Trigonometry Questions in Gujarati

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^\circ$ અને $B + D = 180^\circ$ થાય.
$A + C = 180^\circ$ પરથી,આપણને $A = 180^\circ - C$ મળે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$,જેનો અર્થ છે કે $\cos A + \cos C = 0$.
તે જ રીતે,$B + D = 180^\circ$ પરથી,આપણને $B = 180^\circ - D$ મળે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$,જેનો અર્થ છે કે $\cos B + \cos D = 0$.
હવે,પદાવલિ $\cos A - \cos B + \cos C - \cos D$ ને ધ્યાનમાં લો.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(\cos A + \cos C) - (\cos B + \cos D)$ મળે.
ઉપર મેળવેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને $0 - 0 = 0$ મળે છે.

(B) ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^\circ$ થાય છે.
આપણે $\sin A + \sin B + \sin C$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
અહીં $A+B = 180^\circ - C$ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$ થાય.
તેથી,$\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2} \right)$
$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$ હોવાથી:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right)$
$\cos(x-y) + \cos(x+y) = 2\cos x \cos y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( 2\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \right) = 4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}.$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A + B + C = 180^\circ$ થાય.
પદ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ ધ્યાનમાં લો.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin X + \sin Y = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\cos(\frac{X-Y}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin(A+B)\cos(A-B)$.
અહીં $A+B = 180^\circ - C$ હોવાથી,$\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$ થાય.
તેથી,$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin C \cos(A-B)$.
હવે,$\sin 2C = 2\sin C \cos C$.
અહીં $C = 180^\circ - (A+B)$ હોવાથી,$\cos C = \cos(180^\circ - (A+B)) = -\cos(A+B)$ થાય.
તેથી,$\sin 2C = -2\sin C \cos(A+B)$.
આ કિંમતોને મૂળ પદમાં મૂકતા:
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin C \cos(A+B)$
$= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\sin C [2\sin A \sin B] = 4\sin A \sin B \sin C$.

(B) આપેલ છે: $x + y + z = 180^o \implies x + y = 180^o - z$.
પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z$.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x + \cos 2y = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$.
નિત્યસમ $\cos 2z = 2\cos^2 z - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
પદાવલિ $= 2\cos(x+y)\cos(x-y) - (2\cos^2 z - 1)$.
કારણ કે $x+y = 180^o - z$,તેથી $\cos(x+y) = \cos(180^o - z) = -\cos z$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2(-\cos z)\cos(x-y) - 2\cos^2 z + 1$
$= 1 - 2\cos z [\cos(x-y) + \cos z]$.
કારણ કે $z = 180^o - (x+y)$,તેથી $\cos z = \cos(180^o - (x+y)) = -\cos(x+y)$.
$= 1 - 2\cos z [\cos(x-y) - \cos(x+y)]$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2\cos z [2\sin x \sin y]$
$= 1 - 4\sin x \sin y \cos z$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને $\tan \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} \right) = \tan \pi = 0$ મળે છે.
સૂત્ર $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} \tan \frac{\alpha}{2})} = 0$.
અંશ $0$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} = 0$.
તેથી,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,તેથી $A + B = \pi - C$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A + B) \cos(A - B)$.
વળી,$\cos 2C = 2 \cos^2 C - 1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$L.H.S. = 2 \cos(A + B) \cos(A - B) + 2 \cos^2 C - 1$.
કારણ કે $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = - \cos C$,તેથી:
$L.H.S. = 2(-\cos C) \cos(A - B) + 2 \cos^2 C - 1$.
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [\cos(A - B) - \cos C]$.
કારણ કે $\cos C = - \cos(A + B)$,તેથી:
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$.
$\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [2 \cos A \cos B] = - 1 - 4 \cos A \cos B \cos C$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^\circ.$
અંશ $(N^r)$ = $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C = 32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}.$
છેદ $(D^r)$ = $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.$
તેથી,$\frac{N^r}{D^r} = \frac{32\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}{4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} = 8\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}.$

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A + B + C = \pi$,તેથી $C = \pi - (A + B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
સાબિતી:
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે નિત્યસમ $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2\cos A \cos B \cos C = (2 + 2\cos A \cos B \cos C) - 2\cos A \cos B \cos C = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ સાચું છે.
આપેલ છે કે $\tan A + \tan B + \tan C = 6$ અને $\tan A \tan B = 2$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા: $6 = 2 \times \tan C$.
તેથી,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$.
હવે,$\tan A + \tan B = 6 - \tan C = 6 - 3 = 3$.
આપણને $\tan A \tan B = 2$ આપેલ છે.
ધારો કે $\tan A$ અને $\tan B$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\tan A + \tan B)x + \tan A \tan B = 0$ ના બીજ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
આમ,બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ મળે છે.
તેથી,${\tan A, \tan B, \tan C}$ ની કિંમતોનો સમૂહ ${1, 2, 3}$ છે.
આ $(a)$ અને $(b)$ બંને વિકલ્પોને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે $x = \tan \frac{A}{2}$,$y = \tan \frac{B}{2}$,અને $z = \tan \frac{C}{2}$.
કારણ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
$\tan(X+Y+Z)$ માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જો $X+Y+Z = \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $xy + yz + zx = 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે બૈજિક અસમતા $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) \ge 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$ મળે.
$xy + yz + zx = 1$ કિંમત મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$ મળે છે.
આમ,$\tan^2 \frac{A}{2} + \tan^2 \frac{B}{2} + \tan^2 \frac{C}{2} \ge 1$ થાય.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,જ્યાં $A + B + C = 180^o$ હોય,ત્યારે ટેન્જન્ટના સરવાળા માટેનું નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ છે.
બંને બાજુને $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = 1$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sin 2A + \sin 2B - \sin 2C$
સૂત્ર $\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin(A+B) \cos(A-B) - \sin 2C$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $A+B = \pi - C$,એટલે કે $\sin(A+B) = \sin C$ અને $\cos(A+B) = -\cos C$.
$= 2 \sin C \cos(A-B) - 2 \sin C \cos C$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos C]$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
સૂત્ર $\cos(X-Y) + \cos(X+Y) = 2 \cos X \cos Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin C [2 \cos A \cos B]$
$= 4 \cos A \cos B \sin C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A+B+C = 180^\circ$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{1 - \cos A}{2} + \frac{1 - \cos B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \frac{1}{2}(\cos A + \cos B) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) + \sin^2 \frac{C}{2}$
કારણ કે $\cos(\frac{A+B}{2}) = \sin \frac{C}{2}$,તેથી:
$= 1 - \sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A-B}{2}) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [\cos(\frac{A-B}{2}) - \sin \frac{C}{2}]$
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [\cos(\frac{A-B}{2}) - \cos(\frac{A+B}{2})]$
$\cos X - \cos Y = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\sin(\frac{Y-X}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [2\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$
$= 1 - 2\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(D) આપેલ છે: $\cos A = \cos B \cos C$ અને $A + B + C = \pi$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$B + C = \pi - A$.
બંને બાજુ કોસાઇન (cosine) લેતા,$\cos(B + C) = \cos(\pi - A)$.
નિત્યસમ $\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ અને $\cos(\pi - A) = -\cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos A$.
આપેલ કિંમત $\cos A = \cos B \cos C$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -(\cos B \cos C)$.
પદોને ગોઠવતા:
$2 \cos B \cos C = \sin B \sin C$.
બંને બાજુ $2 \sin B \sin C$ વડે ભાગતા:
$\frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cot B \cot C = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^o.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot B + \cot C = \frac{\sin C \cos B + \sin B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B + C)}{\sin B \sin C}.$
કારણ કે $B + C = 180^o - A,$ તેથી $\sin(B + C) = \sin(180^o - A) = \sin A.$
આમ,$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}.$
તે જ રીતે,$\cot C + \cot A = \frac{\sin B}{\sin C \sin A}$ અને $\cot A + \cot B = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}.$
આ ત્રણેય પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$(\cot B + \cot C)(\cot C + \cot A)(\cot A + \cot B) = \left( \frac{\sin A}{\sin B \sin C} \right) \left( \frac{\sin B}{\sin C \sin A} \right) \left( \frac{\sin C}{\sin A \sin B} \right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C} = \csc A \csc B \csc C.$

(A) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^o$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^o$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ $\cot$ લેતા: $\cot(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot(90^o - \frac{C}{2})$.
$\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1) \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} - \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 270^o.$
શરતનું પાલન કરવા માટે ધારો કે $A = B = C = 90^o$ છે.
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4\sin A \sin B \sin C$
$= \cos 180^o + \cos 180^o + \cos 180^o + 4\sin 90^o \sin 90^o \sin 90^o$
$= (-1) + (-1) + (-1) + 4(1)(1)(1)$
$= -3 + 4 = 1.$

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^\circ$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^\circ$.
આમ,$\frac{A}{2} = 90^\circ - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \frac{A}{2} = \tan(90^\circ - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})) = \cot(\frac{B}{2} + \frac{C}{2})$.
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2})}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} \tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = 1$.
ટેન્જન્ટના સરવાળાના સૂત્રનો વિસ્તાર કરતા: $\tan \frac{A}{2} \left( \frac{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} \right) = 1$.
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,તેથી $A + B = \pi - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
ચૂક્યું કે $C$ એ ગુરુકોણ છે $(90^\circ < C < 180^\circ)$,તેથી $\tan C < 0$,જેનો અર્થ છે કે $-\tan C > 0$.
તેથી,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} > 0$.
ચૂક્યું કે $A, B, C > 0$ અને $A + B + C = \pi$,તેથી $A$ અને $B$ લઘુકોણ હોવા જોઈએ,એટલે કે $\tan A > 0$ અને $\tan B > 0$,જે $(\tan A + \tan B) > 0$ બનાવે છે.
અપૂર્ણાંક ધન હોવા માટે,છેદ પણ ધન હોવો જોઈએ: $1 - \tan A \tan B > 0$.
આમ,$\tan A \tan B < 1$.

(A) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
કારણ કે $A, B, C$ લઘુકોણ છે,તેથી $\tan A, \tan B, \tan C > 0$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$.
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ મૂકતા:
$\frac{\tan A \tan B \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$.
ધારો કે $X = \tan A \tan B \tan C$. તો $\frac{X}{3} \ge X^{1/3} \Rightarrow X^{2/3} \ge 3 \Rightarrow X \ge 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$.
કારણ કે $K = \cot A \cot B \cot C = \frac{1}{\tan A \tan B \tan C} = \frac{1}{X}$,તેથી $K = \frac{1}{X} \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે કે $A + B + C = \frac{3\pi}{2}$.
આપણે $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\cos X + \cos Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A + \cos 2B = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$.
કારણ કે $A+B = \frac{3\pi}{2} - C$,તેથી $\cos(A+B) = \cos(\frac{3\pi}{2} - C) = -\sin C$.
તેથી,$\cos 2A + \cos 2B = -2\sin C \cos(A-B)$.
હવે,$\cos 2C = 1 - 2\sin^2 C$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$-2\sin C \cos(A-B) + 1 - 2\sin^2 C = 1 - 2\sin C(\cos(A-B) + \sin C)$.
કારણ કે $\sin C = \sin(\frac{3\pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$,
$= 1 - 2\sin C(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 1 - 2\sin C(2\sin A \sin B) = 1 - 4\sin A \sin B \sin C$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x$ છે.
આપણે તેને $a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 1$ છે.
વિધેય $f(x) = a \sin x + b \cos x$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{2}$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
$x$-અક્ષથી મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય શોધવું પડે,જે $a \sin x + b \cos x$ પદાવલિનો કંપવિસ્તાર (amplitude) છે.
કંપવિસ્તાર $\sqrt{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
મહત્તમ અંતર $= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$x$-અક્ષથી બિંદુનું મહત્તમ અંતર $2$ છે.

(C) આ વિધેય $f(x) = a\sin x + b\cos x$ સ્વરૂપમાં છે.
આ વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) તારની લંબાઈ એ $10\,cm$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળાકાર તારના પરિઘ જેટલી છે.
તારની લંબાઈ $(l)$ = $\pi \times d_1 = 10\pi\,cm$.
આ તારને $1\,m = 100\,cm$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર મૂકવામાં આવે છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ = $\frac{d_2}{2} = \frac{100}{2} = 50\,cm$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $l$ લંબાઈના ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $(\theta)$ = $\frac{l}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\theta = \frac{10\pi}{50} = \frac{\pi}{5}\,\text{રેડિયન}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ + \sin^2 90^\circ$ છે.
આ શ્રેણીમાં કુલ $18$ પદો છે ($5^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી $5^\circ$ ના તફાવતે).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\sin^2 5^\circ + \sin^2 85^\circ) + (\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ) + \dots + (\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$.
અહીં આવી $8$ જોડીઓ છે,જેનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$S = 8(1) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$.
$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ થાય.
$\sin 90^\circ = 1$ હોવાથી,$\sin^2 90^\circ = 1$ થાય.
તેથી,$S = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{\csc^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
નિત્યસમ $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{1 + \cot^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
$= \sqrt{(1 + \cot \alpha)^2}$
$= |1 + \cot \alpha|$
આપેલ અંતરાલ $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$ માટે,$\cot \alpha$ ની કિંમત $(-\infty, -1)$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,$\cot \alpha < -1$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \cot \alpha < 0$.
માનાંકની અંદરની કિંમત ઋણ હોવાથી,$|1 + \cot \alpha| = -(1 + \cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$m = a \cos^3 \alpha + 3a \cos \alpha \sin^2 \alpha$
$n = a \sin^3 \alpha + 3a \cos^2 \alpha \sin \alpha$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$m + n = a(\cos^3 \alpha + 3 \cos^2 \alpha \sin \alpha + 3 \cos \alpha \sin^2 \alpha + \sin^3 \alpha)$
$m + n = a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$m - n = a(\cos^3 \alpha - 3 \cos^2 \alpha \sin \alpha + 3 \cos \alpha \sin^2 \alpha - \sin^3 \alpha)$
$m - n = a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3$
હવે,$(m + n)^{2/3} + (m - n)^{2/3}$ ની ગણતરી કરતા:
$= [a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3]^{2/3} + [a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3]^{2/3}$
$= a^{2/3} [(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2]$
$= a^{2/3} [(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha)]$
$= a^{2/3} [1 + 1] = 2a^{2/3}$.

(C) આપેલ છે: $\cos(\theta - \alpha) = a$ અને $\sin(\theta - \beta) = b$.
ધારો કે $x = \theta - \alpha$ અને $y = \theta - \beta$. તેથી $\cos x = a$ અને $\sin y = b$.
અહીં $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha$,તેથી $\alpha - \beta = y - x$.
આપણે $\cos^2(\alpha - \beta) + 2ab\sin(\alpha - \beta) = \cos^2(y - x) + 2ab\sin(y - x)$ શોધવાનું છે.
$\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x = \cos y \cdot a + b \cdot \sin x$.
$\sin x = \sqrt{1 - a^2}$ અને $\cos y = \sqrt{1 - b^2}$ હોવાથી,$\cos(y - x) = a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2}$.
$\sin(y - x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x = ba - \sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^2(y - x) + 2ab\sin(y - x) = (a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2})^2 + 2ab(ab - \sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2})$
$= a^2(1 - b^2) + b^2(1 - a^2) + 2ab\sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2} + 2a^2b^2 - 2ab\sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2}$
$= a^2 - a^2b^2 + b^2 - a^2b^2 + 2a^2b^2 = a^2 + b^2$.

(B) આપેલ છે કે $\sin A = n \sin B,$ તેથી $\frac{n}{1} = \frac{\sin A}{\sin B}.$
યોગ-વિયોગના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}.$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ અને $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A - B}{2}.$
બંને બાજુ $\tan \frac{A + B}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $\frac{n - 1}{n + 1} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2} \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2}.$

(B) આપેલ છે કે $x + \frac{1}{x} = 2\cos \theta$.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$a = x$ અને $b = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
${x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x \cdot \frac{1}{x}} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$
$= {(2\cos \theta )^3} - 3(1)(2\cos \theta )$
$= 8\cos^3 \theta - 6\cos \theta$
$= 2(4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 2\cos 3\theta$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \csc x = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\csc x = \frac{1}{\sin x}$,તેથી સમીકરણ $\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$ થશે.
બંને બાજુ $\sin x$ વડે ગુણતા,$\sin^2 x + 1 = 2 \sin x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0$ થાય.
આ એક પૂર્ણ વર્ગ પદાવલિ છે: $(\sin x - 1)^2 = 0$.
તેથી,$\sin x = 1$.
જ્યારે $\sin x = 1$ હોય,ત્યારે $\csc x = \frac{1}{1} = 1$ થાય.
હવે,$\sin^n x + \csc^n x$ માં આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $1^n + 1^n = 1 + 1 = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.
અંશ અને છેદને $\cos \alpha$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\tan \theta = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1} = \tan(\alpha - 45^\circ)$.
તેથી,$\theta = \alpha - 45^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \theta + 45^\circ$.
હવે,$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 90^\circ) = \sqrt{2} \cos \theta$.
તે જ રીતે,$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt{2} \sin(\alpha - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin \theta$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha + K \sin^2 2\alpha = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.
ધારો કે $a = \cos^2 \alpha$ અને $b = \sin^2 \alpha$. તેથી $a + b = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
તેથી,$\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = (\cos^2 \alpha)^3 + (\sin^2 \alpha)^3 = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^3 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.
$= 1^3 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha (1) = 1 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K \sin^2 2\alpha = 1$.
$-3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 0$.
$-3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 0$.
$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\sin \alpha \cos \alpha \neq 0$):
$-3 + 4K = 0$.
$4K = 3$,જે આપણને $K = \frac{3}{4}$ આપે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $E = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ$.
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$E = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ)$.
$\theta = 20^\circ$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 20^\circ \sin(60^\circ - 20^\circ) \sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ$.
કારણ કે $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
હવે આ કિંમત $E$ માં મૂકતા:
$E = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$.

(D) ધારો કે $P = \sin \frac{\pi }{14} \sin \frac{3\pi }{14} \sin \frac{5\pi }{14} \sin \frac{7\pi }{14} \sin \frac{9\pi }{14} \sin \frac{11\pi }{14} \sin \frac{13\pi }{14}$.
ગુણધર્મ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{13\pi }{14} = \sin \frac{\pi }{14}$,$\sin \frac{11\pi }{14} = \sin \frac{3\pi }{14}$,અને $\sin \frac{9\pi }{14} = \sin \frac{5\pi }{14}$.
વળી,$\sin \frac{7\pi }{14} = \sin \frac{\pi }{2} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે:
$P = \left( \sin \frac{\pi }{14} \sin \frac{3\pi }{14} \sin \frac{5\pi }{14} \right)^2 \times 1$.
$\sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} = \frac{1}{8}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{1}{8} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$.
છેલ્લા પદ માટે આ લાગુ પાડતા: $8\cot 8\alpha = 4(2\cot 8\alpha) = 4(\cot 4\alpha - \tan 4\alpha)$.
આને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 4(\cot 4\alpha - \tan 4\alpha)$
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$
હવે,$4\cot 4\alpha = 2(2\cot 4\alpha) = 2(\cot 2\alpha - \tan 2\alpha)$ માટે ફરીથી નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 2(\cot 2\alpha - \tan 2\alpha)$
$= \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$
અંતે,$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ માટે નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha)$
$= \cot \alpha$.

(C) $\sqrt{3} \csc 20^\circ - \sec 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}$
$= \frac{2 (\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ}$
$= \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = 4$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ મળે.
નિત્યસમ $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = -2 \sin \frac{58^\circ + 66^\circ}{2} \sin \frac{58^\circ - 66^\circ}{2} = -2 \sin 62^\circ \sin(-4^\circ) = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ મળે.
કારણ કે $\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થાય:
$2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$.
કારણ કે $\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$,તેથી:
$2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ) = 2 \cos 28^\circ [2 \cos \frac{28^\circ + 86^\circ}{2} \cos \frac{86^\circ - 28^\circ}{2}]$
$= 4 \cos 28^\circ \cos 57^\circ \cos 29^\circ$.
કારણ કે $\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$,અંતિમ પરિણામ $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $x = \sin 130^\circ \cos 80^\circ$ અને $y = \sin 80^\circ \cos 130^\circ$.
નિત્યસમ $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ અને $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \sin(180^\circ - 50^\circ) \cos 80^\circ = \sin 50^\circ \cos 80^\circ$. $50^\circ$ અને $80^\circ$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 50^\circ > 0$ અને $\cos 80^\circ > 0$,તેથી $x > 0$.
$y = \sin 80^\circ \cos(180^\circ - 50^\circ) = \sin 80^\circ (-\cos 50^\circ)$. $\sin 80^\circ > 0$ અને $\cos 50^\circ > 0$ હોવાથી,$y < 0$.
હવે,$xy = (\sin 130^\circ \cos 80^\circ)(\sin 80^\circ \cos 130^\circ) = (\sin 130^\circ \cos 130^\circ)(\sin 80^\circ \cos 80^\circ)$.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$xy = (\frac{1}{2} \sin 260^\circ)(\frac{1}{2} \sin 160^\circ) = \frac{1}{4} \sin(270^\circ - 10^\circ) \sin(180^\circ - 20^\circ) = \frac{1}{4} (-\cos 10^\circ)(\sin 20^\circ)$.
$\cos 10^\circ > 0$ અને $\sin 20^\circ > 0$ હોવાથી,$xy < 0$.
$xy$ એ નાની ઋણ કિંમત હોવાથી,$z = 1 + xy$ નો અર્થ છે કે $0 < z < 1$.

(A) આપણી પાસે $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)$ છે.
$\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ નું વિસ્તરણ વાપરતા: $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \sin \alpha(1 - \cos \beta \cos \gamma) + \sin \beta(1 - \cos \alpha \cos \gamma) + \sin \gamma(1 - \cos \alpha \cos \beta) + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
અહીં $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\cos \beta \cos \gamma < 1$,$\cos \alpha \cos \gamma < 1$,અને $\cos \alpha \cos \beta < 1$ થાય.
આથી,દરેક પદ ધન છે,તેથી $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) > 0$.
તેથી,$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \sin(\alpha + \beta + \gamma)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\sin(\alpha + \beta + \gamma)}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma} < 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = c$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$.
બંને બાજુ $(1 + \tan^2 \theta)$ વડે ગુણતા:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$.
પદોને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$a - a \tan^2 \theta + 2b \tan \theta = c + c \tan^2 \theta$.
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$.
અહીં $\alpha$ અને $\beta$ એ $\theta$ ના ઉકેલો હોવાથી,$\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $-B/A$ થાય છે:
$\tan \alpha + \tan \beta = - \frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$.

(B) આપેલ પદો $y = a \cos^2 x + 2b \sin x \cos x + c \sin^2 x$ અને $z = a \sin^2 x - 2b \sin x \cos x + c \cos^2 x$ છે.
$y$ અને $z$ નો સરવાળો કરતા:
$y + z = a(\cos^2 x + \sin^2 x) + c(\sin^2 x + \cos^2 x) = a(1) + c(1) = a + c$.
આમ,$y + z = a + c$ એ સાચો સંબંધ છે.
$y$ માંથી $z$ બાદ કરતા:
$y - z = a(\cos^2 x - \sin^2 x) + 4b \sin x \cos x - c(\cos^2 x - \sin^2 x) = (a - c) \cos 2x + 2b \sin 2x$.
$\tan x = \frac{2b}{a - c}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ અને $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ મૂકીએ.
$y - z = (a - c) \left( \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \right) + 2b \left( \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \right) = \frac{(a - c)(1 - \tan^2 x) + 4b \tan x}{1 + \tan^2 x}$.
$\tan x = \frac{2b}{a - c}$ મૂકતા:
$y - z = \frac{(a - c)(1 - \frac{4b^2}{(a - c)^2}) + 4b(\frac{2b}{a - c})}{1 + \frac{4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{(a - c) - \frac{4b^2}{a - c} + \frac{8b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{(a - c) + \frac{4b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = a - c$.

(B) આપેલ છે કે,$\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\sin \theta} = \frac{p + q}{p - q}$.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(p + q) + (p - q)}{(p + q) - (p - q)} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ અને $1 - \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2$.
તેથી,$\left( \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{\theta}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\left( \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \frac{\pi}{4}$ અને $B = \frac{\theta}{2}$:
$\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{p}{q}$.
વ્યસ્ત લેતા:
$\cot^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{q}{p}$.
તેથી,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(B) આપેલ છે: $a \sin^2 x + b \cos^2 x = c$
$\cos^2 x$ વડે ભાગતા: $a \tan^2 x + b = c \sec^2 x = c(1 + \tan^2 x)$
$a \tan^2 x + b = c + c \tan^2 x \Rightarrow (a - c) \tan^2 x = c - b \Rightarrow \tan^2 x = \frac{b - c}{a - c} = \frac{b - c}{c - a}$
આપેલ છે: $b \sin^2 y + a \cos^2 y = d$
$\cos^2 y$ વડે ભાગતા: $b \tan^2 y + a = d \sec^2 y = d(1 + \tan^2 y)$
$b \tan^2 y + a = d + d \tan^2 y \Rightarrow (b - d) \tan^2 y = d - a \Rightarrow \tan^2 y = \frac{d - a}{b - d} = \frac{a - d}{d - b}$
આપેલ છે: $a \tan x = b \tan y \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\tan^2 x}{\tan^2 y} = \frac{b^2}{a^2}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{b^2}{a^2} = \frac{(b - c)/(c - a)}{(a - d)/(d - b)} = \frac{(b - c)(d - b)}{(c - a)(a - d)}$
તેથી,$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(c - a)(a - d)}{(b - c)(d - b)}$.

(C) સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $\left( \frac{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
બીજું પદ: $\left( \frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = (-\cot \left( \frac{A-B}{2} \right))^n$
કુલ પદાવલિ = $\cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right) + (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
જો $n$ બેકી હોય,તો $(-1)^n = 1$,તેથી પરિણામ $2 \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$ મળે.
જો $n$ એકી હોય,તો $(-1)^n = -1$,તેથી પરિણામ $0$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha = 1/\sqrt{5}$,તેથી $\cos \alpha = \sqrt{1 - (1/\sqrt{5})^2} = 2/\sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $\sin \beta = 3/5$,તેથી $\cos \beta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$.
સૂત્ર $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\beta - \alpha) = (3/5)(2/\sqrt{5}) - (4/5)(1/\sqrt{5}) = 6/(5\sqrt{5}) - 4/(5\sqrt{5}) = 2/(5\sqrt{5})$.
કારણ કે $5\sqrt{5} \approx 11.18$,તેથી $\sin(\beta - \alpha) \approx 2/11.18 \approx 0.1789$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(0) = 0$ અને $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2} \approx 0.7071$.
કારણ કે $0 < 0.1789 < 0.7071$,તેથી $0 < \beta - \alpha < \pi/4$.
આમ,$\beta - \alpha$ એ $[0, \pi/4]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \sec 2\alpha = \tan \beta + \cot \beta$ છે.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan \beta + \cot \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{1}{\sin \beta \cos \beta}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $2 \sec 2\alpha = \frac{2}{\sin 2\beta}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos 2\alpha = \sin 2\beta$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos 2\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta)$ મળે છે.
તેથી,$2\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\beta$,જેનું સાદું રૂપ $2\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\frac{x}{\cos \theta} = \frac{y}{\cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right)} = \frac{z}{\cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)} = k.$
તેથી,$x = k \cos \theta, y = k \cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right),$ અને $z = k \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right).$
હવે,$x + y + z = k \left[ \cos \theta + \cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) \right].$
સૂત્ર $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x + y + z = k \left[ \cos \theta + 2 \cos \theta \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right].$
કારણ કે $\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2},$
$x + y + z = k \left[ \cos \theta + 2 \cos \theta \left( -\frac{1}{2} \right) \right] = k [\cos \theta - \cos \theta] = k(0) = 0.$
તેથી,$x + y + z = 0.$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 6\theta = 2 \sin 3\theta \cos 3\theta$ થાય.
ત્રિ-ગુણિત નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ અને $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 6\theta = 2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)(4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
$= 2(12\sin \theta \cos^3 \theta - 9\sin \theta \cos \theta - 16\sin^3 \theta \cos^3 \theta + 12\sin^3 \theta \cos \theta)$
$= 24\sin \theta \cos^3 \theta - 18\sin \theta \cos \theta - 32\sin^3 \theta \cos^3 \theta + 24\sin^3 \theta \cos \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને $32\cos^5 \theta \sin \theta - 32\cos^3 \theta \sin \theta + 3x$ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ.
વિસ્તરણ અને ગોઠવણી પછી,આપણને $\sin 6\theta = 32\cos^5 \theta \sin \theta - 32\cos^3 \theta \sin \theta + 3\sin 2\theta$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \sin 2\theta$ મળે છે.