Trigonometry Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે ($AM$ $\ge$ $GM$).
$\sqrt{\frac{x}{y}}$ અને $\sqrt{\frac{y}{x}}$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{1} = 1$
કારણ કે $\sin \theta$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકતી નથી,તેથી આ પદાવલિ $1$ ની બરાબર હોવી જોઈએ.
$\sin \theta = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) = 1$
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sqrt{\frac{x}{y}} = \sqrt{\frac{y}{x}}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{y} = 1$,એટલે કે $x = y$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \pi$ અને $\beta + \gamma = \alpha$.
$\alpha + \beta = \pi$ પરથી,$\alpha = \pi - \beta$,તેથી $\tan \alpha = \tan(\pi - \beta) = -\tan \beta$.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ ધન છે અને $\alpha + \beta = \pi$,તેથી $\alpha$ બીજા ચરણમાં હશે (કારણ કે $\beta > 0$),તેથી $\tan \alpha < 0$.
$\beta + \gamma = \alpha$ પરથી,$\tan \alpha = \tan(\beta + \gamma) = \frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma}$.
સમીકરણમાં $\tan \beta = -\tan \alpha$ મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 - (-\tan \alpha) \tan \gamma} = \frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 + \tan \alpha \tan \gamma}$.
$\tan \alpha (1 + \tan \alpha \tan \gamma) = -\tan \alpha + \tan \gamma$.
$\tan \alpha + \tan^2 \alpha \tan \gamma = -\tan \alpha + \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$.
આ $\tan \alpha$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $(\tan \gamma) \tan^2 \alpha + (2) \tan \alpha - \tan \gamma = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\tan \gamma)(-\tan \gamma)}}{2 \tan \gamma} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4 \tan^2 \gamma}}{2 \tan \gamma} = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{1 + \tan^2 \gamma}}{2 \tan \gamma} = \frac{-1 \pm \sec \gamma}{\tan \gamma}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$ પરથી,આપણને મળે $\tan^2 \alpha = \frac{-2 \tan \alpha + \tan \gamma}{\tan \gamma}$. કારણ કે $\tan \alpha = -\tan \beta$,તેથી $\tan^2 \alpha = \frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}$.
આમ,$\tan \alpha = -\sqrt{\frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}}$ (ઋણ વર્ગમૂળ લેવામાં આવે છે કારણ કે $\tan \alpha < 0$).

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
આનો ઉપયોગ કરીને,$\tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$ અને $\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{(1 - \tan \theta)(1 + \tan \theta)}$
$= \frac{1 + \tan^2 \theta + 2 \tan \theta + 1 + \tan^2 \theta - 2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1 + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta}$
કારણ કે $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$,તેથી $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$.
આમ,પદ $2 \sec 2\theta$ બને છે.
તેને $\lambda \sec 2\theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 2$ મળે છે.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ બે પદોનું સાદુરૂપ આપતા: $\cot 5^o - \tan 5^o = 2 \cot 10^o$.
પગલું $2$: હવે પદાવલિ $2 \cot 10^o - 2 \tan 10^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$ બને છે.
પગલું $3$: $2$ સામાન્ય લેતા: $2(\cot 10^o - \tan 10^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 2(2 \cot 20^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 4 \cot 20^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
પગલું $4$: $4$ સામાન્ય લેતા: $4(\cot 20^o - \tan 20^o) - 8 \cot 40^o = 4(2 \cot 40^o) - 8 \cot 40^o = 8 \cot 40^o - 8 \cot 40^o = 0$.

(B) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{25 \sec^4 x - 50 \sec^2 x + 74}{\tan^2 x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$.
આ કિંમત મૂકતા,$E = \frac{25(1 + \tan^2 x)^2 - 50(1 + \tan^2 x) + 74}{\tan^2 x}$ મળે.
ધારો કે $t = \tan^2 x$. તો $E = \frac{25(1 + t)^2 - 50(1 + t) + 74}{t}$.
$E = \frac{25(1 + 2t + t^2) - 50 - 50t + 74}{t} = \frac{25 + 50t + 25t^2 - 50 - 50t + 74}{t}$.
$E = \frac{25t^2 + 49}{t} = 25t + \frac{49}{t}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{25t + \frac{49}{t}}{2} \ge \sqrt{25t \cdot \frac{49}{t}}$.
$25t + \frac{49}{t} \ge 2 \sqrt{25 \cdot 49} = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $70$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
અહીં $A = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan A = 1$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$1 + \tan B + \tan C = \tan B \tan C$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan B \tan C = K$,તેથી $\tan B + \tan C = K - 1$ થાય.
$\tan B$ અને $\tan C$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\tan B + \tan C)x + \tan B \tan C = 0$ ના બીજ છે,તેથી $x^2 - (K - 1)x + K = 0$ મળે.
$\tan B$ અને $\tan C$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geqslant 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (K - 1)^2 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 2K + 1 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 6K + 1 \geqslant 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે,એટલે કે $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{4xy}{(x+y)^2} \leq 1$.
બધી વાસ્તવિક કિંમતો $\theta$ માટે $cosec^2 \theta \geq 1$ હોવાથી,સમીકરણ $cosec^2 \theta = \frac{4xy}{(x+y)^2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો બંને બાજુ $1$ હોય.
આ માટે $\frac{4xy}{(x+y)^2} = 1$ હોવું જરૂરી છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4xy = (x+y)^2$ અથવા $(x-y)^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
વધુમાં,જો છેદ શૂન્ય હોય તો $cosec^2 \theta$ અવ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $x+y \neq 0$ હોવું જોઈએ. $x=y$ હોવાથી,આનો અર્થ $2x \neq 0$ થાય છે,એટલે કે $x \neq 0$.
આમ,શરત $x = y$ અને $x \neq 0$ છે.

(C) આપેલ છે: $\tan 80^{\circ} = a$ અને $\tan 47^{\circ} = b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ} = \frac{1}{\tan 10^{\circ}}$,તેથી $\tan 10^{\circ} = \frac{1}{a}$.
આપણે $\tan 37^{\circ}$ શોધવાનું છે.
આપણે $\tan 37^{\circ} = \tan(47^{\circ} - 10^{\circ})$ લખી શકીએ.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 37^{\circ} = \frac{\tan 47^{\circ} - \tan 10^{\circ}}{1 + \tan 47^{\circ} \tan 10^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan 37^{\circ} = \frac{b - \frac{1}{a}}{1 + b \cdot \frac{1}{a}}$.
અંશ અને છેદને $a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\tan 37^{\circ} = \frac{ab - 1}{a + b}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \sin \theta + \cos \theta + \sin 2\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta + \cos \theta$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$.
તેથી,$\sin 2\theta = t^2 - 1$.
$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$E$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $E = t + t^2 - 1 = t^2 + t - 1$.
અંતરાલ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ પર $E$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $f(t) = t^2 + t - 1$ ની સીમાઓ પર કિંમત ચકાસીએ.
$t = \sqrt{2}$ માટે,$E = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$.
$t = -\sqrt{2}$ માટે,$E = (-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2} - 1 = 1 - \sqrt{2}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{2}$ છે,જે $\tan \frac{3\pi}{8}$ ની કિંમત છે.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cot \alpha - \tan \alpha = 2\cot 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\tan \alpha = \cot \alpha - 2\cot 2\alpha$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \tan 3^{\circ} + 2\tan 6^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$\tan 3^{\circ} = \cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ}$ મૂકતા:
$E = (\cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ}) + 2\tan 6^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$2\tan 6^{\circ} = 2(\cot 6^{\circ} - 2\cot 12^{\circ}) = 2\cot 6^{\circ} - 4\cot 12^{\circ}$ મૂકતા:
$E = \cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ} + 2\cot 6^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$E = \cot 3^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$4\tan 12^{\circ} = 4(\cot 12^{\circ} - 2\cot 24^{\circ}) = 4\cot 12^{\circ} - 8\cot 24^{\circ}$ મૂકતા:
$E = \cot 3^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\cot 12^{\circ} - 8\cot 24^{\circ} + 8\cot 24^{\circ} = \cot 3^{\circ}$.
આમ,$\cot \theta^{\circ} = \cot 3^{\circ}$,તેથી $\theta = 3$.
વિકલ્પો તપાસતા: $\cot (15 \times 3)^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$.

(D) ધારો કે $f(x) = \tan(e^x)$ અને $g(x) = e^x + e^{-x}$.
આપણે $x > 0$ માટે $y = \tan(e^x)$ અને $y = e^x + e^{-x}$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
નોંધો કે $e^x + e^{-x} = 2 \cosh(x)$,જે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા $\ge 2$ હોય છે.
જેમ જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $e^x$ એ $1$ થી $\infty$ સુધી વધે છે.
વિધેય $\tan(e^x)$ એ $e^x$ ના સંદર્ભમાં આવર્તિત છે અને $e^x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$) પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શકો (vertical asymptotes) ધરાવે છે.
જેમ $x$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે,તેમ $e^x$ એ $(1, \infty)$ માં તમામ કિંમતો લે છે,તેથી વિધેય $\tan(e^x)$ એ અનંત વખત $-\infty$ અને $+\infty$ ની વચ્ચે દોલન કરશે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,દરેક અંતરાલમાં જ્યાં $e^x$ એ $\pi$ જેટલું વધે છે,ત્યાં $\tan(e^x)$ એ $(-\infty, \infty)$ નો વિસ્તાર આવરી લે છે.
કારણ કે $e^x + e^{-x} \ge 2$ છે,તેથી $y = e^x + e^{-x}$ નો આલેખ $\tan(e^x)$ ની દરેક શાખાને ઓછામાં ઓછી એક વાર છેદશે,જ્યાં સુધી તે શાખા $\ge 2$ કિંમતો સુધી પહોંચે.
જેમ $x \to \infty$ થાય છે તેમ આવી અનંત શાખાઓ હોવાથી,અહીં અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{7 + 6 \tan x - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$.
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ હોવાથી,$y = (7 + 6 \tan x - \tan^2 x) \cos^2 x$.
$y = 7 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x - \sin^2 x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$,અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 7 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 6 \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) - \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$.
$y = \frac{7 + 7 \cos 2x + 6 \sin 2x - 1 + \cos 2x}{2} = \frac{6 + 8 \cos 2x + 6 \sin 2x}{2} = 3 + 4 \cos 2x + 3 \sin 2x$.
પદ $a \sin \theta + b \cos \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
અહીં,$3 \sin 2x + 4 \cos 2x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
તેથી,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $\lambda = 3 + 5 = 8$ છે.
આપણે $\log_{\sqrt{2}}(\lambda) = \log_{\sqrt{2}}(8)$ શોધવાનું છે.
$8 = 2^3 = (\sqrt{2})^6$ હોવાથી,$\log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^6) = 6$ મળે.

(C) ધારો કે $3\cos \theta + 4\sin \theta = 5$ એ સમીકરણ $(1)$ છે અને $3\sin \theta - 4\cos \theta = x$ એ સમીકરણ $(2)$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(3\cos \theta + 4\sin \theta)^2 + (3\sin \theta - 4\cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9\cos^2 \theta + 16\sin^2 \theta + 24\sin \theta \cos \theta) + (9\sin^2 \theta + 16\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$9(1) + 16(1) = 25 + x^2$
$25 = 25 + x^2$
$x^2 = 0$
તેથી,$x = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \cos A + \cos B = \cos C$
$2) \sin A + \sin B = \sin C$
ધારો કે $z_1 = e^{iA}$,$z_2 = e^{iB}$,અને $z_3 = e^{iC}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\cos A + \cos B) + i(\sin A + \sin B) = \cos C + i\sin C$
આથી $e^{iA} + e^{iB} = e^{iC}$ મળે.
સમીકરણોની અનુબદ્ધ (conjugate) કિંમત લેતા:
$\cos A + \cos B = \cos C$
$-\sin A - \sin B = -\sin C$
આનો સરવાળો કરતા $e^{-iA} + e^{-iB} = e^{-iC}$ મળે.
$e^{iA} + e^{iB} = e^{iC}$ પરથી,
બંને અનુબદ્ધ સ્વરૂપોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-iA} + e^{-iB}} = \frac{e^{iC}}{e^{-iC}}$
$\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-i(A+B)}(e^{iB} + e^{iA})} = e^{2iC}$
$e^{i(A+B)} = e^{2iC}$
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sin(A + B) = \sin 2C$
તેથી,$\frac{\sin(A + B)}{\sin 2C} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $3 \tan A - 4 = 0$,તેથી $\tan A = \frac{4}{3}$.
કારણ કે $A$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\sin A$ અને $\cos A$ બંને ઋણ થશે.
$\tan A = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરીને,કર્ણ $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ મળે છે.
આમ,$\sin A = -\frac{4}{5}$ અને $\cos A = -\frac{3}{5}$.
હવે,આ કિંમતોને $5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$5(2 \sin A \cos A) + 3 \sin A + 4 \cos A$
$= 10 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \left(-\frac{4}{5}\right) + 4 \left(-\frac{3}{5}\right)$
$= 10 \left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$
$= \frac{120}{25} - \frac{24}{5} = \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$.

(C) $f(x)$ યુગ્મ વિધેય હોવા માટે, પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x) = f(-x)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(-x) = -\tan x$ અને $\text{sgn}(-x) = -\text{sgn}(x)$, તેથી $\tan(-x) \cdot \text{sgn}(-x) = (-\tan x) \cdot (-\text{sgn}(x)) = \tan x \cdot \text{sgn}(x)$.
આમ, $f(-x) = A(-x)^3 - B(-x) - \tan(-x) \cdot \text{sgn}(-x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$.
$f(x) = f(-x)$ માટે, $Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ થવું જોઈએ.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2Ax^3 - 2Bx = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $A = 0$ અને $B = 0$ એકસાથે થવું જોઈએ.
$A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4} = (\sin \alpha - \frac{1}{2})^2 = 0 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3} = (\tan \alpha + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 0 \implies \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે $\alpha \in [-\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ શોધવાના છે જ્યાં $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ અને $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ બંને સાચા હોય.
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ માટે, $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}$.
$\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે, $\alpha = \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ અને $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ છે.
આમ, કુલ $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) ધારો કે $E = \log_{\frac{1}{8}\csc^2 \frac{\pi}{8}} \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.
પ્રથમ,આધારનું સાદું રૂપ આપીએ: $\csc^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 4+2\sqrt{2}$.
તેથી,આધાર $\frac{1}{8}(4+2\sqrt{2}) = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}$ થાય.
હવે,પદનું સાદું રૂપ આપીએ: $\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1-\cos(3\pi/4)}{2} = \frac{1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})}{2} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,$E = \log_{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}} \left( \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} \right) = 1$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{4 \sin 9^{\circ} \sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 81^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$ છે.
નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીને,પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$E = \frac{4}{\sin 54^{\circ}} [(\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ}) \cdot (\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ})]$.
અહીં $\sin 51^{\circ} = \sin(60^{\circ}-9^{\circ})$ અને $\sin 69^{\circ} = \sin(60^{\circ}+9^{\circ})$ હોવાથી,$\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 9^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 27^{\circ}$ થાય.
તે જ રીતે,$\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ} = \sin 21^{\circ} \sin(60^{\circ}-21^{\circ}) \sin(60^{\circ}+21^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 21^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 63^{\circ}$ થાય.
આ કિંમતોને $E$ માં મૂકતા:
$E = \frac{4}{\sin 54^{\circ}} \cdot \frac{1}{4} \sin 27^{\circ} \cdot \frac{1}{4} \sin 63^{\circ} = \frac{\sin 27^{\circ} \sin 63^{\circ}}{4 \sin 54^{\circ}}$.
$\sin 63^{\circ} = \cos 27^{\circ}$ હોવાથી,$E = \frac{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{4 \sin 54^{\circ}} = \frac{2 \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{8 \sin 54^{\circ}} = \frac{\sin 54^{\circ}}{8 \sin 54^{\circ}} = \frac{1}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $2\cos^2 \theta + \sin \theta \le 2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા,આપણને મળે $2(1 - \sin^2 \theta) + \sin \theta \le 2$.
$2 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta \le 2$.
$-2\sin^2 \theta + \sin \theta \le 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$2\sin^2 \theta - \sin \theta \ge 0$.
$\sin \theta(2\sin \theta - 1) \ge 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $\sin \theta \le 0$ અથવા $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ હોય.
$\sin \theta \le 0$ માટે,$\theta \in [\pi, 2\pi]$.
$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ માટે,$\theta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
આમ,$A = [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, 2\pi]$.
આપેલ છે કે $B = [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
છેદગણ $A \cap B$ લેતા:
$A \cap B = ([\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, 2\pi]) \cap [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
$A \cap B = [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\sin 81^\circ + \cos 81^\circ}{\sin 81^\circ - \cos 81^\circ}$
અંશ અને છેદને $\cos 81^\circ$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{\tan 81^\circ + 1}{\tan 81^\circ - 1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 81^\circ = \cos 9^\circ$ અને $\cos 81^\circ = \sin 9^\circ$ થાય.
તેથી,$E = \frac{\cos 9^\circ + \sin 9^\circ}{\cos 9^\circ - \sin 9^\circ}$
હવે અંશ અને છેદને $\cos 9^\circ$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,આ પદાવલિ $\tan(45^\circ + 9^\circ)$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$E = \tan 54^\circ$

(A) ધારો કે $S = \cos 2\theta + \cos \theta$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\cos \theta$ માં દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta) - 1$.
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$.
કારણ કે વર્ગ વાળું પદ $2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 \geq 0$ છે,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \theta = -1/4$ હોય.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-9/8$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ છે.
આને $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$ મળે.
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$.
$a^2$ વડે ગુણતા,આપણને $b^2 - 2ac = a^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A = \sin 45^{\circ} + \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$A = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 45^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin(45^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
હવે,$B = \sin 44^{\circ} + \cos 44^{\circ} = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 44^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 44^{\circ})$.
સૂત્ર $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $B = \sqrt{2} \sin(44^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 89^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 89^{\circ} < \sin 90^{\circ}$,તેથી $\sqrt{2} \sin 89^{\circ} < \sqrt{2} \sin 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$B < A$ અથવા $A > B$.

(A) અહીં આપણે ચાર ધન પદો $\sin \theta, \sin \theta, \sin \theta$ અને $\csc^3 \theta$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીશું.
$\frac{\sin \theta + \sin \theta + \sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \csc^3 \theta)}$
$\frac{3\sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin^3 \theta \cdot \frac{1}{\sin^3 \theta})}$
$\frac{3\sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{1}$
$3\sin \theta + \csc^3 \theta \ge 4 \times 1$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
કારણ કે $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{3\pi}{7} \right) = \sin \frac{3\pi}{7}$:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} \right) = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{6\pi}{7}$
કારણ કે $\sin \frac{6\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{7} \right) = \sin \frac{\pi}{7}$:
$P = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 3$.
$\sin$ વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,ત્રણ $\sin$ પદોનો સરવાળો $3$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ $1$ હોય.
તેથી,$\sin \theta_1 = 1, \sin \theta_2 = 1,$ અને $\sin \theta_3 = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \frac{\pi}{2}$.
હવે,આપણે કોસાઇનનો સરવાળો શોધીએ: $\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી,$\cos \theta_1 = 0, \cos \theta_2 = 0,$ અને $\cos \theta_3 = 0$.
આમ,$0 + 0 + 0 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$.
તેથી,$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$ અને $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$.
આપેલ પદાવલિ આ મુજબ થશે: $2 \sin^2 \frac{\pi}{8} + 2 \sin^2 \frac{3\pi}{8} = 2 [\sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8}]$.
કારણ કે $\sin \frac{3\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$,તેથી $\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2 [\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8}] = 2(1) = 2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{3 + \cot 76^{\circ} \cot 16^{\circ}}{\cot 76^{\circ} + \cot 16^{\circ}}$
$\sin$ અને $\cos$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{3 + \frac{\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}{\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}}}{\frac{\cos 76^{\circ}}{\sin 76^{\circ}} + \frac{\cos 16^{\circ}}{\sin 16^{\circ}}} = \frac{3 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}{\cos 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}$
$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + (\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}) = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos(76^{\circ} - 16^{\circ}) = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 60^{\circ} = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \frac{1}{2}$
છેદ: $\sin(76^{\circ} + 16^{\circ}) = \sin 92^{\circ}$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\cos(76^{\circ}-16^{\circ}) - \cos(76^{\circ}+16^{\circ}) + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{\cos 60^{\circ} - \cos 92^{\circ} + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2} - \cos 92^{\circ} + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{1 - \cos 92^{\circ}}{\sin 92^{\circ}}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2 \sin^2 46^{\circ}}{2 \sin 46^{\circ} \cos 46^{\circ}} = \tan 46^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 46^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $5 \cos \theta + 3 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - 1$
નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 5 \cos \theta + 3 \left( \cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) - 1$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$= 5 \cos \theta + 3 \left( \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right) - 1$
$= 5 \cos \theta + \frac{3}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
$= \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
આ પદાવલિ $a \cos \theta + b \sin \theta + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2} + c$ થાય.
અહીં,$a = \frac{13}{2}$,$b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$,અને $c = -1$.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} - 1$
$= \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} - 1$
$= \sqrt{\frac{196}{4}} - 1$
$= \sqrt{49} - 1 = 7 - 1 = 6$.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$.
તેથી,$A + B = 90^\circ - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ (tangent) લેતા:
$\tan(A + B) = \tan(90^\circ - C)$
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(90^\circ - C) = \cot C = \frac{1}{\tan C}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\tan C}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$\tan C(\tan A + \tan B) = 1 - \tan A \tan B$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\tan C \tan A + \tan C \tan B = 1 - \tan A \tan B$
પદોને ગોઠવતા:
$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ રેડિયન} \approx 57.296^\circ$.
$\sin(1 \text{ rad}) = \sin(57.296^\circ)$
$\sin(2 \text{ rad}) = \sin(114.592^\circ) = \sin(180^\circ - 114.592^\circ) = \sin(65.408^\circ)$
$\sin(3 \text{ rad}) = \sin(171.887^\circ) = \sin(180^\circ - 171.887^\circ) = \sin(8.113^\circ)$
કારણ કે વિધેય $y = \sin x$ એ $[0, \pi/2]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે,તેથી આપણે પ્રથમ ચરણમાં ખૂણાઓની સરખામણી કરીએ છીએ:
$8.113^\circ < 57.296^\circ < 65.408^\circ$
તેથી,$\sin(8.113^\circ) < \sin(57.296^\circ) < \sin(65.408^\circ)$.
આમ,$\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $\sin^2 x + a \sin x + b = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\sin \alpha + \sin \beta = -a$ મળે.
તે જ રીતે,$\cos^2 x + c \cos x + d = 0$ માટે,$\cos \alpha + \cos \beta = -c$ મળે.
સરવાળાને ગુણાકારમાં ફેરવવાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -a$ .....$(1)$
$2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -c$ .....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{-a}{-c} \Rightarrow \tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{a}{c}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \alpha + \beta$:
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{2(a/c)}{1 + (a/c)^2} = \frac{2a/c}{(c^2 + a^2)/c^2} = \frac{2ac}{a^2 + c^2}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan A$ અને $\tan B$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ અને $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
હવે,પદાવલી $E = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$ છે.
આખી પદાવલીને $\cos^2 (A + B)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $E = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$.
ચૂકી $\tan (A + B) = \frac{5}{14}$,કૌંસની અંદરનું પદ $3(\frac{5}{14})^2 - 10(\frac{5}{14}) - 25 = 3(\frac{25}{196}) - \frac{50}{14} - 25 = \frac{75}{196} - \frac{700}{196} - \frac{4900}{196} = \frac{-5525}{196}$ થાય.
વળી,$\cos^2 (A + B) = \frac{1}{1 + \tan^2 (A + B)} = \frac{1}{1 + (5/14)^2} = \frac{1}{1 + 25/196} = \frac{196}{221}$ થાય.
તેથી,$E = \frac{196}{221} \times \frac{-5525}{196} = -\frac{5525}{221} = -25$.

(A) વિધાન $p$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $2 \sin 120^\circ = \sqrt{3}$.
જમણી બાજુમાં $\theta = 240^\circ$ મૂકતા: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}$.
કારણ કે $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{\sqrt{2}}$,આ પદ $\frac{\sqrt{3}-1}{2} - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = -1 \neq \sqrt{3}$ થાય છે. આમ,વિધાન $p$ ખોટું છે.
વિધાન $q$ માટે: કોઈપણ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$A + B + C + D = 360^\circ = 2\pi$. તેથી,$\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = \pi$. ધારો કે $\alpha = \frac{A+C}{2}$,તો $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$. સમીકરણ $\cos \alpha + \cos(\pi - \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha = 0$ થાય છે. આમ,વિધાન $q$ સાચું છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $F, T$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.
$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 4 + \frac{1}{2} [4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x] - 2 \cos^4 x$
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 2 \cos^4 x - 2 \cos^4 x$
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.
ધારો કે $t = \cos^2 x$,જ્યાં $0 \le t \le 1$.
$f(t) = -4t^2 + 2t + 4$.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-4)} = \frac{1}{4}$ પર છે.
કારણ કે $\frac{1}{4} \in [0, 1]$,મહત્તમ કિંમત $M$ એ $t = \frac{1}{4}$ પર મળે છે:
$M = f(\frac{1}{4}) = -4(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{4}) + 4 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m$ એ સીમાબિંદુઓ $t=0$ અથવા $t=1$ પર મળે છે:
$f(0) = 4$.
$f(1) = -4(1)^2 + 2(1) + 4 = 2$.
આમ,$m = 2$.
$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{17 - 8}{4} = \frac{9}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $A + B = \frac{\pi}{6}$. ધારો કે $y = \tan A + \tan B$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{y}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$1 - \tan A \tan B = \sqrt{3}y$,જેનો અર્થ છે કે $\tan A \tan B = 1 - \sqrt{3}y$.
કારણ કે $A, B > 0$ અને $A+B = \frac{\pi}{6}$,તેથી $\tan A$ અને $\tan B$ બંને ધન છે. સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{\tan A + \tan B}{2} \ge \sqrt{\tan A \tan B}$
$\frac{y}{2} \ge \sqrt{1 - \sqrt{3}y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{y^2}{4} \ge 1 - \sqrt{3}y \Rightarrow y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 \ge 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 = 0$ ઉકેલતા:
$y = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{64}}{2} = -2\sqrt{3} \pm 4$.
કારણ કે $y > 0$,આપણે $y \ge 4 - 2\sqrt{3}$ લઈશું.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4 - 2\sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,વ્યાખ્યા મુજબ $f(-x) = -f(x)$ થાય.
આપણને $x \geq 0$ માટે $f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$ આપેલ છે.
$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ શોધવા માટે,અયુગ્મ વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.
પ્રથમ,$f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.
અહીં $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$ હોવાથી:
$\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
$\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$.
અંતે,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}\right) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\sec(\theta - \phi)$,$\sec\theta$,અને $\sec(\theta + \phi)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2 \sec\theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$.
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos(\theta - \phi)} + \frac{1}{\cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
નિત્યસમ $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{2 \cos\theta \cos\phi}{\cos^2\theta - \sin^2\phi}$
$\cos^2\theta - \sin^2\phi = \cos^2\theta \cos\phi$
$\cos^2\theta(1 - \cos\phi) = \sin^2\phi$
$\cos^2\theta(1 - \cos\phi) = 1 - \cos^2\phi = (1 - \cos\phi)(1 + \cos\phi)$
અહીં $\phi \neq 0$ હોવાથી,$1 - \cos\phi \neq 0$,તેથી આપણે $(1 - \cos\phi)$ વડે ભાગી શકીએ:
$\cos^2\theta = 1 + \cos\phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cos\theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
આને $\cos\theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \pm \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos 255^o + \sin 195^o$
આપણે ખૂણાઓને આ રીતે લખી શકીએ:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$
આ કિંમતો મૂકતા:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 15^o = \sin(45^o - 30^o) = \sin 45^o \cos 30^o - \cos 45^o \sin 30^o = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
તેથી,$-2 \sin 15^o = -2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ અને $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$.
તેથી,$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$E = 3 - 6\sin 2\theta + 3\sin^2 2\theta + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $E = 9 + 3(4\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 4\sin^6 \theta = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ મૂકતા:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$.
$E = 9 + 12\cos^2 \theta - 12\cos^4 \theta + 4(1 - 3\cos^2 \theta + 3\cos^4 \theta - \cos^6 \theta)$.
$E = 9 + 12\cos^2 \theta - 12\cos^4 \theta + 4 - 12\cos^2 \theta + 12\cos^4 \theta - 4\cos^6 \theta$.
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$.
નિત્યસમ $\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $t = \cos^2 2\theta$. તો સમીકરણ $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$ થાય છે.
આ $(t - \frac{1}{2})^2 = 0$ છે,તેથી $t = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$4\theta \in (0, 2\pi)$ થાય.
$\cos 4\theta = 0$ નો અર્થ છે કે $4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.

(A) આપણે નિત્યસમ $\cos A \cdot \cos 2A \cdot \cos 4A \cdot \dots \cdot \cos 2^{n-1}A = \frac{\sin(2^n A)}{2^n \sin A}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{2^{10}}$. આપેલ પદાવલિ $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}}$ છે.
અહીં $\frac{\pi}{2^2} = 2^8 \cdot \frac{\pi}{2^{10}}$,$\frac{\pi}{2^3} = 2^7 \cdot \frac{\pi}{2^{10}}$,વગેરે.
આ પદાવલિ $\cos(2^8 A) \cdot \cos(2^7 A) \cdot \dots \cdot \cos(A) \cdot \sin A$ ને સમાન છે.
ગુણાકારને ગોઠવતા: $(\cos A \cdot \cos 2A \cdot \dots \cdot \cos 2^8 A) \cdot \sin A$.
$n=9$ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin(2^9 A)}{2^9 \sin A} \cdot \sin A = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512} = \frac{1}{512}$.

(A) આપેલ છે કે ${f_k}(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$.
$k=4$ માટે,${f_4}(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4}$.
નિત્યસમ $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
${f_4}(x) = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$.
$k=6$ માટે,${f_6}(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6}$.
નિત્યસમ $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
${f_6}(x) = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$.
હવે,${f_4}(x) - {f_6}(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \left( 3 - \frac{5}{2} \right) \cos \theta$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
આ પદ $a \sin \theta + b \cos \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જેની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}$
$= \sqrt{\frac{25 \times 3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{75 + 1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(C) આપેલ છે કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ અને $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ થાય.
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{1 - (3/5)^2}}{3/5} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ મળે.
$\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$ હોવાથી,$\tan(\alpha - \beta) = \frac{5/13}{\sqrt{1 - (5/13)^2}} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$ મળે.
હવે,$\tan(2\alpha) = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$ થાય.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\alpha) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{21/12}{16/36} = \frac{21}{12} \cdot \frac{36}{16} = \frac{21 \cdot 3}{16} = \frac{63}{16}$.

(B) ધારો કે $E = \cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ \cos 50^\circ + \cos^2 50^\circ$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$E = \frac{1}{2} [2 \cos^2 10^\circ - 2 \cos 10^\circ \cos 50^\circ + 2 \cos^2 50^\circ]$
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^\circ) - (\cos 60^\circ + \cos(-40^\circ)) + (1 + \cos 100^\circ)]$
$E = \frac{1}{2} [1 + \cos 20^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ + 1 + \cos 100^\circ]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - (\cos 40^\circ - \cos 100^\circ)]$
$\cos C - \cos D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{D-C}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 40^\circ - \cos 100^\circ = 2 \sin(\frac{140^\circ}{2}) \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2 \sin 70^\circ \sin 30^\circ = 2 \sin 70^\circ (\frac{1}{2}) = \sin 70^\circ = \cos 20^\circ$.
કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $E = \sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
પદોને ગોઠવતા: $E = \sin 30^\circ [\sin 10^\circ \sin(60^\circ - 10^\circ) \sin(60^\circ + 10^\circ)]$.
$\theta = 10^\circ$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $E = \sin 30^\circ [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ)]$.
કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $E = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} \sin 30^\circ]$.
ફરીથી $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $E = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.

(B) આ પદાવલિ $y = a\,sin\,x + b\,cos\,x$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આ પદાવલિનું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $(k+1) \tan^2 x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ છે.
ધારો કે $t = \tan x$. દ્વિઘાત સમીકરણ $(k+1)t^2 - (\sqrt{2} \lambda)t + (k-1) = 0$ ના બીજ $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$ થાય.
ટેન્જન્ટના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1 - k + 1} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $\tan^2(\alpha + \beta) = 50$,તેથી $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^2 = 50$.
$\frac{\lambda^2}{2} = 50 \Rightarrow \lambda^2 = 100 \Rightarrow \lambda = \pm 10$.
આમ,$\lambda$ ની એક શક્ય કિંમત $10$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}} = \frac{1}{7}$.
નિત્યસમ $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2 \cos^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$ મળે.
આપેલ છે કે $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
નિત્યસમ $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{\frac{2 \sin^2 \beta}{2}} = \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ મળે.
$\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ હોવાથી,$\cos \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$,તેથી $\tan \beta = \frac{1}{3}$ થાય.
હવે,$\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/9)} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$.
અંતે,$\tan (\alpha + 2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = \frac{(4+21)/28}{(28-3)/28} = \frac{25}{25} = 1$.