\Delta ABD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{DB} = \frac{H}{DB}$.
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી,$DB = \frac{H}{\sqrt{3}}$ ... $(1)$.
$\Delta ABC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{H}{CD + DB} = \frac{H}{100 + DB}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{100 + DB}$,જેનો અર્થ છે કે $100 + DB = H\sqrt{3}$,અથવા $DB = H\sqrt{3} - 100$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{H}{\sqrt{3}} = H\sqrt{3} - 100$.
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $H = 3H - 100\sqrt{3}$.
$2H = 100\sqrt{3}$,તેથી $H = 50\sqrt{3} \ m$.

(C) ધારો કે સીડી $AB$ છે,જ્યાં $AB = 16\,m$ એ સીડીની લંબાઈ છે.
ધારો કે $AC$ એ સીડીના નીચેના છેડા $(A)$ અને દીવાલ $(C)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,જમીન સાથેનો ખૂણો $\angle A = 60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{1}{2} = \frac{AC}{16}$
$AC = 16 \times \frac{1}{2} = 8\,m$.
તેથી,દીવાલ અને સીડીના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર $8\,m$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $60 \, m$ ઊંચાઈનો પ્રથમ ટાવર છે અને $CD$ એ $H \, m$ ઊંચાઈનો બીજો ટાવર છે. ધારો કે બંને ટાવર વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABD$ માં:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} = \frac{60}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{60}{d}$
$d = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3} \, m$.
હવે,ત્રિકોણ $\Delta ACE$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $E$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $CE \parallel DB$ થાય. તેથી $AE = AB - EB = AB - CD = 60 - H$.
$\Delta ACE$ માં,અવસેધકોણ $30^{\circ}$ છે,તેથી $\angle ACE = 30^{\circ}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{AE}{CE} = \frac{60 - H}{d}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60 - H}{20 \sqrt{3}}$
$60 - H = \frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$
$H = 60 - 20 = 40 \, m$.
આમ,બીજા ટાવરની ઊંચાઈ $40 \, m$ છે અને બંને ટાવર વચ્ચેનું અંતર $20 \sqrt{3} \, m$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1+\cos A}{1-\cos A} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(1+\cos A) + (1-\cos A)}{(1+\cos A) - (1-\cos A)} = \frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$
$\frac{2}{2\cos A} = \frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$
$\cos A = \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}$
હવે,$\sin^{2} A = 1 - \cos^{2} A = 1 - \left(\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}\right)^{2} = \frac{(m^{2}+n^{2})^{2} - (m^{2}-n^{2})^{2}}{(m^{2}+n^{2})^{2}} = \frac{4m^{2}n^{2}}{(m^{2}+n^{2})^{2}}$
તેથી,$\sin A = \pm \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}$.
અંતે,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \left(\pm \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}\right) / \left(\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}\right) = \pm \frac{2mn}{m^{2}-n^{2}}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $k = \sin 600^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 120^{\circ} \sin 150^{\circ}$.
પ્રથમ,ત્રિકોણમિતીય ખૂણાઓને સરળ બનાવો:
$\sin 600^{\circ} = \sin(360^{\circ} + 240^{\circ}) = \sin 240^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$.
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$k = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$.
$k = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$.
$k = -\frac{4}{4} = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$
$\sin \theta$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta$
$\sin \theta = (\sqrt{2} - 1) \cos \theta$
હવે,$\cos \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\cos \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{2} - 1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(\sqrt{2} + 1)$ વડે ગુણતા:
$\cos \theta = \frac{(\sqrt{2} + 1) \sin \theta}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$
$\cos \theta = \frac{(\sqrt{2} + 1) \sin \theta}{2 - 1}$
$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$\cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta$
છેલ્લે,$\cos \theta - \sin \theta$ ની કિંમત શોધતા:
$\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = \sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$E = \frac{1-\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} - \frac{1+\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} = \frac{1-\sin \alpha - (1+\sin \alpha)}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$.
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|}$.
$\alpha$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \alpha$ ઋણ છે,તેથી $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$.
આમ,$E = \frac{-2 \sin \alpha}{-\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$.

(A) આપેલ છે:
$p = \cot \theta + \cos \theta$
$q = \cot \theta - \cos \theta$
પગલું $1$: $p^2 - q^2$ ની ગણતરી કરો
$p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)$
$p + q = (\cot \theta + \cos \theta) + (\cot \theta - \cos \theta) = 2 \cot \theta$
$p - q = (\cot \theta + \cos \theta) - (\cot \theta - \cos \theta) = 2 \cos \theta$
$p^2 - q^2 = (2 \cot \theta)(2 \cos \theta) = 4 \cot \theta \cos \theta$
પગલું $2$: $(p^2 - q^2)^2$ ની ગણતરી કરો
$(p^2 - q^2)^2 = (4 \cot \theta \cos \theta)^2 = 16 \cot^2 \theta \cos^2 \theta$
પગલું $3$: $pq$ ને $\theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો
$pq = (\cot \theta + \cos \theta)(\cot \theta - \cos \theta) = \cot^2 \theta - \cos^2 \theta$
$pq = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} - \cos^2 \theta = \cos^2 \theta \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) = \cos^2 \theta \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) = \cot^2 \theta \cos^2 \theta$
પગલું $4$: $pq$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકો
$(p^2 - q^2)^2 = 16 (\cot^2 \theta \cos^2 \theta) = 16pq$

(B) આપેલ સમીકરણો $x = a \operatorname{cosec}^{n} \theta$ અને $y = b \cot^{n} \theta$ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\operatorname{cosec} \theta = \left(\frac{x}{a}\right)^{1/n}$ અને $\cot \theta = \left(\frac{y}{b}\right)^{1/n}$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$.
$\operatorname{cosec} \theta$ અને $\cot \theta$ ની કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{1/n}\right)^{2} - \left(\left(\frac{y}{b}\right)^{1/n}\right)^{2} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{x}{a}\right)^{2/n} - \left(\frac{y}{b}\right)^{2/n} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{p}{q}$.
પદાવલિ $\frac{p \sin \theta - q \cos \theta}{p \sin \theta + q \cos \theta}$ ના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \frac{p \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - q}{p \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + q}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{p}{q}$ મૂકતા:
$= \frac{p(\frac{p}{q}) - q}{p(\frac{p}{q}) + q} = \frac{\frac{p^2}{q} - q}{\frac{p^2}{q} + q}$
$= \frac{\frac{p^2 - q^2}{q}}{\frac{p^2 + q^2}{q}} = \frac{p^2 - q^2}{p^2 + q^2}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{3}{5}$. કારણ કે $\frac{\pi}{2} < A < \pi$,$A$ એ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\tan A$ ઋણ હોય છે.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ હોવાથી,$\cos A = -\frac{4}{5}$ મળે.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan B = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\pi < B < \frac{3\pi}{2}$,$B$ એ ત્રીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\sec B$ ઋણ હોય છે.
$\sec^2 B = 1 + \tan^2 B = 1 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ હોવાથી,$\sec B = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ મળે.
હવે,આ કિંમતોને $8 \tan A - \sqrt{5} \sec B$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 8(-\frac{3}{4}) - \sqrt{5}(-\frac{\sqrt{5}}{2})$
$= -6 + \frac{5}{2} = \frac{-12 + 5}{2} = -\frac{7}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1.$
આને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $\sec \theta - \tan \theta = \frac{a+1}{a-1}.$
તેથી,$\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{a-1}{a+1}.$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\sec \theta - \tan \theta) + (\sec \theta + \tan \theta) = \frac{a+1}{a-1} + \frac{a-1}{a+1}.$
$2 \sec \theta = \frac{(a+1)^{2} + (a-1)^{2}}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a^{2} + 2a + 1) + (a^{2} - 2a + 1)}{a^{2}-1} = \frac{2(a^{2}+1)}{a^{2}-1}.$
આમ,$\sec \theta = \frac{a^{2}+1}{a^{2}-1}.$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta},$ તેથી $\cos \theta = \frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $\tan 20^{\circ} = k.$
આપણે પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે: $\frac{\tan 250^{\circ} + \tan 340^{\circ}}{\tan 200^{\circ} - \tan 110^{\circ}}.$
દરેક પદને $20^{\circ}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$\tan 250^{\circ} = \tan(270^{\circ} - 20^{\circ}) = \cot 20^{\circ} = \frac{1}{k}.$
$\tan 340^{\circ} = \tan(360^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -k.$
$\tan 200^{\circ} = \tan(180^{\circ} + 20^{\circ}) = \tan 20^{\circ} = k.$
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -\frac{1}{k}.$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{k} - k}{k - (-\frac{1}{k})} = \frac{\frac{1-k^{2}}{k}}{\frac{k^{2}+1}{k}} = \frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.$

(A) ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટે રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 780^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 480^{\circ} = \sin(360^{\circ} + 120^{\circ}) = \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 780^{\circ} \sin 480^{\circ} + \cos 240^{\circ} \cos 300^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \cot \theta = 2$
કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી: $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$
$\tan \theta$ વડે ગુણતા: $\tan^2 \theta + 1 = 2 \tan \theta$
પદોને ગોઠવતા: $\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલી છે: $(\tan \theta - 1)^2 = 0$
તેથી,$\tan \theta = 1$
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
હવે,$\sin \theta$ ની કિંમત શોધતા: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{3}{4}$ અને $\theta$ પ્રથમ ચરણમાં છે.
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ મળે.
હવે,ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cot \theta$
$\sin (\pi-\theta) = \sin \theta$
$\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right) = -\cos \theta$
$\cot (2 \pi-\theta) = -\cot \theta$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cot \theta - \sin \theta}{-\cos \theta - (-\cot \theta)} = \frac{\cot \theta - \sin \theta}{\cot \theta - \cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{4}{3}, \sin \theta = \frac{3}{5}, \cos \theta = \frac{4}{5}$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\frac{4}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{4}{3} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{20-9}{15}}{\frac{20-12}{15}} = \frac{11}{15} \times \frac{15}{8} = \frac{11}{8}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan 160^{\circ} - \tan 110^{\circ}}{1 + \tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}}$
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\tan(160^{\circ} - 110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -\frac{1}{p}$
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -p$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{-\tan 20^{\circ} - (- \cot 20^{\circ})}{1 + (-\tan 20^{\circ})(-\cot 20^{\circ})}$
$= \frac{-\frac{1}{p} + p}{1 + 1} = \frac{\frac{p^{2} - 1}{p}}{2} = \frac{p^{2} - 1}{2p}$

(C) આપેલ છે કે $A$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ હોવાથી,$\sin A = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cot A = -\sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $B$ ત્રીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\sin B = -\frac{3}{5}$.
$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ હોવાથી,$\cos B = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \tan B + \sqrt{3} \tan A}{\cot^2 A + \cos B} = \frac{2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}})}{(-\sqrt{3})^2 + (-\frac{4}{5})}$
$= \frac{\frac{3}{2} - 1}{3 - \frac{4}{5}} = \frac{1/2}{11/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} = \frac{5}{22}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin 150^{\circ}-5 \cos 300^{\circ}+7 \tan 225^{\circ}}{\tan 135^{\circ}+3 \sin 210^{\circ}}$
ત્રિકોણમિતીય રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ}-30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ}-60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan 225^{\circ} = \tan(180^{\circ}+45^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$
$\tan 135^{\circ} = \tan(180^{\circ}-45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = -1$
$\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ}+30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{2} - 5(\frac{1}{2}) + 7(1)}{-1 + 3(-\frac{1}{2})}$
$= \frac{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 7}{-1 - \frac{3}{2}}$
$= \frac{-2 + 7}{-\frac{5}{2}} = \frac{5}{-\frac{5}{2}} = -2$

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$ છે.
આપણે પદાવલિને પૂર્ણવર્ગની રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2 \cos x \sec x$
કારણ કે $\cos x \cdot \sec x = 1$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2(1)$
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોય છે,એટલે કે $(\cos x - \sec x)^2 \geq 0$,તેથી:
$f(x) \geq 0 + 2$
$f(x) \geq 2$
આમ,વિધેયનું મૂલ્ય હંમેશા $2$ અથવા તેનાથી વધારે હોય છે.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$,જેને $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{p}$ મળે છે.
હવે,બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) = p + \frac{1}{p} \Rightarrow 2 \operatorname{cosec} \theta = \frac{p^{2} + 1}{p} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{p^{2} + 1}{2p}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) = p - \frac{1}{p} \Rightarrow 2 \cot \theta = \frac{p^{2} - 1}{p} \Rightarrow \cot \theta = \frac{p^{2} - 1}{2p}$.
અંતે,$\cos \theta = \frac{\cot \theta}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{(p^{2} - 1) / 2p}{(p^{2} + 1) / 2p} = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = -\frac{7}{25}$ અને $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$ મળે.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta = -\frac{24}{25}$ થાય.
તેથી $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$ અને $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{24}{7}$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{7 \cot \theta - 24 \tan \theta}{7 \cot \theta + 24 \tan \theta} = \frac{7(\frac{24}{7}) - 24(\frac{7}{24})}{7(\frac{24}{7}) + 24(\frac{7}{24})}$
$= \frac{24 - 7}{24 + 7} = \frac{17}{31}$.

(C) આપેલ છે: $m = \tan A + \sin A$ અને $n = \tan A - \sin A$.
પ્રથમ,$m^2 - n^2$ ની ગણતરી કરો:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = (2 \tan A)(2 \sin A) = 4 \tan A \sin A$.
ત્યારબાદ,$mn$ ની ગણતરી કરો:
$mn = (\tan A + \sin A)(\tan A - \sin A) = \tan^2 A - \sin^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - \sin^2 A = \sin^2 A \left( \frac{1 - \cos^2 A}{\cos^2 A} \right) = \sin^2 A \cdot \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A \sin^2 A$.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{(m^2 - n^2)^2}{mn}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{(4 \tan A \sin A)^2}{\tan^2 A \sin^2 A} = \frac{16 \tan^2 A \sin^2 A}{\tan^2 A \sin^2 A} = 16$.

(B) આપેલ છે કે $m = \operatorname{cosec} \theta - \sin \theta = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
આપેલ છે કે $n = \sec \theta - \cos \theta = \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$.
હવે,પદાવલિ $(m^2 n)^{2/3} + (m n^2)^{2/3}$ ધ્યાનમાં લો.
$m$ અને $n$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(m^2 n)^{2/3} = \left( \frac{\cos^4 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \right)^{2/3} = (\cos^3 \theta)^{2/3} = \cos^2 \theta$.
તે જ રીતે,$(m n^2)^{2/3} = \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin^4 \theta}{\cos^2 \theta} \right)^{2/3} = (\sin^3 \theta)^{2/3} = \sin^2 \theta$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ખૂણાઓની શ્રેણીમાં $90^{\circ}$ એક પદ તરીકે આવે છે,એટલે કે $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \ldots \cos 90^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે,તેથી $\cos 90^{\circ}$ સાથેનો કોઈપણ ગુણાકાર $0$ થશે.
તેથી,$\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ} = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોટિકોણના નિત્યસમ મુજબ: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$.
વળી,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
આપેલ પદાવલિ: $\sin 48^{\circ} \sec 42^{\circ} + \cos 48^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$.
$48^{\circ} = 90^{\circ} - 42^{\circ}$ મૂકતા:
$= \sin(90^{\circ} - 42^{\circ}) \sec 42^{\circ} + \cos(90^{\circ} - 42^{\circ}) \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
$= \cos 42^{\circ} \sec 42^{\circ} + \sin 42^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
$= \cos 42^{\circ} \cdot \frac{1}{\cos 42^{\circ}} + \sin 42^{\circ} \cdot \frac{1}{\sin 42^{\circ}}$
$= 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$.
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \cos ^{2} 5^{\circ}+\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}+\cdots+\cos ^{2} 90^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,તેથી $\cos^{2}(90^{\circ} - \theta) = \sin^{2} \theta$.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\cos ^{2} 5^{\circ}+\cos ^{2} 85^{\circ}) + (\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 80^{\circ}) + \cdots + (\cos ^{2} 40^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}) + \cos ^{2} 45^{\circ} + \cos ^{2} 90^{\circ}$.
દરેક જોડી $(\cos ^{2} \theta + \cos ^{2} (90^{\circ} - \theta)) = (\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta) = 1$ થાય છે.
અહીં આવી $8$ જોડીઓ છે (ખૂણા $5^{\circ}, 10^{\circ}, \dots, 40^{\circ}$ માટે).
તેથી,સરવાળો $(8 \times 1) + \cos ^{2} 45^{\circ} + \cos ^{2} 90^{\circ}$ થશે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^{2} 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$.
કુલ સરવાળો $= 8 + \frac{1}{2} + 0 = 8 \frac{1}{2}$ થાય.

(B) લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log (ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\log (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 88^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ})$
આપણે નિત્યસમ $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને પદોની જોડી બનાવી શકીએ છીએ:
$= \log [(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \ldots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}]$
કારણ કે $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,વગેરે:
$= \log [(1) \cdot (1) \cdot \ldots \cdot (1) \cdot \tan 45^{\circ}]$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$:
$= \log (1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1) = \log 1 = 0$

(A) આપેલ પદાવલિ $\theta = 1, 2, 3, \ldots, 179$ માટે $\log \sin \theta^{\circ}$ સ્વરૂપના પદોનો ગુણાકાર છે.
પદાવલિ આ મુજબ છે: $P = \log \sin 1^{\circ} \cdot \log \sin 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \log \sin 90^{\circ} \cdot \ldots \cdot \log \sin 179^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 90^{\circ} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$ ને અનુરૂપ પદ $\log \sin 90^{\circ} = \log 1$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log 1 = 0$ થાય છે,તેથી આખો ગુણાકાર શૂન્ય થઈ જશે કારણ કે એક અવયવ શૂન્ય છે.
આમ,$P = \log \sin 1^{\circ} \cdot \log \sin 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot (0) \cdot \ldots \cdot \log \sin 179^{\circ} = 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 155^{\circ} + \cos 204^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ અને $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos(180^{\circ} - 25^{\circ}) + \cos(180^{\circ} + 24^{\circ})$
$= \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} - \cos 25^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
$= \cos 55^{\circ} - \cos 25^{\circ}$
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પદાવલિનું મૂલ્ય $0$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos 24^{\circ} + \cos 5^{\circ} + \cos 300^{\circ} + \cos 175^{\circ} + \cos 204^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
$\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \cos 24^{\circ} + \cos 5^{\circ} + \frac{1}{2} - \cos 5^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
સમાન પદો ઉડી જતાં:
$= \frac{1}{2}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$\sin^{2} \theta$ એ $0 \leq \sin^{2} \theta \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $\sin^{2} \theta = \frac{(x+y)^{2}}{4xy}$,તેથી $\frac{(x+y)^{2}}{4xy} \leq 1$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $(x+y)^{2} \geq 0$,પદ વ્યાખ્યાયિત અને ધન હોવા માટે $xy > 0$ હોવું જરૂરી છે (એટલે કે $x$ અને $y$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ).
જો $xy > 0$ હોય,તો $(x+y)^{2} \leq 4xy$.
$(x+y)^{2} - 4xy \leq 0$.
$(x-y)^{2} \leq 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $(x-y)^{2} \leq 0$ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $(x-y)^{2} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
જો $x = y$ હોય,તો $\sin^{2} \theta = \frac{(2x)^{2}}{4x^{2}} = \frac{4x^{2}}{4x^{2}} = 1$,જે $\sin^{2} \theta$ માટે માન્ય કિંમત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $7 \sin ^{2} \theta+3 \cos ^{2} \theta=4$
આખા સમીકરણને $\cos ^{2} \theta$ વડે ભાગતા:
$7 \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} + 3 \frac{\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} = \frac{4}{\cos ^{2} \theta}$
નિત્યસમ $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4 \sec ^{2} \theta$
$\sec ^{2} \theta = 1 + \tan ^{2} \theta$ મૂકતા:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4(1 + \tan ^{2} \theta)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4 + 4 \tan ^{2} \theta$
$\tan ^{2} \theta$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$7 \tan ^{2} \theta - 4 \tan ^{2} \theta = 4 - 3$
$3 \tan ^{2} \theta = 1$
$\tan ^{2} \theta = \frac{1}{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) આપેલ છે: $\sin \alpha = m \sin \beta \implies m = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \implies m^2 - 1 = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\sin^2 \beta}$.
તે જ રીતે,$\tan \alpha = n \tan \beta \implies n = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} \implies n^2 - 1 = \frac{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}{\tan^2 \beta}$.
હવે,$n^2 - 1 = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}}{\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \sin^2 \alpha) \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}$.
$= \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}$.
તેથી,$\frac{m^2 - 1}{n^2 - 1} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta} = \cos^2 \alpha$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan^2 A = \sec^2 A - 1$ જાણીએ છીએ.
$\sec A$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\tan^2 A = \left(a + \frac{1}{4a}\right)^2 - 1$
$= a^2 + 2(a)\left(\frac{1}{4a}\right) + \left(\frac{1}{4a}\right)^2 - 1$
$= a^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16a^2} - 1$
$= a^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16a^2} = \left(a - \frac{1}{4a}\right)^2$
તેથી,$\tan A = \pm \left(a - \frac{1}{4a}\right)$.
કિસ્સો $1$: $\tan A = a - \frac{1}{4a}$
$\sec A + \tan A = \left(a + \frac{1}{4a}\right) + \left(a - \frac{1}{4a}\right) = 2a$.
કિસ્સો $2$: $\tan A = -\left(a - \frac{1}{4a}\right) = -a + \frac{1}{4a}$
$\sec A + \tan A = \left(a + \frac{1}{4a}\right) + \left(-a + \frac{1}{4a}\right) = \frac{2}{4a} = \frac{1}{2a}$.
આમ,કિંમત $2a$ અથવા $\frac{1}{2a}$ છે.

(C) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$ અને $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\cos ^{3} A-\sin ^{3} A}{\cos A-\sin A}$
$= \frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A + \cos^2 A - \sin A \cos A)}{\sin A + \cos A} + \frac{(\cos A - \sin A)(\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)}{\cos A - \sin A}$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A - \sin A \cos A) + (\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)$
કારણ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,તેથી:
$= (1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A)$
$= 1 - \sin A \cos A + 1 + \sin A \cos A$
$= 2$

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \tan 60^{\circ} + \cdots + \tan 180^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(180^{\circ} - \theta) = -\tan \theta$.
વળી,$\tan 180^{\circ} = 0$ થાય.
શ્રેણીને આ રીતે લખી શકાય: $\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \tan 60^{\circ} + \tan 80^{\circ} + \tan 100^{\circ} + \tan 120^{\circ} + \tan 140^{\circ} + \tan 160^{\circ} + \tan 180^{\circ}$.
પદોની જોડી બનાવતા: $\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ}$.
$\tan 140^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 40^{\circ}) = -\tan 40^{\circ}$.
$\tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ}$.
$\tan 100^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 80^{\circ}) = -\tan 80^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $S = (\tan 20^{\circ} - \tan 20^{\circ}) + (\tan 40^{\circ} - \tan 40^{\circ}) + (\tan 60^{\circ} - \tan 60^{\circ}) + (\tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}) + 0$.
$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં નથી અને $\cos \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં $(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ હોવું જોઈએ.
બીજા ચરણમાં,$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ અને $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં $(180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ})$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં,$\tan \alpha = \frac{3}{4}$ અને $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $\frac{2 \tan \alpha + \sqrt{3} \tan \theta}{\cot^2 \theta + \cos \alpha}$ માં મૂકતા:
અંશ $= 2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
છેદ $= (-\sqrt{3})^2 + (-\frac{4}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15-4}{5} = \frac{11}{5}$.
પરિણામ $= \frac{1/2}{11/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} = \frac{5}{22}$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ અને $\cos(360^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ} + \cos 204^{\circ} + \cos 300^{\circ}$.
$1$. $\cos 125^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 55^{\circ}) = -\cos 55^{\circ}$.
$2$. $\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$.
$3$. $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} - \cos 55^{\circ} - \cos 24^{\circ} + \frac{1}{2}$.
$E = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta + 1}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{(\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta) + (\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
$= \frac{(\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
અંશમાંથી $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{-(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
$= \frac{(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) [(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) - 1]}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
અંશ અને છેદમાં $(\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1)$ સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે:
$= \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta$

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ જ્યાં $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ (બીજું ચરણ).
બીજા ચરણમાં $\sin \alpha$ ધન અને $\cos \alpha$ ઋણ હોવાથી,$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $\sin \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ જ્યાં $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$ (ત્રીજું ચરણ).
ત્રીજા ચરણમાં $\sin \beta$ ઋણ અને $\cos \beta$ ઋણ હોવાથી,$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4 \sin \alpha - 3 \tan \beta}{\tan \alpha + \sin \beta} = \frac{4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3(\sqrt{3})}{-\sqrt{3} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}$.