8 cos^2 x + 18 sec^2 x ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \

Vedclass · Accepted Answer

$26$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે સમાનતા શક્ય છે કે નહીં. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ થાય.$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$. કારણ કે $\cos^4 x$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકે નહીં,તેથી આ સમાનતા શક્ય નથી.હવે,વિધેય $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $t = \cos^2 x$. તો $y = 8t + \frac{18}{t}$,જ્યાં $t \in (0, 1]$.$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ નું વિકલન $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ થાય. $f'(t) = 0$ લેતા $t^2 = 2.25$,એટલે કે $t = 1.5$,જે પ્રદેશ $(0, 1]$ ની બહાર છે.$t \in (0, 1]$ માટે $f'(t) તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 1$) પર મળશે.$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$.

$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં તે વ્યાખ્યાયિત છે,તે શોધો:

Similar Questions

જો $\alpha$ એ $25\cos^2\theta + 5\cos\theta - 12 = 0$ નું બીજ હોય અને $\pi/2 < \alpha < \pi$ હોય,તો $\sin 2\alpha$ ની કિંમત શોધો.

દરેક $\theta \in R$ માટે $(7 \cos\theta + 24 \sin\theta) \times (7 \sin\theta - 24 \cos\theta)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.

જો $x = \sec \theta + \tan \theta$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} = $

$2 \sin ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

જો $(1+\tan ^{2} \theta)=\frac{625}{49}$ અને $\theta$ લઘુકોણ હોય,તો $\sqrt{\sin \theta+\cos \theta}$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module