Trigonometry Questions in Hindi

(C) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $l$ लंबाई के चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{l}{r}$ होता है,जहाँ $\theta$ रेडियन में होता है।
यहाँ दिया गया है,त्रिज्या $(r) = 3 \text{ m}$ और चाप की लंबाई $(l) = 1 \text{ m}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\theta = \frac{1}{3} \text{ रेडियन}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) वृत्ताकार तार की परिधि ही तार की लंबाई है।
दी गई त्रिज्या $r_1 = 7\,cm$ है।
तार की लंबाई $L = 2\pi r_1 = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi\,cm$ है।
अब इस तार को $r_2 = 12\,cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के चाप के रूप में मोड़ा जाता है।
चाप की लंबाई $s = L = 14\pi\,cm$ है।
केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{s}{r_2}$ (रेडियन में) है।
$\theta = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ रेडियन।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^o}{\pi}$ से गुणा करें।
$\theta = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180^o}{\pi} = 7 \times 30^o = 210^o$।

(B) चाप की लंबाई $(l)$,त्रिज्या $(r)$ और केंद्र पर बने कोण $( heta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $l = r \theta$.
दिया गया है:
चाप की लंबाई $(l)$ = $15 \ cm$
कोण $( heta)$ = $3/4 \ \text{रेडियन}$
सूत्र में मान रखने पर:
$15 = r \times (3/4)$
$r = 15 \times (4/3)$
$r = 5 \times 4$
$r = 20 \ cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $20 \ cm$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\cos \theta = x + \frac{1}{x}$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 - x \cos \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक मान है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$,$0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (-\cos \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$.
$\cos^2 \theta - 4 \ge 0 \Rightarrow \cos^2 \theta \ge 4$.
हालाँकि,$\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos^2 \theta$ का मान $[0, 1]$ के परिसर में होना चाहिए।
चूंकि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए $\cos^2 \theta \ge 4$ असंभव है,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$\theta$ का कोई मान संभव नहीं है।

(B) हमें समीकरण $(a + b)^2 = 4ab \sin^2 \theta$ दिया गया है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin^2 \theta$ का मान $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,हमारे पास $\sin^2 \theta = \frac{(a + b)^2}{4ab} \le 1$ है।
इसका अर्थ है कि $(a + b)^2 \le 4ab$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(a + b)^2 - 4ab \le 0$ प्राप्त होता है।
वर्ग का विस्तार करने पर,हमें $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \le 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a^2 - 2ab + b^2 \le 0$ हो जाता है।
यह $(a - b)^2 \le 0$ के बराबर है।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए केवल एक ही संभावना है कि $(a - b)^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $a = b$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक कोण $\theta$ के लिए,$\cos^2 \theta \le 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 \theta \ge 1$ होगा।
दिए गए समीकरण $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ के लिए,हमारे पास $\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ होना चाहिए।
चूंकि $(x + y)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए दोनों पक्षों को $(x + y)^2$ से गुणा करने पर हमें $4xy \ge (x + y)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(x - y)^2 \le 0$ हो जाता है।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए केवल एक ही संभावना है कि $(x - y)^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = y$।

(A) फलन $f(x) = \tan x$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $1 \text{ रेडियन} \approx 57.3^\circ$ और $2 \text{ रेडियन} \approx 114.6^\circ$ है,हम देखते हैं कि $1 \text{ रेडियन}$ प्रथम चतुर्थांश $(0, \pi/2)$ में स्थित है जहाँ $\tan x$ धनात्मक और वर्धमान है।
जबकि $2 \text{ रेडियन}$ द्वितीय चतुर्थांश $(\pi/2, \pi)$ में स्थित है जहाँ $\tan x$ ऋणात्मक है।
चूंकि कोई भी धनात्मक मान किसी भी ऋणात्मक मान से बड़ा होता है,इसलिए $\tan 1 > \tan 2$ सही है।

(B) सही संबंध $\sin 1 > \sin 1^\circ $ है।
त्रिकोणमिति में,$1$ रेडियन का मान लगभग $57.3^\circ$ होता है।
चूंकि फलन $f(x) = \sin x$ अंतराल $[0, \pi/2]$ में एक वर्धमान फलन है,और $57.3^\circ > 1^\circ$ है,इसलिए $\sin(57.3^\circ) > \sin(1^\circ)$ होगा।
अतः,$\sin 1 > \sin 1^\circ$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ होता है।
इसलिए,$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$ है।
इसी प्रकार,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,और इसी तरह आगे।
व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \dots (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ$।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,प्रत्येक युग्म $(\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta)) = 1$ होता है।
ऐसे कुल $44$ युग्म हैं,और $\tan 45^\circ = 1$ है।
अतः,गुणनफल $1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ है।

(D) दिया गया है,$\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$.
चूंकि $\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,समीकरण $\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$ हो जाता है।
$\sin \theta$ से गुणा करने पर,$\sin^2 \theta + 1 = 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(\sin \theta - 1)^2 = 0$ है।
अतः,$\sin \theta = 1$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\sin^{10} \theta + \text{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + \left(\frac{1}{1}\right)^{10} = 1 + 1 = 2$.

(C) दिया गया है कि $\sin \theta + \csc \theta = 2$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \csc \theta)^2 = 2^2$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2 \sin \theta \csc \theta = 4$
चूँकि $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,इसलिए $\sin \theta \csc \theta = 1$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2(1) = 4$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2 = 4$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta = 4 - 2 = 2$.

(C) दिया गया है कि $\sin \theta + \cos \theta = m$ और $\sec \theta + \csc \theta = n$ है।
हमें $n(m + 1)(m - 1)$ का मान ज्ञात करना है,जो $n(m^2 - 1)$ के बराबर है।
सबसे पहले,पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $m^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$m^2 - 1 = 2 \sin \theta \cos \theta$ है।
अब,$n = \sec \theta + \csc \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{m}{\sin \theta \cos \theta}$ रखने पर।
इसलिए,$n(m^2 - 1) = \left( \frac{m}{\sin \theta \cos \theta} \right) (2 \sin \theta \cos \theta) = 2m$।

(A) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$
सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होती है:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin \theta \cos \theta = 0$

(C) दिया गया है $\sin \theta = \frac{24}{25}$।
चूँकि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\cos \theta$ और $\tan \theta$ ऋणात्मक होंगे।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$।
चूँकि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$।
साथ ही,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{25}{7}$।
इसलिए,$\sec \theta + \tan \theta = -\frac{25}{7} + (-\frac{24}{7}) = -\frac{49}{7} = -7$।

(C) हमें दिया गया है कि $\csc A + \cot A = \frac{11}{2}$।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\csc^2 A - \cot^2 A = 1$ होती है,जिसे $(\csc A - \cot A)(\csc A + \cot A) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $(\csc A - \cot A) \times \frac{11}{2} = 1$।
अतः,$\csc A - \cot A = \frac{2}{11}$।
अब,दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\csc A + \cot A) - (\csc A - \cot A) = \frac{11}{2} - \frac{2}{11}$।
$2 \cot A = \frac{121 - 4}{22} = \frac{117}{22}$।
$\cot A = \frac{117}{44}$।
चूंकि $\tan A = \frac{1}{\cot A}$,इसलिए $\tan A = \frac{44}{117}$।

(C) दिया गया है $5 \tan \theta = 4$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{4}{5}$.
व्यंजक $\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से विभाजित करें:
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{3 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta - 3}{5 \tan \theta + 2}$
अब $\tan \theta = \frac{4}{5}$ का मान रखने पर:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{5(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{4 + 2}$
$= \frac{1}{6}$.

(C) दिया गया है कि $\sin \theta = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = 1$ है।
$1$. $\sin \theta$ का मान ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ तृतीय या चतुर्थ चतुर्थांश में होना चाहिए।
$2$. $\tan \theta$ का मान धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ प्रथम या तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
$3$. दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए,$\theta$ को तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए,जहाँ $\sin \theta$ ऋणात्मक होता है और $\tan \theta$ धनात्मक होता है।
अतः,$\theta$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

(B) दिया गया है कि $\sin \theta = -\frac{4}{5}$ और $\theta$ तीसरे चतुर्थांश $(180^\circ < \theta < 270^\circ)$ में स्थित है।
तीसरे चतुर्थांश में $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
हमें $\cos \frac{\theta}{2}$ ज्ञात करना है। अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$.
चूंकि $180^\circ < \theta < 270^\circ$,$2$ से भाग देने पर $90^\circ < \frac{\theta}{2} < 135^\circ$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{\theta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ कोसाइन ऋणात्मक होता है।
अतः,$\cos \frac{\theta}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-3/5)}{2}} = -\sqrt{\frac{2/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) दिया गया है,$\sin (\alpha - \beta ) = \frac{1}{2}$। चूँकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha - \beta = 30^\circ$ $(i)$।
साथ ही,$\cos (\alpha + \beta ) = \frac{1}{2}$। चूँकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha + \beta = 60^\circ$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(\alpha - \beta ) + (\alpha + \beta ) = 30^\circ + 60^\circ$
$2\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ$।
समीकरण $(ii)$ में $\alpha = 45^\circ$ रखने पर:
$45^\circ + \beta = 60^\circ \Rightarrow \beta = 15^\circ$।
अतः,$\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 15^\circ$ दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $(m + 2)\sin \theta + (2m - 1)\cos \theta = 2m + 1$.
$\cos \theta$ से भाग देने पर (मान लीजिए $\cos \theta \neq 0$): $(m + 2)\tan \theta + (2m - 1) = (2m + 1)\sec \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $((m + 2)\tan \theta + (2m - 1))^2 = (2m + 1)^2 \sec^2 \theta$.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करते हुए और $t = \tan \theta$ रखने पर:
$(m + 2)^2 t^2 + 2(m + 2)(2m - 1)t + (2m - 1)^2 = (2m + 1)^2 (1 + t^2)$.
विस्तार और सरलीकरण करने पर:
$(m^2 + 4m + 4)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t + (4m^2 - 4m + 1) = (4m^2 + 4m + 1)(1 + t^2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(-3m^2 + 3)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t - 8m = 0$.
$3(1 - m^2)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t - 8m = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3t - 4)((1 - m^2)t + 2m) = 0$.
अतः,$t = \frac{4}{3}$ या $t = \frac{2m}{m^2 - 1}$.

(D) दिया गया है $3\tan A + 4 = 0$,जिससे $\tan A = -\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sin A$ धनात्मक और $\cos A$ ऋणात्मक होता है।
सर्वसमिका $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ का उपयोग करने पर,$\sec^2 A = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec A = -\frac{5}{3}$ (क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में $\cos A$ ऋणात्मक होता है),जिसका अर्थ है $\cos A = -\frac{3}{5}$।
साथ ही,$\sin A = \tan A \times \cos A = (-\frac{4}{3}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$।
अंत में,$\cot A = \frac{1}{\tan A} = -\frac{3}{4}$।
इन मानों को $2\cot A - 5\cos A + \sin A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(-\frac{3}{4}) - 5(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5}$
$= -\frac{3}{2} + 3 + \frac{4}{5}$
$= \frac{-15 + 30 + 8}{10} = \frac{23}{10}$।

(B) दिया गया है: $\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin x + 3\cos x = 3\cos y - \sin y$ ... $(i)$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{10}} \sin x + \frac{3}{\sqrt{10}} \cos x = \frac{3}{\sqrt{10}} \cos y - \frac{1}{\sqrt{10}} \sin y$
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ और $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$,तो $\tan \alpha = 3$ होगा।
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha = \cos y \sin \alpha - \sin y \cos \alpha$
$\sin(x + \alpha) = \sin(\alpha - y)$
इसका अर्थ है $x + \alpha = n\pi + (-1)^n(\alpha - y)$।
$n=0$ के लिए,$x + \alpha = \alpha - y \Rightarrow x = -y$।
अब $x = -y$ को $\frac{\sin 3x}{\sin 3y}$ में रखने पर:
$\frac{\sin 3(-y)}{\sin 3y} = \frac{-\sin 3y}{\sin 3y} = -1$।

(A) दिया गया है कि $\sin A, \cos A, \tan A$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$G.P.$ के लिए शर्त $(\cos A)^2 = \sin A \cdot \tan A$ है।
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 A = \sin A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\cos A$ से गुणा करने पर,हमें $\cos^3 A = \sin^2 A$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ होती है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\cos^3 A = 1 - \cos^2 A$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos^3 A + \cos^2 A = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना व्यंजक $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} + \sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$ है।
हर समान करके व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \frac{\sqrt{1 - \sin \theta} \cdot \sqrt{1 - \sin \theta} + \sqrt{1 + \sin \theta} \cdot \sqrt{1 + \sin \theta}}{\sqrt{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}}$
$E = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 \theta}} = \frac{2}{|\cos \theta|}$.
चूंकि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक है।
अतः,$|\cos \theta| = -\cos \theta$.
इस प्रकार,$E = \frac{2}{-\cos \theta} = -2 \sec \theta$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{{\sin \theta }}{{1 - \cot \theta }} + \frac{{\cos \theta }}{{1 - \tan \theta }}$
$\cot \theta = \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}$ और $\tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{\sin \theta }}{{1 - \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}}} + \frac{{\cos \theta }}{{1 - \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}}}$
$= \frac{{\sin \theta }}{{\frac{{\sin \theta - \cos \theta }}{{\sin \theta }}}} + \frac{{\cos \theta }}{{\frac{{\cos \theta - \sin \theta }}{{\cos \theta }}}}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }} + \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta - \sin \theta }}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }} - \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta - {{\cos }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{{(\sin \theta - \cos \theta )(\sin \theta + \cos \theta )}}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
$= \sin \theta + \cos \theta $.

(B) हमें दिया गया है कि $\tan \theta + \sec \theta = e^x$ --- $(i)$
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होती है।
इसे गुणनखंडित करने पर $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$(\sec \theta - \tan \theta) e^x = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sec \theta - \tan \theta = e^{-x}$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = e^x + e^{-x}$
$2 \sec \theta = e^x + e^{-x}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,इसलिए $\sec \theta = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta$
$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$\sin \theta$ को अलग करने के लिए,दोनों पक्षों को $(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करें:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (2 - 1) \sin \theta$
$\sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta = \sin \theta$
$\cos \theta + \sin \theta$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

(B) हमें दिया गया है कि $\sec \theta + \tan \theta = p$ ........... $(i)$
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होती है,जिसे गुणनखंड करने पर $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot p = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ ........... $(ii)$
$\tan \theta$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = p - \frac{1}{p}$
$2 \tan \theta = \frac{p^2 - 1}{p}$
$\tan \theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$.

(B) दिया गया है कि $x = \sec \theta + \tan \theta$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होती है,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta - \tan \theta$.
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करने पर:
$x + \frac{1}{x} = (\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)$.
$x + \frac{1}{x} = 2 \sec \theta$.

(D) दिया गया है $x + \frac{1}{x} = 2\cos \alpha$.
$x$ से गुणा करने पर, हमें $x^2 - (2\cos \alpha)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $x = \frac{2\cos \alpha \pm \sqrt{4\cos^2 \alpha - 4}}{2} = \cos \alpha \pm i\sin \alpha$.
माना $x = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha$. तब $\frac{1}{x} = e^{-i\alpha} = \cos \alpha - i\sin \alpha$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार, $x^n = e^{in\alpha} = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ और $\frac{1}{x^n} = e^{-in\alpha} = \cos n\alpha - i\sin n\alpha$.
इन दोनों को जोड़ने पर, हमें ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} = (\cos n\alpha + i\sin n\alpha) + (\cos n\alpha - i\sin n\alpha) = 2\cos n\alpha$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{x} \right)$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ होती है।
$(x + \frac{1}{x})$ का मान रखने पर,हमें $x^2 + \frac{1}{x^2} = (2 \cos \theta)^2 - 2$ प्राप्त होता है।
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 \cos^2 \theta - 2 = 2(2 \cos^2 \theta - 1)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \cos 2\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2}\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \cos 2\theta = \cos 2\theta$.

(D) माना $S = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ$ है।
गुणधर्म $\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta) = 1$ का उपयोग करते हुए,हम पदों के जोड़े बना सकते हैं:
$(\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \cdot \dots \cdot (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ$।
प्रत्येक जोड़ा $1$ के बराबर है और $\tan 45^\circ = 1$ होता है। अतः,$S = 1$।
इस प्रकार,व्यंजक $e^{\log_{10}(S)} = e^{\log_{10}(1)} = e^0 = 1$ होगा।

(C) हम जानते हैं कि $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
सर्वसमिका $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ का उपयोग करने पर और अंश तथा हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{2 \cos 2x}{2 \sin x \cos x}$.
चूंकि $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ होता है,इसलिए व्यंजक $\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} = 2 \cot 2x$ बन जाता है।

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A}$
सर्वसमिकाओं $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$,$1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$,और $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(1 - \cos A) + \sin A = 2 \sin^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{A}{2} (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})$
हर: $(1 + \cos A) + \sin A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 2 \cos \frac{A}{2} (\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \frac{A}{2} (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})}{2 \cos \frac{A}{2} (\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{2\sin \theta \tan \theta (1 - \tan \theta ) + 2\sin \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan \theta )^2}$
अंश से $2\sin \theta$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta (1 - \tan \theta ) + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta )^2}$
कोष्ठक के अंदर के पदों का विस्तार करने पर:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta - \tan^2 \theta + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta )^2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करने पर,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta + 1]}{(1 + \tan \theta )^2}$
उभयनिष्ठ पद $(1 + \tan \theta)$ को काटने पर:
$E = \frac{2\sin \theta}{1 + \tan \theta}$.

(D) माना व्यंजक $E = 1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} + \frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y}$ है।
सबसे पहले,पहले दो पदों को सरल करने पर: $1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} = \frac{1 + \cos y - (1 - \cos^2 y)}{1 + \cos y} = \frac{\cos y + \cos^2 y}{1 + \cos y} = \frac{\cos y(1 + \cos y)}{1 + \cos y} = \cos y$.
अब,अंतिम दो पदों को सरल करने पर: $\frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y} = \frac{(1 + \cos y)(1 - \cos y) - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{1 - \cos^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{\sin^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = 0$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,$E = \cos y + 0 = \cos y$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2y \cos \theta = x \sin \theta$ --- $(i)$
$2x \sec \theta - y \csc \theta = 3$ --- $(ii)$
$(i)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{\cos \theta} = \frac{2y}{\sin \theta} = k$ (माना).
अतः $x = k \cos \theta$ और $2y = k \sin \theta$,जिसका अर्थ है $y = \frac{k}{2} \sin \theta$.
इन मानों को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(k \cos \theta) \frac{1}{\cos \theta} - (\frac{k}{2} \sin \theta) \frac{1}{\sin \theta} = 3$
$2k - \frac{k}{2} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3 \implies k = 2$.
इस प्रकार,$x = 2 \cos \theta$ और $y = \sin \theta$.
अब,$x^2 + 4y^2 = (2 \cos \theta)^2 + 4(\sin \theta)^2$
$= 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta$
$= 4(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4(1) = 4$.

(D) दिया गया है: $\tan A + \cot A = 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan A + \cot A)^2 = 4^2$
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2 \tan A \cot A = 16$
चूँकि $\tan A \cot A = 1$,इसलिए:
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2(1) = 16$
$\tan^2 A + \cot^2 A = 14$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan^2 A + \cot^2 A)^2 = 14^2$
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2 \tan^2 A \cot^2 A = 196$
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2(1)^2 = 196$
$\tan^4 A + \cot^4 A = 196 - 2 = 194$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ और $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$।
$x = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ लें। तब $\frac{1}{x} = \frac{\cos \phi}{1 - \sin \phi} = \frac{\cos \phi(1 + \sin \phi)}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{\cos \phi(1 + \sin \phi)}{\cos^2 \phi} = \frac{1 + \sin \phi}{\cos \phi}$।
इसी प्रकार,$y = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$। तब $\frac{1}{y} = \frac{\sin \phi}{1 + \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1 - \cos \phi)}{1 - \cos^2 \phi} = \frac{\sin \phi(1 - \cos \phi)}{\sin^2 \phi} = \frac{1 - \cos \phi}{\sin \phi}$।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\sec \phi - \tan \phi = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2})$ और $\csc \phi + \cot \phi = \cot(\frac{\phi}{2})$ का उपयोग करके,हम $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं।
आइए संबंध $x = \frac{y - 1}{y + 1}$ की जाँच करें।
$y = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$ को $\frac{y - 1}{y + 1}$ में रखने पर:
$\frac{\frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} - 1}{\frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} + 1} = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{1 + \cos \phi + \sin \phi} = \frac{2\cos^2(\phi/2) - 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}{2\cos^2(\phi/2) + 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)} = \frac{\cos(\phi/2) - \sin(\phi/2)}{\cos(\phi/2) + \sin(\phi/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2}) = x$।
अतः,$x = \frac{y - 1}{y + 1}$ सही है।

(B) दिया गया है $\tan \theta = \frac{x \sin \phi}{1 - x \cos \phi}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x \sin \phi = \tan \theta - x \cos \phi \tan \theta$.
$x(\sin \phi + \cos \phi \tan \theta) = \tan \theta$.
$x \left( \sin \phi + \cos \phi \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
$x \left( \frac{\sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta}{\cos \theta} \right) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
$x \sin(\theta + \phi) = \sin \theta \Rightarrow x = \frac{\sin \theta}{\sin(\theta + \phi)}$.
इसी प्रकार,$\tan \phi = \frac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta}$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{\sin \phi}{\sin(\theta + \phi)}$.
अतः,$\frac{x}{y} = \frac{\sin \theta / \sin(\theta + \phi)}{\sin \phi / \sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi}$.

(D) दिया गया है: $p = \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta + \sin \theta}$ और $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
$p + q = \frac{2 \sin \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ पर विचार करें।
$p$ को सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $(1 + \sin \theta - \cos \theta)$ से गुणा करें:
$p = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{(1 + \sin \theta)^2 - \cos^2 \theta} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta}$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$p = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2 \sin \theta + 2 \sin^2 \theta} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2 \sin \theta (1 + \sin \theta)} = \frac{1 + \sin \theta - \cos \theta}{1 + \sin \theta} = 1 - \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
चूंकि $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ है,इसलिए $p = 1 - q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p + q = 1$ है।

(D) दिया गया है: $m = \tan \theta + \sin \theta$ और $n = \tan \theta - \sin \theta$.
सबसे पहले,$m^2 - n^2$ की गणना करें:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
$m + n = (\tan \theta + \sin \theta) + (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \tan \theta$
$m - n = (\tan \theta + \sin \theta) - (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \sin \theta$
अतः,$m^2 - n^2 = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$ ..... $(i)$
अब,$4\sqrt{mn}$ की गणना करें:
$mn = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$
$mn = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta = \sin^2 \theta \left( \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 \right) = \sin^2 \theta \left( \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \sin^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \sin^2 \theta \tan^2 \theta$
इसलिए,$4\sqrt{mn} = 4\sqrt{\sin^2 \theta \tan^2 \theta} = 4 \sin \theta \tan \theta$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$.

(A) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{a}{b}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a}{b}$,हम लिख सकते हैं कि $\sin \theta = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\cos \theta = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
अब,व्यंजक $\frac{\sin \theta}{\cos^8 \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin^8 \theta}$ पर विचार करें।
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\left( \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)}{\left( \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^8} + \frac{\left( \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)}{\left( \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^8}$
$= \frac{\pm a (a^2 + b^2)^4}{b^8 \sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{\pm b (a^2 + b^2)^4}{a^8 \sqrt{a^2 + b^2}}$
$= \pm \frac{(a^2 + b^2)^4}{\sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a}{b^8} + \frac{b}{a^8} \right)$।

(C) दिया गया है कि $a \cos \theta + b \sin \theta = m$ और $a \sin \theta - b \cos \theta = n.$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
${(a \cos \theta + b \sin \theta)^2} + {(a \sin \theta - b \cos \theta)^2} = {m^2} + {n^2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$({a^2} \cos^2 \theta + {b^2} \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + ({a^2} \sin^2 \theta + {b^2} \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = {m^2} + {n^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
${a^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + {b^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = {m^2} + {n^2}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
${a^2}(1) + {b^2}(1) = {m^2} + {n^2}$
अतः,${a^2} + {b^2} = {m^2} + {n^2}.$

(C) दिए गए समीकरण $x = a \cos^3 \theta$ और $y = b \sin^3 \theta$ हैं।
चरण $1$: $\cos \theta$ और $\sin \theta$ को $x$ और $y$ के पदों में व्यक्त करें।
$\frac{x}{a} = \cos^3 \theta \implies (\frac{x}{a})^{1/3} = \cos \theta$
$\frac{y}{b} = \sin^3 \theta \implies (\frac{y}{b})^{1/3} = \sin \theta$
चरण $2$: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करें।
चरण $1$ से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((\frac{x}{a})^{1/3})^2 + ((\frac{y}{b})^{1/3})^2 = 1$
$(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है: $\cot \theta + \tan \theta = m$ और $\sec \theta - \cos \theta = n$.
$1$. $\cot \theta + \tan \theta = m$ से:
$\frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = m \implies \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta} = m \implies \sec^2 \theta = m \tan \theta$ --- $(i)$
$2$. $\sec \theta - \cos \theta = n$ से:
$\sec \theta - \frac{1}{\sec \theta} = n \implies \frac{\sec^2 \theta - 1}{\sec \theta} = n \implies \tan^2 \theta = n \sec \theta$ --- $(ii)$
$3$. $\sec^2 \theta = m \tan \theta$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\tan^2 \theta)^2 = n^2 \sec^2 \theta \implies \tan^4 \theta = n^2 (m \tan \theta) \implies \tan^3 \theta = n^2 m \implies \tan \theta = (n^2 m)^{1/3}$.
$4$. इसी प्रकार,$\sec \theta$ ज्ञात करने पर:
$\sec^2 \theta = m \tan \theta = m(n^2 m)^{1/3} = (m^4 n^2)^{1/3}$,अतः $\sec \theta = (m^2 n)^{1/3}$.
$5$. सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1
\implies m \tan \theta - n \sec \theta = 1
\implies m(n^2 m)^{1/3} - n(m^2 n)^{1/3} = 1$.

(C) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ होती है।
माना $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ है।
अतः,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$।
वैकल्पिक रूप से,$\theta = 0^\circ$ रखने पर,हमें $\sin^6(0^\circ) + \cos^6(0^\circ) + 3 \sin^2(0^\circ) \cos^2(0^\circ) = 0 + 1 + 0 = 1$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
सबसे पहले,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$ लें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए यह $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ में सरल हो जाता है।
इसके बाद,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2$ लें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta + 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ में सरल हो जाता है।
अब,इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 1$
$= (2 - 3 + 1) + (-6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)$
$= 0 + 0 = 0$।

(C) दिया गया है: $\sin x + \sin^2 x = 1$
इसका अर्थ है $\sin x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $\sin x = \cos^2 x$।
अब,व्यंजक पर विचार करें: $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 2$।
$\cos^2 x = \sin x$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\cos^2 x)^6 + 3(\cos^2 x)^5 + 3(\cos^2 x)^4 + (\cos^2 x)^3 - 2$
$E = (\sin x)^6 + 3(\sin x)^5 + 3(\sin x)^4 + (\sin x)^3 - 2$
$E = (\sin^2 x)^3 + 3(\sin^2 x)^2(\sin x) + 3(\sin^2 x)(\sin x)^2 + (\sin x)^3 - 2$
यह $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ के रूप में है,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \sin x$ है।
$E = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 2$
चूँकि $\sin^2 x + \sin x = 1$,इसलिए:
$E = (1)^3 - 2 = 1 - 2 = -1$।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x + \cos^2 x = 1$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos x = 1 - \cos^2 x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ होता है।
अतः,$\cos x = \sin^2 x$।
अब,हमें $\sin^2 x + \sin^4 x$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक में $\sin^2 x = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\sin^2 x + (\sin^2 x)^2 = \cos x + (\cos x)^2$।
चूंकि हमें $\cos x + \cos^2 x = 1$ दिया गया है,इसलिए इस व्यंजक का मान $1$ होगा।